数学教学论基本原理和规律

时间：2022-08-26 百科知识版权反馈

【摘要】：教学原理、规律制约着教学原则，教学原则又决定了教学方法和形式。[1]周学海在其著作《数学教育学概论》中对此问题进行了详细的论述，他认为数学教学论的基本原理是动态适应原理、整体优化原理、有序原理和反馈原理。[2]所谓动态适应原理是指数学教学系统必须通过系统的元素与元素、元素与系统、系统与环境的动态、适应和转化来维持教学系统的动态平衡，以实现系统的功能。动态适应原理是数学教育中一条有着普遍适用价值的基本原理。

教学原理、规律是教学的根本出发点，是制约教学原则、方法的根本依据。教学原理、规律在教学过程中所发挥的作用，远远大于教学原则、方法的作用。教学原理、规律制约着教学原则，教学原则又决定了教学方法和形式。而教学方法和形式的确立是依据了教学原则并保证以尽可能好的方法、形式来贯彻教学原则。[1]

一、数学教学论基本原理

周学海在其著作《数学教育学概论》中对此问题进行了详细的论述，他认为数学教学论的基本原理是动态适应原理、整体优化原理、有序原理和反馈原理。[2]

（一）动态适应原理

所谓动态适应原理是指数学教学系统必须通过系统的元素与元素、元素与系统、系统与环境的动态、适应和转化来维持教学系统的动态平衡，以实现系统的功能。动态适应原理是数学教育中一条有着普遍适用价值的基本原理。

教学系统是按一定的教育目标，由一定的要素构成一定的组织形式，实现一定的教学功能的整体。教学系统的功能是指教学系统所具有的功效、作用和能力。数学教学不仅是一个复杂的系统，而且是一个目的、行为、功能，有秩序、有组织、有结构和具有生长性、适应性，拥有资源冗余性的“人——人”的双向系统。数学教学系统作为一个人造系统，是人们用一定的资源按照一定的结构，使其按照某种目的发挥某种功能的特定系统。但是随着科学技术和教育科学的发展，或者随着人们对其性质、功能、认识的深入，这个系统还可以实现别的目的，发挥别的功能。如数学学科开始作为哲学的一个部分，是以心智训练的良好工具而在学校教育中确立其地位的。后来随着数学应用的日益广泛深入，人们又进一步发现它还是一个有着广泛应用的学科。因此，数学不仅是培养发展学生智力的一门有效学科，而且是应用广泛的学科，其系统内的潜在资源是无穷无尽的。

所谓动态是指系统随着时间在变化，它不是静止不变的。显然，数学教学系统是动态变化的。学生的知识、能力、情意时时刻刻都在变化。但是，动态变化可以朝好的方向变化，这是良性循环；也可以朝着坏的方向变化，造成恶性循环。数学教学系统是一个由教师、学生、教材、方法、手段、环境等构成的复杂系统。在这个系统中，元素与元素（如教师与学生，教师与教材等），元素与系统（如教师与教学，学生与教学，教材与教学等），系统与环境（如教学与社会等）都存在着物质、能量、信息的流动。教学系统的平衡和稳定是一种动态的平衡和稳定。一个动态系统如果不能维持其动态平衡则无法发挥其应有的功能。因此，数学教学工作应当尽量使系统动态朝着更加适应自然、适应社会、适应思维的方向发展。

所谓适应是指教育、教学必须适应自然的客观规律，适应社会发展的需要，适应人类思维的发展状况。例如，“教”必须与“学”相互适应，“教什么，如何教，教得怎样”与“学什么，如何学，学得怎样”相互适应，这就要求教师、学生、教材、手段、环境等要相互适应。

所谓转化是指教师要把数学知识、数学思维和数学能力转化给学生；学生又能把知识、思维和能力转化出来，变成现实力量。广义一点来说，教育、教学应当转化为促进自然的进化、社会的文明、人类思维的发展。

