资产价值服从跳－扩散过程的风险债券定价

目前，对信用风险进行度量和定价的模型主要有两类，即结构化模型和简化模型。关于结构化模型的研究可以追溯到Black，Scholes［1］和Merton［8］所做的工作。它是基于期权定价的模型，认为违约是内生的，并假设公司资产价值是连续变化的动态过程，当资产价值低于某个临界值时发生违约。简化模型则首次由Jarrow，Turnbull提出，它是基于保险精算的方法。它不考虑公司资产和违约之间的关系，而是假定违约过程是一个外生的泊松过程。作为对两类模型改进的方式之一是将两者有机地结合［13］。实际经济活动表明，许多金融变量如利率、股票价格等的变化路径并非是连续的。Merton就首先建立了股票价格的跳－扩散行为模型，其中扩散过程表示股票价格的连续波动，跳过程则代表了股票价格的不连续波动［2］。事实上，类似的也有公司资产价值既可能像结构化模型中所假设的连续变化至违约临界点，也可能突然地向下跳跃至违约临界点或以下。一般地，跳跃发生的原因是由于新的重大信息的到达所引致。当出现新的重大信息时，资产价值的跳跃过程可以用泊松过程表示。于是跳－扩散模型将泊松过程引入到结构化模型中在一定程度上融合了结构化模型与简化模型。Zhou考虑了突发事件的影响，并应用齐次泊松过程描述了突发事件发生的强度函数，提出了基于跳－扩散过程的信用风险定价模型［14］。

公司债券是具有违约风险的金融资产，本节将在假定公司资产价值服从跳－扩散过程，并且其中跳过程为比泊松过程更一般的一类更新过程的情况下，建立风险债券的定价模型，并通过鞅方法得到债券价格的解析解。

一、市场假设与资产价值模型

市场假设如下：

1）市场是一个无摩擦、无交易成本、无税收的可连续交易金融市场；

2）不存在无风险套利机会；

3）利率r是常数，于是单位无风险债券的价值为B（t，T）＝exp［－r（T－t）］；

4）公司资产价值Vt是权益价值和负债的总和；

5）负债可以看成是面值为K，到期日为T的零息票债券。

基于以上假设有，企业仅由权益和一种债务工具进行融资。在债券到期日T，若公司资产价值VT≥K则履行债务；若公司的资产价值VT＜K则发生违约，那时债券持有人拥有接管公司的权利，而股权持有者将一无所获。于是权益可以看成是以公司资产价值Vt为标的，执行价格为K，到期日为T的欧式看涨期权，而公司债务则可以看成是面值为K的无风险债券和以公司资产价值Vt为标的，执行价格为K的欧式看跌期权的资产组合。

记权益价值为E（Vt，t），债券价值为C（Vt，t），则有：

Vt＝E（Vt，t）＋C（Vt，t）；

E（VT，T）＝max（0，VT－K）＝（VT－K）＋；

C（VT，T）＝min（K，VT）＝K－max（0，K－VT）＝K－（K－VT）＋．

｛Nt＜n｝＝｛τn≥t｝，（t≥0，n＝1，2，…）

即

｛Nt＝n｝＝｛τn＋1≥t＞τn｝，（t≥0，n＝1，2，…）

则称｛Nt，t≥0｝是一个更新过程，τn为其第n个更新时刻，Tn为其第n个更新间距，则Nt为t时刻前发生的总的更新次数。

事实上，由定理2得到对于计数过程｛Nt，t≥0｝，若每次事件发生的时间间隔T1，T2，…相互独立并且服从同一参数为λ的指数分布，则此计数过程为参数λ的泊松过程。而当时间间隔是独立同分布的随机变量且分布可以任意时，该计数过程为更新过程。

