一、为什么要转变数学教师的教学信念
前面章节通过对燕老师数学教学信念系统的检视发现，无论是其数学观、师生观、学生观、数学教学观还是教学效能感，都表现出秉持教师本位、静止、保守、限制的基本观点，这正反映了“知识传授为本”取向的种种特点，因此，燕老师秉持的是“知识传授为本”的教学信念，而这样的教学信念在研究者所接触的教学一线其他数学教师中具有一定的代表性。
一般意义上讲，数学教师秉持“知识传授为本”取向的教学信念，极不利于学生全面、健康地发展，不利于实施素质教育。这种与新课程理念相违背的教学信念引发的教学决策和行为必然会阻碍数学新课程的有效实施和顺利实现。因此，数学教师应该摒弃“知识传授为本”取向的教学信念，走向“知识传授与数学思维发展相融合”取向的信念，使数学课程改革遭遇瓶颈之时获取理性前行的核心力量。
二、“知识传授与数学思维发展相融合”取向的数学教师应具备两条基本信念
如果更进一步追问数学教师“教师本位、静止、保守、限制的基本观点”取向信念的背后是否还存在着什么，我们认为，数学教师缺乏“帮助儿童学习数学”和“为思维而教数学”的意识和信念是导致教师“知识传授为本”取向信念的根源。
“帮助儿童学习数学”和“为思维而教数学”是一个初看起来“理所当然”的命题，但是如果教师没有通过自己教学生命的真实历程与积极反思，也非常容易使这个命题在自认为简单的认识中流于肤浅。这两个命题是需要教师和研究者们通过教学生命中的真情实感去体悟和发掘的。在本书的整个过程中，笔者与燕老师通过自我理解以及相互间的理解（即对燕老师教学决策过程的对话与反思），体悟出数学教师的教学信念系统中这两个最关键的因素。其关键性在于它们是关于数学教学问题的最根本认识，是数学教师形成“知识传授与数学思维发展相融合”取向的教学信念系统的前提。
对“帮助儿童学习数学”和“为思维而教数学”两条信念的理性探讨为学界较关注，本书拟作相关的学理分析。
（一）第一条信念：帮助儿童学习数学
1.为什么要帮助儿童学习数学
第一，儿童有一些不同于成人的特点。儿童形成的意象是模糊的，成人（教师）应该给予耐心的解释使儿童懂得自己确切的意思。(65)比如，儿童学习单位“1”的概念时，当老师告诉他们“单位1代表一个整体，这个整体可以是一个物体也可以是一些物体”的时候，老师通常认为这些孩子应该都可以理解的，因为他们已经作了大量的操作活动了。而实际上这些小学生并没有懂得单位“1”的确切意思，还常常将由苹果和铅笔组成的整体看成两个“单位1”。另外，儿童不能自助，随着儿童年龄的逐渐增长，自助随之增多，但仍需要依靠成人教授理事方法。(66)看来，儿童（包括小学生）似乎真的需要得到成人的帮助。
第二，儿童思维的核心特点是自我中心。认知过程是指人们获取知识和运用知识的心理过程，包括：感觉（获取事物个别属性的信息）、知觉（对感觉信息解释的过程，反映事物的整体及其联系和关系）、记忆（将感知过的经验储存在头脑中，必要时能够提取出来）、思维（通过对已有知识经验的加工去获得间接的、概括的知识，认识事物的本质和规律）、想象（通过他人描述，人脑能想出从未感知过的新形象）和言语。(67)儿童关于感知觉、记忆等方面的特点已经熟知，比如，幼儿主要是无意记忆占优势，小学高年级学生以有意记忆占主导地位；对直观的、能引起兴趣和富有色彩的事物较容易感觉和知觉，比起感觉和知觉等，思维发生较迟。思维是人脑对客观现实的概括地、间接地反映，是一种高级的认识活动，知觉只能反映直接作用于感觉器官的事物。(68)随着年龄的增长，儿童的思维水平不断提高，在发展的不同阶段，儿童的思维显示出不同水平和特点。比如随着年龄的增长，小学生思维的基本过程日趋完善，由具体形象思维向抽象思维过渡等。
