数学教学中进行数学研究性学习的途径

数学教学中进行数学研究性学习的途径

石嘴山市第三中学　雍国强

转变学生学习方式是当前数学课程改革的目标之一。新课程改革提倡把知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三者有机统一起来，即力求做到“三位一体”这就要求教师必须转变教学观念，改变传统的教学方法，改善学生单一的学习方式，但改革必须有抓手和依托。研究性学习作为一种学习方式渗透在数学教学中是目前的热点问题，那么如何在数学教学中开展研究性学习呢？笔者认为将这种学习方式渗透于教学之中必须依托载体和有效的途径，下面笔者结合自己的理论认识和教学实践提出自己在数学教学中开展研究性学习的主要途径。

一、运用引言进行研究性学习

引言中的语言表达大多具有抽象性和概括性，如果照本宣科，学生的思维活动就难以启动，教学中必须依据学生的学情和引言的思想，在新旧知识连接点上创设问题情境，才能引导学生进行研究性学习，并通过交流、讨论和归纳总结，了解数学知识的发生和发展过程，领悟数学思想方法的内涵，把握数学学习的规律。

以立几的引言课为例，笔者创设了以下问题让学生进行研究性学习。①用6根长度相等的牙签最多能搭成几个正三角形？②是否存在3条两两互相垂直的直线？对于①，学生通过实验、讨论得出：在桌面内最多只能搭两个，而在空间能搭成4个（正四面体骨架）；对于②，学生更是争论不休，不存在的理由是若a⊥c，b⊥c，则a∥b；存在的理由是教室墙角处的3条交线两两互相垂直，也有的同学举出了长方体、正方体的模型。通过学生自己探索、辩论，教师小结，将学生的思维活动由平面引向空间，促进了学生空间观念的形成，而对于立体几何研究的对象、内容及思想方法完全可通过类比加以实现。如通过求正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠B₁A₁C₁、∠B₁C₁A₁、∠BC₁B₁、∠BC₁A₁的大小及单位正方体的表面积和体积，既可感悟到立几是平几的延伸，又能体会到它们之间的区别，如真实图与直观图的区别；通过求BD₁的长及∠DD₁B₁的余弦值可领悟到降维转化思想在立几解题中的重要地位；而小虫在A处沿正方体表面如又唤起学生对初中圆柱、圆锥展开思想的回忆，这里正方体模型扮演了学习内容由发展区之外向发展区内过渡的重要转化角色，从而使教材引言的内涵得到具体的诠释。

二、设计数学开放题进行研究性学习

数学开放题是指那些答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题。数学开放题一般具有以下的特点：①问题的条件常常不完备，一个开放题的条件可以不足，也可以多余，不足时需要学生补充，多余时要求学生选择。②问题的答案不确定，具有层次性。开放题解答的多样性，决定了它能够满足各种层次水平的学生的需求，使他们可以在自己的能力范围内解决问题从而体现出层次性。③问题的解决策略具有非常规性、发散性和创新性。④问题的研究具有探索性和发展性，尽管解封闭性题时也需要一定的探索，但封闭性问题的结论是确定的，而开放性问题的答案是不唯一的，不确定的，其探索性相对比封闭性问题大，而且开放性问题更具有拓展性。可层层发展成为一系列问题，更具有研究性学习的价值。

开放性问题的研究需要研究性学习方式，封闭性问题由于答案的确定性，在进行课堂教学中进行传授、讲授与接受较顺畅，但开放性问题的答案不确定，对于老师和学生而言，都具有挑战性，教师未必能完全给出答案。教师若采用“灌输”式教学会禁锢了学生的思维和创造意识和能力，对于开放性问题，让学生以研究性学习的方式予以解决，更是非常自然和必要的。

例1.如图1是一个非常优美的几何图形，除了线段比例、对称等方面的独特性质外，它还有一个不太被人注意的性质，这就是在图1中的A，B，C，D，E五个点中，每两点之间的距离不是等于正五边形的边长，就是等于正五边形的对角线，也就是说，这五个点之间只有两种长度的距离（此时我们称这五个点具有两种距离）。

展示图1及其以上性质后我们不妨让学生研究平面上具有两种距离的四个点的情况。

图1

尽管本题只有如图2所示的五种解答，但是要找到这全部的五个解答却需要一个较长的探索和研究过程。

图2

不仅如此，教师还可以引导学生把问题拓展到空间，进一步发展出以下问题，值得我们研究：

（i）平面上具有三种距离的五个点的情况如何？

（ii）空间具有两种距离的四个点的情况如何？

（iii）空间具有两种距离的五个点的情况如何？

上面问题的解答有的有十几种，有的有三十多种。在这个案例中问题研究是开放性的，每个小组的研究结果不一定是完整的答案，有的多，有的少，也有不同之处，体现了学生研究问题的不同研究层次和研究的多样性。

