数学学科发展战略

数学学科发展战略⁽¹⁾

数学科学是研究数量的关系和空间形式的一个庞大科学体系，它包含纯粹数学、应用数学以及这两者与其他学科的交叉部分。它是一门集严密性、逻辑性、精确性和创造力与想象力于一体的学问，也是自然科学、技术科学、社会科学、管理科学等的巨大智力资源。

数学为其他科学提供语言、观念和工具，它与计算机技术的紧密结合产生了可直接应用的数学技术，成为许多高、新技术的核心。按照马克思的看法，一门科学只有当它成功地应用了数学的时候，才算是成熟的科学。

我们的现实生活也越来越依赖数学，从网络计算、信息安全和生物医学技术到计算机软件、通讯、投资和金融都离不开数学。这种依赖性不仅表现在依赖于那些已经发现的数学上，而且也依赖于纯粹数学的一些最新突破。

数学也是一种文化，在人类理性地认识世界的过程中起着重要的作用。从古时候起，数学就被当作了人类文明的一个智力顶峰。尽管许多数学家将他们研究的数学的主题当作一个纯粹的逻辑结构来发展，完全不涉及外部世界，然而好的数学，无论它看起来如何纯粹，常常都有应用。一个国家数学发展的水平往往也是反映该国科技、经济发展程度与综合国力的一个重要标志。

数学的传播与发展对提高国民素质、提高人们的分析与决策能力、推理与创造能力至关重要。数学研究本身则造就出一批富于创新精神的科学研究人才。第二次世界大战中，美、英等国有许多很好的数学家参与了战时的军事研究项目，发挥了不可估量的作用。

推动数学发展的动力既来自于内部，即解决自身的问题；也来自于外部，即研究各门科学所提出的问题。当今数学发展的主要趋势为：数学各分支的融汇促进了数学的发展；与其他科学更加深入的交叉；以及更加自觉地扩大数学的应用范围，使它的触角伸向几乎一切领域。

现在，数学科学包含了许多分支与丰富的内容。我们谨将其适当的归并与凝练成4个方面。围绕这4个主题，剖析当今国际研究热点，提倡创造性研究，注意新的生长点，逐步形成我国自己的研究风格和理论体系。

“数学是中华民族擅长的学科”，我国数学应该而且完全可能率先赶超世界先进水平。

（一）核心数学

纯粹数学主要包括代数与数论、几何与拓扑以及分析三大部分。核心数学是纯粹数学的核心，也是应用数学乃至整个数学科学的基础。它的发展常常受到其他分支和其他科学的影响和推动，其他科学中所产生的深刻的数学问题对其有很大的推动作用。但其发展的推动力大部分来源于自身提出的问题。

核心数学的重大进展和成果的实际应用都是难以预料的，而且一旦出现常常会产生不可估量的影响。因此对于核心数学各个分支的发展要统筹兼顾。

放眼世界数学的发展，根据我国的实际情况，本主题的重要科学问题和研究方向为以下几方面。

1．数论与代数几何

数论是数学中一个有着悠久历史的分支。解析数论是利用分析方法来进行数论研究的分支，我国在解析数论上的一些工作是国际领先的。现代解析数论的核心问题有：Riemann猜想、Goldbach猜想和Waring问题等。这些问题的解决迫切需要解析理论的进一步发展和数学各种方法的交叉渗透与综合统一。

这里提到的Riemann猜想是由Riemann在1859年提出来的，他认为ζ-函数的所有复零点的实部都等于1／2。这个猜想有重要的数论意义，它和它的一些推广与数学的许多其他领域有关，这个猜想可以算是数学中最大的未解决的问题之一。

代数数论是研究代数整数的算术性质的理论。代数数论在物理科学、材料科学和信息科学中有着重要应用。随着Mordell猜想和Fermat大定理的解决，由代数数论、代数几何、微分几何和代数K-理论相结合产生的新兴数学分支——算术代数几何已发展成为核心数学的一个前沿课题。

