数学模型的分类以及建立模型的一般步骤

定期总结数学模型的分类以及建立数学模型的一般步骤对于初学者而言是非常重要的.虽然数学模型多种多样，但是其中有着内在的相似之处.经常总结经验有助于初学者尽快掌握各类模型，适应不同的数学建模题目.

数学模型可以按照不同方式来分类.按照模型的应用领域可以分为数量经济模型、医学模型、地质模型、社会模型，等等；更具体的有人口模型、交通模型、生态模型，等等；按照建立模型的数学方法可以分为几何模型、微分方程模型、图论模型，等等.数学建模的初衷是洞察源于数学之外的事物或系统；通过选择数学系统，建立原系统的各部分与描述其行为的数学部分之间的对应，达到发现事物运行的基本过程的目的.因此，人们通常也用如下的方法分类：

观察模型与决策模型：基于对问题状态的观察、研究，所提出的数学模型可能有几种不同的数学结构.例如，决策模型是针对一些特定目标而设计的.典型的情况是，某个实际问题需要作出某种决策或采取某种行动以达到某种目的.决策模型常常是为了使技术的发展达到顶峰而设计，它包括算法和由计算机完成的特定问题解的模拟.例如一般的马尔可夫链模型是观察模型，而动态规划模型是决策模型.

确定性模型和随机性模型：确定性模型建立在如下假设的基础上：即如果在时间的某个瞬间或整个过程的某个过程有充分的确定信息，则系统的特征就能准确的预测，如2008年全国大学生数学建模竞赛的数码相机定位问题.确定性模型常常用于物理和工程之中.微分方程模型就是常见的确定性模型.随机性模型是在概率意义上描述系统的行为，它广泛应用于社会科学和生命科学中，如2009年全国大学生数学建模竞赛的眼科病床的合理安排问题.

连续模型和离散模型：有些问题可用连续变量描述，比如空中飞行安全的设计；有些问题适合离散变量描述，比如2007年全国大学生数学建模竞赛的乘公交看奥运问题.有些问题由连续性变量描述更接近实际，但也允许离散化处理.例如2006年全国大学生数学建模竞赛的艾滋病治疗问题中病毒是随时间变化的可视为连续模型，但如果勘察的时间段较短，则用离散模型描述更合适.在全国大学生数学建模竞赛中一般是一题连续型问题和一题离散型问题.

解析模型和仿真模型：建立的数学模型可直接用解析式表示，结果可能是特定问题的解析解，或得到的算法是解析形式的，通常可以认为是解析模型.如2007年全国大学生数学建模竞赛的人口预测问题.而实际问题的复杂性经常使目前的解析法满足不了实际问题的要求或无法直接求解.因此，很多实际问题需要进行仿真，如2007年全国大学生数学建模竞赛的乘公交看奥运问题.仿真模型可以对原问题进行直接或间接的仿真.

在现实生活工作中所面临的问题是纷繁复杂的，如果需要借助数学模型来求解，往往不可能孤立地使用一种方法.需要根据对研究对象的了解程度和建模目的来决定采用什么数学工具.一般来说，建模的方法可以分为机理分析法、数据分析法和类比仿真法等.

机理分析是根据对现实对象特征的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，用这种方法建立起来的模型，常有明确的物理或现实意义.各个“量”之间的关系可以用几个函数、几个方程（或不等式）乃至一张图等数学工具明确地表示出来.在内部机理无法直接寻求时，可以尝试采用数据分析的方法.首先测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型.这种方法也可称为系统辨识.有时还要将这两种方法结合起来运用，即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识来确定模型的参数.类比则是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维模式，这样便可借用其他一些已有的模型，推测现实问题应该或可能的模型结构.仿真（也称为模拟）是以类比为逻辑基础，用计算机模仿实际系统的运行过程.在整个运行时间内，对系统状态的变化进行观察和统计，从而得到系统基本性能的估计或认识.但是仿真方法一般不能得到解析的结果.

