牛顿运动定律典型例题

正好在二百年前牛顿闭上了他的眼睛。我们觉得有必要在这样的时刻来纪念这位杰出的天才，在他以前和以后，都还没有人能像他那样地决定着西方的思想、研究和实践的方向。他不仅作为某些关键性方法的发明者来说是杰出的，而且他在善于运用他那时的经验材料上也是独特的，同时他还对于数学和物理学的详细证明方法有惊人的创造才能。由于这些理由，他应当受到我们的最深挚的尊敬。可是，牛顿之所以成为这样的人物，还有比他的天才所许可的更为重要的东西，那就是因为命运使他处在人类理智的历史转折点上。为了清晰地看到这一点，我们必须明白，在牛顿以前，并没有一个关于物理因果性的完整体系，能够表示经验世界的任何深刻特征。

无疑，古代希腊伟大的唯物论者坚持主张：一切物质事件都应当归结为一系列完全有规律的原子运动，而不允许把任何生物的意志作为独立的原因。而且无疑笛卡儿按他自己的方式重新探索过这个问题。但在当时它始终不过是一个大胆的奢望，一个哲学学派的成问题的理想而已。在牛顿以前，还没有什么实际的结果来支持那种认为物理因果关系有完整链条的信念。

牛顿的目标是要回答这样的问题：有没有这样一条简单的规则，当所有天体在某一瞬间的运动状态已知时，能用这条规则完备地计算出我们太阳系中天体的运动？他碰到的是开普勒（Kepler）从第谷·布拉赫（Tycho Brahe）的观测结果推算出来的行星运动的经验定律，而这就需要解释。⁽²⁾固然，这些定律对行星如何绕太阳运动的问题作了完满的回答：轨道的椭圆形，半径在相等时间内扫过相等的面积，长轴同公转周期之间的关系。但是这些定律并不满足因果性解释的要求。它们是三条逻辑上独立的规则，并没有揭示内在的相互关系。第三条定律不能简单地、定量地移用到太阳以外的其他中心体上（比如，行星绕太阳公转的周期同卫星绕行星旋转的周期之间并无关系）。但是，最重要的一点是：这些定律涉及的是整个运动，而不是体系的运动状态怎样规定那个在时间上紧跟在它后面的运动状态；按我们现在的说法，它们是积分定律而不是微分定律。

只有微分定律的形式才能完全满足近代物理学家对因果性的要求。微分定律的明晰概念是牛顿最伟大的理智成就之一。当时不仅需要这种概念，而且还需要一种数学的形式体系，这种形式体系当时只是一种初步的，还需要得到成体系的形式。牛顿在微积分里也找到了这种形式。在这里我们不必去考查莱布尼茨是否也独立地发现了这种数学方法。无论如何，对牛顿来说，把这种方法搞得更完善，是绝对必要的，因为只有这种方法才能为他提供表达他的思想的工具。

伽利略已经在认识运动定律上作了一个意义重大的开端。他发现了惯性定律和地球引力场中的自由落体定律：一个物体（更精确地说，是一个质点）在不受其他物体的作用时作匀速直线运动。自由落体在引力场中的竖直速度随着时间均匀增加。今天我们也许会以为从伽利略的发现到牛顿的运动定律只是走了很小的一步。但是应当注意，上面这两条陈述都是讲的整个运动，而牛顿的运动定律则回答这样的问题：在外力的作用下，质点的运动状态在一个无限短的时间内应该如何变化？只有考虑到在无限短的时间内发生了什么（微分定律），牛顿才得到一个适用于任何运动的公式。他从当时已经高度发展的静力学中取来了力的概念。只有在引进质量这个新概念之后，他才能把力和加速度联系起来，说来奇怪，这个新概念的支柱竟是一个虚构的定义。今天我们已经非常习惯于去形成那些相当于微商的概念，以致我们现在很难再理解那种由二次极限过程而得到普遍的微分定律所需要的非凡的抽象能力了，而在这个过程中，还必须创造出质量的概念。

但是运动的因果概念还远没有完成。因为只有在力是已知时才能由运动方程得出运动。牛顿设想，作用在一个物体上的力是由一切同该物体离得足够近的物体的位置所决定的，这种思想无疑是受了行星运动定律的启发。只有在这种关系建立起来以后，才得到了关于运动的完整因果概念。大家都知道，牛顿怎样从开普勒的行星运动定律出发解决了引力问题，并且由此发现了作用在星球上的推动力和引力在本质上是相同的。正是这种

运动定律加引力定律

的结合构成了一个奇妙的思想结构，通过这个结构，就有可能根据在一特定瞬间所得到的体系的状态，计算出它在过去和未来的状态，只要一切事件都是限于在引力的影响下发生的。牛顿的概念体系在逻辑上的完备性就在于：一个体系中各个物体的加速度的唯一原因就是这些物体本身。