教育、教学系统的功能是传递文明（其中包括数学文化），这包括传授知识，形成技能，训练思维，发展能力，培养德行。人类的知识、技能、思维，例如数学知识，即使是最新数学知识，也能转化给一定数量同时代的人。并且自从有了数学文字符号以后，更能转化给未来的世世代代，而不问他们的亲族关系如何。社会和数学文化的成果，赋予了人类对各种不同环境的非常卓越的适应性，这种适应性是通过教育、教学来实现的。从人类的教育来看，动态与平衡，适应于转化应当是基本原理。

从教的方面说，必须是以“适应”求“转化”。从学的方面说，必须是以“转化”求“适应”，这是教学中一条很普遍的规律。一般来说，学生为了适应学习新知识的需要，都必须通过转化原有的知识结构来适应新的需要，也就是要改变旧的图式通过调节转化为新的图式。但是如果新旧知识有质的差异，如学生学了正数加法再学负数加法，学了指数再学对数，学了微分再学积分，这时转化就需要通过由内向外的顺应作用，即需要调整原有的认知结构，再将新知识纳入整理后的结构的体系之中，从而使学生的认识得到平衡。

教育不能超脱社会需要而必须适应社会的需要。教育必须适应教育对象的年龄、生理、心理、知识水平和思维、智力状况，其中特别重要的是适应学生的思维。对不同思维发展阶段的学生，应该采取适应该阶段学生思维发展的教学内容和方法，那种脱离学生思维发展阶段硬拔高的做法，是违背教育规律的。

动态平衡是侧重于维持系统内的平衡以保证系统的运动，而实现系统的功能；适应则是侧重于维持系统与环境的平衡，保证实现系统的功能，但无论哪种平衡，如果没有转化，都是难以实现功能的。

平衡是手段，功能才是目的。动态与平衡，适应与转化，都是不以人们意志为转移的客观规律。

（二）整体优化原理

所谓整体优化原理是指数学教学系统在某一时点（或时段）上的整体功能要大于系统内各部分功能之和。

数学教学系统的功能是由其要素的功能所决定的，教育者有教育者功能，受教育者有受教育者的功能。如果教师不发挥教的功能，学生不起学的作用，那就很难谈得上数学教学系统的功能。

数学教学系统的功能决定于教学系统的结构，如决定于教育者的结构状态，受教育者的结构状态，教学内容的结构状态，手段和环境的结构状态等。所谓结构是指系统内部各个要素的组织形式。系统的一定的结构总是能在一定的条件下发挥其一定功能的。在系统论中，把结构与功能上升为一般的哲学范畴，具有普遍的方法论意义。优化是指使系统选择组成一个良好的结构，以发挥其最大的功能。

任何系统的整体功能E整，并不是简单地等于各个孤立部分功能E部之和，而是等于各部分功能总和加上各部分相互联系、相互结合而产生的结合功能E结，可表示为

在数学教学系统中，整体优化就是要尽可能多地发挥整体功能。这就要求不仅各个要素要充分发挥其要素的单独功能，而且要尽量发挥各要素之间的结合功能。这就要求必须重视数学教学系统的结构。例如，要发挥教学系统的功能，就必须造成合理的认知结构，使其尽量发挥学的功能。还必须造成合理的知识结构，使其尽量发挥教学内容的功能。不仅如此，还必须造成合理的教学结构，使其尽量发挥教的功能。显然，要造成教学系统的合理结构，使系统产生尽可能多的功能，光有合理的认知结构、合理的知识结构和合理的教学结构是不行的，这三种结构还必须相互适应，相互转化，相互联系，相互配合，从而产生良好的结合功能。这样的系统才是优化的。反之，三种结构彼此割裂，毫无联系，尽管某些方面发挥了好的功能，那也不会使整个教学系统优化。

遵从整体优化原理的教学，其公式可表示为：整体——部分——整体。虽然遵从整体是上策，但是只有当从整体入手，分解到各部分，最后又由部分回到整体才是真正的上策。实践证明，遵从整体优化原理的教学，能使成绩优良，时间经济，富有成果。这是因为就其实质而言，全体不仅是部分之和，而且具有超然的连贯性与完整性。

