数学模型的分类

6.3.2　数学模型的分类

数学模型用得最多，也用得最广。它是用字母、数字和数学符号构成的等式或不等式来描述系统的内部特征或与外界联系的模型。它是真实世界的一种抽象。数学模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具，它是分析、设计、预测和控制实际系统的基础。数学模型的种类很多，一般可分为:

(1)原理性模型。

自然科学中所有定理、公式都是这类模型。从开普勒的行星运动三大定律到牛顿的经典力学三大定律，直到近代的爱因斯坦狭义相对论和广义相对论，对自然科学已建立起一套完整的原理性模型。它是指导自然科学发展的基础和核心。

(2)系统学模型。

系统学是研究系统结构与功能(演化、协同和控制)的一般规律的科学。系统学的研究对象是各类系统。按系统的复杂程度，系统可分为简单系统和简单巨型系统。简单系统是指组成系统的元素比较少，元素之间的关系又比较简单。巨型系统是指组成系统的元素数目非常庞大，但元素种类比较少，且元素之间的关系比较简单的系统。

对于简单系统和巨型系统，用自然科学的理论和方法可以很好地描述和研究，包括运筹学、控制论、信息论、数学以及耗散结构理论、协同学和突变论等。

系统学的模型有:系统动力学、大系统理论、灰色系统、系统辨识、系统控制、最优控制和创造工程学等。

目标决策分析模型也属于系统学模型的范畴。方案数量不多的决策情况可通过决策分析方法建模。在该模型中，用表或图形的方式，列出方案及其预测的目标值以及这些目标值实现的概率，然后可对各方案进行评价，并选择最好的方案。

目标决策分析有单目标决策和多目标决策两种不同情况，单目标决策可用决策表(decision table)或决策树(decision tree)方法，多目标(multiple criteria［objects］)决策可用多目标决策分析方法和软件分析求解。有许多软件包可用于多目标决策分析，如DecisionPro(Vanguard Software Corp.)，Expert Choice(Expert Choice Inc.)，Logic Decision(Logic Decision Group)，Visual IFPS/Plus(Comshare Inc.)。

(3)规划模型。

数学规划可用于分析求解管理决策问题，在这些问题中，决策人必须为各种活动分配各种紧缺资源，并使目标达到最优化。例如，对于加工各种产品(活动)的机器时间(资源)的分配就是一个典型的分配问题。

换句话说，数学规划是研究合理使用有限资源以取得最大效果。规划问题大致可分为两类:①用一定数量的资源去完成最大可能实现的任务;②用尽量少的资源去完成给定的任务。解决这些问题一般都有几种可供选择的方案。在规划问题中，必须满足的条件称为约束条件，要达到的目标用目标函数来表示。数学规划问题可归结为:在约束条件的限制下，根据一定的准则从若干可行方案中选取一个最优方案。

数学规划实质上是用数学模型来研究系统的优化决策问题。如果把给定条件定义为约束方程，把目标函数看作是目标方程，把目标函数中的自变量看作决策变量，这三者就构成规划模型。

规划模型包括:线性规划、非线性规划、动态规划、目标规划、更新理论和运输问题等。线性规划模型是其中最重要的模型。

线性规划问题包括决策变量(决策变量的值是未知的，但需要解出来)、目标函数(线性数学函数表示决策变量与要达到的目标的关系，并需要求其最优化)，目标函数系数(单位利润或表明单位决策变量对于目标的作用)、约束(以线性的等式或不等式表示的对资源的限制和要求，变量之间通过线性关系表达)、限制(描述约束和变量的上下限)、输入输出(技术)系数(表明关于决策变量的资源使用)。

决策人需经常使用数学规划，特别是线性规划，在许多标准的软件包中都有该类软件。这样，在许多DSS工具中都有最优化函数，例如，Excel、IFPS/Plus。此外，很容易将其他的最优化软件与Excel、DBMS和类似的工具连接。最优化模型通常也包括在决策支持系统中。