与算术代数几何一样，代数几何研究的也是多项式组的公共零点集，前者关心的是零点集的算术性质，而后者关心的是几何特性。它的核心问题是这些集合整体的分类问题以及局部的奇点问题。在现代物理和控制论中都用到了代数几何，它与数论、微分几何和拓扑学的联系尤为密切。

2．群与代数及其表示理论

代数学是数学方法和思想的重要源泉。它的方法和结果有广泛的适用性，在信息科学和物理学上已经得到了直接有效的应用。代数学研究的是一些重要代数对象的结构和表示理论，主要有Lie群及其表示理论、有限群及模表示论、代数群表示论和量子群、Kac-Moody代数和物理对称性、代数K-理论、现代模论、微分算子代数、非半单代数的表示理论、群上的调和分析、多元自守形式和多元超几何函数、Hopf代数和代数组合论等目前国际上代数研究的前沿课题。

表示理论是代数学中具有基础性的课题，为当前国际上数学研究的前沿热点。了解代数对象的结构，在数学的其他分支和物理学等学科中有广泛的应用。著名的Langlands纲领的核心是关于非交换的Galois问题，模函数空间上的表示论在其中起了举足轻重的作用。

可以预见，由于数学发展的综合统一的趋势，以及计算机和信息科学的发展产生的大量离散现象，必将呼唤代数学的更大发展。

3．整体微分几何

整体微分几何是近几十年来数学中一个十分活跃的分支。它与拓扑、代数和理论物理密切结合，相互影响、相互渗透。

整体微分几何研究的是Riemann流形的局部不变量与整体不变量的关系，包括指标定理、调和映照、子流形整体理论和一些特殊的浸入（如极小浸入、预定曲率浸入、等距浸入等）。近年来，人们对一些有着深刻物理学背景的几何问题研究的兴趣越来越大，特别是反映时空结构、引力理论的Einstein度量、基本粒子理论中的Yang-Mills联络和弦理论的研究以及流形上一些其他几何结构（如近复结构、辛结构等）的研究取得了很大的进展，成为一个研究热点。在这些发展中，非线性偏微分方程的理论起了关键作用。

在复流形上，复微分几何、全纯向量丛以及复流形的模空间和形变理论也一直是很活跃的研究方向。此外，谱几何、Lorentz几何以及一些与物理相关的几何方法和问题的研究，也一直受到相当的关注。

4．流形和复形的拓扑学

拓扑学的主要研究对象是流形和复形，这两个概念反映了自然界中物质存在最基本的空间形式。它关心的问题是刻画流形和复形的拓扑结构，包括研究它们的各种不变量。拓扑学的研究成果常常与数学其他分支中的精确定量结果发生联系。所以，研究流形和复形的拓扑结构与其他数学问题的关系同样是十分重要的。拓扑学与数学的许多其他分支相互交叉，已经成为微分几何、非线性分析、理论物理，乃至经济学中一般均衡理论研究的重要工具，如今代数学和非交换几何的研究中也大量采用着有拓扑学背景的概念和方法。

近20年来，作为了解现实空间的低维拓扑学研究发生了惊人的变化。它从数学的一些其他分支和理论物理中找到了新的动力，发展起几何、规范场、拓扑量子场论等一系列新的方法，并成功地用来解决流形的拓扑学问题。数学统一的趋势在这里得到了充分的体现，成为数学中一个显著的生长点。这里的一些新的发展还与弦物理学和DNA的结构有着深刻的联系。

数学中另一个最大的未解决的问题是20世纪初Poincaré提出的一个猜测，他猜想每一个单连通的闭三维流形都同胚与三维球。围绕着这个猜想的研究，拓扑学和一些相关领域得到了很大的发展，这也是数学的中心问题之一。

