数学课程与教学论的基本特征

数学教育虽然只是整个教育领域中的一个分支，但由于数学教育涉及范围广，参与人员众多，社会影响力大，它的一些改革举措往往备受关注，因此可以说数学教育已经成为了一种社会文化现象，所以对数学教育本身的特点的分析和把握显得非常有必要。综合多数研究者的看法，一般认为数学教育具有综合性、实践性、科学性、教育性和学科性等基本特点。下面对这些基本特点作一个简单的介绍。

一、数学教育具有明显的综合性

从学科结构上看，数学教育学与众多学科相关，是多门学科的交叉学科，因而这些学科的部分理论、思想和方法可以引入数学教育学中来，作为其基本的理论基础。

同时，数学是数学教育的具体内容，数学学习是一个特殊的认识过程，这是由数学本身的特点决定的，因而，数学教育学要研究中学数学课程的结构、教学原则、教学方法、学生学习以至教学全过程，必须立足于数学专业知识和教育理论。因此，数学教育学是一门理论性、综合性的学科。

当然，这种综合性也是有一定层次结构的。第一层次包括信息论、控制论、社会行为学、文学语言、艺术修养、社会伦理等，称之为人文通识修养层面，是最为广泛的基础支撑。第二层次以教育学、心理学为中心内容的现代教育理论以及相关内容，称之为教育通识修养层面，所涉面相对窄一些，专业性强一些。第三层次以数学、哲学、逻辑学为主要内容的学科专业理论，称之为学科通识修养层面，所涉面相对更窄一些，也更为专业化一些。这样的综合层次结构可用三角形的图示如下：

数学教育综合性特点的层次

二、数学教育具有强烈的实践性

教学是一种实践，这就决定了数学教育学是一门实践性很强的理论学科。

首先，数学教育理论是以广泛的教学实践经验为背景，在实践的基础上产生和发展起来的。数学教学实践是数学教育学的根基，离开了教学实践，数学教育学就成了无源之水。因此，数学教育学要制定教学目标、评价体系等，都必须经过实践，在实践的过程中积累经验，再总结和概括出理论体系，所形成的理论又必须经受实践的检验。此外，数学教育学还需要以试验为基础。课程教材的改革、新教学方法的使用，都必须进行试验，经过验证、修订后，再加以推广。“新数运动”由于受潮流的推动，未经实验就推广，缺乏实验依据，结果必遭受挫折。这一历史的教训再次表明了数学教育研究必须立足于实践。

其次，数学教育学又要反过来去指导实践，服务于实践。由于数学教育学是由若干数学教学经验的积累，再经过实践的检验，去伪存真而逐步形成和发展的，因此，这些理论就可以在一定意义下去指导新的数学教学实践。

三、数学教育具有严肃的科学性

科学性是任何一门学科最基本的特点。数学教育理论的内容、方法是随着社会的发展，时代对教育提出的新的要求以及科学技术、教育科学研究的发展而不断充实和改进的。

数学教育的一般规律是客观存在的，然而揭示这些规律的方式又不唯一。就教学论而言，根据教学原理对教学提出的教学原则就有几十种之多，由于人们认识的角度和深度不同，对同一个问题就有可能有多种不同的看法，但目标却是相同的，都是为了以明确的方式去揭示数学教学规律，使教学过程最优化，使数学教育的功能得以充分的发挥。事实上，这也就决定了数学教育必须随着人们认识客观事物的逐步深入而不断发展。

数学教育理论和实践的发展性，还体现在它们受到科技发展水平的制约这一方面。例如，人工智能理论的崛起，直接促进了现代认知心理学的理论研究，从而也就扩展了数学学习心理学的研究领域。计算机的出现并被广泛地用于辅助教学，这就使数学内容的选择、教学方法的改革和教学形式的更新诸方面都必须作相应的重新认识和深入研究。