尽管如此，皮亚杰认为，儿童思维的核心特点是自我中心。所谓自我中心指儿童把注意力集中在自己的观点和自己动作上的现象，而自我中心是一种稳定而无意义的错觉，导致儿童把个人瞬间感知当做绝对真理。(69)在此意义上，教师教小学生学习数学的过程也是一个帮助学生克服自我中心的错觉的过程，皮亚杰称之为去中心化。研究发现，增加儿童的知识量并不能使儿童克服自我中心的错觉，新的信息只能反映在儿童的思维内容上。(70)因此，小学生需要成人找到恰当方法帮助他们克服学习上的自我中心，以使他们的思维得到更好的发展。
第三，儿童智慧发展的阶段论。按照皮亚杰的智慧发展理论(71)，小学儿童（7～11岁或12岁）处于具体运算阶段，标志着逻辑——数学思维的开始。与其他思维发展阶段一样，具体运算阶段的小学生的思维发展受到4个因素影响：经验、社会传递因素、机体生长因素和平衡化因素。皮亚杰认为，教师在为学生提供适当的准备活动和提出合适的启发问题方面是重要的，否则，儿童就可能延缓达到各个发展阶段。在上述4个因素中，经验和社会传递方面，教师可以发挥强烈的影响。从这个意义上讲，教师应该在积累数学经验和课堂交流、对话等教学传递方面对小学生提供恰当的帮助，为他们的逻辑——数学思维的良好发展奠定基础。
处于具体运算阶段的小学儿童对逻辑——数学思维过程的意识可能落后于正确的动作操作。(72)也就是说，学生能正确计算乘法运算并不表示他们理解了乘法的意义，“会做”不能等同于“理解”。小学儿童在学习数学的过程中，需要以具体材料和教师适当提问为特点的操作型活动来达到真正理解的运算思维水平(73)，并因此从“会做”走向“理解”。其中具体材料的恰当提供和适当的课堂提问是小学数学教师需要做的，是提供给儿童的帮助。
第四，儿童逻辑思维能力存在局限性。在数学学习过程中，小学儿童的逻辑思维能力存在几个局限性。其中之一是前面提到的“思维的自我中心”，另一个局限性是他们缺乏对自己思维的自觉意识，还有一个局限性是，儿童的推理是从特殊到特殊，没有概括和逻辑的严密性。(74)不难理解，这些局限性会造成小学生数学学习的种种障碍。比如“思维的自我中心”使儿童总觉得自己的观点是正确的，会对教师所传递的信息“不屑一顾”，进而会造成交流和对话的困难。“缺乏思维的自觉意识”不利于小学生自我监控能力发展，进而使数学问题解决能力的培养受阻。儿童不能从特殊到一般进行归纳推理，也不能从一般到特殊进行演绎推理，特别是归纳推理，势必对数学学习和教学带来冲击。因此，小学数学教师正面临着儿童对思维的非常粗浅的意识和他们解数学问题时（带上述特点）的逻辑思维过程，教师应用心地安排好教学程序。④并在安排过程中针对这些局限性制定相应的帮助策略，而不是要给儿童强加某种概念，或形成某种（思维）习惯。在这种情境中，教师是作为集体的一个成员来选择对于儿童起着作用的影响，并帮助儿童对这些影响作出适当的反应(75)。
该条系从学生角度阐述了为什么要帮助儿童学习数学，以下两条从教师角度进一步阐述。
2.数学教师帮助儿童学习的内部条件
课堂教学过程是一个社会化过程，是学生积累社会特点的场所，小学数学课堂教学亦是如此。那么，在这个学生社会化的进程中，到底谁应该为此而负责呢？是家庭、学校或是国家？有人说家庭，有人说学校，还有人说国家。无论是哪个答案，最终都指向“教师的工作”。(76)一定意义上，教师的教学工作在儿童（数学）学习的社会化进程中发挥重要作用，他们应该能够帮助儿童更好地学习（数学），正如菲利普（Philip Bigler）所说：“作为一个教师，我最大的满足在于还继续帮助儿童逐步形成寻求知识的个人愿望(77)。”
教师帮助小学生学习（数学）的内部条件来自于教师职业责任和专业素养等，包括教师的教学知识、教师的（相对）权威性等。其中教师的教学知识由3部分组成：教学的课程知识（关于包括技术在内的教学材料和资源的知识）、教学的内容知识（关于表达数学概念和过程的方式的知识）以及教学的方法知识（关于教学策略和课堂组织模式的知识）。(78)权威（authority）是指“得到普遍承认的组织集团或者个人对一定的社会生活领域所起的影响，这种影响所产生的后果是，其他人在自己的生活和观点中服从或依赖于这个组织、集团或个人。