5．现代分析

现代分析指的是实分析、复分析与测度论研究，其中有不少分支是我国有特色的研究方向，如典型域的几何与分析等。现代分析在纯粹数学、应用数学和计算数学中都起着基础的作用，它的理论、方法和技巧被广泛地应用到各个数学分支之中。数学分析历史悠久，它以往的重大成果在数学发展史上产生了重要影响，然而迄今仍有一些十分关键的问题有待研究，新的领域与课题也不断涌现。著名的Riemann猜想就是一个典型的复分析研究课题，研究它和许多数论问题，复分析的方法和技巧扮演了重要角色。Nevanlinna理论与Diophantine几何中许多惊人的相似之处成了新的研究热点。20世纪80年代以来，复动力系统一直是十分活跃的研究领域，Teithmüller空间引起了分析与几何学者的共同兴趣，多重富里埃级数的收敛性问题至今未获解决，几何测度论与调和分析成功地运用于偏微分方程的研究等等。可以断言，现代分析自身重要问题的研究，以及它在许多数学领域的广泛应用，依然使得它在下世纪数学发展中占据重要的一席。

6．随机分析和无穷维分析

随机分析起源于对Brown运动的Ito积分，现代随机分析以Markov过程、现代鞅论、随机积分和随机微分方程等为核心，研究有限维或无穷维空间中随机性或确定性的问题。这是一个极富有生命力的分支，在数学的一些其他分支、物理科学、生命科学、环境科学以及国民经济中的一些问题中有着广泛的应用。

无穷维随机分析和随机微分几何是近年来概率、分析和几何等不同学科相互交叉渗透而产生的新兴研究方向，是随机分析的一个热点。随机介质问题是一个有很强物理背景的研究方向，也是随机分析的前沿课题。

从数学上理解量子场论中的Feynman路径积分也是20世纪遗留下来的最大的未解决的问题之一。这个问题仍是以猜想的形式出现的，它说明我们对无穷维分析的了解太少了。毫无疑问，发展并完善无穷维分析的理论是21世纪数学最重要的任务之一。用随机分析研究路径空间、loop空间的分析与几何是一个引人注目的问题，路径空间、loop空间的分析与几何的研究也是无穷维分析的基本问题。除此之外，算子代数和非交换几何、无限维Lie群和Lie代数及其表示也是通往这个目标的重要途经。

（二）非线性问题的数学理论和方法

本主题研究非线性现象的稳态结构；非稳态的产生、发展过程和整体形态；各种由有序到无序，由决定性到随机性，由经典到量子，由离散到连续以及由连续到间断的数学规律；各种场和各种相互作用的数学问题。上述问题与纯粹数学各分支相互交叉形成许多生长点。它们的研究直接为各门自然科学探索非线性现象的定性及定量规律，提供精确的语言、有效的方法和进一步发展的理论基础。

本主题的重要科学问题和研究方向如下。

1．非线性偏微分方程

偏微分方程是研究客观世界数量间相互制约的有力工具。其研究对象来源于数学的其他分支和自然科学及工程技术中的有关问题。它的发展以核心数学中各分支的理论为基础，反过来，它的任何重大理论进展都丰富了核心数学的内容。自Hilbert关于边值问题和变分理论的著名问题提出后的近百年来，偏微分方程的理论已取得了重大进展，远远超出了他当时所想象的范围，大大加深了人们对偏微分方程理论本身和相关领域的认识。以下方向应予进一步关注和研究。

（1）边值问题。双曲、椭圆和抛物3类古典方程于20世纪已建立了完整的理论，关于线性混合型方程和一般方程组的理论也有一定成果，但对非线性情况所知仍甚少。对有实际背景和重要理论价值的新方程和方程组，如来源于相变问题和描述液晶、超导等材料机理的多相复杂流体动力学为背景的偏微分方程的定解问题，应予充分注意。

