数学教学论原则

一、教学原则的内涵

原则是说话或行事所依据的法则或标准。教学原则是根据一定的教学目的和对教学过程规律的认识，在总结教师先进教学经验的基础之上，结合学生的特点而制定的指导具体的教学工作的基本准则。教学原则反映了人们对教学活动的本质和内在规律的认识，它是依据教学规律和学生的年龄特征而制定的，它指导教学的各个方面及其全部过程，处理教学过程中的各种基本矛盾关系，对制订教学计划、课程标准（或教学大纲），选择和使用教材，确定教学方法和运用教学组织形式等都有指导意义。

教学原则符合教学过程的规律，包括符合学生认识活动的规律和身心发展规律的客观内容。但是，教学原则的整个体系、理论基础、实际运用，又总是受着一定的世界观、价值观、教育目的任务的规定。前者，是教学原则的客观基础，是教学原则继承性的具体内容；后者，是教学原则制定的思想指导，是教学原则价值导向影响的表现方面。两者既不能混同和代替，又不能隔离和分家。[1]

教学原则具有层次性、科学性、全面性、完整性、客观性和实践性等特点。科学的教学原则是以教学实践为唯一来源，以马列主义、毛泽东思想为理论指导，以教育学、心理学、神经生理学、教育工艺学等为科学基础，以社会主义教育的目的和任务为指针，以教学过程的客观规律为依据制订出来的。它的正确和灵活运用，是提高教学质量的重要保证。教师只有正确理解、掌握和遵循教学原则，教学才能取得好的效果，教学质量才能不断提高。[2]

二、数学教学原则的界定

数学教学作为一门特殊的教育科学，不仅有它自身独特的特点，而且具有特殊的规律，它的教学原则只能是根据数学教学目的（首先根据教育目的），反映数学教学规律而制定指导数学教学工作的基本要求。根据教学原则实施数学教学，是提高数学教学质量的保证，是教师在教学中必须遵守的基本准则。[3]

数学教学的实践活动面广、时间长，应该说，对一些规律性的认识是深刻的。然而，由于过去比较关注数学教育的具体实践，关于数学教学原则的提法一直处于一种“磨合”阶段，目前还没有统一的说法，主要争议的焦点有：①哪些内容应该属于数学教学原则？②如何体现数学教学的学科特点？③其是动态变化中还是对数学教学的本质规律的认识？相关学者对此一直处于探索中，无法提出一致的看法。

曹才翰和蔡金法在《数学教育学概论》（1989）中对教学原则及数学教学原则有如下认识：数学教学是一门实践性很强的科学，这一特点决定了数学教学原则来自于数学教学实践，是实践经验提炼而成的，是数学教学实践的理论抽象，反过来又指导数学教学实践。教学原则是根据教育、教学目的，为反映教学规律而制定的指导教学工作的基本要求。它是教学要取得成效而必须遵守的各项基本准则；它也是教师在教学过程中实施教学最优化所必须遵循的基本要求和指导原理。

其他一些学者有相似的看法。所谓数学教学原则，就是教师在数学教学活动中为成功地实现数学教学任务而遵循的一定的原理[4]。数学教学原则是数学教学取得成效必须遵守的基本准则。它来自数学教学实践，反过来又指导教学实践，成为教师在教学过程中实施最优化教学的指导原理[5]。数学教学原则是数学教学工作所必须遵循的基本要求和指导原理，它是在基本的教学论原则指导下，以数学的教学目的、数学的特性、学生的数学认知能力发展的基本特点等为依据而确定的[6]。数学教学原则是指依据教学原理和规律必须遵循的基本要求。教学原则是人们对教学规律性的一种能动的反映[7]。数学教学原则是在一般教学原则之下根据数学教育、教学目的，反映数学教学规律而制定的指导数学教学工作的基本要求[8]。原则即行为的准则，数学教学原则即数学教学工作的准则。数学教学原则对数学教学具有指导性意义[9]。所谓数学教学原则，就是在数学教与学的活动中，成功地实现教学目的、完成教学任务而应遵循的基本准则与规范[10]。

