描述水体中水质变化规律的数学表达式，主要以物质守恒原理为基础，模拟污染物质排入水体以后，水体的水质在物理、化学和生物化学等过程中的变化.水质数学模型反映污染物排放与水体质量的定量关系，主要用于水体污染特性、水体纳污容量的研究和水质预测.
一般在河流纵向上，由于水流的推动，污染物的平流（又称对流）输送，远比扩散显著.根据流动方向上的推流作用，导出推流模型，近似地模拟水质变化.下面通过两道例题说明水流污染扩散模型和空气污染扩散模型.
例8-3 长江水资源管理问题——CUMCM2005
水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重.专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染.”原题附件给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年主要水质指标的检测数据，以及干流上7个观测站近一年的基本数据（站点距离、水流量和水流速）.通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水.一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低.反映江河自然净化能力的指标称为降解系数.事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1～0.5之间，比如可以考虑取0.2（单位：1/天）.其中某个月的17个观测站的数据如表8-1所示，其他数据可以参看该年题目附件.请研究下列问题：研究、分析长江干流近一年主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区？
表8-1 2003年6月17个站点的数据
续表
【解题思路】
对于问题，研究分析干流污染源的分布，因此必须就站点距离、水流量、水流速和降解系数等因素，对本地区和上游的排污情况进行综合考虑.易知某地的污染总量为该地区污染物观测浓度和水流量的乘积.确定某地的废水排放量，关键求出来自上游的污染物到该地区后的剩余浓度Cei.
按照河流水质管理需求，可以不考虑排放物在河流中的混合过程，即假设在排污口断面即完成与水的均匀混合，那么可以建立一维水质模型来求解剩余浓度Cei.根据质量守恒定律，Cei满足如下偏微分方程：
若不计纵向离散作用，方程可简化为：
由此，得到各地的实际排放量di=（Ci-Cei）×Ri.其中D是纵向离散系数，V为水流速，xi，Ci，di，Ri分别表示第i个观察点的横坐标、观测浓度、污染物排放量、水流量.
将2004年4月到2005年4月的数据代入求解，可以得到各地13个月的高锰酸盐和氨氮的排放量.通过内梅罗公式，对每个监测点13个月的污染物排放量求内梅罗均值，得到最后数据如表8-2所示.
其中I为内梅罗均值；Imax为各年污染物的最大排放量；
为各年污染物的加和均值.与一般算术平均值相比，内梅罗均值不仅考虑了加和平均，而且突出了高值的影响，可以说，这种处理方法充分利用了数据，并有效顾及了数据的整体和波动两个方面，得出的结论更加客观、更加可靠.
表8-2 各地污染物排放情况
为了更加直观地得出结论，从表8-2可以看出，重庆朱沱 、湖北宜昌南津关、湖南岳阳城陵矶高锰酸盐排放比较大，湖北宜昌南津关、湖南岳阳城陵矶、江西九江河西水厂氨氮的排放比较大.尤其是湖南和湖北，对两种主要污染物的排放量都比较大，国家应当集中力量治理这些污染大户.
例8-4 城市表层土壤重金属污染分析——CUMCM2011
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出.对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点.
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区，…，5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同.
现对某城市城区土壤地质环境进行调查.为此，将所考查的城区划分为间距1千米左右的网格子区域，按照每平方千米1个采样点对表层土（0～10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置.应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据.另一方面，按照2千米的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值.附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息（略），附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度（略），附件3列出了8种主要重金属元素的背景值（略）.
现要求你们通过数学建模来完成以下任务：分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置.分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？
【附录1】 附件可以通过官方网站下载http：//mcm.edu.cn.
【解题思路】
本题主要从两个方面分析重金属污染物的传播特征：从高海拔向低海拔扩散，从高浓度向低浓度扩散.
重金属在海拔方向的传播多是由于雨水、地表水的冲刷，以及重力作用导致土壤表层的重金属发生了迁移，结合地形图，不难发现海拔高的区域重金属的浓度相对较低，随着海拔的减小重金属的浓度有逐渐递增的趋势.故相对而言，海拔低的区域中各取样点的重金属浓度普遍较高，因此认为重金属在传播过程中存在从高海拔向低海拔扩散的传播特征.
菲克（A.Fick）于1855年参考导热方程，通过实验确立了扩散物质量与其浓度梯度之间的宏观规律，即单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的物质量（扩散通量）与该物质在该面积处的浓度梯度成正比，其表达式为：
其中，J为扩散通量，表示扩散物质通过单位截面的流量物质量；x为扩散距离；C为扩散组元的体积浓度，单位为物质量；
为沿x方向的浓度梯度；D为原子的扩散系数.负号表示扩散由高浓度向低浓度方向进行.
稳态扩散的情况很少见，有些扩散虽然不是稳态扩散，只要原子浓度随时间的变化很缓慢，就可以按稳态扩散处理.但是，实际中的绝大部分扩散属于非稳态扩散，这时系统中的浓度不仅与扩散距离有关，也与扩散时间有关，即
.对于这种非稳态扩散可以通过扩散第一定律和物质平衡原理两个方面加以解决.图8-3为扩散系统示意.