（2）解的奇性的研究。许多非线性偏微分方程的解会产生奇性，这种奇性揭示了所研究对象的重要性质。近年来，一维激波理论已有了很大的进展，但更具实际意义的一维非等熵激波和高维激波的理论，以及相关的守恒律方程组的研究是长期以来悬而未决的重要问题。描述时空演化的Einstein方程和各种非线性波动方程，包括波映射方程，近年来已取得了重大突破，但有关描述“黑洞”等间断现象的奇性的形成、发展和整体状态的研究是亟待解决的重要问题。

（3）Navier-Stokes方程的有关问题。自20世纪30年代Leray的开创性工作以来，理论研究的进展不大。近年来，大型计算机的出现为揭示湍流的“奥秘”，提供了必要的物质基础。可以预见，结合数值计算，对Navier-Stokes方程（特别是三维）及Euler方程的理论分析，如整体解的存在性、弱解的正则性和解的先验估计的研究等，必将大大加深人们对湍流本质的认识并推进无穷维动力系统理论的发展。

（4）孤立子方程和完全可积系统。20世纪60年代对KdV方程取得了突出的进展。此后，这一方向的发展十分迅速，出现了一大批完全可积的非线性偏微分方程，反映出自然界中一类非常稳定的运动状态，又产生了许多求显式表达式的准确解的有效方法。这些研究和微分几何、代数几何、无限维代数、无限维流形以及数学物理中的许多问题，关系非常密切，研究在不断深入。

2．变分理论与几何分析

几何分析指的是为解决整体微分几何、微分拓扑中的分析问题而发展起来的分析理论和方法，而这里大多数分析问题与几何变分有关。例如，关于流形上的Einstein度量和纤维丛上的Yang-Mills联络等问题，本质上就是一个非线性偏微分方程的问题，或者是一个变分泛函的临界点问题。利用变分方法研究非线性微分方程大范围解的存在性及其他各种性质恰构成了现代变分理论的主要内容。近20余年来，几何分析与变分理论相结合，综合应用各种数学方法，特别是非线性微分方程的理论，来探索解决整体微分几何、微分拓扑、代数几何与理论物理诸学科中的重要问题已经成为一个新的研究领域。它与这些学科的相互影响、渗透，共同发展，产生了许多新的方法和理论，如热流方法、blowingup分析方法和Floer同调理论等。近年来，这一领域的崛起已对世界数学发展趋势产生了很大影响。

利用椭圆型和抛物型方程整体理论与变分方法的几何学研究来了解流形的拓扑结构，研究弧长、面积等诸多几何作用量的临界点满足的Euler-Lagrange方程，是近20年来这一领域的研究热点。可以预见，双曲型方程整体理论的突破亦将导致Lorentz流形几何学研究的重大进展。预定曲率、调和映照、Yamabe方程、Yang-Mills方程、Hamilton系统、Monge-Ampè re方程和描述几何流的平均曲率流与Ricci流等方程以及与非线性问题相关联的各种几何结构等，仍将是今后若干年中人们十分关注的研究对象。其关键问题的解决必将促成几何分析与变分理论本身的发展及相关领域中的重大突破。

3．动力系统

自Poincar的开拓性工作后的近百年来，常微分方程的定性理论已发展成为内涵丰富、思想深刻的现代动力系统理论。展望未来，如下方向应予充分重视。

（1）有限维动力系统。有限维动力系统的主要研究内容之一是Hamilton系统与辛结构。KAM定理、Hamilton系统的大范围变分方法和辛同胚不动点的研究是20世纪这一领域的重要进展。保体积映射、共振条件下和无限维的KAM理论、Mather最小值、Hamilton系统的变分方法、Morse理论和Maslov型指标理论，以及多体问题等仍将是未来很有生命力的方向。在Arnold猜测刺激下，辛几何已成为一个十分活跃的研究领域。多项式常微系统的定性理论是我国传统的有特色的研究方向。近年来，人们把Hilbert“第16问题”归结为分岔问题的研究，其中二次系统被化成121个平面分岔问题，这是一个值得注意的动向。对常微分方程定性理论中其他重大理论问题的新进展，也应给予足够重视。