显然，对于数学教学原则的一般概念，数学教育界的看法基本上是一致的，但对于数学教学原则的界定，要注意以下三点。

首先，数学教学原则要体现数学学科的特点。虽然数学教学原则应遵循一般教学原则，但若等同于一般教学原则，那就不需要提数学教学原则了。学科教学原则应该体现学科的特征，但学科特征与一般教学规律在具体教学过程中相互融入，让人很难区分其中的“边界”，给进一步“提炼”带来了一定的难度，这也说明学科教育工作者力图把相关的教学原理进一步应用到本学科，并在如何体现学科特色方面提出更高要求。数学教育理论及实践发展至今，人们也很希望形成一套具有数学学科特色的“数学教学原则”。可以这样认为，数学教育在理论研究及具体实践操作方面的学科特色越突出，意味着这个学科越成熟。[11]

其次，数学教学原则应该是动态发展的，任何静止化的观点都是不妥的。“数学教学原则”是一个动态发展的概念，发展性应该是“数学教学原则”的“生命特征”。对教学原则的认识属于带个人主观色彩的范畴，而人们的认识是随着理论和实践研究的深入而逐步加深和拓广的，因此，根据我们对数学教学原则的“定义”认识，数学教学原则显然是在动态发展的。此外，数学、心理学、教育学以及与数学教学相关的学科的发展和数学教学手段的变化也导致了人们对数学教学规律的本质认识的发展性。还需要指出的是，提出教学原则的学者往往与具体的教学实践有着一定的距离。尽管他们能将数学教学规律抽象化，然而，很多一线教师的经验还是有待进一步提炼的，这也决定了数学教学原则的“发展性”。

最后，数学教学原则的指导性与其抽象性是密切相关的，要密切关注其指导性与抽象性的关系。数学教学原则是人们对数学教学规律的本质认识，既然属于“本质认识”，肯定有一个“深入的过程”。这种“深入的过程”往往是一种逐级抽象的过程。很多学者在逐级抽象的过程中发现数学教学原则的一些提法与其他学科相通。下文所列的很多数学教学原则都是一般学科的教学原则就是这个道理。那么，要不要提数学教学原则？回答是肯定的，因为提它的根本目的是为后人提供一个更加切合数学学科教学规律的原则，尤其是职前数学教师。职前数学教师需要在掌握一般教学原则的同时，也要对将这些教学原则与数学学科相结合而形成的数学教学原则引起足够的重视，因为后者或许更加实用。[12]

三、数学教学论的原则

（一）理论联系实际原则

理论联系实际的原则是指教师在传授数学理论知识时，要密切联系客观实际，引导学生把读书与实践，思想与行动统一起来，处理好间接经验与直接经验、感性认识与理性认识、学与用、知与行的关系，培养学生解决问题的能力，使学生获得比较全面的知识。学生在知识的运用中，不但可以进一步激发学习热情，更好地掌握所学的知识，还可以发挥他们的创造才能，逐步提高分析解决实际问题的能力。

理论联系实际原则，既反映了教育目的对人才培养的要求，也反映了教学过程中学生认识活动的客观规律。我们培养的人才，不仅要求他们能掌握一定的理论知识，而且还要求他们能将所学理论应用于实际。学生的学习主要是书本知识，也就是间接经验，而学生掌握知识又必须从具体事物和现象开始，否则就难以形成正确的概念，难以在讲授了理论知识之后再去运用，这是由学生认识活动的客观规律决定的。所以只有既重视基础知识的教学，又注意联系实际，才符合学生掌握知识的认识活动规律。这个原则的贯彻，正确地解决了理论与实际、间接知识与直接知识、感性认识与理性认识之间的关系，对提高教学质量具有重大意义。

运用理论联系实际原则，首先，要重视书本知识的教学，并联系实际进行讲授。可以联系学生的生活经验，已有的知识、能力、兴趣、爱好和思想品德的实际，联系科学知识在社会生产生活运用的实际，以及当代最新科学成就的实际等。其次，加强基本技能的训练，培养运用知识于实践的能力。必须根据数学学科的特点，采取多种多样的形式，引导学生积极参加。再次，要根据教学计划和教学大纲的规定，要从实际出发，适当地组织学生参加社会实践。这样可以丰富学生的感性知识与经验，加深对书本知识的理解，同时还可以培养学生运用知识分析问题、解决问题的能力。最后，要考虑学校性质、学科特点和学生的年龄。理论联系实际不能为联系而联系，要本着巩固理论知识、提高运用知识的能力、提高教学实效性的原则，不能流于形式。因此，要根据学校性质、学科特点和学生的年龄选择实践方式与活动内容。