从这种意义上说，权威是一种社会关系，这种关系保障人们的活动服从于社会确立的目标和规范在一切社会形态中发挥作用。”(79)美国学者克利夫顿（Clifton，R.A.）与罗伯茨（Roberts，LW.）对于教师权威进行了深入探讨，他们提出，教师权威可分为4个层面，其中法定的权威与传统的权威源于社会制度、文化传统，而感召的权威与专业的权威则源于教师的个人因素。(80)这些个人因素包括教师的教学知识、教学信念、教学思维方式、教学风格、教学态度等。其中教师的教学信念和思维方式是主要因素，因为教师对教学材料等的深入理解、对教学内容的合理表达以及对教学过程的恰当设计和组织，都直接影响教师在学生中的地位和权威性。再加上历史发展和社会制度赋予教师的传统和法定的权威元素的相互作用，教师的权威性得以合理形成。
教师的权威能够从内生发出一种力量，吸引、指导和推动小学生乐学、愿学和渴学。
吸引小学生乐学的教师权威发挥作用的主要因素在于教学知识中的教学方法知识，即教师针对不同的学习内容要设计怎样的学习方法，才能吸引小学生的注意力并激发他们的学习兴趣，由此而生发的学习兴趣也是持久和深入的。
指导学生愿学实际上就是发挥小学生学习的主体性。教师权威起作用的主要因素在于教师的课程知识，教师对课程资料和教学资源的深入理解和合理诠释能够非常贴切地指导学生学习。学生主体性是指在教育、教学活动中，作为主体的学生在教师的引导下处理同外部世界及自我的关系时所表现出的功能特征，具体表现为自主性、能动性和创造性。(81)也就是说学生的自主性、能动性和创造性需要在课堂活动中的主体性参与来实现，特别是主体体验性参与。体验是主体内在的历时性的知、情、意、行的亲历、体认与验证。它是一种活动，更是一个过程，其过程性正好内在地吻合于教育过程中学生主体对外在世界的接受与内化过程。同时，体验过程本身可以借助具体的实践载体展开，让内心的知、情、意与表层行为共时生发，二者互为表里，双向推动。(82)因此，教师在进行课堂教学设计时，要注意引导学生在具体的学习实践行为中，融合知识、情感，达成对外在问题的表征与内化。体验的历时性要求有充足的时间保证，体验的亲历性要求所设计的活动要能充分调动学生学习的能动性，体验的体认与验证性要求所设计的问题要能够激发认知冲突，引发思维共鸣。唯如此，方能激发学生的自主性、能动性和创造性，才能在课堂中真正实现学生的主体性回归。
推动小学生想学之教师权威发挥作用的主要因素是教学的内容知识。包括对学习内容的学术形态和教学形态的合理转化，体现数学问题的情境性、学习活动的学术性以及学习过程的思维性，能够使学生体验数学，积累基本的数学经验。
3.数学教师帮助儿童学习的外部条件
教师帮助小学生学习数学的外部条件主要来自于时空元素和学生的向师性。时空元素是指教师和学生相处的时间相对来说应该多于其他成人，包括他们的家长。而且，孩子和老师在一起的时间几乎都是处于学校教育大环境之中，而与自己的家长处在一起时，更多的时间是在吃饭、看电视、玩电脑等，一起交流的时间似乎不多。有时候家长想与孩子谈谈，但多数情况下会让孩子觉得很“正式”而遭到拒绝，在学校里他们通常会希望老师找自己谈话，有事没事总会和老师搭讪。更重要的一个因素是他们的向师性，学生的向师性是指学生对老师无条件的信任和敬仰，老师的行为和语言是学生关注和模仿的典范。
学生向师性产生的原因除了教师本身的权威性外，更重要的原因是这些孩子们需要从老师那里得到帮助，尽管他们也许并不是那么清楚他们自己的需求。正如汉森（Hansen）所说，学生需要“某个人”认识到他们的独特性，并且尊重它和培育它。(83)而“某个人”的最佳人选就是他们的老师。亨利（Henry）也说到，教师的鼓励可能是学生们紧紧抓住不放以使他们能够良好评价自己的唯一的一件事情。(84)教师应该尽可能全面和深入地了解自己学生的需要并因此而更好地帮助他们学习数学。同时，教师也应该加强对自身的了解，因为教师的自我理解和自我认同是帮助学生了解和认同他们自己的先决条件(85)。
