仿射类模型(或指数仿射模型)

五、仿射类模型(或指数仿射模型)

Duffie和Kan(1996)证明了Vasicek(1977)、Merton(1973)、CIR(1985)所提出的模型都属于一种称为“仿射类”的普通模型,这类模型的特征是零息债券利率都是短期利率的仿射函数,下面分析仿射类模型的期限结构。

(一)仿射类模型的一般形式

设在真实概率条件下,m个状态变量的随机过程为dX_t=K(Θ-X_t)dt+Cσ(X_t)dW_t,这里σ(X_t)为对角矩阵,其第i个对角元素的值为σ_ii(X_t)=,方差矩阵为Cov(dX_t)=Cσ²(X_t)C′dt,短期利率为X_t的仿射函数r_t=,进一步假设风险的市场价格为:

λ(X_t)=σ(X_t)λ

由上面的假设,得到以下的偏微分方程:

根据第三节的分析,可猜测解的形式为:

P(τ,X)=exp[A(τ)+B(τ)′x]

由不同短期利率动态过程,可解出利率期限结构。下面举几个例子。

(二)仿射类模型的四个例子

1.高斯中心趋势模型

该模型主要由Beaglehole和Tenney(1991)、Jegadeesh和Pennacchi(1996)提出,短期利率为两要素的高斯过程

其中,k₁、k₂为均值回复速度,μ为利率均值,θ为μ_t的均值,σ₁、σ₂短期利率与其均值的瞬间波动率,风险的市场价格为常数λ₁和λ₂。W_1t、W_2t为标准布朗运动。两个布朗运动的相关系数为ρ,高斯中心趋势模型一般化了Vasicek(1977)模型,使其均值为随机变量,同样,应用ITO引理,得偏微分方程为:

边界条件为P(T,T)=1。

解的形式可猜测为:

P(t,t+τ)=exp[A(τ)+B₁(τ)r_t+B₂(τ)μt]

由边界条件:P(T,T)=1,A(0)=0,B(0)=0,C(0)= 0得:

A(τ)的表达式较长,这里省略。

2.Fong-Vasicek模型

Fong和Vasicek(1991)提出Vasicek模型的另一个扩展模型,这里Ornstein-Uklenbeck过程的波动率为随机的:

其中,W_1t、W_2t为标准布朗运动,两个布朗运动之间的相关系数为ρ,Fong和Vasicek(1991)进一步假设风险的市场价格表示为:

Fong-Vasicek模型的偏微分方程为:

解的形式猜测为:

P(t,t+τ)=exp[A(τ)+B₁(τ)r+B₂(τ)V]

由边界条件:P(T,T)=1,A(0)=0,B(0)=0,C(0)= 0,得

B₁(τ)的表达式与Vasicek模型的表达式相同,B₂(τ)、A(τ)的表达式可参考Selby和Strickland(1995)的文章。

3.多因子CIR模型

无论是高斯中心趋势模型,还是Fong-Vasicek模型,均没有对短期利率的非负性加以约束,为了保证短期利率的非负性,多因子CIR模假设短期利率为满足以下m个因素的CIR模型:

第i个因素的风险市场价格为:

在风险中性概率条件下,容易得到债券的价格为:

其中,y_it表示为

通过整理,债券价格可重新表示为:

其中,P_i(t,T)是参数为k_i、μi、σ_i和λ_i的短期单因子CIR模型。

4.具有随机风险市场价格的Vasicek模型

Lund(1999)提出了一个高斯期限结构模型,其中r_t为在真实概率下的多变量Ornstein-Uhlenbeck过程,下面应用随机贴现因子方法推导Lund(1999)模型,该模型基于两个独立的Ornstein-Uklenbeck过程:

其中,W1t、W2t为两个相互独立的标准布朗运动,λ^∗_t为风险的随机市场价格,风险中性概率下X_t=(r_t,λ^∗_t)′的随机动态过程为:

债券价格P(t,T)的偏微分方程为:

边界条件为P(t,T)=1。

猜测解的形式为:

P(t,t+τ)=exp[A(τ)+B(τ)r_t+C(τ)λ^∗_t]解出B(τ)、C(τ)的表达式为:

A(τ)的表达式较长,可参考Lund(1999)。