（二）因材施教原则

因材施教原则是指教师在数学教学中要从实际出发，根据不同对象的具体情况，采取不同的方法，进行不同的教育，既要面向全体学生，提出统一要求；又要根据不同班级和学生的个体差异区别对待，把集体教学和个别指导结合起来，使每个学生的才能和特长都能得到充分发展。

因材施教原则，是学生身心发展的客观规律在教学上的反映。一定年龄阶段的学生，他们的身心发展特点有一定的稳定性和普遍性，又具有一定程度的可变性和特殊性。这既受共同的生理和心理特点所决定，又取决于各个学生的生理条件、周围环境和所受教育的具体情况不同而形成各自的个性特点和差异。教学中，只有针对这些特点因材施教，才能更充分地调动学生学习的自觉性和积极性。

因材施教的基础就是对学生的“材”有所了解。教师在教学中既要了解全班学生的一般发展水平，又要了解每个学生的个别差异，掌握他们的兴趣、爱好、能力、性格、知识水平、学习方法、学习态度等个人特点，对每个学生的发展情况要用发展的观点来对待，应当看到学生并不是一成不变的。

（三）科学性和思想性统一原则

科学性和思想性统一原则是指数学教学既要有科学性，即科学合理并准确无误地教给学生反映客观世界的知识及相应的方法，又要有思想性，亦即体现社会主义政治方向、道德精神和辩证唯物主义世界观。教学的科学性和思想性是相互关联的，科学性是思想性的前提和基础，没有科学性，思想性就无从谈起。思想性又是科学性的灵魂，没有思想性就会影响科学性。因为只有正确的观点、方法，才能揭示事物的本质与规律，建立科学的知识体系，形成学生的正确的概念。

运用科学性和思想性统一原则，一方面，要确保教学具有高度的科学性。科学性是教学的根本要求，教学中传授给学生的知识应该保证正确和准确，对教材中一些落后的、过时的知识应当给予修正，及时补充科学领域中的新成就、新发明、新知识。在教学中，教师传授的知识和运用的方法、方式也应当是科学的。另一方面，要根据教材特点，发掘教材内容的思想性。数学本身虽无政治性，但它所揭示的客观规律渗透唯物思想和辩证因素，是培养学生辩证唯物主义思想的重要基础。在教学中，结合教材特点，从教材内在的思想性出发，有机地结合实际，并针对学生的思想状况，有的放矢地向学生进行思想教育，就能有力地感染学生，收到潜移默化的效果。

（四）启发性原则

启发性原则是指教师在数学教学活动中要承认学生的主体地位，充分调动学生主体的主动性，引导他们独立思考、积极探索，生动活泼地学习，自觉地掌握知识和提高分析问题和解决问题的能力。启发性原则符合教师的主导作用和学生的主动性相统一的规律，教学中只有把教师的主导作用和学生的主动性结合起来，才能顺利而有效地推进教学。

启发性原则的提出是符合学生认识规律的。人的认识是能动地反映客观世界的过程，而不是被动地、消极地反映。在认识过程的各个阶段都需要积极地进行思维，否则既不能正确地感知和理解，也不能巩固和运用，学生的学习活动如果没有教师的引导，学生的认识就不可能顺利地向前发展。

启发性原则，要求教师充分调动学生学习的积极性与主动性，引导他们生动活泼地学习，经过独立思考，融会贯通地掌握知识，引导学生进行创造性的学习，教会学生学习的方法，提高其分析问题和解决问题的能力。

（五）严谨与量力相结合的原则[13]

严谨性是数学的又一基本特点。数学教学内容的严谨程度是具有相对性的，或曰严谨性是有层次的。弗赖登塔尔认为，每一个题材存在着适合它的严谨性层次，学生应该通过这些层次而获得他们的严谨性。“严谨性的任务是使人信服”，一个6岁的儿童用手指或用计算器算出8+5，这也许不是数学，但在那个层次，这是一个严格的证明。如果学生发现，用圆的半径沿圆周量6次正好可以形成一个正六边形，并且指出等边三角形的每一个内角是60°，以此来解释这一经验，那么这是严谨的。可对于数学家而言，以此作为论据当然会令人吃惊。

