一些数学学科应用综述

数学的应用遍及各个领域，不可胜数. 现在就某些学科予以综述.

微分方程 微分方程在很多学科领域起着重要的作用，刚体力学的基本方程就是一个微分方程组，流体力学的基本方程是微分方程，弹性力学的方程是高阶方程. 20世纪以来，随着大量的边缘学科诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等的产生和发展，出现了不少新型的微分方程(组).70年代随着数学对化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程. 脱氧核糖核酸(DNA)的双螺旋结构的发现，标志着分子生物学的诞生，也拉开了抽象的拓扑学与生物学结合的序幕. 电子装置设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性及化学反应过程的稳定性研究，都可以化为求微分方程的解，或者化为研究解的性质.

偏微分方程，在这个领域所获得的每一研究成果，几乎都可以迅速地在力学、物理学中得到应用. 偏微分方程研究不断深入至力学、物理学、化学、生物学以至经济学、社会学等领域，社会学等领域又不断归结出一些新的偏微分方程(组)，对于描述相应学科的一些运动规律十分重要. 在介质力学、热力学和电磁理论中，归结出的许多偏微分方程，通称为数学物理方程，随着物理学内容的更新，数学物理有了新的发展. 伴随着对电磁理论和引力场的深入研究，人们的时空观念发生了深刻的变化.

数论 数论是一门高度抽象的基础学科，由于电子计算机科学的发展和应用，已成为离散数学的基础. 数论除了具有纯粹数学的基础性质外，日益展现出直接的功能，在编码和数字信息处理，用离散量的计算去逼近连续量的计算而达到所要求的精度成为可能.

抽象代数 抽象代数是研究群、环、域等性质和结构的，包括群论、环论、域论等分支. 物理对象中揭示出的多种多样的对称性，使得群论显得非常有用，群论应用于基本粒子的分类. 科学家依靠群论预言某种粒子的存在性，用群论阐明分子结构、原子结构、核结构. 群论还用于量子化学的计算，结晶学是群论获得最优先应用的科学. 群论还渗透到诸如数论、几何学、拓扑学、泛函分析等数学分支，并形成一些新的学科(如代数数论、代数拓扑、拓扑群李群、代数群、算术辟等). 半群和幺半群对计算机和算子理论的应用有很大发展.

抽象代数在结晶学、理论物理、量子化学以至编码学，自动控制理论等都有重要的应用.

非欧几何 非欧几何的创建导致人们对几何学基础的深入研究，扩大了几何学研究对象和范围.“弯曲的空间”概念导致黎曼几何的产生，而黎曼几何又是广义相对论的数学工具. 按照相对论的观点，宇宙结构是与非欧几何接近的.

拓扑学 拓扑学对于连续性数学有着根本性意义，其基本内容已成为现代数学工作者的常识. 拓扑学中的纤维丛理论和微分几何中联络论一起为理论物理中扬-米尔斯规范场论提供了现成的数学框架; 拓扑学的需要大大刺激了抽象代数学的发展，并且形成了两个新的代数学分支——同调代数与代数K理论; 范畴与函子的观念，是在概括代数拓扑的方法论时形成的，并对各种代数结构进行了统一的研究，而拓扑斯的观念大大拓广了经典的拓扑空间观念，在现代数学经济学中，如经济数学模型、均衡的存在性性质与计算都离不开代数拓扑学、微分拓扑学、流形上的分析. 在系统论、对策论、规划论、网络论中，拓扑学扮演重要角色.

托姆以微分拓扑学中微分映射的奇点理论为基础，创立了突变论，为从量变到质变的转化提供各种数学模式，在物理学、化学、生物学、语言学等方面已有不少应用. 拓扑学的概念和方法对物理学、化学、生物学都有直接应用.

泛函分析 泛函分析是20世纪30年代的数学分支，它综合函数论、几何与代数观点研究无穷维向量空间上的函数、算子理论和极限理论，是现代物理学的有力工具. 一般说来，从质点力学科学过渡到连续介质学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统，现代物理学的量子场论就属于无穷自由度系统. 对量了力学有关的数学问题的研究，已成为泛函分析发展的基本方向之一; 对数学的各个分支，泛函分析也有重要作用，如对偏微分方程. 计算数学、概率论等学科影响明显. 此外在工程技术方面常应用泛函分析方法去解决一些看起来很不相干的问题.

概率论 概率论在物理学中，研究电子-光子级联过程或核子穿到吸收体的某一深度时，要用到随机过程或用扩散方程来计算核子的概率分布; 而泊松过程是研究放射性衰变、粒子计数器、原子核照相的径迹理论的工具; 时间序列方法对探讨太阳黑子的规律或预测十分有用. 研究化学反应的时变率及影响这些时变率的因素问题、自动催化反应、单分子反应、双分子反应及一些连锁反应的动力学模型，都要用马尔科夫过程来描述; 在生物数学中，生灭型随机模型、两性增长模型、群体竞争与生尅模型、群体迁移模型、扩散模型等都要用随机过程理论提供的方法. 传染病流行、遗传问题都可以用时间序列模型进行描述; 用概率论揭示复杂系统的层次间的关系和大量元素的随机运动平均统计规律性，把离散信息源当作“马尔科夫过程”，推导出度量信息量数学公式，飞机飞行曲线的预测、高射炮的自动控制都需要概率统计作为工具. 而许多服务系统(电话通信、船舶装卸、机器损修、病人侯诊、红绿灯变换、水库调度、存货控制购货排队等等)都可用一类概率模型来描述，称之为排队过程. 现在，概率论已被广泛应用于工农业生产、军事技术和科学技术中的问题，在控制论、人工智能、图像识别中成为重要的工具. 概率论是联系实际最紧密的数学分支之一.

数理统计 数理统计方法在工农业生产、自然科学以及社会经济领域中都有广泛的应用，农业中像种子品种、施肥种类和数量、耕作方法的选定、高产品种的培育都需使用数理统计方法精心设计; 工业生产中试制新产品和改进旧产品、改革工艺流程、原料使用配方，必需应用统计分析法; 现代工业生产工序控制、产品验收及可靠性估计、质量管理需要统计把关.

数理统计方法在医学临床试验、药物治疗方法的效力，是必不可少的. 在自然科学和技术科学中也有广泛的应用，遗传定律的发现、检验和理论解释、导致“基因学说”的建立，都是个著名的例子. 统计方法在地质勘探、地震、气象和水文预报上都有一定的效果; 抽样检验、调查，对于研究社会现象意义很大; 在人口学、经济学中和其他社会科学中，统计方法成为一个科学的方法. 数量经济学有赖于数理统计而建立其理论基础.