牛顿三大定律

牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理》中提出了著名的三大定律，即牛顿第一定律（惯性定律）：任何物体如果没有力的作用，都将保持静止或做匀速直线运动的状态。牛顿第二定律：物体运动的加速度与作用在其上的合力成正比，与物体的惯性质量成反比，并且加速度的方向在所加合力的那个直线方向上。牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）：每一个作用总是有一个相等的反作用与它相对抗；或者说，两种物体彼此之间的相互作用大小永远相等，并且各自指向其对方。其中第三定律是牛顿对力学基本原理的一个最具有独创性的贡献。

一、牛顿三大定律提出的背景

我国墨家最早提出了力的定义：“力，刑之所以奋也。”这里的“力”象征用农具奋力翻土，说明力就是用身体克服阻力的原因。例如重力是向下的，举重就是“奋”。关于合力，我国淮南学者使用了“积力”的概念。他们在《淮南子 主术训》中写道“积力所举，无不胜也”“力胜其任，则举之不重也。”这里的“积力”就是一些力相加的结果。单个力小于重物之重力就不能举起重物，但是几个力的积力则可举起重物。对于力与运动的关系，我国科学家张衡（78—139）在物理学和机械制造方面均有建树。他发明建造的“候风地动仪”是一项非常了不起的发明，也是世界上最早测量地震的仪器。遗憾的是，当时我国数学家没有发明代数方法，使得我国的科学理论没有量化标准，因而在近代科学史上贡献寥寥。下面看看西欧关于力和运动的研究情况。

公元前4世纪，古希腊哲学家亚里士多德（Aristotle，公元前384—前322）指出：静止是物体的自然状态，如果没有作用力就没有运动。该观点认为力是维持物体运动的原因，但他第一次提出了力与运动间存在关系，为力学发展作出了一定贡献。公元6世纪，希腊学者菲洛彭诺斯（J．Philoponus）对亚里士多德的运动学说持批判态度。他认为抛体本身具有某种动力，推动物体前进，直到耗尽才趋于停止，这种看法后来发展为14世纪的“冲力理论”。公元14世纪，法国哲学家布里丹（Jean Buridan， 1295—1358）、阿尔伯特、尼克尔·奥里斯姆（Nicole Oresme，1320—1382）等人提出“冲力理论”，他们认为：“推动者在推动一物体运动时，便对它施加某种冲力或某种动力，速度越大，冲力越大，冲力耗尽时，物体停止下来。”这一理论为意大利物理学家伽利略·伽利雷（Galileo Galilei，1564—1642）和英国物理学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton，1643—1727）的相关理论奠定了基础。17世纪，伽利略在他的著作中多次提出类似于惯性原理的说法。他分别于1632年和1638年在《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》和《关于力学和位置运动的两门新科学的对话》中记录了理想斜面实验，并推理“如有一足够长而绝对光滑的表面，将没有东西能阻碍小球运动，所以小球一直继续运动或者直到有东西（外力）阻碍它”，从而得到结论：“物体在自然状态下会维持原有运动而非趋于停止。”该结论打破了自亚里士多德以来约一千三百年间“力是维持物体运动的原因”的陈旧观念，但仍未摆脱其影响。该结论很接近惯性定律。1644年，法国物理学家勒内·笛卡儿（Rene Descartes，1596—1650）在《哲学原理》中弥补了伽利略的不足。他明确地指出，除非物体受到外因的作用，物体将永远保持其静止或运动状态，并且还特地声明，惯性运动的物体永远不会使自己趋向曲线运动，而只保持在直线上运动。他把这条基本原理表述为两条定律：