三、利用数学建模进行研究性学习

长期以来，我国数学教育比较注重传授系统基础知识和数学技能，最近几年，我们越来越认识到数学应用意识是学生数学素质的重要组成部分，所以在教材的编排和考试内容的改革中都强调考查学生的应用数学知识解决问题的能力。要培养中学生的应用意识，除了在日常教学中增加应用题的数学训练，组织学生进行数学建模活动更能激发学生数学知识应用的兴趣。

数学建模是进行研究性学习的理想形式：①目前在中学数学中，数学建模不是在课堂教学中进行，而是自主的课外活动之一。②教师能集中传授的是数学建模操作的一般过程和基本方法，具体问题的分析和解决不适合进行直接传授。③数学建模也是以问题为核心，具有课题性和探索性，它需要学生对已学知识的综合运用，同时也需要学生的非智力因素如探索精神、坚持不懈的精神、创新意识的综合。④数学建模的目的是培养学生的应用意识，培养学生分析问题和解决问题的能力，而最终的目的是培养学生的独立工作能力和学生的终身学习能力，所以这需要尽可能使用学生自主的研究性学习方式。

例2.高一学生学习完“数列”这一章以后，我就安排了下面一道研究性作业：请仔细阅读下面的1998年12月30日《金陵晚报》的报道。

谁的算法对？

——同一笔个人住房贷款，两家银行还贷数额相差逾万元

一笔总额为13.5万元的个人住房组合贷款，在两家银行算出了两种还款结果，而差额高达万元之上，这让首次向银行借款的江苏某进出口公司程姓夫妇伤透了脑筋。

据介绍，小程打算贷8万元公积金贷款和5.5万元商业贷款，他分别前往省建行直属支行和市建行房地产信贷部咨询，其结果是，这13.5万元贷款，分15年还清，在利率相同的情况下省建行每月要求还本付息1175.46元（其中公积金贷款660.88元，商业性贷款514.58元），而市建行每月要求还1149.14元（其中公积金634.56元，商业性贷款514.58元），按贷款180个月一算，省建行的贷款比在市建行贷款多还10628.1元。

但两家银行均称，结果不一样纯属正常。

有关行家向记者解释说，省建行虽然也是等额还款，但实行的是先还息后还本原则，用行话说就是按月结息，每月还本还息不等，但每月总额一样。举个简单的例子，若每月等额还款1000元，第一个月还本息分别为100元、900元，而第二个月还本息分别变为200元、800元，以次类推，而市建行实行的是较便于市民理解的等本、等息、等额还款法，为不让市民首期还款时面对巨额利息为难，该行取了一个利息均值，平摊到每个月中，上述两种算法都是人民银行许可的。

值得一提的是，小程夫妇的麻烦已引起了央行的重视，为规范个人住房贷款计息办法，央行重新明确了个人住房贷款的利息计算方法，从1999年1月1日起，除保留每月等额本息偿还法外，又推出了利随本清的等本不等息递减还款法｛公式是：每月还款额=（贷款本金÷贷款期月数）+（本金-已还本金累计额）月利率｝，同一笔贷款按这两种方法计算还贷，偿还金总额相同。

然后请回答下面的问题：

（1）省建行的“每月等额本息偿还法（先还息后还本原则）”中的每月还款额是怎样算出来的？

（2）央行推出的“利随本清等本不等息偿还法”的每月还款额是怎样算出来？并用市建行的结果进行计算。

（3）市建行的“等本、等息、等额还款法”是怎样得到的？

（4）试分析这三种算法的不同之处及利弊。

学生对这个问题非常感兴趣，因为学生对描述的现象产生了迷惑，就吸引了学生对问题的关注，我要求学生在展开对这个问题的研究时亲自到银行去咨询和了解，使学生体会数学建模的实践意义。最后我要求学生自己到社会中去发现问题，运用数学建模分析解决问题，最后尽可能创造条件去实践。

四、开展数学实践活动、实习作业和数学游戏进行研究性学习

为了使学生在系统学习数学基础知识的同时，培养学生的创新精神和实践能力，初中数学教材每章都编排了一个数学探究活动的课题，而高中新教材在每章都编排了一个数学实习作业，数学实习作业和数学探究活动都是运用数学知识进行实践活动，完成实习作业和探究活动一般包含两个过程：先把所需完成的实习作业和探究问题转化为纯数学问题并解决它，这一过程应在制定实习作业计划或活动计划时完成，然后再进行实习作业或实践活动。为了避免盲目进行实践活动和实习作业，所以要求学生首先研究实习作业或实践活动的数学原理，而这一过程正适合学生进行数学研究性学习，数学游戏实际上也是一种激发学生数学兴趣的数学实践活动。