以这里所简要说明的基础为根据，牛顿成功地解释了行星、卫星和彗星的运动，直至其最微末的细节，同样也解释了潮汐和地球的进动——这是无比辉煌的演绎成就。天体运动的原因就是我们在日常生活中非常熟悉的重力，这个发现必然给人以特别深刻的印象。

但是牛顿的成就的重要性，并不限于为实际的力学科学创造了一个可用的和逻辑上令人满意的基础；而且直到十九世纪末，它一直是理论物理学领域中每个工作者的纲领。一切物理事件都要追溯到那些服从牛顿运动定律的物体，这只要把力的定律加以扩充，使之适应于被考查的情况就行了。牛顿自己曾试图把这个纳领用于光学，假定光由惯性微粒组成。在牛顿运动定律用到连续分布的物体以后，甚至连光的波动论也利用了牛顿运动定律。牛顿的运动方程也是热的分子运动论的唯一基础，这不仅为人们发现能量守恒定律作了思想准备，而且还导致一种直至最后的细节都已经证实了的气体理论，以及关于热力学第二定律的本质的一种更为深刻的看法。电学和磁学的发展也沿着牛顿的路线前进直至近代（带电的和磁性的实物，超距作用力）。甚至由法拉第和麦克斯韦所发动的电动力学和光学的革命，也完全是在牛顿思想的影响下发生的，这一革命是牛顿以后理论物理学中第一次重大的基本进展。麦克斯韦、玻耳兹曼和开耳芬勋爵不厌其烦地把电磁场和它们的动力学相互作用归结为假想的连续分布质点的机械作用。但是，由于这些努力没有成效，或者至少没有任何显著的成效，所以从十九世纪末叶以来，我们的基本观念便有了逐渐的变革；理论物理学越出了牛顿的框架，这个框架在将近二百年中给予科学以稳定性和思想指导。

牛顿的基本原理从逻辑的观点看来是如此完善，以致检验这些原理的动力只能来自经验事实的要求。在进入讨论以前，我必须强调指出，牛顿自己比他以后许多博学的科学家都更明白他的思想结构中固有的弱点。这一事实时常引起我对他的深挚的敬佩，因此我想花点时间来谈一谈这个问题。

Ⅰ．牛顿处处都明显地尽力把他的体系表现为由经验必然地决定的，并且尽力使他引用那些不能直接涉及对象的概念的数目尽可能地少；尽管如此，他还是创立了绝对空间和绝对时间的概念。因为这个缘故，近年来他常常受到批评。但是在这一点上牛顿是特别地始终不渝的。他已经认识到，可观察的几何量（质点彼此之间的距离）和它们在时间中的进程，并不能从物理方面完备地表征运动。他以著名的旋转水桶实验来证明这一点。因此，除了物体和随时间变化的距离以外，还必须有另一种决定运动的东西。他认为，这种“东西”就是对于“绝对空间”的关系。他晓得，如果他的运动定律要有任何意义，空间就必须具有一种物理的实在性，就像质点和它们的距离的实在性一样。

对这一点的清楚了解，既显示了牛顿的智慧，也暴露了他的理论的弱点。因为这一理论的逻辑结构，如果没有这个虚幻的概念，无疑会更加令人满意；在那种情况下，只有那些同知觉的关系完全清楚的东西（质点、距离）才会进入这些定律。

Ⅱ．引用那种直接的和即时传递的超距作用力来表示重力的效应，是同我们在日常生活中熟悉的大多数过程不相符的。对于这个反对意见，牛顿指出：他的引力相互作用定律，并不认为是最终的解释，而只是从经验中归纳出来的一条规则。