建立数学模型没有固定的模式，通常它与实际问题的性质、建模的目的等有关.当然，建模的过程也有其共性，一般来说大致可以分为以下几个步骤：

形成问题：要建立现实问题的数学模型，首先要对所要解决的问题有一个十分明确的提法.只有明确问题的背景，尽量弄清楚对象的特征，掌握有关的数据，确切地了解建立数学模型要达到的目的，才能形成一个比较明晰的“问题”.

假设和简化：根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要地、合理地假设和简化.如前所述，现实问题通常是纷繁复杂的，必须紧抓本质的因素（起支配作用的因素），忽略次要的因素.此外，一个现实问题不经过假设和化简，很难归结成数学问题.因此，有必要对现实问题作一些简化，有时甚至是理想化的简化假设.

模型构建：根据所做的假设，分析对象的因果关系，用适当的数学语言刻画对象的内在规律，构建现实问题中各个变量之间的数学结构，得到相应的数学模型.这里，有一个应遵循的原则，即尽量采用简单的数学工具.

检验和评价：数学模型能否反映原来的现实问题，必须经受多种途径的检验.这里包括数学结构的正确性，即没有逻辑上自相矛盾的地方；适合求解，即是否会有多解或无解的情况出现；数学方法的可行性，迭代方法收敛性以及算法的复杂性等.而最重要和最困难的问题是检验模型是否真正反映原来的现实问题.模型必须反映实际，但又不等同于现实；模型必须简化，但过分的简化则使模型远离现实，无法解决现实问题.因此，检验模型的合理性和适用性，对于建模的成败是非常重要的.评价模型的根本标准是看它能否准确地解决现实问题.此外，是否容易求解也是评价模型的一个重要标准.

模型的改进：模型在不断的检验过程中进行修正，逐步趋向完善，这是建模必须遵循的重要规律.一旦在检验过程中发现问题，人们必须重新审视在建模时所作的假设和简化的合理性，检查是否正确刻画对象内在的量之间的相互关系和服从的客观规律.针对发现的问题做出相应的修正.然后，再次重复建模、计算、检验、修改的过程，直到获得某种程度的满意模型为止.

模型的求解：经过检验，能比较好地反映现实问题的数学模型，最后通过求解得到数学上的结果；再通过“翻译”回到现实问题，得到相应的结论.模型若能获得解的确切表达式固然最好，但现实中多数场合需依靠计算机数值求解.正是由于计算技术的飞速发展，使得数学建模现在变得越来越重要，如2010年全国大学生数学建模竞赛的储油罐的变位识别与罐容表标定问题.

应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步.建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面.数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之一.为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中逐步开展，国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等院校的教学改革和培养高层次的科技人才的个重要方面，现在许多院校正在将数学建模与教学改革相结合，努力探索更有效的数学建模教学法和培养面向21世纪的人才的新思路，与我国高校的其他数学类课程相比，数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点，数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程.为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主、以知识传授为主的传统教学模式，数学建模课程指导思想是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作.通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题.数学建模以学生为主，教师利用一些事先设计好问题启发，引导学生主动查阅文献资料和学习新知识，鼓励学生积极开展讨论和辩论，培养学生主动探索，努力进取的学风，培养学生从事科研工作的初步能力，培养学生团结协作的精神，形成一个生动活泼的环境和气氛，教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望，培养他们的自学能力，增强他们的数学素质和创新能力，提高他们的数学素质，强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程，而不是知识与结果.接受参加数学建模竞赛赛前培训的同学大都需要学习诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学、数学软件包的使用等“短课程”（或讲座），用的学时不多，多数是启发性地讲一些基本的概念和方法，主要是靠同学们自己去学，充分调动学生的积极性及发挥他们的潜能.培训中广泛采用讨论班方式，学生自己作报告、讨论、辩论，教师主要起质疑、答疑、辅导的作用，竞赛中一定要使用计算机及相应的软件，如SPSS，Lingo，Maple，Mathematica，Matlab甚至排版软件等.