例3.下面是2002年广东高考数学试题的一道题目（图3）：

（1）给出两块面积相同的正三角形纸片，如图3（a），（b），要求其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一个剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图3（a），（b）中，并作简要说明。

（2）试比较你剪拼成的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。

（3）如果给出的是一块任意三角形如图3（c），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图（c）中，并作简要说明。

图3

这是一道考查学生数学探究问题能力和实践能力的题目，这本身也是一个很好的数学研究性学习课题。将这道题目给高二60名学生要求在10分钟内完成，结果有52位同学完成了剪拼成一个正三棱锥模型，只有7位同学剪拼成一个正三棱柱模型，其中只有1位同学完成了第（3）个问题，结果反映了学生探究问题的能力较差。经了解其中有两位同学曾经有过剪拼长方体和三棱柱模型的经历，另两位同学利用顺与逆的转化的策略，先对一个正三棱柱模型展开后的平面图进行研究对照，从而发现了解决问题的方法，可见解决数学实践活动中的问题不能盲目进行，而须对问题的数学原理进行研究，也须运用数学问题解决中的转化思想，对数学探究问题的研究性学习有助于提高学生解决问题的能力。

我们还引导学生对这个问题进行了拓展和延伸，用上题中的纸片如何剪拼成长方体？如何剪拼成体积最大的长方体？如何将任意四边形的纸片剪拼成四棱柱？如何将任意n边形的纸片剪拼成n棱柱？

例4.众所周知，用直线把一个给定的平面多边形剖分成几块，使它们能够拼成另一些指定的形状，这一类几何游戏具有趣味性、研究性和挑战性。如：我们给高一的同学布置了一个课题“三角形的最小剖分组合问题”在暑期进行研究，其实也是一个数学实践活动，研究的内容包括以下几个方面。

（1）给定两个三角形△ABC和△A′B′C′如图4，它们的面积相等，请你用直线将△ABC进行剖分，然后拼成△A′B′C′。

图4

（2）在完成（1）中你把△ABC剖分成了几块？你认为完成（1）最少需要将△ABC剖分成几块？

（3）给定一个三角形和一个平行四边形如图5，它们的面积相等，请你用直线将三角形进行剖分，然后拼成平行四边形。

图5

（4）在完成（3）中你把三角形剖分成了几块？你认为完成（3）最少需要将三角形剖分成几块？

（5）给定一个三角形和一个矩形如图6，它们的面积相等，请你用直线将三角形进行剖分，然后拼成矩形。

图6

（6）在完成（5）中你把三角形剖分成了几块？你认为完成（5）最少需要将三角形剖分成几块？

（7）给定一个三角形和一个正方形如图7，它们的面积相等，请你用直线将三角形进行剖分，然后拼成正方形。

（8）在完成（7）中你把三角形剖分成了几块？你认为完成（7）最少需要将三角形剖分成几块？

这个案例的问题是由一系列问题组成，逐层深入，具有挑战性，很吸引学生。

五、对课堂数学教学内容的拓展、探源和质疑进行研究性学习

数学教学大纲主要对基础知识和基本技能以及基本数学思想方法作出了相应的要求，教材内容的选择和编排是面向全体学生。根据学生个体不同的情况选择适当的教学内容进行拓展或探源，这样满足不同的学生对数学知识的不同需求，使这些学生对数学知识的形成过程有更清楚的认识，有助于学生形成正确的数学观。要培养学生的创新能力，首先就要鼓励学生对课堂数学教学内容进行评价和质疑，这也有利于学生对所学知识提起兴趣和深刻理解，学生对所学内容不感兴趣和肤浅理解是不能提出深刻和大胆质疑的。

对数学教材内容的拓展、探源和质疑是个性化学习，它必须适合学生的兴趣，教师作适当的指导，所以是学生自主的探索和研究；对数学教材内容的拓展、探源和质疑具有层次性，学生根据自己的已有知识层次探索不同层次的问题。