帮助学生学习就是驱动学生学习，设计有趣的课堂，甘当学生学习的催化剂。“非常教师”把自己看成是学习的催化剂而不是知识的导管——只把自己的知识传授给学生。(86)仅传达知识是平庸教师所为，水平一般的教师解释知识，好的教师演示知识，而优秀的教师激励学生去学习知识。优秀教师知道任何老师都不可能让学生学好，学生必须自己愿意学习，而且要投入学习、参与学习才行，直到学习成为他们的第二本性为止。
因此教师要与学生交谈，而不是居高临下地向学生发话。正如格兰罗斯（John Granrose）所言，教学就是教师和学生相互交流，就是教师帮助学生学好所教的课，也帮助学生与其他同学交流，在交流中分享学习的激情，分享种种新的发现。对理解力及高层次应用教学的研究已经确立了一套虽不适用于所有学科，却与大多数学科共通的理论。这些共通的要素可以被看做优秀教学的一个模式或理论的组成部分。其中对教师和学生在课堂中的角色也有明确表述：教师的角色不仅是表达讯息，而且对学生的学习努力给以框架式的帮助和作出反应，学生的作用不仅是吸收或复制别人灌输的内容，而且要积极地将所学内容弄懂、弄通，建立其意义。(87)
教学是唯一很费心费力的职业，因为对教师工作的评估并不在于教师做了什么，而是在于他们是否具备帮助学生成为有效的学习者，以及帮助自己成为一个积极的探求者的能力。(88)佐藤学在《课程与教师》的中译本序中谈到，无论哪个国家，学校教育的改革并不是单独的改革。构成学校的一切成员倘若不建立起彼此信赖合作的关系，那么，任何改革都不会取得成功。他特别提到，在这些成员（教师、家长、学校等）中培育“持续激励和帮助每一位儿童学习的亲和力”是实现学校教育改革的重要因素之一。(89)而诸多教育教学理论也特别关注到这一点。正所谓教学理论所关注的所有的事情实际上就是如何帮助人们学习得更好。(90)梅瑞尔（Merrill）也认为，教学设计的基本问题除了“教什么”外，还有“怎样帮助人们学习得更好”。(91)而新的典型教学呼吁实现从“焦点在于把信息放入学习者的脑袋”到“帮助学习者理解进入他们脑袋里的东西”的转变。(92)研究表明，孩子们喜欢“驱动他们学习”的老师，希望教师的教学能提高他们学习的主动性，并且设计有趣的课堂活动。(93)
4.数学教师怎样帮助儿童学习
在教学设计和实施的决策过程中最能承载教师帮助的是为学生精心设计的学习活动。为了帮助学生理解数学，提高数学素养，获得数学精神，教师设计和决策的学生活动要具有“原创性”“真实性”和“学术性”的特征。
“原创性”是指尊重个人知识与表达的个性化的独创性。(94)确立“原创性”是重建课堂权力关系的最有效的方略之一。尽管没有用“原创性”的概念表述，但革新的教师们大量地展开了在课堂中确立自己的“原创性”、倡导每一个学生“原创性”的实践。在“原创性”得到维护的课堂里，摒弃外来的知识（专家给予的）、谈论自己的真实的教师出现了。同时，每一个儿童也作为意义的主体建构者出现了。这样，就可以建设起每一个儿童——他们的认识和表达都是不可置换的个性的文化——都受到尊重的课堂。(95)而儿童的思维是呈胚胎式发展的，也就是说儿童的思维要发展，首先需要有一个思维胚胎——意义单体。(96)因此，在儿童个性受到尊重的课堂里，教师设计的学习活动给学生提供了“原创性”实践的机会，进而获取“意义单体”的可能。
“真实性”是指儿童由内生发的探究欲望，是内化于主体而成立的概念，是探究自身之真实的概念，(97)是儿童学习投入和个人意义获得的前提条件。查尔兹・泰勒（C.Taylor）在解析卢梭（J.J.Rousseau）晚年的一连串著作中发现了“真实性”的起源。“真实性”是意味着“自我实现”的概念而成立的，“真实性”不在于权威化了的作品，而在于创造并享受作品的主体（作者、读者）内部的“真实性”（内心的声音）探究这一主体性行为。(98)