本节将要讨论一类特定的更新过程。

定义9　设｛Nt，t≥0｝是更新过程，其更新间距Tn服从Γ（α，λ）分布（α≥1），即Tn具有概率密度函数

其中，则Nt＝sup｛n：τn≤t，t≥0｝为一类特定的更新过程。

注意到，当α＝1时，Γ（1，λ）即为参数λ的指数分布；当时，Γ即为χ2（n）分布。

命题1　更新过程的强度为，故此处所定义的特定更新过程的强度为λα。证明：记X服从Γ（α，λ）分布，其k阶矩为

X的期望和方差为

命题2　若｛Nt，t≥0｝是定义9中的特定的更新过程，记Pn（t）＝P（Nt＝n），则

当α为正整数时

证明：因为Γ分布具有可加性，Tn～Γ（α，λ），故的密度函数为

所以

当α为正整数时

假设公司的资产价值满足随机微分方程

其中μ为公司资产期望收益率，Wt为（Ω，Ft，P）下的标准Wiener过程，J－1（J＞0）为资产价值发生跳跃时的相对跳跃高度，为一随机变量，为由更新跳跃带来的平均增长，Nt为定义9中的一类特定的更新过程，σ为没有发生跳跃时公司资产收益率的标准差，γ＝E（J－1），E为期望算子。

由式（5－21）式可以看到，资产价值的变化可以分成两个部分：一部分是可以预测的，另一部分是不可预测的，而不可预测的部分可分为用dWt来描述的由市场信息的变化引起的资产价值的正常波动，以及用dNt来刻画的由重大信息的到来所引致的资产价值的异常跳跃部分。

由Ito定理有，对∀Y＝F（Vt， t）有

其中Ft，FV，FVV均为对F求偏导的含义。

令Y＝lnVt，求导得

于是

其中Ji－1为τi时刻资产价值的相对跳跃高度，J1，J2，…为与J独立同分布的随机变量。

由命题2知，当α为正整数时

于是

记　

则

对于任意的F（Vt，t），由Ito定理有

考虑资产组合∏＝F－ΔVt，于是

由于跳跃部分大多由公司内部自身因素造成，故被假定与市场无关，不能被对冲掉。于是当资产组合消除了Wiener过程带来的不确定性之后，该组合的预期收益应为无风险利率r。

令Δ＝FV，消除dWt，于是

进一步，由E（d∏）＝r∏dt得到，

故

代入式（5－23）中整理得

此即所有衍生证券在标的资产服从更新跳跃过程的假设下所满足的微分方程。

二、基于跳－扩散过程的风险债券定价模型

根据以上分析得到债券价值C（Vt，t）也满足方程（5－24），即

同时满足边界条件

C（Vt，T）＝K－（K－Vt）＋

C（0，t）＝0

C（Vt，t）→K　当Vt→∞

式（5－22）式给出了资产价值的解析表达式，而资产的折现过程

N

一般不是鞅，下面利用Girsanov定理把Vt＊变成一个鞅。

由资产价值所满足的式（5－21）有

令WtQ＝Wt＋［（μ－r，则根据Girsanov定理WtQ为（Ω，Ft，Q）上的标准Wiener过程，于是

于是Vt＊为Q－鞅，且

再由Vt＊＝e－rt　Vt得

进而有

下面求在t时刻的债券价值C（Vt，t），记，则在等价鞅测度Q下，有

其中F（ηi）是Ji的分布函数，Lj是关于

分布的期望算子。

进一步，由于f（VT）＝K－（K－VT）＋，于是

令则有

令，于是

又

而

其中N（x）为标准正态分布的累积分布函数。式（5－25）即为公司资产价值服从跳－扩散过程的风险债券的定价公式。

跳－扩散模型一方面更好地刻画实际金融现象，另一方面由于跳跃过程可以使信贷利差产生大幅度波动，从而可以弥补结构化模型不能解决的短期信用差价非零的问题。本节对公司资产价值服从一类特定的跳－扩散过程的风险债券问题进行了讨论，是对Zhou（1997）模型的推广，并应用鞅定价方法得到了风险债券定价的解析公式。