数学模型方法

精确定量思维是对当代科技人员共同的要求。所谓定量思维，是指人们从实际中提炼数学问题，抽象化为数学模型，用数学计算求出模型的解或近似解，然后回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际，最后编制解题软件包，以便得到更广泛的、方便的应用。

数学模型方法就是一种定量思维，它不仅是处理数学理论问题的一种经典方法，也是处理科学技术、工程设计、经济管理、军事与安全等领域中各种实际问题的一般数学方法。过去，由于人的计算能力的限制，数学模型不能搞得太复杂，而简单的数学模型又无法说明复杂的实际问题。现代电子计算机的发明，才使人们真正能用数学模型来处理科学技术、工程设计、经济管理、军事与安全等领域中的复杂问题。

一、模型方法的含义和分类

所谓模型，按照 《辞海》的解释，是指根据实物、设计图或设想，按比例、形态或其他特征制成的同实物相似的物体。例如：地球仪和地图，是地球表面的模型；电路图是在一定假设下用形象鲜明的符号表现现实物体的模型；等等。

数学模型不同于一般的模型，它是一种观念模型，一种以某种方式给予解释的符号 （数学符号）系统表示的模型。具体来说，数学模型是指针对或参照某种事物系统的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。这里的数学结构，有两方面的具体要求：其一，这种结构是一种纯关系结构，即必须是经过数学抽象扬弃了一切与关系无本质联系属性后的系统；其二，这种结构是用数学概念和数学符号来描述的。

从广义上说，数学模型是从现实世界中抽象出来的，是对客观事物的某些属性的一个近似反映。例如，数学中各种概念、各种公式、各种方程式、各种理论体系，以及由公式系列构成的算法系统等。因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的，因而它们都是现实世界的数学模型。

从狭义上说，数学模型是指解决特定问题的一种数学框架或结构。这一框架或结构可用一组方程来表示，更一般地可用数学解析式表示，也可用程序语言、图形、图表等表示。例如：二元一次方程式是 “鸡兔同笼”问题的数学模型，一次函数是匀速直线运动的数学模型等。

在应用数学中，数学模型方法用的是作为狭义理解的数学模型，这是因为构造数学模型的目的在于解决具体的实际问题。

根据数学模型的性质和建立数学模型方法的不同，数学模型可分为不同的类型。例如：按模型的来源，可分为理论模型和经验模型；按研究对象所在领域，可分为经济模型、生态模型、人口模型和交通模型等；按模型的功能，可分为描述性数学模型和解释性数学模型；按研究对象的内部结构和对性能的了解程度，可分为白箱模型、灰箱模型和黑箱模型；按模型所使用的数学工具，可分为函数模型、方程模型、三角模型、几何模型、概率模型、运筹模型、复数模型和数表模型等。

二、如何建立数学模型

运用数学模型解决问题时，一般要经过三个步骤：一是根据问题的特点，构造出恰当的数学模型；二是对得到的数学模型进行推理和演算，得出所需的解答；三是联系原来的问题，对得到的解答作出解释和评价，再返回到原问题中去作出最终的判断。这三个步骤相互联系，缺一不可。其中，建立恰当的数学模型是运用数学模型方法解决问题的重要和首要环节，在这个环节中要广泛应用数学抽象方法。

1.数学抽象

所谓抽象，在一般意义上，是指由具体事物中抽取出相对独立的各个方面、属性及关系等的思维活动。被抽象出来的诸方面、属性及关系等，以其“抽象性”而与具体事物的 “具体性”相对立。就数学而言，由于其研究对象的特殊性，数学抽象也有其特殊的内容。

（1）数学抽象中仅仅保留了事物的量的特性，而完全舍弃了它们的质的内容。

这种特殊的抽象内容是数学抽象与其他科学中的抽象的一个重要区别。在这里，“量”这一概念包含了 “数”和 “形”两个基本意义，因此，数学曾被定义为 “研究数量关系和空间形式的科学”。例如，现在生活中存在各种各样的球状物体：铅球、钢制滚球、玻璃球、橡皮球等。数学抽象时，不考虑它们是用什么材料制成的，也不考虑它们的颜色、质量、硬度、弹性等，而只就它们的形状 （空间形式）和大小 （数量关系）进行抽象，得出球、球心、球半径、球的表面积、球的体积等数学概念。

（2）数学抽象的程度远远超出了其他科学中的一般抽象。

具体地说，尽管一些基本的数学概念具有较为明显的直观意义，但数学中又有许多概念并非建立在真实事物或现象的直接抽象上，而是在较为间接的抽象上——在抽象之上进行抽象，由概念去引出概念。例如：由数到式，由式到函数，由函数到关系；从函数到连续函数，再到可微函数，然后又到解析函数；从欧式空间到内积空间，再到距离空间，然后到拓扑空间；等等。后一次抽象都以前一次的抽象材料作为背景，一次比一次抽象程度高，体现出一种逐级的抽象过程。