完形心理学的一个基本原理是：“认为靠研究组成部分来解释整体是不可能的。”完形心理学家们一再申述：“整体大于其各部分的总和。”这是与整体优化原理相一致的。整体不是各部分的机械相加，因为还必须考虑到各组成部分之间相互联系、配合，考虑各部分之间的结合，考虑到各部分之间的结合功能。

整体优化原理应当成为教育理论的重要基础，因为它不仅在战术上意义重大，而且在战略上意义也很重大。教师每当讲授某一部分知识时，都应当考虑在整体上把这一部分知识讲清楚了没有，讲这一部分知识注意了最终建立知识的整体结构没有。数学教学应把系统的而不是孤立的知识教给学生。这就是在数学教学中把系统性、循序性等原则上升为普遍原理的理由。

（三）有序原理

所谓有序原理是指数学教学系统必须不断从其环境（系统外部）中吸收负熵（有利信息），抵消系统内部熵（不利信息）的增加，使系统总熵变不增加，保持系统的有序状态。

在数学教学系统中，智力和传播，贮存和应用，其表现形态不是物质、能量，而是信息。从数学观点来看，信息即负熵。熵是无序程度的量度，而信息则是系统有序程度的量度。

耗散结构理论指出：系统的总熵变（ds），等于系统内部熵的增加（）和系统同外界信息交换引起的熵的变化（）的代数和，即

耗散结构理论告诉我们，对于封闭系统来说，总有≥0，因为，这时系统与外界没有信息交换，因而，从而，只能是≥0，即封闭系统不可能走向有序。而对于开放系统来说，虽然≥0，但是，有可能使，且，从而使得系统的总熵不是增加，而是减少，即。这表明，系统只有开放，有信息交换，有信息转化，才能走向有序。这便是有序原理所表述的含义。

前面说过，系统内部各个要素的组织形式叫作结构。系统由较低级的结构转变为较高级的结构，称为有序；系统由较高级的结构转变为较低级的结构，称为无序。学习、记忆的过程是有序；而遗忘、生疏的过程是无序。由不知到知，由知之甚少到知之甚多是走向有序，反之便是走向无序。在自然过程中，系统的无序性趋向于增加，人不学习就是趋于无序。人要抵制这种无序性的增加就得学习。维纳指出：“信息量是一个可以看作概率量的对数的负数，它实质上就是负熵。”所以信息量增加就是负熵增加，也就是熵减少。因此，所谓在自然过程中无序性趋于增加，就是熵趋于增加。所以才说信息量是有序性的量度，熵是无序性的量度。

人体系统、思维系统、教学系统必须是开放系统，否则人就不能进步，思维就不能发展，教学质量就不能提高。

通过交换信息，大脑的神经联系越来越有序，大脑作为一个自然系统，熵自发地趋于增加，即走向无序，对学生来说其表现就是知识的遗忘和越来越无知。所以，一个人如果不学习，不接受教育，他头脑里贮存的信息必然逐渐趋于减少，这就是学习不进则退的科学解释。

学习必须记忆，但更要思考。思考的作用是使大脑的有关部分贮存的信息联系起来，组成更复杂的结构。大脑是一个巨系统，这个巨系统不但必须同外界交换物质、能量、信息才能有序，而且它的若干子系统之间也需要开放，需要交换，才能使之走向有序，思考的作用正是在于此。思考的过程就是大脑内各子系统之间交换信息的过程，就是有序的过程。因此，学习必须和思考结合起来。有序原理要求数学教育必须是一个开放系统，同时要求数学教学中尽可能促进学生思考，使大脑巨系统的各子系统也成为开放系统。否则数学教育就难于有序，难于进步，难于发展，难于创造。一个全面开放的数学教学系统，能帮助学习者在这个系统中纵横移动，并扩大他们可能得到的选择范围。有序原理在数学教学系统中，已成为具有公理性质的一条普遍原理。