（2）微分动力系统和拓扑动力系统。微分和拓扑动力系统是用分析和拓扑的方法研究系统的结构稳定性。关于结构稳定性的双曲理论已有较完整的结果，但全局双曲Anosov系统的若干基本问题仍亟待解决。近几十年来，物理学与气象学等领域出现的某些数学模型显示出复杂的动力学行为，非双曲不变集的研究已成为一个更具现实意义又十分困难的课题。Lorentz吸引子和Henon吸引子是近年来取得突破的两类非双曲不变集，有关的研究正在不断地深入。可以预见，大范围分岔理论将成为动力系统的一个重要热点。从拓扑动力系统的角度对熵、混沌、分形、奇异吸引子等基本概念的研究以及符号动力系统和复动力系统等，也是重要的课题。

（3）无穷维动力系统。除耗散系统外，最近物理上又发现一大批具有孤立子的非线性不可积系统，在一定的耗散作用下从孤立子状态演化为混沌现象。无穷维动力系统存在时，空混沌和在空间的某一部分可能产生奇性集等现象亦引起相当关注。近年来，在某些具有耗散效应非线性发展方程和耗散系统的整体吸引子、惯性流形、维数估计、近似惯性流形、惯性集等的研究中，已产生了一系列重要的结果。但许多重大理论问题仍有待解决。建议进一步开展下述研究：整体吸引子几何结构的数学理论、整体吸引子的振荡性质、无穷维动力系统的稳定与不稳定流形和某些拓扑不变量的联系，以及无穷维动力系统现有理论的深入和拓广等。

4．经典和量子系统的数学问题

经典和量子系统研究是现代物理学中提出的重要数学模型，给出物理公式和严格的分析指导与计算，同时探讨数学模型的内部结构。它不仅是联系物理学和数学的纽带，而且是许多数学分支研究对象的源泉和新的生长点。近20年来，数学物理已成为现代数学各分支的交汇点和整个数学学科发展的主要动力之一。经典和量子系统的研究课题涉及面非常宽，涵盖了力学和物理学的诸多方面。主要内容有：可积系统和孤立子理论、引力和规范场的数学理论、湍流的数学理论和混沌、共形场论和量子场构造理论、公理化低维场论和圈群表示论以及量子化数学理论，此外还有量子统计精确模型、Schr迸dinger算子的谱和二维经典近似等。

5．随机系统的数学问题

随机系统的数学理论研究有限维或无穷维空间中随机性或确定性的问题。这是一个极富生命力的数学分支。其主要研究课题有统计力学模型中的数学理论，包括熵产生的正性和非平衡态刻画；概率方法及其应用，如粒子系统、超过程和随机介质；以及遍历论及其在有穷维和无穷维动力系统中的应用等。随机系统的数学理论在非线性问题研究中的应用已获得引人瞩目的成果，正在蓬勃发展中。

（三）金融和高科技中的数学建模、计算与运筹决策

计算科学是伴随计算机的发展而兴起的一门科学。利用计算机的计算（或模拟或仿真）来揭示自然界以及人类社会物质生产过程中的复杂动力和现象。计算与理论和实验一起成为人们研究的3大手段。有了它大大增强了人们从事科学研究的能力，加速了把科学技术转化为生产力的进程。计算对数学科学的自身发展亦产生了巨大的影响，如数学中的混沌、分形理论的出现就是例证。

计算科学包括科学与工程计算，以及与高性能计算系统研制相关的数学问题。从学科内容来讲有3部分：一是包含了各学科领域内的计算性质的学科分支，如计算数学以及与相关学科相结合的计算分支学科；二是包含了不同工程技术领域在实验与生产过程中所采用的大型计算；第三部分是与计算机科学有关的数学分支。计算科学是计算机科学、数学与相关学科相交叉融合的边缘性学科。其基础是数学，以计算（或模拟）方法、算法以及与计算系统相关的优化问题的研究为其主要内容。