数学教育研究还要体现科学的态度。严谨、求实、实证的科学理念将是研究数学教育的重要保证。浮夸风气、盲目跟风、空洞说教等陋习被人们所摈弃，在数学教育的研究领域也逐渐失去了它们的市场，这是一个令人欣喜的现象。

四、数学教育具有广泛的教育性

人是教育的对象，这就从根本上决定了数学教育学的教育性。首先是由于人才观的不断更新所带来数学教育学课程在人才培养观念上的变化，例如，原来的计算型人才向应用型人才转变，传统的知识型人才向能力型人才转变，伴随着社会的发展，单纯的研究型人才也需要向创新型人才转变。其次是现代教育的形态变得愈加多样，教育的性态表现得更加开放，这使得数学教育学课程本身应该接纳来自各类专家和各个不同领域的学者的建议和观点，博采众长，同时也要积极开展地区之间、省与省之间和国家之间广泛的合作与交流，来不断地适应社会对数学教育提出的新的要求。所以我们对课程安排、教材编写、教学设计、学习指导等各个教学环节都要作认真的研究，以达到教书育人的最佳效果。

五、数学教育具有突出的学科性

学科性是指这门学科本身的独特性而带来的（产生的）对相应的这门学科的教育的特殊要求。数学教育的学科性主要由如下两方面的变化体现出来：一是数学观与数学教育观逐渐形成，并且越来越受到大家的关注，人们对它们的认识也更为深入；二是人们对数学本身以及它的性质的把握也比以往更加准确和完整。下面对这两点作一个分析。

（一）数学观与数学教育观

对数学教育的研究，让我们不得不关注的两个问题是，数学观和数学教育观。两者分别是对数学和数学教育在高维度上和宽视野中的审视，是对数学和数学教育在宏观形态上的把握，是一种意识、一种态度的表达，它们的影响力对数学教育的辐射作用日趋明显。与此同时，数学观和数学教育观两者本身是密切联系的。首先，数学教育必须反映数学内在的规律。其次，数学教育毕竟是为数学的发展和数学的应用服务的。完整的数学观对数学教育的引导作用是显而易见的。反过来，先进的数学教育观也为数学的发展和应用指明了正确的（即符合社会进步和发展主流的）方向。

数学教育的发展史表明，数学教育改革的焦点一直是在数学课程的改革上。但这只是一个表面现象，在其背后存在着数学教育观的转变这条主线，历史上每一次重大的数学教育的改革运动无不诱导于数学教育观念的变革。上面我们所介绍的数学教育历史上多次风起云涌的数学教育改革运动，就展示了人们数学教育观的不断转变和更新。而且，这些改革运动的成果对数学、数学教育、科技发展乃至社会进步都带来了深远的影响。由此可见，数学教育观左右着数学教育的数学学科属性。

另外，人们对数学的看法其实是各不相同的，可谓是仁者见仁，智者见智，但从数学整个发展历史过程中，各个国家、不同地区在各个社会历史发展时期表现出来的对数学的看法，亦有几种较为典型的代表，我们把这些观点加以汇总称之为数学观（the view of mathematics）。完整的数学观将引导着数学教育的正确走向，同时也能够突出数学教育的数学学科特点，但是，对数学观的研究还不够深入，下面只是对几个有代表性的类型作一个解释。

1数学的哲学观

把数学看做一门哲学，古而有之。数学要回答自然的本源问题，这一点上与哲学的研究目的完全相同。其中比较有代表性的国家，一是古希腊，二是德国。

古希腊哲学鼻祖泰勒斯（公元前624年—前547年）所创立的爱奥尼亚学派，致力于数学问题的研究，如测量金字塔高度，给出全等三角形公理等。毕达哥拉斯（公元前580年—前600年）更是把他的哲学基础建立在“万物皆数”之上，试图用数（整数）解释整个世界，他心目中的哲学其实就是数学。后来的古希腊哲学家柏拉图（公元前430年—前349年）、亚里士多德（公元前384年—前322年）等，也无一不和数学结下不解之缘。可见，在古希腊，数学和哲学是融于一体的，不分彼此。