（四）反馈原理

所谓反馈原理是指任何数学教学系统只有通过反馈信息，才能实现控制。

数学教育的存在是以控制为保证的。所谓控制是指控制者作用于被控制者，使其改变或保持某种运动状态，以达到数学教育目的的运动过程。控制是数学教育中的一种普遍现象，是促进数学教育得以发展的基本过程。

数学教育作为传递人类数学文化的社会功能系统，有明确的目标，而数学教育目标的实现是以控制为条件的。一切数学教育的成果都是在一定的控制作用下取得的，一切数学教育活动（包括教学活动）也都是在一定的控制作用下进行的。从这个意义上来说，整个数学教育过程就是数学教育系统在控制作用下，改变其运动状态以达到数学教育目标的过程。

数学教学过程由于有教与学之间的信息反馈联系才构成了闭合回路，从而使整个教学过程构成一个完整的系统，这个闭合回路可图示如下：

图2-1 教学过程反馈系统

上图说明：

①在数学教学中，教与学之间由于有了信息反馈联系，才构成由教到学，又由学到教畅通的闭合回路；

②教师正是根据反馈信息，评价信息，才能比较、纠正和调整他发出的信息量，从而实现控制。

如果把学生从教师、教材那里得到的信息作为输入信息，把学生听讲或者看书、思考等信息转换作为输出信息，教师从学生的口头回答或者作业、操作获得反馈信息，教师经过分析思考作出评价信息，从而学生便能及时获得自己的输出信息的反馈，那么，这样的教学就成为有信息交流的开放系统和闭合回路。因此，教师与学生之间，教与学之间相互的及时的信息反馈是非常重要的，否则，便不能形成真正的教学。反馈原理对于我们认识什么是真正的学习，什么是真正的教学很有帮助，因而它应当成为数学教育中的一条基本原理。

在数学教育中，反馈信息可使学生强化正确，修正错误，找出差距，促进努力，可使教师掌握情况，改进教法，找出差距，因材施教。实践证明，反馈在教学上的效果是显著的，尤其是每日反馈较之每周反馈效率更高。这就是为什么学生作业最多隔一天就必须返给学生的道理。

在数学教育中，以上四条原理，彼此是相对独立的，但彼此又是相互联系的，形成一个整体。动态适应，整体优化，有序性和反馈性都是具有公理性质的普遍原理。它们既是数学教育的基本原理，又是重要的手段和目标。

二、数学教学论基本规律

规律是事物之间内在的必然联系。这种联系不断重复出现，在一定条件下经常起作用，并且决定着事物必然向着某种趋向发展。教学有自己的规律，教学与教学规律之间的关系被著名的教育家裴斯泰洛齐（瑞士）形象地比喻为“犹如在岩石上建筑大厦”。他说：“它（教学）很像一座瑰丽的大厦，由不易感到的许多小块累积而成，已经在不朽的巨大基石上耸立起来。但是，如果它和基石的联结稍一破裂，它就会突然倒塌，散成碎片。”[3]

规律是客观存在的，是不以人们的意志转移的，但人们能够通过实践认识它、利用它。教学规律是由人的天资特点决定的，是存在于教学过程中的不以主观意志为转移的本质联系，具有客观性、普遍性、稳定性、必然性的特点，寻觅教学规律要考虑人的本质、天性以及人的后天智力发展和培养。教学规律是制订教学原则、选择和运用教学组织形式和教学方法的科学依据。

张奠宙教授曾撰文指出：“如何指出数学教育区别于其他学科特征，探索数学教育特有的规律性，应是我们的一项基本任务。”[4]探索数学教学规律是研究数学教学理论的重要课题。这些客观存在的教学规律，是制定教学原则，选择和运用教学组织形式与教学方法的科学依据之一。如果我们对制定数学教学原则的依据认识、研究不充分，就必然导致人们在教学实践活动中所制定的数学教学原则具有某种随意性。