（1）每一单独的物质微粒将继续保持同一状态，直到与其他微粒相碰被迫改变这一状态为止；

（2）所有的运动，其本身都是沿直线的。

然而笛卡儿没有建立起他试图建立的那种能演绎出各种自然现象的体系，不过他的思想对牛顿对此类定律之后的总结产生了一定的影响。笛卡儿的最大贡献在于他第一个认识到：力是改变物体运动状态的原因。1662年，伽利略指出：“以任何速度运动着的物体，只要除去加速或减速的外因，此速度就可以保持不变。”笛卡儿也认为：“在没有外加作用时，粒子或者匀速运动，或者静止。”牛顿把这一假定作为牛顿第一运动定律，并将伽利略的思想进一步推广到有力作用的场合，提出了牛顿第二运动定律。1664年，牛顿受到对碰撞问题研究较早的笛卡儿的影响，也开始研究两个球形非弹性碰撞的问题。1665—1666年，牛顿又研究了两个球形刚体碰撞的问题。他没有把注意力集中在动量和动量守恒方面，而是集中在物体之间的相互作用上。对于两刚体的碰撞，他提出：“在它们相碰的瞬间，它们的压力处于最大值，它们的整个运动被此一瞬间彼此之间的压力所阻止，只要这两个物体都不互相屈服，它们之间将会持有同样猛烈的压力，它们将会以之前彼此趋近的速度大小相互离开。”1668—1669年，荷兰物理学家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens，1629—1695）、沃里斯和英国物理学家克里斯托弗·雷恩（Christopher Wren，1632—1723）也分别对碰撞问题做了很多研究，并得出了一些重要的结论。其中，惠更斯的工作比较突出，他证明了两硬的物体在碰撞过程中同一方向的动量保持不变，纠正了笛卡儿不考虑动量具有方向性的错误，而且首次提出碰撞前后的动量守恒。牛顿在正式提出牛顿第三运动定律时，肯定了他们的工作，同时也指出了他们的局限性。牛顿认为：“雷恩和惠更斯的理论以绝对硬的物体为前提，而用理想弹性体可以得到更肯定的结果，并且用非理想弹性体，如压紧的木球、钢球和玻璃球做实验，消除误差后结果是一致的。”1673年，法国物理学家马里奥特（Edme Mariotte，1620—1684）用两个单摆做碰撞实验，巧妙地测出了碰撞前后的瞬时速度。牛顿也重复做了此实验，他进一步讨论了空气阻力的影响及改进办法，并对结果进行了修正。1684年8月起，在英国物理学家埃德蒙多·哈雷（Edmond Halley，1656—1742）的劝说下，牛顿开始系统地整理手稿，重新考虑部分问题。1687年，牛顿发表了《自然哲学的数学原理》。在这部巨著中，牛顿概括了伽利略、笛卡儿、开普勒、惠更斯、胡克等人的研究成果以及他自己的创造，首次明确提出了关于物体运动问题的三大定律。但在第二定律中，他是这样说的：“运动的改变和所加的力成正比，并且发生在所加的力的那个直线方向上”，即F∝Δv。1750年，欧拉才指出应该把力同动量的变化率联系起来，形成了现代人们公认的牛顿第二定律F∝m∝ma。

二、牛顿三大定律的数学表述及物理解析

1．牛顿第一定律的数学表达式

这个定律的解释是当质点所受合外力为零时，质点的速度保持不变。它定义了惯性的概念，即任何物体都有保持运动状态不变和反抗其他物体改变其运动状态的属性，物体这种固有的属性称为物体的惯性。物体惯性大小的量度就是物体的质量；定义了力的概念，即力是改变物体运动状态的原因；定义了惯性参考系和非惯性参考系的概念，即一切做匀速直线运动的参考系称为惯性系，反之，称为非惯性系。

2．牛顿第二定律的数学表达式

当质点所受合外力不为零时，质点获得加速度。加速度大小与合外力大小成正比，与质点的惯性质量成反比，加速度的方向与合外力方向一致。这个定律定义了力的单位（N），也就是说使1kg的物体获得1m／s2的加速度，则作用在这个物体上的合力为1N，同时也指明了合力的方向为加速度的方向。

3．牛顿第三定律的数学表达式

F12=-F21（2-3）

该定律表明，作用力和反作用力总是大小相等、方向相反地成对出现，且同时出现，同时消失。

三、牛顿第二定律在具体坐标中的表示

1．牛顿第二定律在三维空间直角坐标中的表示

由于F=Fxi+Fyj+Fzk，v=vxi+vyj+vzk，a=axi+ayj+azk，i，j，k是直角坐标三个方向的单位矢量，而且它们的大小和方向都保持不变，将这三式代入式（2-2），比较等式两边有

式（2-4）即是牛顿第二定律在三维直角坐标中的表示，它把矢量问题代数化，方便人们求出具体问题的解析式。而且，如果一个物体受到三个方向没有联系的力的作用，它在x、y和z方向的三个运动将是独立的。比如一个平抛的物体，它的水平方向的速度没有任何变化，而竖直方向的速度按v0+gt的方式随时间增加，所以它在竖直方向的运动方式就和水平方向运动不存在时的运动方式相同。

2．牛顿第二定律在平面自然坐标中的表示

在平面自然坐标中F=Ftet+Fnen，a=atet+anen=，其中et和en分别是自然坐标切线方向和法向方向的单位矢量，它们的大小不变，方向随运动物体的轨迹变化而变化。将力的表达式和加速度的表达式代入式（2-2）有

