意大利数学家沃特拉（Volterra）为解释第一次世界大战期间某海港鱼量的变化而建立了一个关于捕食鱼与被食鱼生长情形的数学模型.沃特拉把所有的鱼分为两类：捕食鱼与被食鱼，时刻t被捕食鱼的总数为x（t），而捕食鱼的总数为y（t）.因为被食鱼所需的食物很丰富，它们本身的竞争并不激烈，
如果不存在捕食鱼的话，被食鱼的增加应遵循指数增长率dx（t）/dt=ax，a为常数，表示自然净相对增长率，但因捕食鱼的存在，致使其增长率降低，设单位时间内捕食鱼与被食鱼相遇的次数为bx（t）y（t），因此具有如下表达式：
类似地，沃特拉认为捕食鱼的自然减少率（因缺少被食鱼）同它们存在的数目成反比，即为-cy.自然增加率则同它们本身存在数目y及食物——被食鱼数目x成正比，即dx（t）y（t），d为常数，反映被食鱼对捕食鱼的供养能力，于是得到如下种群竞争模型：
上式表示当不存在人类捕鱼活动时，捕食鱼与被食鱼应遵循的规律，称为Volterra 被捕食-捕食模型.
对甲、乙两种群，假设种群甲和乙的数量分别为x（t），y（t），则可用下列方程表示种群甲、乙相互竞争同一资源时的生长状况：
这里系数a，b，c，d均为正数，这方程称为两种群竞争模型.当系数c，d为负数时，两种群互相促进，互为依赖，这样的模型成为共生模型.
更一般地，可用下列的一般方程（统称为Volterta 模型）表示相互干扰的种群甲、乙的生长情况：
其中a，b，c，d，e，f为常数，可正可负或为0，视两种群的相互关系而定，一般分竞争，共生，被捕食-捕食等类型.更一般的两种群竞争系统可表示为如下形式：
其中M（x，y），N（x，y）为相对于x，y的增长率，且当一种群增长时另一种群的增长率下降，同时任一种群过多时两种群都不能增长，只有一种群时，将按极限增长.
例8-2 AIDS传播问题——CUMCM2006
艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命.
艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合征”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”，英文简称HIV）引起的.这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命.人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作.
艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力.迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高.许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法.
现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据.ACTG320是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）.193A是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）.4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）.
完成以下问题：利用附件的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）.利用附件的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间.
由于篇幅所限，本书没有给出该问题的附件，大家可以登录全国大学生数学建模竞赛的网站（http：//www.mcm.edu.cn）下载.
【解题思路】
CD4与HIV基本呈现出一种此消彼长的态势.就像两支部队，在人体这个战场上你争我夺，进行一场大战.因此可以用战争模型来解释.将CD4和HIV看做处于敌对状态的两支大军，CD4数量的减少和HIV的增多，可以看成是当HIV得到了有力的增援后，对CD4进攻占据优势，消灭了很多CD4.反之，当CD4得到有力的增援后，将会成功地抵挡住HIV的进攻，同时对HIV兵力造成极大的消耗.将药物看做是在这场战争中大大增加CD4增援率与大大降低HIV增援率的一个因素.
用x1（t）与x2（t）来表示交战双方t时刻的兵力.由于两军进行的是短兵相接的正面作战，认为其中一方的战斗减员率只与敌方兵力有关，可以简单认为与对方军力成正比.用b表示HIV对CD4的杀伤率，用c表示CD4对HIV的杀伤率.于是，CD4的战斗减员率即为bx2，HIV的战斗减员率即为cx1.
将CD4和HIV数量增多看做它们得到了增援.这个增援是由自身的复制等原因引起的.在战争模型中，与己方兵力有关，令CD4和HIV的增援率为αx1和βx2.由此，可以用以下战争模型加以描述：
上述模型可以变化为以下形式的微分方程：
通过求解微分方程可以得到：
.类似可以得到x2.
在数学建模竞赛中，微分方程主要出现在以上两个方面.但是这并不意味着微分方程的应用就如此的狭隘，关键是能够掌握微分方程模型的建立方法.下面继续通过例题来叙述如何在其他方面建立微分方程模型.
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