（一）知识教养、情意教育、智能发展相统一的规律

知识与技能的掌握，是交织着情感和意志作用的，并作为完整的人的活动进行的；价值观和德行的发展也是离不开知识的掌握的。可以说，人的发展是以人的知、情、意的统一性为基础的。人不仅是思维的存在，同时也是感情的存在。不以价值与情感为基础的知识是僵死的知识；不以价值与情感为基础的智慧，是空虚的、无意义的。为了学生的全面发展，认知学习必须同情意、情感相结合，心智发展必须同情绪发展相结合。因此，知识教养、情意教育和智能发展三者之间既对立又统一，既适应又转化。知识教养是情意教育、智能发展的基础。在知识教养过程中发展学生的情意和智能，而又必须借助于一定的发展程度的情意和智能，才能更好地进行知识教育。但知识教养、智能发展，实际上同情意教育又有着深刻的关系。一方面，没有一定程度的知识教养和一定的智能，就不可能形成学生的科学世界观、数学态度和发展数学鉴赏力；另一方面，如果缺少科学世界观、数学态度、数学鉴赏力，知识教养、智能发展相互之间就缺乏联系。这样，数学知识、技能的掌握本身也会失去统一性。因此，在数学教学中，知识教养、情意教育、智能发展必须统一起来。况且依据整体优化原理，在数学教育系统中，不仅要充分发挥知识教养、情意教育和智能发展各自的单独功能，而且应充分发挥它们之间的结合性，充分体现三者有机结合的超然的连贯性和完整性。这样便要求在数学教育过程中，知识教育、情意教育和智能发展要同步进行。但值得注意的是，学生情意、智能的形成与发展是在其掌握知识的过程中实现的。[5]

（二）间接经验与直接经验，感性认识与理性认识相统一的规律

学生在教师发挥主导作用下掌握知识的过程，从本质上看依然是一个认识过程，它仍要遵循感知、理解、巩固到应用的心理过程，仍要体现“实践——认识——再实践——再认识”的认识运动总的规律，只不过这里表现出学生认识发展的一系列特点而已。[6]

学生掌握知识的过程受人类认识过程的客观规律所制约，必须遵循人类认识的一般规律。“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践。”“从感性认识而能动地发展到理性认识，又从理性认识而能动地指导实践，改造主观世界和客观世界。”这是人类在社会实践中认识客观世界所必须遵循的客观规律。但是，学生认识过程同一般的认识过程有显著差别的。在教学过程中，学生认识客观世界要以接受间接经验为主，而且不一定事事都从感性开始。因为学生在教学过程中认识的发展，主要不是在探索新的真理，而是学习人类已有的认识成果，以掌握间接的书本知识，掌握间接的经验为主。在具备一定的社会物质和科学技术的条件下，加上有教师的指导，学生通过书本知识的学习，可以不受个体时间和空间的限制，大大缩短对客观世界的认识过程。这是学生得以高效率掌握知识的关键所在。因此，教师在数学教学中，必须根据教学的特点，针对教学内容，适当地分配感性教学活动与理性教学活动。

（三）教师主导作用与学生主体地位相统一的规律

教学过程是教师的教和学生的学的双边活动过程。在这个过程中，教师是教学内容的已知者、教学活动的组织者、教学计划的执行者，所以教师起主导作用；学习活动要靠学生的能动性来保证，学习成果要通过学生的提高来体现，学习过程实际上是学生认识发展的过程，所以学生是学习的主体。教师在教的同时，学生也在实现着学，所以在教学过程中，教师的主导作用同学生的主体地位是相互促进和互为条件的。

这个规律要求在教学过程中教师和学生的主体地位和作用都要充分发挥。因为教学活动的本质是学生在教师为其创设的学习环境中，经过自身的知、情、意、行等身心活动过程，对各种内外影响加以消化吸收、自我发展的过程。师生两个主体的共同努力才能实现教学目标，取得优良的教学效果。

