广义牛顿定律

如图2－4所示，牛顿提出了关于黏性流体做直线层状运动时，两流体层间的切应力的假设。认为切应力与层间速度成正比，即

μ为动力黏性系数，其值取决于流体的物理性质。通常称式（2－33）为牛顿内摩擦定律。

图2－4 流体做直线层状运动时壁面附近速度分布

根据前两节所述的变形率张量和应力张量，式（2－33）左边对应于平面直线运动特殊情况下的应力张量的一个切向分量，右边的导数项对应于变形率张量的一个分量。因此，可以理解为τyz与εyx成正比例

Stokes将广义牛顿内摩擦定律推广到黏性流体的任意流动情形中去，假设：

1）流体是连续的，它的应力张量是变形率张量的线性函数。

2）流体是各向同性的，也就是说它的性质与方向无关。因此，无论坐标系如何选取，它的应力与变形率的关系是相同的。

3）当流体静止，即变形率为零时，流体中的应力就是流体静压力。

或

〔I〕为单位张量。

实验证明，对大多数常见的液体和气体，上述假设是正确的。

根据应力张量与变形率张量是线性关系以及流体是各向同性的假设，可以将应力张量〔τ〕与变形率张量〔ε〕的线性关系式写成

式中的系数a和b应该是标量。

为便于推导，先选取应力张量和变形率张量的主轴坐标系。流体各向同性的假定必然使应力张量和变形率张量的主轴坐标系重合。在主轴坐标系中，应力张量和变形率张量只有主对角线上的三个分量。

故应力分量与变形率分量之间的关系可写成

式中：a、b、和c是待定标量系数，与运动特性无关，仅与流体物理特性有关。根据假设3），系数d应是流体静压，即d＝p。

根据流体各向同性的假定，如果与应力分量垂直的两个坐标方向对换，上述关系还应成立，则必须有b＝c。于是，在主轴坐标系中，牛顿流体的应力与变形率之间的关系式可写为

写成张量形式为

上式是在主轴坐标系中导出的应力与变形率之间的关系式。根据流体各向同性的假定，可以证明上式也适用于任意出现剪切应力的坐标系。

对照式（2－34）和式（2－37），便得出上式的两个系数为

适用于任意坐标系的应力与变形率之间的关系式为

τ＝2με＋（－p＋b divv）〔I〕

或

上式称为广义牛顿应力定律。

在利用主轴坐标系的推导中只出现法向应力，转换到任意坐标系上，便出现法向和切向应力。习惯上把动力黏性系数称为第一黏性系数。系数b或λ称为第二黏性系数，因为它只在流体体积发生变化时才显示，故称为体膨胀黏性系数。Stokes假定第二黏性系数为

于是

上式也可以写成

式中δij称为Kroneker符号，定义为

式（2－46）也可写成

用于不可压缩流体，则上式写成

按照黏性流体的平均压力定义

由式（1－46）确定平均压力与静压之间的关系为

上式表明可压缩流体的平均压力不等于热力学压力，只有静止流体或不可压缩流体的平均压力等于静压。但采用Stokes对第二黏性系数的假定后，平均压力都等于热力学压力。

广义牛顿应力关系式是黏性流体力学的理论基础之一。虽在推导过程中采用了一些难以用实验验证的假定，但根据这一关系式所得的黏性流体力学基本方程在解决实际问题中得到证实，间接地证明了这些假定的正确性。广义牛顿应力关系式适用于牛顿流体；对于非牛顿流体，不能应用广义牛顿应力关系式。

第一黏性系数μ和第二黏性系数λ是流体两个彼此独立的物理量。μ容易通过实验测定，也有理论计算公式；λ很难测定，没有一致公认的理论公式和数据，而且对λ本身还有一些争议，在不可压缩流体中第二黏性系数不出现。在可压缩流中，因为divv通常不大，故λdivv与方程中其他项相比是个小量，可忽略不计，但在冲激波中不能忽略。Stokes假定在λ＝－2μ／3时，对单原子气体和温度不太高的双原子气体相当准确。通过对大多数液体的测量，发现λ为正值，而且比μ还大，但人们对实验还有争论。Stokes假设可从分子运动论中得到解释。

推导广义牛顿应力关系式中所用假定的主要出发点是：流体变形率小；忽略变形率的高次项；流体处于热力学平衡状态，这相当于低速流动。但对结构简单的空气和其他流体，除强激波外，这个关系式也适用于超音速流动，甚至高超音速流动。目前，理论上还不能划定它适用的具体范围。