Ⅲ．物体的重量和惯性是由同一个量（它的质量）来决定的，对于这个极其值得注意的事实，牛顿的理论并没有作出解释。牛顿自己意识到这一事实是很奇特的。

这三点没有一点能算作对这个理论的逻辑上的反驳。在某种意义上来说，这不过是表示科学家在为用概念去完备地、统一地掌握自然现象而进行的斗争中那些没有得到满足的愿望。

被认为是整个理论物理学纲领的牛顿运动理论，从麦克斯韦的电学理论那里受到了第一次打击。人们已经明白，物体之间的电的和磁的相互作用，并不是即时传递的超距作用，而是由一种以有限速度通过空间传播的过程所引起。按照法拉第的概念，除了质点及其运动以外，还有一种新的物理实在，那就是“场”。最初人们坚持力学的观点，试图把场解释为一种充满空间的假想媒质（以太）的力学状态（运动的或者应力的状态）。但是当这种解释虽经顽强的努力而仍然无效时，人们便逐渐地习惯于这样的观念了，即认为“电磁场”是物理实在的最终的不能再简化的成分。我们应当感谢H．赫兹，因为他使场的概念干脆摆脱了由力学的概念武库而来的一切障碍。我们也应当感谢H．A．洛伦兹，因为他使场的概念摆脱了物质的基体；按照洛伦兹，唯一留下来可以作为场的基体的东西就是物理上的空虚空间（或以太），而这个空间即使在牛顿力学中也不是完全没有物理作用的。认识到这一点以后，再也没有人相信直接而即时的超距作用了，甚至在引力的范围内也是如此，虽然由于缺乏足够的实际知识，关于引力的场理论还没有清楚地揭示出来。牛顿的超距作用力的假说一旦被抛弃，电磁场理论的发展也就导致了这样的企图：想以电磁的路线来解释牛顿的运动定律，也就是想用一个以场论为基础的更加精确的运动定律来代替牛顿运动定律。虽然这种努力尚未完全成功，但是力学的基本概念已经不再被认为是物理世界体系（physical cosmos）的基本组成了。

麦克斯韦和洛伦兹的理论不可避免地会导致狭义相对论，狭义相对论既然放弃了绝对同时性观念，也就排除了超距作用力的存在。由这一理论可知：质量不是一个不变的量，而是依赖于（实际上是相当于）所含的能量。它也表明，牛顿的运动定律只能认为是对低速才有效的极限定律；它建立了一条新的运动定律来代替牛顿定律，在这条新定律里，真空中的光速是极限速度。

广义相对论成为场论纲领发展中的最后一步。从量上来说，它对牛顿的学说只作了很小的修改，但是在质上却是很深刻的。惯性、引力，以及物体和时钟的度规性状，都归结为单一的场的性质；这个场本身也假设是取决于物体的（牛顿的引力定律的推广，或者说得更恰当些，像泊松所表述的相当于牛顿引力定律的场定律的推广）。因此空间和时间被剥夺了的并不是它们的实在性，而是它们的因果的绝对性——即只起影响而不受影响的这种绝对性——牛顿为了用公式表述当时已知的定律，不得不把这种绝对性强加给它们。广义的惯性定律取代了牛顿运动定律的作用。这个简短的说明足以表明，牛顿理论的元素怎样让位给广义相对论，上述三个缺点从而怎样得到克服的。在广义相对论的框架里，运动定律看来似乎能够从相当于牛顿的力定律的场定律推出来。只有当这个目标完全达到了，才有可能谈到纯粹的场论。

在一种较为形式的意义上来说，牛顿力学也为场论开辟了道路。把牛顿力学应用于连续分布的质量，必然会导致偏微分方程的发现和应用，这种方程第一次为场论的定律准备了语言。就这种形式而论，牛顿的微分定律概念为后来的发展构成了第一个决定性的步骤。

到此为止，我们所说的是我们关于自然过程的观念的全部进展，它可以认为是牛顿思想的一种有系统的发展。但是，当改善场论的过程还在积极进行的时候，热辐射、光谱、放射性等事实，却已经显示出这整个概念体系适用的局限性，尽管这个体系在许多事例中已经取得巨大成就，今天我们仍然认为这个局限性实际上是无法克服的。许多物理学家断言——而且有许多有利于他们的有力论据——在这些事实面前，不仅微分定律，而且因果律本身（直到现在，这是一切自然科学的终极的基本假设）也已经破产了。甚至连要建立一个能同物理事件无歧义地对应的空间-时间结构的可能性也被否定了。一个力学体系只能具有分立的稳定能量值或稳定状态——正如为经验几乎直接表明的那样——初看起来似乎很难从运用微分方程的场论中推导出来。德布罗意-薛定谔方法在某种意义上是具有场论的特征的，它确实推算出只存在分立的状态，这同经验事实取得惊人的一致。它得到这个结果，是由于在微分方程的基础上考虑了特殊的共振条件，但是它必须放弃质点的定域和严格的因果律。谁敢在今天断定这样的问题：因果律和微分定律这两条牛顿的自然观的终极前提是不是一定要放弃呢？

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(1) 这是爱因斯坦于1927年为纪念牛顿逝世二百周年而写的文章，最初发表在柏林《自然科学》周刊（Naturwissenschaften），15卷，273—276页。这里译自《思想和见解》，253—261页。

爱萨克·牛顿（Isaac Newton），英国物理学家和数学家，生于1642年12月25日，卒于1727年3月20日。——编译者

(2) 今天任何人都知道，要从这种经验上确定的轨道来发现这些定律，需要何等辛勤的劳动。但是很少有人仔细想过开普勒从表观的轨道——即从地球上所观测到的运动——推出实在的轨道所用的卓绝的方法了。——原注