(4)预测模型。

预测是对事物的发展方向、进程和可能导致的结果进行推断或测算。预测对象可以是一项科学技术、一种产品、一项工程、一种需求、一个社会经济系统或者是一项发展战略，它涉及社会、政治、经济、科学技术、管理等各个领域。预测方法分为定性方法和定量方法两类。定性预测大都侧重于质变方面，回答事件发生的可能性。主观预测大多属于定性预测。定量预测侧重于量变方面，回答事件发展的可能程度。

定性预测方法主要有:特尔斐法(或专家调查法)、情景分析法、主观概率法和对比法等。

定量预测方法主要有:趋势法、因素相关分析法(如回归法等)、平滑法等。

(5)管理决策模型。

管理是指为了充分利用各种资源对系统及其组成部分施加一定的控制来达到系统目标。管理决策是在管理过程中做出的各种决策。

管理是随着生产的发展和社会生活的需要而发展起来的。凡是有群体活动的地方，均需要管理。管理成为有效地组织集体劳动的专业工作。管理中的共同规律性就是管理科学。

管理决策中的模型有:关键路线法(CPM)、计划评审技术(PERT)、风险评审技术(VERT)和层次分析法(AHP)等。

(6)仿真模型。

仿真有许多含义，一般而言，仿真是对假设的现实特征的表现。它是利用模型再现实际系统中发生的本质过程，并通过对系统模型的实验来研究存在的或设计中的系统。当所研究的系统造价昂贵、实验的危险性大或需要很长的时间才能了解系统参数变化所引起的后果时，仿真是一种特别有效的研究手段。

仿真与数值计算、求解方法的区别在于它是一种实验技术。仿真过程包括建立仿真模型和进行仿真实验两个主要步骤。

仿真模型是被仿真对象的相似物或其结构形式。为了寻求系统的最优结构和参数，常常要在仿真模型上进行多次实验，通过实验观察系统模型各变量变化的全过程。

在DSS中，仿真是一种在数字计算机上对管理系统模型进行实验的技术(例如what-if分析)。DSS主要用于处理半结构化或非结构化的问题，这些问题所涉及的复杂的现实情况较难用最优化或其他模型表示，但常常可以用仿真方法处理，所以仿真是一种最常用的DSS工具之一。常用仿真模型包括:蒙特卡罗法、KSIM模拟和微观分析模拟等。

下面主要论述几种仿真类型。

①概率仿真。

在这类仿真中，一个或多个独立变量(例如库存问题中的需求)是随机的，即这些变量服从一定的概率分布。该类又可分为离散分布和连续分布两类。离散分布包含取有限值、有限数目事件(或变量)的情形。连续分布是指服从密度函数(如正态分布)有无限可能事件的情形。

②时间相关与时间无关仿真。

时间无关(time-independent)是指不必精确地知道事件发生时间的情形，例如我们知道每天需要某种产品三件，但并不在意一天中何时需要这些产品，或者讲，在某些情形中，时间完全不是仿真的因素。

另一方面，在排队问题中，精确知道顾客的到达时间是重要的，因为需要了解顾客是否需要等待，在这种情形中需要处理与时间相关的情况。

③仿真软件。

现在已有数百种用于各种决策情况的构造仿真工具软件包，其中包括嵌入表格的仿真软件。

④可视仿真。

用图形来显示计算的结果，包括动画，这是人—机交互和问题求解中较成功的新发展方向之一。

⑤面向对象与面向代理的仿真。

在开发仿真模型领域的最新进展中，已将面向对象和面向代理的方法用到了仿真中。

(7)计量经济模型。

计量经济学是以数学和统计学的方法确定经济关系中的具体数量关系的科学，又称经济计量学。计量经济学对经济关系的实际统计资料进行计量，加以验证，为经济变量之间的依存关系提供定量数据，为制定经济规划和确定经济政策提供科学依据。

计量经济学是为国家干预和调节经济、加强市场预测、合理组织生产、改善经营管理等经济活动服务的。

计量经济模型包括:经济计量法、投入产出法、动态投入产出法、回归分析、可行性分析和价值工程等。