我国的计算科学研究和实践曾为原子弹和氢弹的研制、人造卫星上天、远程运载火箭的发射以及在国民经济的重要领域，如石油的勘探和开发、天气预报等方面作出了重大贡献，对我国的科技进步、经济增长、国防建设所起的作用是非常明显的。计算科学是当今世界上前沿的领域。欧美国家已率先进行计算科学的研究，并已为宇航、医学、核聚变等事业的发展作出了巨大贡献。美国为了保持领先优势，美国科学、工程和技术联邦协调理事会（FCCSET）在1993年向国会提交了作为总统摧93财政年度预算附件的报告：“重大的挑战项目：高性能计算和通信”。日本在1995年内全面实施了“计算科学计划”。因此，我国亦应作出相应的部署。计算科学在我国有相当扎实的基础，已有一些基地，分别以计算数学、运筹学、计算物理、机器证明等为主要研究方向，培养了大批人才，形成了合理的梯队结构。在有些方向上，我国的研究处于世界先进水平。我们相信，在国家的支持下本专题的研究有望在全球气候变化和调控环境的模拟，分子、原子和核结构的测定，湍流、污染扩散和燃烧系统的模拟，生物高分子结构的探索，新材料特性、新药物设计、新能源机理，国民经济重大问题的计算与预测，以及生命起源和宇宙诞生的奥秘等方面取得重要成果，在某些方面作出重大的突破。

随着高性能计算机的发展和以信息高速公路为标志的世界信息社会的逐步到来，计算科学将面对许多新提出的数学问题。在本专题的研究中，抓住几个重大数学问题力争有所突破。面对每秒上亿次运算的超级计算机，在计算科学中需要大力发展数值、解析、图像和智能等各种方法。我们把寻找与计算机结构和网络相适应的、较准确反映复杂现象物理特性的计算（或模拟）方法、算法，以及相关的优化问题的基础数学理论研究作为重点。具体一点讲，提出了以下有关的科学问题和研究方向。

1．数学物理问题的高性能计算方法

由于大量的科学与工程计算中涉及非规则的复杂结构、非均匀的复合材料、非线性的动力系统、奇性区域、活动边界、带约束等各种复杂的数学物理问题，要求进行大规模和高精度计算，必须发展新的高性能计算方法和适合并行快速计算及具有自适应能力的新型算法。这涉及数值代数、数值逼近、常微分方程及偏微分方程的数值求解，以及数理方程反演问题（包括反问题和不适定问题）的数值计算的各种方法。例如，区域分解算法、保辛等结构算法等。

2．高维流体动力学计算方法

由于高性能计算机的发展，已使高维计算成为可能。但计算方法还远远跟不上发展需要。预计可着重发展的方法有高分辨率的计算方法、粒子模拟方法、湍流或混沌的数值计算方法、包含有多种复杂物理过程或带有化学反应过程的流体动力学计算方法、高温高压辐射流体动力学计算方法，以及流体力学的并行计算和可视化技术的研究等。

3．数学机械化和现代组合方法

随着计算机的发展和科学的进步，构造性数学的重要性越来越大。以用符号计算的手段进行推理运算为特征的数学机械化是我国的优势项目，在几何定理和不等式的证明以及解析公式的推导等方面取得卓越成就，应当继续大力发展。

数字化技术的迅猛发展，呼唤着计算机代数和现代几何方法的更大发展，特别是在用代数、数论、分析和几何的方法研究以下诸课题方面取得突破：计算代数、计算群论、计算数论、符号演算、有限几何、组合计数、群与图、图谱理论、编码学等。