考虑到学生的认知发展规律以及多数学生学习数学的用途，数学教学内容体系与数学科学体系可以有所不同，例如，数学教学中数系的发展经历了自然数→算术数→有理数→实数→复数这样一个过程，它与科学数系的扩充过程（自然数→整数→有理数→实数→复数）是有区别的。有些数学教学内容处理的严谨性要求不甚高，如目前我国中学数学中平面几何的公理系统就不完全具备数学科学公理体系所必须具备的独立性、无矛盾性和完备性三个条件，只满足无矛盾性。有些数学概念也是逐步深化的，比如函数概念。当然，数学教学内容必须正确无误，数学论证要合理、有根据。

教师在数学教学中要恰当地把握所教数学内容的严谨性，必须使学生对所讲的内容有一个正确的理解。对数学理论的抽象程度、有些问题表述的严谨程度，应该是学生经过努力可以达到的，其要求是随着学生年龄和认知水平的增长而逐步提高的。特别是教师在教学中对数学语言的运用要有一个逐步准确化的过程，以使学生能够接受。学生在学习数学的过程中，也要高标准严要求，不断努力提高自己运用数学语言的能力和抽象思维的水平。

（六）抽象与具体相结合的原则[14]

随着数学的发展，数学的研究对象抛开具体事物对象所具有的特殊属性，而抽象概括出其本质属性进行研究。例如，研究正方体时，我们不考虑具体的正方体是什么材料构成的以及这种材料的软硬和颜色等特性，只抽象出它的6个面8个顶点12条棱以及它们之间的相互关系，并对其棱长、表面积、体积等的数量进行研究。高度的抽象性是数学科学的特点之一，发展学生的抽象思维能力是数学教学的主要目的之一。从具体到抽象，这是认识的基本规律。也是数学教学必须遵循的规律。

抽象的数学内容的形成过程，往往是以大量的具体内容作为基础的，数学概念、数学思想、数学方法都是如此。微积分的形式抽象，但其形成过程却与研究曲边形面积、旋转体体积、水的流量、物体的加速运动等具体内容密切相关。数学抽象还具有逐级抽象的特点，或称其为抽象的相对性。像源于自然又归于自然的事物一样，数学抽象的目的是为了解决实际的或更为具体的问题。

抽象与具体相结合这一教学原则中的具体，主要有三方面的含义：一是实际事例，要充分发挥学生易于理解的实际事例对抽象数学内容教学的作用。二是直观化，在数学教学中遵循从生动直观的具体到抽象，再从抽象到思维中的具体这一认识规律，变抽象难懂为直观易学。例如，引入新概念之前，要注意从直观入手。可以通过学生观察、教师讲述（语言也具有直观性，教师在说明、解释某些现象或问题时，要充分发挥语言的直观性）、阅读教材引起学生的记忆和想象，从而形成关于某一认识对象的直观形象，为抽象某个新概念做好准备。教具、模型、投影片、幻灯、电视、电影、计算机软件等都可用于进行直观教学。还可以让学生制作一些简单的教具或模型，通过自己动手制作获得或加深对某些知识的理解。此外，运用数形结合的方法实现直观化，对数学教学具有特别重要的意义。通过具体直观教学，使学生形成感性认识，再经过抽象概括上升为理性认识。三是使学生回忆、联想一些与所学新知识有关的已有知识或经验，这些知识或经验是学生确已理解和掌握的，可作为进一步抽象的基础，因而是相对具体的。

数学教学过程中，教师要把逐渐提高思维的抽象程度与具体直观的教学结合起来，以利于学生对抽象数学内容的理解，不断发展抽象思维能力，目的是达到“思维中的具体”这种具体与抽象辩证统一的境界。

（七）问题驱动原则[15]

“问题驱动”是由数学的特征所确定的。在各门科学中，数学主要以“问题”的方式呈现。所以我们常说：“问题是数学的心脏。”（哈尔莫斯语）数学问题是数学发展的原始驱动力。中国古代数学经典《九章算术》就是一本问题集。1900年希尔伯特的23个问题，曾预言了数学的发展方向，成为20世纪数学家奋斗的目标。费马猜想、庞加莱猜想的解决，更被当作人类智慧的象征。

作为对照，语文教学则更多以阅读为基础，用情意驱动，体会表达思想感情的方式方法，借以抒发自己的内心感受，并达到与别人进行交流的目的；历史教学，则是以历史事实的叙述和评论为线索展开，最终形成正确的历史观。至于物理、化学、生物等学科，虽然也要揭示大自然的奥秘，解答许许多多的问题，但是它们多半从自然现象和实验结果出发，以物质运动的各种形态的研究为依归。以上学科中虽然也有许多问题，但是不能以“问题驱动”为原则进行教学。