图8-3 扩散系统
扩散物质沿x方向通过横截面积为A（=ΔyΔz）、长度为Δx的微元体，假设流入微元体（x处）和流出微元体（x+Δx处）的扩散通量分别为Jx和Jx+Δx，则在Δt时间内微元体中累积的扩散物质量为：
扩散系数一般是浓度的函数，当它随浓度变化不大或者浓度很低时，可以视为常数，故上式可简化为：
对于三维扩散，根据具体问题可以采用不同的坐标系.在直角坐标系下的扩散第二定律可拓展得到：
当扩散系统为各向同性时，如立方晶系，有Dx=Dy=Dz=D，若扩散系数与浓度无关，则上式转变为：
与扩散第一定律不同，扩散第二定律中的浓度可以采用任何浓度单位.
方程可运用差分的方法进行数值求解.将求得的点结合对各重金属所作因子分析得到的相关系数，综合判定得到污染源结果如表8-3所示.
表8-3 各地污染源坐标
例8-5 酒后血液酒精测量问题——CUMCM2004
针对这种严重的交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20 mg/dmL，小于80 mg/dmL为饮酒驾车（原标准是小于100 mg/dmL），血液中的酒精含量大于或等于80 mg/dmL为醉酒驾车（原标准是大于或等于100 mg/dmL）.
大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他等到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？将参考下面给出的数据，建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，对大李碰到的情况做出解释：在3瓶啤酒或半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，分别对以下情况进行分析：酒在很短时间内喝的；酒在较长一段时间（比如2 h）内喝的.
怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高.根据模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？
已知：人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的.体重约70 kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中的酒精含量（mg/dmL），数据如表8-4所示.
表8-4 酒精含量测试表
【解题思路】
考虑饮酒后酒精在人体内的变化情况，酒精被饮入体内首先进入胃中，再随着血液循环进入体液，然后再由体液分解排出体外.所以可以对问题进行如下简化：在酒精吸收和分解的过程中，考虑酒精在进入胃的过程中没有损失，而胃内的酒精只是在向体液中渗透，并不考虑体液中的酒精反向渗透回胃内.因为酒精在体液中的浓度和酒精在血液中的浓度大体上是一样的，所以不把血液和体液分开考虑，而把它们看成是一个整体.所以建立模型时就把胃看成一个空间，把血液和体液整体看成另一个空间，而这两个空间的关系是酒精从胃渗透向体液，而体液中的酒精只是通过分解排出.
首次饮酒后经过了6个小时后再次饮酒，这个时候血液中的酒精浓度计算应该是，首次饮酒在血液中的残留继续分解，而第2次饮酒还要经过一个吸收和分解的过程，所以再过8 h测出的血液中的酒精浓度和首次饮酒也有关系.在短时间喝一定量的酒，经过模型可直接求解出各个时刻的血液酒精浓度，而对于长时间饮酒，可以认为酒是匀速饮入，对时间进行分割，然后在每个小时间段内看成是快速饮入定量的酒.在每个小时间段内用模型模拟.无论是短时间饮酒，还是长时间饮酒，都可以根据模型很容易求出血液中酒精的含量在何时最大.
这个问题的本身尚有一些不确定的因素，比如说身体素质就会影响人对酒精的吸收与分解.为了使问题简化，假设酒精从胃部向体液的转移速率，及向外排除的速率分别与胃部和体液中的酒精浓度成正比.基于上述对问题的讨论，对于短时间内饮入酒的情况可以建立下述模型.图8-4为房室模型示意.
图8-4 房室模型示意图
用吸收室代表胃，用中心室代表体液.首先对吸收室建立微分方程，考虑到酒在短时间内进入吸收室，可得如下微分方程组：
对中心室创建微分方程，可得如下表达式：
接下来，通过题中所给实验数据来拟合求出两个系数：k01，k.每瓶啤酒的体积为640 mL，啤酒的酒精度约为4%，酒精的密度为800 mg/mL，所以可以计算得到每瓶啤酒中含有酒精为20480 mg.体液约占体重的65%～70%，体液的密度约为1.05×105 mg/dmL.可以计算70 kg的人的体液约为467 dmL.所以对于题中实验数据，可以确定D0（代表饮入的酒精量，单位为mg）等于40960 mg，v1（人体的体液的体积，单位为dmL）467 dmL.体液中酒精浓度和血液中酒精浓度相同.
图8-5 浓度拟合图
用函数
拟合题中实验数据得：k01=2.6853，k=0.1474.拟合的方法已经在第2章中有所介绍，相信各位已经掌握.所以得到拟合函数：c1（t）=-92.8029（e-2.6853t-e-0.1474t），得到的拟合图像如图8-5所示，其中y轴表示酒精血液浓度，x表示时间.
快速饮酒1瓶时酒精浓度的函数c1（t）=-46.4014（e-2.6853t-e-0.1474t），如图8-6所示；
快速喝3瓶啤酒后的酒精浓度变化函数：c1（t）=-139.2042（e-2.6853t-e-0.1474t），如图8-7所示.
图8-6 饮1瓶酒后血液酒精浓度变化曲线
图8-7 饮3瓶酒后血液酒精浓度变化曲线
经过计算，在饮酒13.1629 h内血液中酒精浓度大于20 mg/dmL，违反标准.在饮酒3.7574 h内血液中酒精浓度大于80 mg/dmL，属于醉酒驾车.
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