此外，从数学体系内部提出的问题都具有较高的抽象性，甚至有些考察的对象与真实世界的距离非常遥远，以至于被看成思维的自由创造物和想象物。例如，可以无限延伸的直线、无限大的自然数、无限广阔的复数等，都是不可能建立在对于真实事物的直接抽象上，而主要是理想思维的产物。

（3）数学抽象的特殊性还在于它的方法的特殊。

数学抽象的方法很多，大的方面可分为两类：一类是从外部世界进入数学的抽象，一般是数学模型；另一类是数学内部世界概念的发展，形成不同层次的数学对象，具有不同层次的抽象度。

2.“哥尼斯堡七桥”问题

历史上，用数学模型解决实际问题，最著名的就是 “哥尼斯堡七桥”问题。

18世纪，东普鲁士的哥尼斯堡城 （今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河上有七座桥，将河中的两个岛和河岸连接 （如图2－3－1所示），其中，有五座桥把河岸同河中的克奈芳福岛相连接。岛上有一所古老的哥尼斯堡大学，据说，每天傍晚时分，这所大学的学生们总要散步于这七座大桥之间。当时，他们中有人提出：能否在一次散步中把每座桥都走一次，而且只走一次，最后回到原来的位置？这个问题引起了不少人去思考和试验，但都没有成功。于是，学生们将这个问题提请大数学家欧拉去解决。

图2－3－1

欧拉从众人的失败中想到，这样的走法可能根本就不存在。随后，他用数学模型方法出色地证实了自己的猜想是正确的，并于1736年发表了作为拓扑学和现代图论发端的第一篇论文—— 《哥尼斯堡七桥》。

欧拉的思路是：既然岛与三处陆地是桥梁的连接地点，不妨将其理想化，即把岛与三处陆地抽象成四个点，并把七座桥抽象成七条线 （如图2－3－2所示）。这样，桥与陆地的结构关系，正是对所要解决问题的本质特征的数学抽象。于是，一次性无重复地走完七座桥的问题，就等价于一笔画出图的几何图形。这就是 “哥尼斯堡七桥”问题的数学模型。

图2－3－2

欧拉考察了一笔画图形的数学结构特征。他认为：一笔画图形必有起点和终点，当起点和终点重合时便成为封闭图形，否则便成为开放图形。除起点和终点外，在一笔画图形中出现交点处，曲线总是一进一出，故通过的曲线应该总有偶数条，这些交点被称为 “偶点”。如此说来，只有起点和终点处通过的曲线可能是奇数条，此时，起点和终点便可称为 “奇点”。因此，欧拉认为，任何一笔画图形要么没有奇点，要么有两个奇点。而 “哥尼斯堡七桥”问题的数学模型中有四个奇点，故可断言它不是一笔画图形，也就是说，要想一次走完这七座桥而且每座桥只过一次，是不可能的。

欧拉解决 “哥尼斯堡七桥”问题的思路框架，如图2－3－3所示。

图2－3－3

从此例可以看出，应用数学抽象方法建立数学模型的一般过程是：

第一，要明确问题，仔细观察研究对象，尽量掌握对象的性质和特点，确定选用哪一类数学模型。如 “哥尼斯堡七桥”问题的数学模型是一个必然现象的数学模型。

一般地，针对某个实际问题构造数学模型，首先要对该实际问题所需的学科领域的基本规律有所了解。如：要建立反映热传导规律的数学模型，就要熟悉福里哀定律、能量守恒定律；要建立行星绕日运动的数学模型，就要熟悉万有引力定律、牛顿第二定律等。如果相应领域还没有现成的规律可使用，或者虽有但还不够用，那就要自己去观察、去探索。

第二，要剔除非本质属性，抓住主要矛盾。如七桥问题中，岛与陆地的形状、大小，桥的宽窄、长短、曲直等都是非本质属性。点及连接点的线才是主要矛盾。

第三，进行数学抽象。如七桥问题中，既然岛与陆地只是桥梁的连接点，就可把岛和陆地抽象成四个点，七座桥抽象成七条线。人们试图一次性无重复地走完七座桥的问题，就被抽象成为一笔画出图2－3－2中的几何图形问题。

七桥问题作为一笔画问题，实际上是典型的拓扑学问题。它不考虑度量性质，而只考虑在拓扑变换下的不变性质，即：不管图形的压缩或延伸，只管点与点的位置关系。