4．高维、定性和不完全数据的统计分析

生态、环境、地球物理等领域的数据大都是高维的，在医学、生物以及社会经济调查中所得的数据有不少是定性的，工程技术中由于观察、实验、记录等各种原因，所得的数据会不完全，出现缺失或删失（如实验必须结束，而有的样品还没有失效数据）。这些高维、定性、不完全数据的统计分析，对近代社会科学的研究、高新技术的发展有着密切的联系。寻求高维数据的内在特征，刻画定性数据的相互关系，从不完全数据中充分提取有关的信息，这些应是统计分析方法研究的重点。这些研究要用到核心数学的鞅论、点过程、随机分析、微分几何、总体优化等许多理论和结果，与数学的其他分支相互促进、相互推动。

我国统计界在这些方面已有了不少工作，有良好的基础。

5．经济和高科技中的统计建模、推断与计算

社会、经济领域中，需要通过调查、仿真、模拟来探索一些规律，抽样调查的理论和方法提供了良好的手段。一些新的建模方法，如部分线性、条件异方差非线性模型更加符合实际，向统计学提出了新的问题。对统计分析和推断有很强力的推动，半参数模型、非参数方法有了迅速的发展。一些高新技术也是如此，生命科学中DNA序列和蛋白质结构的研究，信息科学中文字、图像、语音的识别，都要求有合适的统计分析模型。在航天、航空技术中，实验是昂贵的甚至是难以实现的，然而可以通过仿真、模拟以及虚拟的手段来作“计算机实验”，这些也需要统计的试验设计理论和方法，并已形成了国际上的新方向。数学中大规模总体极值的随机优化、高阶偏微分方程的随机有限元算法，以及求解高维积分的蒙特卡罗方法等都是数学向统计提出一些新的要求，形成了统计与计算的结合点。在社会、经济的决策过程中，在人工智能的技术中，贝叶斯推断的理论和方法受到了广泛的注意，并已成为解决问题的重要工具。

6．大规模、高复杂性问题的最优化方法

最优化理论和方法是大规模、高复杂系统的科学决策和管理中的重大课题，在经济建设和现代高科技中有广泛的应用，对我国“四个现代化”建设将起重大的推动作用。

本课题的主要科学问题和研究方向为：

大规模线性和非线性规划；

非光滑优化，变分不等式与互补问题；

向量极值问题；

总体极值问题；

拟最优化理论与算法；

网络最优化，图和超图理论及信息存储和传输中的优化问题；

组合几何中的离散优化问题；

对策论。

7．金融、财政中的数学问题

在国家的金融财政和金融市场中有大量数学问题。例如，如何组织抽样调查，来评估国家财政状况，摸清税收潜力；如何用对策论观点，制定合适的税收政策，促进经济发展，增加国家财政收入；如何分析、控制与防范金融市场中的风险；如何在风险环境下进行投资决策；如何优化管理外汇储备、国债发行、利率期限等；如此等等。我国的数学工作者对上述这类问题都进行过长期探索和深入研究。

这类问题的共同特点是都带有起本质作用的不确定因素和不完全信息，以及人们必须在这样的环境下作出对自身最有利的决策，有时这种决策还必须随时进行再调整。因此，时间序列分析、最优化理论、随机控制、对策论等研究都显得十分重要。近年来，由于金融市场需要所形成的金融数学研究，更是涉及随机分析、非线性分析、偏微分方程等许多很深的数学领域。

（四）复杂系统的建模、分析、控制与优化

控制论和运筹学都是第二次世界大战以来的新兴学科。50余年来这两门学科得到了蓬勃发展，其理论和方法已深深影响到经济、国防和民生的方方面面。世界范围内日益加剧的产业竞争，以及人类认识、改造和协调自然活动的深入，大量复杂系统的建模、分析、控制与优化问题向这两门学科提出了前所未有的挑战。

经典控制论的创始人是美国著名数学家N．Wiener。前苏联数学家Pontryagin的极大值原理、美国数学家R．Bellman的动态规划和R．Kalman的最优滤波理论是现代控制理论的奠基性工作。这一领域的特征是广泛应用各种现代基础数学理论（函数论、方程、拓扑、几何、代数等），同时又对基础数学本身产生了很大影响。控制理论是自动控制技术的基础，它的应用当今已遍及航空、航天、工业、国防、经济及日常生活的方方面面，成为人类改造自然的不可或缺的基本手段。

