数学模型的概念与分类

所谓数学模型，是指用数学表达式表示的模型. 这似乎太简单，详细一点说，对于现实世界中某个特定的问题或特定系统，根据需要对其作一些必要的简化、抽象和假设，用精炼的形式化语言将问题或特定系统中各元素的关系、本质特征或基本过程进行数量或结构的描述. 它可以是一组数学关系式，或一套具体算法，或由本质特征所构成的图表、图像、框图结构. 数学模型一般应有如下一些性质:

(1)能通过数学模型对所研究的问题进行理论分析、逻辑推导并有明确的结果;

(2)能回到实践中去解决实际问题，并提供更多的资讯，借助于它还可推出未知的事件;

(3)作为抽象的数学模型，对认识规律有着化繁为简、化难为易的作用; 还可充当纯粹数学与各门具体科学技术的桥梁.

数学模型的类型有多种分法.

按其性能来分，可以分为三类:

概念性数学模型: 内容较单纯，如数学中的基本概念.

方法性数学模型: 即可直接用于解决生产、科技和生活领域中的实际问题.

结构性数学模型: 以数学对象为原型，通过再抽象得到的数学模型，如群、环、域、线性空间、拓扑空间，等等.

按性能来分还可分为: 应用性数学模型(从实际问题所产生); 概括性数学模型(从一类应用性数学模型中再次综合产生); 理论性数学模型(从数学本身发展需要产生)，抽象度最高如代数结构、序结构、拓扑结构等.

数学模型从研究对象的特质来分，可分为四类:

第一类是确定性数学模型. 这类模型是描述自然界中最普遍最常见的必然现象，具有确定的因果关系，这类模型可以是各种各样的方程式、关系式(包括逻辑关系式)、网络图等，使用的工具是经典的数学方法.

第二类是随机性数学模型. 它描述自然界中大量存在的或然现象，反映的是机遇律，使用的数学工具是概率论与数理统计中的各种概念与方法，也包括随机过程论与随机微分方程等.

第三类是模糊性数学模型. 自然界中有一类现象的发生，既不是必然现象，也不是或然现象，例如人体对象，平常语言中有许多模糊辞汇: 年轻、年长、个子不矮、中等个子、眼亮头长等.如何才算年轻、年长、个子不矮……呢? 凭人脑去识别也是困难的. 怎么才能用计算机能处理这类事件呢? 美国控制论专家查德(L·A·Zedeh)创立的模糊数学，就是这方面的尝试. 他定义了“模糊集合”，引进了“隶属函数”，运用了“模糊逻辑”，还设定了各种运算规则和变换规则，从而对模糊现象进行数学的逻辑的分析判断. 这种模糊性数学，可以用于解决计算模式识别、自动控制、信号处理中的一些问题. 对发展智能计算机，提供了重要的数学工具.

第四类是突变性数学模型. 自然界事物的变化有渐变的，也有突变的. 所谓渐变，就是控制变量和状态变量都连续变化而无分界线和关节点的情况; 而在控制变量的连续变化中使状态变量发生不连续状态，就称之为突变，例如冰突然沸腾、火山爆发、地震等都属于这类现象. 1972年，法国拓扑学家雷·托姆(Rene Thom)在《结构的稳定性和形态发生学》一书中，明确地阐明了突变理论，宣告了突变理论的诞生.

图3.3

突变理论主要以拓扑学、分析代数等为工具，以结构稳定性理论为基础，出色地证明了，形形色色的突变现象总可以用七种基本的突变模型来进行描述，只要这个突变过程的控制变量不超过四维. 这七种基本模型是: 转折型、尖点型、燕尾型、蝴蝶型、双曲脐点型、椭圆脐点型、抛物脐点型等.其中每一种都各有基本特征，各有特定的位势函数和方程式. 例如，水的气液相变过程，可以用尖点型来描述. 如图3.3所示，上面有折叠的曲面是状态曲面，也叫行为曲面，表示水的密度. 底平面为控制面，折叠区在底平面上的投影是一个尖点型区域，用这个尖点型模型可以成功地说明温度和压强的连续变化在什么时候会导致不连续的变化. 设温度和压强沿AB方向连续变化，在相应的行为曲面上，水密度沿曲线A'F'B'变化，在A'F'阶段，水密度在折叠区上半叶连续下降(渐变)到折叠边缘F'，温度压强只要稍顺AB方向离开F点(它可以完全连续)，水密度值就会突然跌到曲面下半叶的气态区，发生不连续变化——沸腾. 如果沿CD绕过尖点，相应在曲面上水的密度就沿C'D'平滑连续变化到汽态. 这解释了为什么只要温度、压强绕过临界点，水可以不经沸腾而连续地变为气体. 这个模型不可描述受水平力和垂直力作用的弹性梁的挠曲现象等有两个控制变量的突变现象. 英国著名数学家齐曼教授认为，微积分可以解释自然界中的连续变化过程，托姆的突变理论却能解释自然界中不连续的突变过程，“是数学界的一次智力革命——微积分以后最重要的发现”.

按照上述观点，我们几乎可以对所有的数学学科进行分类.