（四）数学概念的具象性与抽象性相统一的规律[7]

从辩证法的角度看，抽象的对立面是具体；从认识论的角度看，抽象的对立面又是形象。

数学的抽象是从数量关系与空间形式的属性所进行的抽象，是对事物的量与空间形式方面所具有的共性的认识，它排除了事物非量非形的性质，着眼于一类事物的整体。它与一般抽象相比又有自己的特征，即数学抽象的形式化与逻辑化。例如，自然数1是最基本的数学对象概念，它概括了事物数量方面的特征，是对所有“一个东西”的一类事物的数量抽象，舍弃了非量的一切属性。但是它具有“形式化”的特征，就是说它不是内容的，不像“红”的概念具有视觉形象的内容特征。它只存在于人的思维之中，除了“一个人”“一件东西”的“1”之外，人们见不到纯粹的“1”，只能想到“1”。对于形的抽象也是一样，几何图形的概念之间的关系表现为几何命题，几何命题的正确性依赖于逻辑证明。在证明中，形式逻辑起主要作用。就是说，数学概念以及与之相关的数学命题和数学推理都是依逻辑方式进行的。

事实上，任何思维都是抽象思维与形象思维的结合。非数学的一般抽象是这样，数学的形式化、逻辑化的抽象也是这样。比如，“红”这一概念的抽象，是这样一个认识过程：首先由感官对具体的红色东西的刺激有所感知引起知觉，感知了具体的红色东西的存在；其次，头脑里形成了关于红色的表象；再次，被告知这种东西颜色就是红色，这种刺激多了成为记忆。反复多次的、各种不同的形式、物体、质量、重量的红色的东西，其颜色反映形式的表象，逐渐地，形状、特征、质量、重量等非颜色的属性被舍弃，各类在颜色上与非红色相区别的、共同的、本质的属性被关注，抽象形成“红”的概念，由感觉到知觉，再到表象的过程中，“具体”的红色东西总在起作用。在被问到“红”是一种什么样的颜色的时候，人们往往回答说：“像红旗那样的颜色”，或“像烧红了的火炭那样的颜色”，这就是所谓“表象的具象性”。即概念的表象具有具体形象的性质。任何抽象思维本身都带有这种性质。就是说，任何思维都同时有抽象思维和形象思维的参加，是二者的结合。不过概念的形成偏重了抽象思维，具象性的意象形成则偏重于形象思维。

数学概念的抽象也是对数学对象的形象思维同时进行的。比如自然数“1”的抽象，也是“一个人”“一支笔”等具象性的抽象。“1”这个概念既是对数量“1”的抽象，也是各种具有数量“1”的具体形象的意象，是意象的形象思维。不过，数学抽象中的意象，“意”有更高的抽象程度。比如“1”，它是运用了“对等”抽象：凡是与一个苹果一一对应的对象，不论是一个人还是一支笔，它们都是“1”。

数学抽象的形式化离不开内容，逻辑化离不开事实，是抽象思维与具体内容、具体事实相结合的思维形式。离开了具体内容、具体事实的思维，抽象形式的、抽象逻辑的思维也就不存在了。因此，在数学概念教学过程中，根据教育层次及其教育目标的不同，对数学概念的抽象程度，形式化与逻辑化程度要有高有低，要遵循数学概念的具象性与抽象相统一的规律，以实现数学概念教学的最优化。

（五）数学科学的逻辑性与认识规律的一致性[8]

这个规律揭示教学活动的再现性思维与创造性思维的结合点，就在于数学作为科学所表现的逻辑性与人的认识规律之间的一致性。

逻辑性是数学科学的特征，是对数学认识的条理化，是人类智慧的结晶。数学理论体系是依照逻辑演绎建立起来的，而人的认识规律规定了个体的人对数学对象的认识必须从感性到理性，实践到理论，具体到抽象。因此，在组织实施数学教学时，既要考虑到数学的逻辑性，又要考虑到人的认识规律的阶段性、有序性和不平衡性，做到它们的有机统一。这一规律可以进一步论域，使其具体化。主要表现在以下三方面。