德国在文艺复兴之后，重新拾起古希腊先辈们所恪守的追求理性、严整的哲学精神，涌现出一大批哲学家如尼采、黑格尔、恩格斯等。在数学上，也同样继承了这样的风格，出现众多数学巨匠，同时创立了许多新的数学理论和分支。如高斯的《算术研究》、雅可比的椭圆积分、维尔斯特拉斯的解析函数论、狄利克雷级数、格拉斯曼的n维空间、库默尔的理想数、里斯丁的拓扑学、黎曼几何、戴德金分割、康托尔的集合论、希尔伯特公理体系等等，这些例子不胜枚举。因此，从这个层面上讲，与其说德国数学家在研究数学问题还不如说他们在思考哲学，至少他们是在哲学的高度上去勾勒数学的线条，用哲学的观点来刻画数学的思想。

2数学的科学观

数学的出现和发展，是因为实用，能够解决实际中碰到的问题，科学也一样。后来由于数学研究的特殊性，数学便从自然科学中分离出来，成为一门独立的科学。但是科学的一些主要特征依然保存下来，如实用性、创造性等。因此，许多国家一直以来都是把数学归为与其他自然科学一样的科学类型，甚至直接认为数学也是一门自然科学，数学的科学观因此而形成。其中，在古代中国、近代英国和现代美国体现得较为明显。

中国古代的数学代表著作，像《周髀算经》、《九章算术》以及《孙子算经》等，无一不以实际问题为研究对象，所涉问题遍及日常生活、农业生产、天文历法等所有实际问题，当时数学的研究状况就代表了科学的发展水平。也许是科学的其他分支还没能自成一体吧，数学包纳了一切，统领了整个科学领域。与古希腊数学有明显区别的是，中国古代的数学轻理论归纳而重应用创造，像墨子、祖冲之这些人物更准确的定位是科学实践家。

近代英国爆发工业革命，生产力大发展，资本急剧扩展，数学的应用功能是强有力的支撑，同时也促进了数学各重要分支理论的蓬勃发展。

现代美国，特别是第二次世界大战之后出于东西方的军事竞备、太空较量的需要，在全世界范围内对数学的高科技人才的收罗，把数学的应用性发挥在各个领域，特别是高科技领域，并以此来提升和巩固其世界霸主地位，一时间，数学的解决就等于高科技的观点深入人心。

3数学的艺术观

艺术在百度百科中的解释是：“一种文化现象，大多为满足主观与情感的需求，亦是日常生活进行娱乐的特殊方式。其根本在于不断创造新兴之美，借此宣泄内心的欲望与情绪，属浓缩化和夸张化的生活。文字、绘画、雕塑、建筑、音乐、舞蹈、戏剧、电影等任何可以表达美的行为或事物，皆属艺术。”概括起来，艺术具有两大基本要素，一是丰富的想象力，二是独特的表达方式。数学也是如此，数学活动就是创作活动，靠的是（思维上的）想象，没有这种想象也就没有数学。其次，数学是在以字母符号为主体的数学特有语言上进行想象、思考和创造的，无论是数学过程还是数学结果，其表达方式独具特色、自成体系。因而，人们把数学看作一门艺术，数学的艺术观因此而提出。

无论是古希腊毕达哥拉斯学派的“毕达哥拉斯音阶”、达·芬奇的加减（+、—）符号和几何研究、闵可夫斯基的“时空”观念，还是近代英国牛津大学数学讲师刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll）的对儿童文学的突出成就，都说明在许多时候，人们会不由自主地在艺术的层面上“摆弄”数学，或者在数学的海洋中捕捉艺术的灵感。