例5.在教材中对许多代数公式和定理除进行推导证明以外，还作了几何解释，如完全平方公式（a±b）²=a²±2ab+b²、勾股定理a²+b²=c²、平方差公式a²-b²=（a+b）（a-b）、不等式，几何解释有助于学生对公式和定理的理解和记忆，认识代数和几何的完美结合，培养学生的数形结合的数学思想方法，所以我们可以鼓励学生对这些公式作不同的几何解释或对某些教材未作几何解释的公式研究它们的几何解释，如有几个同学做的课题《几个公式的几何解释》就主要研究了以下几个公式的几何解释：两角和公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ、等差数列的求和公式、数列求和1²+2²+3²+…+n²的公式、数列求和1³+2³+3³+…+n³的公式。

例6.∏和e这两个非常重要的无理数，教材未对它们进行详细介绍，我鼓励一个小组的学生对这两个数的发现历史和应用范围做了一个专题文献研究报告，并利用一节课的时间让他们向全班的同学进行专题介绍，这有利于学生对数学发展史的了解和对学生进行思想教育。

例7.在课堂学习完“直线的倾斜角和斜率”之后，有位学生向我提出这样的问题：斜率是对直线相对于x轴的倾斜程度的一个量化指标，是一个主观定义的量化指标。而目前教材中采用倾斜角的正切值进行定义，这亲友使得与x轴垂直的直线没有斜率，为什么不采用其他的量化指标来定义斜率使得所有倾斜角的直线都有斜率？我认为他提出的质疑很有深度，问题很好，所以鼓励他就这一问题发表自己的看法，于是他做了一个研究性学习课题《我谈直线斜率的定义》，在课题中提出他自己对直线斜率的几种定义方法，并从可行性、方便性和科学性提出了自己的观点和依据。

对课堂内容的拓展、探源和质疑的专题研究既增长了学生的数学知识内容，也丰富和完善了学生的数学知识结构，同时激发了学生对数学的兴趣和爱好。

六、让学生利用现代计算机技术探索数学奥妙进行研究性学习

现代计算机技术的发展以及在中学生中的推广，为学生利用计算机技术探索数学奥妙提供了条件，作为现代中学生对计算机技术的兴趣也很浓厚。数学问题中许多复杂的计算或者一些复杂的数量关系难以用人工计算完成的均可用计算机。许多数学软件和Mathematics和“几何画板”“解析几何智能平台”等都可以动态展现数学过程，学生还可以借助数学软件探索一些他们未知的而又感兴趣的数学问题。

“几何画板”软件是研究平面内动点轨迹较理想的软件，我主要在以下几个方面充分使用它：

第一，教材中常见基本函数中的参数与函数图象及性质的关系问题，都让学生自己先用“几何画板”软件制作的课件进行研究，然后再进行课堂教学，这时课堂教学的方式可以让课题完成较好的小组的学生当“小老师”向其他同学讲解他们的研究内容。

例8.我们在高一就要求学生完成以下几个专题的研究：二次数函数y=ax²+bx+c中a，b，c分别与函数图象及性质变化的关系；指数函数y=a^x中a与函数图象及性质变化的关系；对数函数y=log_ax中a与函数图象及性质变化的关系；三角函数y=Asin（ωx+φ）+B中A，ω，B分别与函数图象及性质变化的关系。然后请学生在课堂上讲解。

（2）鼓励学生利用“几何画板”对习题中常见的函数的图象进行研究。许多习题中常见的函数虽然我们平时从解析式、性质等方面对它有研究，但“不识庐山真面目”即对它的图象是怎样的不清楚，例如一些复合函数：三角函数与二次函数的复合函数，指数函数与二次函数的复合函数，对数函数与二次函数的复合函数，等等。所以，有的学生进行专题研究《三角函数与二次函数的复合函数的图象研究》。

（3）鼓励学生利用“几何画板”对自己感兴趣的问题进行自主研究。

七、学生对自我数学学习的反思、评价以及学习规律的总结也是进行数学研究性学习的有效方式

中学生数学学习的过程是学生自我知识建构的过程，对自己数学学习的认识有助于知识的构建和完善，学生数学学习的自我反思、评价以及学习规律的总结主要包括对已学数学知识系统化和网络化，对数学知识中的数学思想方法的掌握和反思，对自己数学学习方法的反思，对自己数学学习的情感的回顾，对数学学习的失败和成功的体验等。

例9.有位学生在经过多次练习和考试对“0”的忽略而失误，做了这样一个研究小论文《忽视“0”的讨论，遭到“0”的报复》，对学习中容易忽略对“0”的讨论的地方进行了归纳总结以及对如何避免这类失误提出自己的见解。

例10.每个学期期中和期末，每个班的数学课代表都要写一份自己班的数学学习情况，研究报告，报告的内容包括：班级数学学习情况的综述，成绩分析，调查分析，学习方法的建议，优秀数学学习经验模式的介绍，等等。