正因为数学是由问题驱动的，所以数学教学也必须用问题驱动。在数学教学实践中，问题驱动是十分有效的教学方式。西方在数学教育改革中提出“问题解决”的口号，并非偶然。

从学习的角度看，“数学是做出来的”。数学学习是“解决问题”，课后练习是演练“问题”，数学考试是回答“问题”，研究性学习也是研究“问题”。数学教学既要让学生会解常规问题，也能解决非常规问题，在解决问题的过程中学习数学。可以说，问题是贯穿数学教学活动的一条主线，是学生学习数学的驱动力之一。

（八）数学特色与学科沟通相结合原则[16]

用文化的视野看待数学教育已经纳入很多数学教育工作者的教育及研究，已经得到学术界的认可。尽管有人讽称：“文化是个筐，什么都往里面装。”但是，我们认为，文化的视野看待数学教育确实能够开阔我们的视野。其中要注意的一点是，要与各个学科进行必要的沟通，同时也要保持自己学科的特色。

首先，数学学科在教学方法上要博取各个学科的长处，不要一味地强调逻辑推理。如数学教学过程中所涉及的内容有不少是通过前人经过千辛万苦而得到的结论，或者是一些前人的“灵感产物”，教师教学应该要向语文、历史、音乐等学科学习，采取“先欣赏，后反思”的手段进行教学。

其次，要保留数学学科的特色，让学生觉得学习数学的真正用处。一是在可能的情况下，利用数学课堂引入、数学应用、数学建模以及数学思想方法在其他学科及数学上的应用对学生进行教育，使学生感悟到数学的应用无处不在；二是让学生反思：现实世界如果没有数学一些问题的解决将很困难甚至根本无法解决。尽量让学生体会到数学存在的必要性，激发和维持他们学好数学的动机。

最后，要创设一定的情境，进行数学与其他学科知识的方法在解决具体问题中的优劣比对，不能光举对数学“有利”的例子，还应该举例让学生懂得某些场合下有些问题利用数学难以解决（爱迪生要求助手测出灯泡的体积就是一个很好的例子），以培养学生的思维灵活性。

在上述数学教学原则中，所有原则都是相互联系，相互渗透，缺一不可的。例如，在数学教学的全过程中，首先必须提出根据社会发展需要，坚持综合性地解决教养、教育和发展任务等的教学目的的要求，然后根据这种目的制定出科学的、系统的、可接受的教学内容，并在这一基础上采取合理的多样化的教学形式和方法，创设最优的教学情景，才能充分地激发全体学生的认识兴趣和学习义务感，形成良好的学习动机。这样能有效地调动广大学生的积极性，培养他们的独立学习能力，以达到教学过程本质的教与学的合乎规律的统一，保证教学过程中教养、教育和发展的协调一致，保证教学质量的全面提高，最终使数学教学为实现教学的根本任务——培养全面和谐发展的人服务。

[1] 车文博著，《教学原则原理及其实施策略》，首都师范大学出版社，2010，54。

[2] 车文博著，《教学原则原理及其实施策略》，首都师范大学出版社，2010，54。

[3] 涂荣豹，杨骞，王光明编著，《中国数学教学研究30年》，科学出版社，2011，32。

[4] 汪德营，李铭心主编，《数学教学论》，南海出版公司，1990。

[5] 田万海主编，《数学教育学》，浙江教育出版社，1992。

[6] 王子兴主编，《数学教育学导论》，广西师范大学出版社，1996。

[7] 周学海著，《数学教育学概论》，东北师范大学出版社，1996。

[8] 周春荔，张景斌著，《数学学科教育学》，首都师范大学出版社，2000，272。

[9] 齐建华主编，《现代数学教育》，大象出版社，2001，148。

[10] 罗增儒，李文铭主编，《数学教学论》，陕西师范大学出版社，2006，131。

[11] 方均斌著，《数学课程与教学》，科学出版社，2013，19～20。

[12] 方均斌著，《数学课程与教学》，科学出版社，2013，21。

[13] 周春荔，张景斌著，《数学学科教育学》，首都师范大学出版社，2000，285～286。

[14] 周春荔，张景斌著，《数学学科教育学》，首都师范大学出版社，2000，284～285。

[15] 张奠宙，宋乃庆主编，《数学教育概论》，高等教育出版社，2009，80～81。

[16] 方均斌著，《数学课程与教学》，科学出版社，2013，36～37。