“学术性”是指儿童参与的学习活动的“可探究性”。教学实践一旦失去了学术性格，教学实践活动充其量也不过是土木匠人的技艺性活动。(99)“可探究性”是就学习活动的内涵而言的。教师设计的活动因“真实性”和“原创性”激发了儿童学习数学的天赋资源——好奇心和兴趣。但是，杜威强调，如果不引导好奇心进入理智的水平，好奇心便会退化或消散。如果你放任这种兴趣，让儿童漫无目的地去做，那就没有生长，而生长不是出于偶然。(100)杜威认为，思维不同于自发的燃烧，而是起源于某种疑惑、迷乱或怀疑。若要依据儿童对于思维的一般兴趣，而又不顾及是否有引起他们困惑和打乱他们心理平衡的某些困难问题的切身经验，是徒劳无益的。而关注到此，也就关注了数学问题和教学的学术性。
要引导学生的好奇心达到理智的程度，便只能充实数学学习活动的内涵，使其具有可探究性，此便是“学术性”的体现。学术性的课堂活动可以由内激发儿童学习数学的兴趣，可以加强心智的好奇心和灵敏性，进而激发创造性。兴趣总是一些隐藏着的能力的信号，重要的事情是发现这种能力，放任兴趣就不能从表面深入下去，它的必然结果是以任性和好奇心代替了真正的兴趣。(101)学术性的课堂活动还可以使学生真正进行自己的思考。柏拉图曾说过，奴隶之所以为奴隶，乃是他的行为不是代表自己的思想而是代表了别人的思想。今天的教学问题更为迫切，教学的方法、目的与理解必须存在于做事的人（学生）自己的意识当中，使他的活动对他自己应当有意义。(102)
学生活动的原创性、真实性和学术性是相互关联和相互影响的。原创性激发儿童学习数学的好奇心和欲望，具备了学习兴趣的儿童便由内生发出探究的愿望。学术性便使儿童的探究愿望得以维持和发展，直至探究的兴趣和欲望得到满足，也因此使儿童学习数学的内心愿望得到强化。教师在教学决策时切实关注学生活动的三性，是为了更好地促进学生的学习投入，包括情感投入、认知投入和行为投入。关于三投入的关系，已有研究表明，行为投入（一些文献翻译为“行为参与”，其余同）与心理参与的关系是可以分离的，心理参与包括认知参与和情感参与。这些研究表明，情感参与与行为参与关系不紧密，认知参与与行为参与关系也不紧密。另一方面，情感参与与认知参与的关系密切，“知”“情”密切结合是教学过程中的基本规律。(103)本书似乎也印证了这样的观点。同时，学生参与是影响学习结果的重要因素，学生在教学过程中全面参与（合理的认知参与和积极的情感参与）是高层次思考能力发展的基本条件。(104)
（二）第二条信念：为思维而教数学
1.“为思维而教数学”：为什么
第一，数学之于儿童包含复杂的思维过程。对于儿童的学习活动来说，即使是十分初等的题材也可能包括相当复杂的思维发展过程。(105)比如，一年级学生通过游戏、动手操作和语言结合，促进动作活动思维向具体形象思维的过渡。以“8”的认识为例，教师先出示一张挂图（内容是一个教师带领8个小学生在游戏池里学游泳）。通过提问引出“8”这个基数后，再请8个小学生拿着数字卡片，用游戏的方法形象地渗透集合、对应、基数、序数等知识，让这8个学生分成两组，看看有几种分法。最后让他们排成一队，说出从左往右或从右到左第8个学生是谁。当学生认识了“8”之后，最后让学生说用“8”表示的各种数量。还可请全班学生拿出8根小棒分成两堆，试试看有几种摆法。学生通过这样的游戏、语言的叙述、教具的摆弄，把枯燥的“8”转化成生动形象的游戏的场面，留下清晰客观的形象，让学生一看到“8”就能产生联想。由此可以想象，学生掌握“8”的内涵与外延的过程是一个复杂的思维发展过程。再如，小学中高学段儿童的思维方式是逐步从以形象思维为主，向以抽象思维为主发展的。因此，教师在教学中通过直观教学、表象的具体化等引导学生从形象思维向抽象思维的过渡显得尤其重要。以五年级“分数的意义”的学习为例，学生通过操作具体学具形成直观表象理解1/3或1/4的实际意义，再通过逆向操作（2/5或1/8表示什么）使表象具体化，最终通过抽象思维概括出分数的一般意义。