但是，我们发现法国在数学艺术观方面具有一定的代表性。

不知道是这个充满浪漫主义气息的艺术王国开拓了法国数学家们的想象空间，还是法国数学家们的数学创造灵感和数学艺术成就，为艺术领域提供了广阔的土壤和崭新的工具。也不知道是艺术家的数学特质还是数学家的艺术特质造就了法国数学的“艺术特色”。对此，我们很难定论，但是众多法国数学家的特别成就，给我们留下了深刻的印象。光从16世纪以来，法国数学家们的伟大创造，就能看出这一现象。如笛卡尔的解析几何、笛沙格的射影几何、费尔马的数论、帕斯卡的概率、达朗贝尔的判别法、拉格朗日的幂级数、蒙日的画法几何、拉普拉斯变换、傅立叶级数、柯西极限，以及庞加莱猜想等等，他们的成就无一不是“开创式”的，这与法国数学巨匠们善于“艺术地”思考数学是不是有着某种必然的联系呢？

4数学的文化观

在数学的早期研究时，人们往往只是把数学看做一种简单的工具，一个临时解决某个个别问题的手段。随着数学的发展，数学的结果（特别是它的思想方法）逐渐渗透于人们的日常生活和社会行为之中，其影响力不断扩大，数学也逐渐融合于各国的文化体系之中。如古希腊数学融入了它的哲学思辨、逻辑理性的文化之中，中国古代的数学也带有明显的“治理”、“统治”的封建政治文化色彩，而在法国这样的国度，数学早已被打上了浪漫主义的、自由开放的文化烙印。但真正把数学作为一种文化来对待，把数学活动当作一种文化传播的行为，美国表现突出，上述提及的“数学大众化”运动在美国率先发起，就是一个例证。

当然，信息社会的浪潮席卷全球，地球村的“顷刻”闪现，互联网迅速波及世界每个角落，已经使得当今社会再也离不开数学了，数学也不再是少数人的“奢侈品”，而是人人必需的“日用品”了。总之，在现代人的眼里，数学不是“小圈子”，而是“大文化”，人们已经慢慢地适应于在数学文化的氛围中生活、学习和工作了。

以上，我们“轻而易举”地从多个维度（哲学、科学、艺术、文化）来观察数学、谈论数学和看待数学，说明数学的姿态是“开放”的，数学的内容是广博的，数学的思想是精深的，所以，反过来，数学教育的学科性也恰恰体现在数学观的这种广博性之上。

（二）数学和数学的特征

数学是什么？数学具有什么样的特征？这些看似简单的问题，在数学界至今却没有一个统一的回答，说法各异，仍存在着很大的争议，这是一个颇具意味的现象。产生这一现象的原因多种多样，既可能是认识方式上的，也可能是认识角度上的。但值得关注的是，无论以静态的观点看待数学及其特征，还是以动态、发展的观点看待它们，两者区别明显，由此得出的结论也迥然不同。事实上，对这两个基本问题作出一个统一的、完满的和最后的回答已经没有任何意义，而通过分析若能使大家对数学及其特征有一个更为深刻的认识才是一件于数学研究和数学教育研究都有益的事。为此，我们在这里就这两个问题作一个一般性的分析。

1数学是什么

对于数学研究的对象问题，从历史来看，以古希腊为代表的西方数学，其研究的对象可以说是“数”（数的性质）和“量”（几何量）这两大基本对象，这两大对象因古希腊数学家欧道克斯将数与量人为地分离而产生，曾被人们比喻成数学的两条腿，也可以说，数学正是迈着这两条坚实有力的“腿”由古到今一路走来的。而以古代中国为代表的东方数学，其研究的对象则是“数学问题”，这些问题不但可以是数学内部本身的，而且更多的是现实中的实际问题，对于这些问题的研究和解决，使人们更为深入地理解数学，促进数学的发展。因此可以说，数学的研究对象，从内部来说是数与量，从外部来说则是问题。

恩格斯在《反杜林论》中曾经给出一个经典的数学定义：数学是一种研究思想事物（虽然它们是现实的摹写）的抽象的科学。纯数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系。

