动态数学模型

对于大多数检测装置，可近似为一个线性时不变系统，它的动态数学模型可以用一个线性常微分方程来表征，即

式中，an，an－1，…，a0和bm，bm－1，…，b0均为与系统结构有关的常数。只要对微分方程求解，就可得到动态性能指标。

对于一个复杂的测试系统和复杂的测试信号，求解微分方程比较困难，而应用拉普拉斯变换求出传递函数、频率响应函数和典型信号的瞬态响应等来描述动态特性。

（1）传递函数

在工程上，为了计算方便，通常采用拉普拉斯变换来研究线性微分方程。若Y（s）为时间变量t的函数，且当t≤0时，有y（t）＝0，则y（t）的拉普拉斯变换定义为

式中 s——复变量，s＝a＋jb，a＞0。

拉普拉斯变换记为Y（s）＝L［y（t）］，拉普拉斯逆变换记为y（t）＝L－1［Y（s）］。

如果系统初始条件为零，即认为输入量x（t）、输出量y（t）及它们的各阶时间层数的初始值（t＝0）为零，对式（3．2）作拉普拉斯变换，得

式中 Y（s）——系统输出量y（t）的拉普拉斯变换；

X（s）——系统输入量x（t）的拉普拉斯变换。

将输入量和输出量两者的拉普拉斯变换之比定义为传递函数H（s），则

式中，传递函数H（s）表征了系统的传递特性。式（3．5）分母中的s幂次n代表了微分方程的阶次，也称为传递函数的阶次。从式（3．5）可得到以下3条传递函数的特性：

①传递函数是在复频域上对动态特性的描述，它与输入及系统的初始条件无关。

②传递函数不表明系统的物理结构。不同的系统，只要动态特性相似，就可以有相同的传递函数。

③传递函数与微分方程完全等价，可以相互转化。

H（s）是在复频域中表达系统的动态特性，而微分方程则是在时域表达系统的动态特性，而且这两种动态特性的表达形式对于任何输入信号形式都适用。

当n＝0时，零阶系统的传递函数：

当n＝1时，一阶系统的传递函数：

当n＝2时，二阶系统的传递函数：

当n≥3时，高阶系统的传递函数：

（2）频率响应函数

因为正弦信号是最基本的典型信号，为便于研究测量系统的动态特性，经常以正弦信号作为输入求出测试系统的稳态特性。设输入量为正弦信号，并用指数形式表示为

根据线性系统的频率保持特性、输出信号的频率不变，但幅值和相位可能发生变化，故输出量为

将它们代入式（3．5），得

即称为测试系统的频率响应函数。

通常，频率响应函数H（jω）是一个复数函数，它可以用指数形式表示，即

式中 A（ω）——H（jω）的模；

φ（ω）——H（jω）的相角。

幅频特性和相频特性，具有明确的物理意义和重要的实际意义，利用它们可以从频域形象、直观、定量地表示测试系统的动态特性。以自变量分别画出A（ω）和φ（ω）的图形，所得的曲线分别称为幅频特性曲线和相频特性曲线。

（3）典型信号的瞬态响应

1）阶跃响应函数

若系统输入信号为单位阶跃信号，则X（s）＝L［x（t）］＝1／s，于是测试系统相应输出的拉氏变换为Y（s）＝H（s）·X（s）＝H（s）／s，对Y（s）进行拉氏反变换，即可得到输出y（t），y（t）即称为阶跃响应函数。

2）冲激响应

若系统的输入为单位脉冲信号，即x（t）＝δ（t），则X（s）＝L［δ（t）］＝1，于是测试系统相应输出的拉氏变换将为Y（s）＝H（s）·X（s）＝H（s），对Y（s）进行拉氏反变换，可得

式中，h（t）常被称为单位脉冲响应函数。

测试系统的动态特性在复频域可用传递函数来描述，在频域可用频率响应函数描述，在时域可用脉冲响应函数、阶跃响应函数等来描述，它们之间的关系是一一对应的。