实际上，上述两个例子同时也说明了另外一个道理，即儿童在实践活动中产生的新需要和原有思维结构之间的矛盾是思维发展的动力，实践活动是思维发展的源泉。(106)“8的认识”中儿童分小棒、排队数数等，以及“分数的意义”中儿童操作学具等都是他们在具体实践活动中产生思维冲突，进而促进思维发展的例子。初等数学问题相对于儿童的思维复杂性以及儿童思维发展来源于其实践活动中遭遇的思维矛盾，这些特点本身就说明儿童自己解决这些问题的欠缺性和无助性，进而对教师帮助儿童养成良好的思维方式的需求更显得重要和迫切。
第二，思维之于儿童在于开发心智。对于思维的价值，杜威专门论述过。杜威认为，思维能使人类从单纯冲动和一成不变的行动中解脱，把盲目的和冲动的行动转化为智慧的行动，从而使合理的行动具有自觉的目的；人们运用思维才有可能进行有系统的准备和发明，并且使事物的意义更充实，这些方面都是个体和人类全面发展的前提。通常认为各个学科的学习能够开发儿童的心智。他还认为任何新学科、课题和问题具有开发心智的作用，并不在于学科、课题或问题的本身，而是因为它们对任何特殊人物的生活具有指导思维的作用。(107)这也是思维的价值所在，它蕴含于学科之中。儿童通过学习学科知识以及经验的过程，获得能够指导现时或将来生活的思维训练。杜威强调，思维需要从儿童早期得到自然的发展，教学要系统地注视和控制思维的过程，以便使思维真正是反省的。
然而，在实际教学情境中，许多教师把课堂的秩序视为教学的前提条件，严格学习态度与课堂纪律。但是，在这样的课堂中表面看来是顺利展开的教学，其实由于对秩序的顺应而潜在着困境的现象层出不穷。学习活动由于参与方式的定型化，无论在内容上和活动上都受到制约。学习不是求取知性探究的愉快活动，而成了以对于秩序的机械顺应为主要动机的隶属性活动。同秩序井然的表面相反，在每个人的内心深处不经意地积蓄着混沌的无力感。(108)进而，教师不但没有给学生提供有趣的知性探索活动，还剥夺了学生思考的机会。舍恩（D.Schon）在讨论“反思性教学”概念时，倡导教师的作用是“提供儿童（思维与行为的）合理根据，即使看来是错误的儿童的见解与行动也有它合理的根据。观察这个“理的世界”，从儿童的思维与活动的内部促进其“反省性思维即探究”，乃是教师的主要作用。(109)虽然这是谈论“反思性教学”时提出的，但是作者认为，在任何教学的场所，教师的作用都应该是帮助和推进儿童的数学思维的发展。因此，应该改变这种“为秩序而教”的教学现状，树立“为思维而教数学”的教学信念。
2.“为思维而教数学”：怎么样
首先，树立“为思维而教数学”的信念。
其次，丰富儿童的数学表象系统，促进知识的迁移。杜威认为，表象是教学的重要工具，假如将现在用以使儿童学习某些事物的十分之九的精力用来注意儿童是否形成适当的表象，教学工作将会容易得多。(110)而表象是思维和数学形象思维的主要形式，形象思维的培养是传统教学经常忽视的。从这个角度讲，数学教学应该注重数学思维的培养。另外，教师要重视学习活动的共同因素的建立，这些共同因素是知识从一个情境迁移到另一个情境的基础，这说明迁移并不是必然的。如果头脑里没有抓住并掌握这些共同因素，那么任何迁移的发生将仅仅是盲目的、纯粹偶然的。(111)杜威认为，思维是一种自觉地理解共同因素的过程，并大大增加了共同因素的有效性，以便达到知识迁移的目的，即思维正好是使知识迁移成为可能的因素，是控制知识迁移的因素。布鲁纳在小学数学领域做了大量实验，他认为，动作→表象→符号是学生学习数学的认知序列，也是儿童认知发展的程序。(112)儿童的数学表象是儿童由初级动作技能和思维发展到抽象数学符号思维的桥梁。儿童表象系统越丰富，这种过渡和发展会越顺利，相关的联系和知识网络也就越丰富和开放。