式（2-5）是牛顿第二定律在平面自然坐标中的表示，它为理解曲线运动特别是圆周运动提供了一个简洁的表达式。

四、牛顿三大定律的科学意义及其对人类生活的影响

牛顿的《自然哲学的数学原理》以其宏大的篇幅、精湛的思想、严谨的体系和丰富的内容成为物理学发展史上一部光辉的经典著作。蕴含其中的三大定律是这本巨著的灵魂，它像一盏明灯照亮了世界。牛顿在这部书中，从力学的基本概念（包括质量、动量、惯性、力）和这三个基本定律出发，运用他发明的锐利的数学工具——微积分，不但从数学上论证了万有引力定律，而且为经典力学确立了完整而严密的科学体系，把天体力学和地面上的物体力学统一起来，实现了物理学术史上第一次大综合，奠定了经典物理学的基石。但牛顿三大定律发现的初期，人们也是有一些疑惑的。最典型的就是怎么区别F=ma与作用在飞机上的阻力f=-cv2这类关系式，它们有同等的地位吗？绝对不是。后者是风洞试验得出的经验公式。如果速度非常低，低到一般飞机不能飞行只能在空气中慢慢地前进时，这个表达式就会发生改变，或许变为f=-cv这样的关系式。f=-cv2不是一个普遍适用的规律，它只是某种特定情形下物体受到的力与速度之间的关系式。这样的例子还有两固体接触面之间的摩擦力f=μN，这个公式对于大致判断某些工程学中所需力的大小是一个很好的经验法则。如果法向力或者运动速度太大，由于产生了大量的热，这个关系式就失效了。所以这些经验等式都有它的适用范围，超过这个范围，等式就变形了或者直接失效了。而牛顿第二定律F=ma在物体速度小于光速，物体尺寸大于1Å的大范围内形式保持不变，我们说它是一个宏观、低速运动物体运动遵循的普适规律，是我们在初始条件已知的情形下探明未来时刻物体的位置、速度、加速度的有效工具。

五、应用举例

例 一架飞机以50m／s的水平速度触地滑行，滑行期间受到的空气水平阻力为c1v2，升力为c2v2，其中v是飞机的滑行速度，k==4为两常数之比，称为升阻比。设飞机与跑道之间的摩擦系数为μ=0．20，求飞机从触地到停止所滑行的距离。

分析：首先，由于我们关心的是飞机水平方向的平动问题，所以可以把飞机视为一个质点，这样飞机的运动问题就转化为一个质点的运动；其次，题目只告诉我们运动质点的初速度，要知道它在停止前运行的距离，还需要找出质点运行的加速度。根据牛顿第二定律，要知道质点的加速度，需要对质点的受力情况进行分析。从题目已知条件知道质点受到的力不是常数，而是与质点运动速度以及质点给陆地的正压力有关的变力的作用，所以需要根据牛顿第二定律、第三定律建立微分方程组来解决这个问题。

解：选择飞机着陆点为坐标原点，飞机滑行方向为正向。飞机水平方向受力为摩擦阻力μN，空气阻力c1v2；竖直方向受力为重力mg，支撑力N，升力c2v2。根据牛顿第二定律，可列出以下方程组：

由方程（2-6）消去N可得

将式（2-8）代入式（2-7）可得

将式（2-9）积分可得

将初始条件t=0，x=0，v=v0代入式（2-10）可解得积分常数

将式（2-11）代入式（2-10），得

到现在为止，还没有得到飞机停止前所运行的距离，因为飞机的质量m并不是已知数，c1，c2也不知道，只有它们的比值。这样，需要进一步从初始条件结合运动方程来找这些量。由于飞机触地瞬间，v=v0，N=0，代入方程（2-6）可得

将式（2-13）代入式（2-12）可得

其中用到了=k。设飞机从触地到停止滑行的距离为xc，此时v=0，代入式（2-14）即得

式（2-15）即是找到的飞机滑行距离与初速度之间的关系表达式及在题设已知条件下飞机最远的滑行距离。

六、课后练习

2-1 假设高空形成的雨滴质量为m，初速度为0，下落时质量保持不变但受到与速率成正比的阻力作用，其比例系数用k表示，求雨滴下落过程中任意时刻的速率与时间的函数关系，并讨论它的最终速度。

图2-1

2-2 如图2-1所示，一条质量均匀分布的细绳，假设其质量为M，长度为L，一端拴在点O，另一端连一个质量为m的小球。假设让绳在光滑的水平面上绕点O以恒定角速度ω转动，求距离O点为r处绳中的张力T（r）。

2-3 已知一个质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离的平方成反比，即f=-k／x2，k为比例系数。设质点在x=a处的速度为0，求质点在处的速度大小。

2-4 一个质量为m的不明飞行物从离地面为h的高空由静止竖直下落，如图2-2所示。为了阻止它击中地面物体，在它的正下方立刻竖直向上发射一枚导弹。假设导弹的初速度大小为v0，导弹质量为m，导弹和不明飞行物受到的空气阻力与其速度成正比，比例系数为k。以不明飞行物初始下落时刻为计时起点，试讨论导弹击中不明飞行物需要的时间、地点以及它们相遇时各自的速度。

2-5 如图2-3所示，在光滑的水平桌面上放置一竖直固定的无底圆桶，半径为R。一个小球在紧靠圆桶内壁的水平桌面上运动。设小球与圆桶内壁间的摩擦系数为μ，在t=0时，球的速率为v0，求任一时刻球的速率和运动路程。

图2-2

图2-3