国际上在研究优化的理论与方法的众多学者中，一些学者是享誉世界的，如前苏联的L．V．Kantorovich（线性规划的创始人，获诺贝尔经济学奖）、L．G．Khachian（椭球方法），美国的G．Dantzig（数学规划的创始人）、R．L．Graham（离散优化，美国数学会主席）、N．K．Karmardar（内点方法）、R．T．Rockafellar（凸分析和非线性规划）、R．Wets（随机规划）等。美国国家研究委员会在1982年的报告“美国数学研究的概况”中，把“对于数学线性规划的多项式算法的研究”作为数学进展中“有名的例子”。美国国家委员会1990年的报告“振兴美国数学——90年代的计划”中，在说明数学的近期的重要成就和展示未来研究机会时举出的27个例子中，包括了“线性规划的内点法”和“随机线性规划”，认为这些研究将极大地扩展和提高对复杂情形进行规划并做好安排的能力。

我国拟开展如下7个方面的研究。

1．复杂系统的建模

建模就是根据观测数据建立多变量间的关系，它是对系统进行分析、控制与优化的基础。拟解决的几个关键问题：如何根据物理、力学、化学及生物学等的基本规律选择模型集；如何确定准则，在模型集中选取最佳模型；如何判别系统的可辨识性；如何降低辨识算法的复杂性；如何分析辨识算法的性质。

2．随机动态系统的控制和适应控制

拟解决的关键问题为：非线性滤波及近似理论、随机HJB方程的实用化研究和由它导出的各种近似最优随机控制方案、部分可观测随机系统的适应控制、随机非线性系统的适应控制、随机离散事件动态系统的稳定和调度策略、各种生理系统的自适应调节规律和认识、随机逼近中的快速收敛及整体优化理论等。

3．非线性现象的分析、控制与利用

主要研究内容：非线性控制系统的层次化、跟踪微分器和非线性PID等无模型控制器设计方法、稳定性和鲁棒性分析，以及分歧、混沌和同步化等的分析、控制和利用。

4．无穷维系统控制

无穷维系统是指由偏微分方程、积分方程以及抽象空间中泛函微分方程描述的动力学系统。研究的主要内容包括：最优控制、鲁棒控制、能控能观测性、反馈镇定、极点配置，以及这一类系统控制本身所固有的边界控制、解的正则性、奇异摄动和有穷维逼近等问题。

5．复杂随机系统的分析、优化、决策与可靠性

主要研究内容：大规模复杂随机网络的解析求解及优化、网络的分解研究、随机制造系统的优化控制和不可靠机器的随机调度、各种可靠性指标的统计处理方法、随机系统序贯决策的最优化、随机对策的最优化。

6．大规模、多层的离散及连续系统的优化理论与方法

大规模多层次系统优化模型是目前国际上的研究热点，研究内容包括：凸和非凸规划、多层规划、非光滑优化、变分不等式、向量极值和混合优化等问题，以及优化模型的最优性条件、正则条件、对偶理论、稳定性、快速的求解方法等。

7．复杂系统环境下的决策理论与方法研究

由于决策问题的复杂性，目前仍缺少行之有效的决策理论和方法。例如，像中国现今经济和社会发展水平之下，国家到底应该有多大的R＆D投入才最有利于经济和社会的可持久发展？这些投入应如何配置才能取得尽可能大的经济效益？这些决策问题仅靠已有的运筹学方法难以解决，需要大力开展复杂系统环境下的决策理论与方法的研究。

【注释】

(1)从1997年春天以来，国家科技部组织实施“国家重点基础研究发展规划”，国内数学界围绕数学的学科发展战略进行了几次讨论，有10多位院士与100余位专家参加，形成了文字稿。报告人受委托在院士大会上作此报告，在发表前对原稿做了少量的修改。