第三，建立学术情境，训练儿童思维。此处的训练并非是常规意义上理解的含义，即把“训练”与绝对操纵、公式化行为等概念相联系。其实，就教师对学生的思维培养而言，“训练”还含有教师为学生的思维发展提供机会和帮助的意思，要创设有利于学生思维得到切实发展的学术情境。在杜威看来，思维训练的方法在于各种情境，这些情境要能够使思维的训练有成效，只要存在各种错误的情境，思维的练习就注定要落空。教师建立的情境要能引起和指导学生的好奇心，要建立与被经验的各种事物的联结。在杜威看来，所谓训练，就是发展儿童的好奇心、暗示以及探究和检验的习惯。教师建立的训练情境要能够增加学生对种种问题的敏感性和探究费解与未知问题的爱好，并能够对所观察和暗示的每种事实，提供更为敏锐的感觉能力与证明能力。
基于上面的论述，拥有“帮助学生学习数学”和“为思维而教数学”信念的教师便有望实现自身角色与教学方式的转变（见图5.2、图5.3）。
图5.2 转变前教师、学生角色图示
图5.3 转变后教师、学生角色图示
三、转变数学教师教学信念的路径
国外已经有学者进行了使教师信念系统发生变化的研究，比如科里尔、希尔克（Shirk，1973）。他们的研究表明，改变教师的信念并不容易，单一的训练课程根本不可能达到目的。他们认为通过同类的、可持续性的干预能使教师信念变化的可能性增加。还有学者通过实验研究如何使教师的教学信念发生变化。梅耶森（Meyerson，1978）对初中数学教师进行个案研究，他设计的课程包括7个主题：对数学的误解、惊奇、怀疑、感觉、个体差异、问题解决和对教育学基础原理的再测试。梅耶森认为怀疑是影响信念变化的主要因素，而怀疑产生于所创设的问题情境。在这些课程中，理解教师为什么要这么做而不是那样做是引发教师信念变化的中心，而不是试图使教师的现有信念结构重组。卡蓬特（Carpenter，1989）等进行了较成功改变教师信念的研究，他们观察到这些教师们的教学决策发生了重要变化。教师们花费更多的时间去倾听他们的学生对问题解决策略的解释，而那些死记硬背的活动预设则花费极少的时间。
借鉴这些研究成果，要使数学教师的教学信念系统发生改变是一个长期的系统工程。需要设置丰富的、多维的课程计划，这些课程应该以恰当的问题情境呈现，以此激发教师们的怀疑和批判精神。比如，课程可以设计“帮助”的主题，配置适当的问题（当学生不能理解某概念时，你怎样帮助他；或者学生不听课时，你怎样帮助他，等等）引导教师进行讨论和模拟教学。培训者需要弄清楚教师们做法背后的原因，再针对这些原因对症给出建议。这样的课程应该贯穿职前教育和在职培训。对于职前的准教师，重点应该放在理解“帮助学生学习数学”和“为思维而教”的内涵上，而在职教师，则需要培训者深入教学实践与教师们一起解决一些实际问题，引领数学教师在解决实际问题的过程中体验这些信念的内涵和作用。
【注释】
(1)Tabatha Dobson Scharlach.These kids just aren’tmotivated to read：the influence of preservice teachers’beliefs on their expectations，instruction，and evaluation of struggling readers. Literacy research and instruction，2008（47）：158-173.
(2)Dianne J. Hall，Robert A.Davis.Engagingmultiple perspectives：A value-based decision-makingmodel. Decision Support Systems 43（2007）：1588-1604.
(3)Bryan Hosack.The effect of system feedback and decision context on value-based decision-making behavior.Decision Support Systems 43（2007）：1605-1614.
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