随着数学的发展，数学的研究对象——空间形式和数量关系已经远远超越了“现实世界”的范围，表现得更加抽象化和非现实化，例如n维空间、向量、矩阵、群、环等研究对象很难再回到现实世界中加以复原描绘，因此人们普遍认为恩格斯这一经典的数学定义仅仅描述了19世纪以前的数学发展状况，而不能涵盖20世纪以来数学研究的新变化。

为此，人们提出了多种对数学的描述，如有人在恩格斯所作定义的基础上，根据数学的发展变化的情况认为数学的研究对象是“现实世界包括非现实的、想象的空间形式和数量关系”。也有人由布尔巴基学派的结构思想提出“数学是研究结构的科学”。随着对数学模型的广泛研究，有人也提出“数学是模式的科学”等。同时，有学者指出“凡是要研究量、量的关系、量的变化、量的关系的变化、量的变化的关系的时候，就少不了数学。……所以数学还研究变化的变化，关系的关系，共性的共性，循环往复，逐步提高，以至无穷。因此，从现代数学来讲，数学是研究量和量变的科学。其中纯数学是研究纯粹的量的科学，它是数学的基础部分”。

无论怎样刻画数学，数学自在我们心中。当我们多谈论一点数学，数学就离我们更近一点，也许我们不能达到数学的彼岸，但我们可以“无限接近”数学。数学离我们并不遥远，它就在我们的周围，就在我们身边。

2数学的特征

因为人们对数学的研究对象看法不一，所以在对数学特征的把握上也得出各不相同的结果，数学到底具有什么样的特征，也是众说纷纭，莫衷一是。但是在数学教育领域中，对这一个问题的探讨显得非常有必要，因为正确而完整地把握数学的特征才能更好地发现数学教学的特点，才能掌握数学教学的内在规律，提高教学效果。因此有必要在这里首先对数学的特征作一个分析。

通过上述对数学观的剖析，我们可以说数学既具有哲学和（自然）科学的一些基本精神，也具备艺术和文化的一般特征，这些都是数学和其他科类都具有的共同特征，属于共性。这类性质是属于第一层次的，我们把这类性质称作数学的普遍性质。

同时，在数学教育界，我们曾经给出数学的三大性质，那就是抽象性、严谨性和应用的广泛性。其中抽象性是指数学理论具有抽象化的特点，严谨性是指数学理论的表达缜密，逻辑性强，严谨而无任何纰漏，而数学应用的广泛性是有目共睹的。但是许多专家、学者对这个传统的数学三大性质提出了一些质疑，如提到抽象性，认为“抽象性并非数学所特有，各门学科都有抽象性，哲学则比数学更抽象”。提到严谨性时，认为严谨性不应该作为数学的特性，它实质上应该是各门学科都必须具备的共同性质。试想，一门学科如若连理论的严谨都做不到，那是绝对不能被认同的。对于数学的应用广泛性，我们认为，应用性应该是任何一门学科的生命线，也是所有学科的共性，只是数学的应用和其他学科相比更为广泛。

因此，很显然，这三个性质并不是数学所独有而其他学科所没有的特性，把它们作为数学的特征似乎不是很适宜，但这三大性质毕竟反映了数学的内在本质，所以我们把这三个性质归属于数学性质系统中的第二层次，把它们称作数学的一般性质。

然而，数学应该具有明显区别于其他学科的特征。

首先，形式化就是数学的一个重要特征。从数学的发展历史过程看，数学虽然来源于实际，但数学研究的对象却是把附着于具体实物或实际问题上的一些非本质的，或者不是数学研究所关注的特征进行剥离后所留下的材料，那就是形式化的材料。例如，数学所研究的不是一只羊、一头牛或一匹马，而是它们共同具有的形式特性“一”，这是一种抽离了具体内容后而形成的抽象化的形态。正如恩格斯所说的：为要能够研究这些形式及其关系的纯粹情形，那么就应该完全把它们与其内容相分离，把内容暂置不管，当作无所可否的东西。