1.逻辑的严谨性与认识的能动性的统一

这一规律说的是学生认识阶段制约数学教学内容和方法，反过来，数学教学又促进学生的认识能力的提高。数学教学应研究如何对不同发展阶段的学生提出既不超出其数学认知结构的同化能力，又能促使他们向更高阶段发展的富有启迪作用的适当内容。具体地讲，严谨性是数学学科的基本特点。但是作为教学科目，数学课程必须考虑到学生身心发展的特点，不能一味追求理论的严谨。在教学中，数学理论严谨性的要求要随着学生心理水平的提高逐步加强。从发展的角度看，恰当的严谨性要求，通过充分调动学生认识的能动性，促进学生认知水平的发展。大量研究表明，通过“适当的教育训练加快各个认知发展阶段转化的速度是可能的。只要教学内容和方法得当，系统的学校教学肯定可以起到加速认知发展的作用”[9]。

2.数量与质量的统一

这一规律揭示的是数学的认知广度与深度的统一。

恩格斯在《自然辩证法》中指出：“数学是从数量这个概念出发的。”恩格斯看来，数量与质量是对立统一的，他在《自然辩证法》中阐明“数是我们所知道的最纯粹的量的规定，但是它充满了质的差异”。并以初等数学的内容为例，论述了数学的数量与质量的辩证关系。

在数学教学中遵循这一规律，既能培养学生深入理解、掌握数学的概念、思想、方法，又有利于学生形成辩证唯物主义的世界观。例如，数系的扩张对运算来讲，就各有不同的质，是量变与质变的统一。几何学中的角，有锐角、直角、钝角、平角、周角及任意角之分，这种质的不同源于量（角的度数）的变化。两个圆的位置，由于圆心距大小不等，就产生了外离、外切、相交、相切、内含、同心等不同关系。这些也都是从量变到质变的例证。

总之，在数学内容中，数量与质量的相互作用、相互统一随处可见，数学教学遵循这一规律，不仅有利于教育教学效果，而且有利于形成学生科学的数学观。

3.形与数的统一

我国著名数学家华罗庚教授曾经指出数形结合无限时，割裂分家万事休。法国数学家拉格朗日（Lagrange）认为，只要代数和几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄；但当两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜活力，就可以快速的步伐走向完善。就是说，形与数常常是结合在一起的，内容上相互渗透，方法上相互联系，在一定条件下相互转化。从心理学的角度看，数与形的结合，就是直观与抽象的结合，感知与思维的结合。从数学教学的角度看，数与形的结合，可以加深学生对数学知识的理解，使学生牢固地掌握数学理论。当然，二者的结合要符合它们内在的联系，反映出它们间的内在规律性，不影响形与数各自的系统和体系。

（六）言语接受与言语内化的统一[10]

这一规律揭示的是言语接受与言语内化之间的关系。这里所说的言语接受学习是指有意义的言语接受学习。

言语是个体在运用和掌握语言的过程中所用的语言，是一种心理现象。简单地讲，言语就是说话，是用语言说话。数学学科的言语接受学习是以数学语言符号代表的新观念与学生已有的数学认知结构中的有关观念建立实质性和非人为性的联系。所谓实质性的联系，指用不同语言或其他符号表达的同一认知内容间的联系，例如，“”“求以a为底b的对数”“求a的多少次方等于b”“”，这几者表示的是同一意思，其联系就是实质性联系。若把看作是a与（这里的a是对数的底）抵消就等于b，那就是表面上的而不是实质性联系。所谓非人为的联系是指数学语言符号所代表的新知识与原有有关知识的联系。例如，要使对数概念的学习成为有意义的学习，就必须把对数概念与原有的指数概念、开方概念、实指数幂的性质等内容建立联系。