数学从哲学中脱离出来，形式化是一个重要的标志，形式化、模型化也是促进数学发展的根本基点，没有形式化就没有数学，没有模式化，数学也将失去活力。数学教育家辛钦曾提到：一切数学学科的决定性特点总是某种形式化的方法。著名的“七桥问题”就是由数学大师欧拉对其形式化后，抽象为“一笔画”的数学模型而得以解决的。M.克莱因在《古今数学思想》中对牛顿的成就作了如此的描述：“但是，只有依靠数学的描写（即使完全缺乏物理的了解时也依靠它）才使得牛顿的惊人的贡献成为可能，更不用说后来的发展了。”因此，数学形式化特征所产生的力量是惊人的。

其次，策略性是数学的另一个重要特征。数学研究的中心是问题解决，数学的一切理论都是为这个中心服务的。这些问题可以是数学内部的，但更多的是数学外部的、是应用的。但是问题解决的关键是策略的运用，是方法的创造，是想象的发挥。数学的发展历程实质上就是方法的不断创造过程。阿基米德在解决抛物弓形的面积时采用了“穷竭法”，刘徽在解决圆的面积时采用的是“割圆术”，戴德金在定义实数时使用著名的“戴德金分割法”等等，不一而足。所有这些都是策略的巧妙运用，方法的灵感创造。可见，数学是一门讲究策略，善于使用方法，不断创造、不断发现的科学。

正如哈尔莫斯所说的：“数学是创造性的艺术，因为数学创造了美好的新概念，数学家们像艺术家们一样地生活，一样地工作，一样地思索。”可以说在数学之中创造无处不在，创造力是数学的生命，想象力是数学的灵魂，没有了创造和想象，数学将成为一堆枯燥的、毫无意义的符号。总之，数学的活力在于非凡的创造、艺术的思考。

因此，数学的这种策略性、无穷无尽的创意是数学的一个与生俱来、无法剥离的特征。

最后，符号化是数学的又一个重要特征。数学语言是符号语言，是一种形式简洁、表达精确、广泛通用的语言。正是数学的高度符号化才使数学展现出其独特的魅力，在思维上提供给人们充分自由的想象天地，这好比给数学思维插上了翅膀，任其翱翔。难怪有人叹道：数学要是不走上符号化的道路，任何的发展都是不可能的。伽利略说，宇宙大自然的奥秘写在一本巨大的书上，而这部书是用数学语言写成的。阿尔芬则说，科学需要一种能够简练地、合乎逻辑地表达的语言，这种语言便是数学。

当然，其他学科语言中也有符号化现象，例如化学中使用化学符号和方程式，逻辑学中使用逻辑符号语言（实际上也是数学语言），经济学中使用图表符号语言，但与数学符号语言相比，其符号化程度要低得多。

综观历史，数学的每一次进步都与数学符号语言的发展有关。符号常常比发明它们的数学家更能推理（F.克莱因语）。公元3世纪丢番图发明的一套缩写符号使得初期代数的研究得以延续；16世纪韦达等人创造的字母符号语言促使代数数学的长足发展；17世纪费尔马、笛卡儿和莱布尼兹等创立的坐标符号语言为近代数学取得辉煌成就奠定了语言的基础；而后莱布尼兹的微积分符号语言、魏尔斯特拉斯的εδ语言以及康托儿的集合符号语言都为数学的发展作出了重大的贡献。

符号是数学的标志，是数学思想的唯一载体。

我们把上述这三个明显区别于其他学科的特征放在数学性质系统中的第三层次，把它们称作数学的固有性质。

综合前面的分析，我们把数学的性质分成三个层次，组成一个性质系统，分别由数学的普遍性质、数学的一般性质和数学的固有性质构成。

数学的性质

对数学性质作这样的结构分析是有意义的，因为，只有思考了数学、思考了数学性质，才能进一步思考数学教育。