服从跳－扩散过程的期权定价方法

一、Black-Scholes期权定价模型与现实世界的差距

著名的Black-Scholes期权定价模型是由Black，Scholes（1973）提出的，目前已成为期权定价理论的核心基础。Black-Scholes定价方法的主要思想是：构造一种包含衍生证券头寸和股票头寸的无风险资产组合，在无套利机会条件下，该资产组合的收益率为无风险利率r，可以建立无风险组合的原因是衍生证券和股票价格都受同一种不确定性即股票价格变动的影响。

模型的基本假设为：

1）股票价格遵循几何布朗运动；

2）允许使用全部所得卖空衍生证券；

3）不存在无风险套利机会；

4）证券交易是连续的；

5）市场无摩擦，即无交易费用和税收；

6）无风险利率r为常数；

7）在证券有效期内无红利支付。

假设股票价格S遵循几何布朗运动

其中S为股票价格，μ为股票预期收益率，σ为股票波动率，μ，σ为常数。

记f（S，t）为基于股票的某个衍生证券价格，为S和t的函数，由Ito引理得

其中ΔS和Δf是S和f在短时间间隔Δt后变化量，由于两式中的Wiener过程增量ΔW相同，故可选择适当的证券组合来消除Wiener过程。

式（5-2）、式（5-3）的离散形式为

Δt时间后证券组合的价值变化Δ∏为

将式（5-4），（5-5）代入式（5-7）中得到

式（5-8）中不再含有W项，说明经过Δt时间后资产组合是无风险的，于是有

其中r为无风险利率，将式（5-6）、式（5-8）代入式（5-9）整理得

式（5-10）即为著名的Black-Scholes微分方程。

可以看到，在Black-Scholes方程中出现的变量为时间，无风险利率，股票价格波动率，股票当前价格，它们都独立于风险偏好，也就是方程中不含有受投资者风险偏好影响的变量。因此，对f定价时可以采用任何一种风险偏好。比如，假设所有投资者都是风险中性的，而在一个风险中性世界里，所有证券的预期收益率都为无风险利率r。注意，基于风险中性假设所得出的微分方程的解却是适用于所有世界的。

记ST为T时刻股票价格，K为期权执行价格，r为无风险利率，在风险中性世界里，欧式看涨期权到期日的期望价值为

这里的E是风险中性世界中的期望。在风险中性世界中，投资者对风险不要求补偿，衍生证券的价值是其预期收益在风险中性世界中按无风险利率贴现的结果。所以，欧式看涨期权的价格c为

其中

对式（5-11）右边求值是一个积分过程，结果是

c＝SN（d1）－Ke－r（T－t）N（d2）

其中

N（x）为标准正态分布的分布函数值。

根据欧式看涨期权、看跌期权的平价关系，可以得到看跌期权的价值p为

p＝Ke－r（T－t）N（－d2）－SN（－d1）

尽管Black-Scholes模型是期权定价理论的核心和基础，但模型本身并不完美。正因如此，在此后的研究中有大量学者对模型的改进进行了探讨。

首先，模型假设在证券有效期内无红利支付，这一假设不符合现实情况。最先Black-Scholes方程推广到基于连续支付红利率的股票期权定价的是Merton［8］，文章中得到了连续支付红利率为q的股票欧式看涨期权的价格

c＝Se－q（T－t）N（d1）－Ke－r（T－t）N（d2）

欧式看跌期权的价格

p＝Ke－r（T－t）N（－d2）－Se－q（T－t）N（－d1）

其中

第二，在现实的金融市场中，利率是一个变化的量，甚至可能是随机利率。模型中利率为常数的假设显然不能反映真实利率的运动。利率问题也是金融研究领域的一个焦点问题，Cox，Ingersoll，Ross［9］，Longstaff，Schwartz［10］等众多学者对利率的变化进行了研究。其中最具代表性的是Vasicek［11］建立的Vasicek模型dr（t）＝a［b－cr（t）］dt＋σdW（t），t＞0，该模型假设利率的运动过程是一个Ito过程，它已成为利率分析中不可或缺的一部分。

第五，对冲产生的交易成本是客观存在的，而模型并未考虑。

第六，模型假设股票价格遵循几何布朗运动，在此假设下，股票围绕着一个期望收益率在合理范围内连续变化和波动，但当有例如重大政治事件，突发的战争，公司资产重组等重大消息到来时，往往会使得股票价格发生非连续的变动，为了描绘资产价格的真实运动情况，还需要一类模拟跳跃的随机过程。Merton［2］考虑了当股票价格作非连续变化时的期权定价问题，文章中假设股票价格服从跳－扩散过程dSt＝St［（μ－λθ）dt＋σdWt＋UdNt］，其中Nt表示股票在［0，t］内的跳跃次数。

二、基于支付红利率跳－扩散过程的期权定价模型与鞅方法

（一）鞅定价法与Girsanov定理

现代微观金融理论研究的一项重要工作是对金融衍生产品定价。一般来说，定价方法有两种，偏微分方程方法和鞅方法。传统的偏微分方程方法来自Black，Scloles的经典论文。但事实上，并非所有的偏微分方程都能得到解析解，而且一般用于解题的方法对数学要求较高，所以目前采用较多的方法是鞅方法。虽然大多数金融衍生产品的价格运动不是鞅过程，但由于鞅是基于特定的概率分布和信息集合来定义的，于是可以通过对信息集合和概率测度的适当变换，就可以把上（下）鞅转换成为鞅。用鞅方法为金融衍生产品定价的中心问题是找到一个测度θ，使得资产价格的折现过程在该测度下为鞅。在资本资产定价理论中，Dalang，Morton，Willinger证明了当时期个数、证券个数有限时，市场无套利的充要条件是存在唯一的等价概率测度使得所有衍生证券的折现过程为鞅［12］。此时，金融市场上所有衍生证券都可以由用于交易的基础证券的自筹投资组合完全复制，且所有证券的唯一合理价格是该衍生证券的贴现收益在等价鞅测度下的期望值。

鞅的数学期望的形式是基于特定的概率测度的，一旦概率测度发生变化，那么原来是鞅的随机过程有可能不再是鞅。反之，可以考虑通过适当地变换概率测度，将一个随机过程变成鞅。例如，在概率测度P下，有EP（ST｜Ft）＞St，t∈T，其中EP是概率测度P下的条件期望算子，那么（St）t∈［0，T］是一个下鞅。现在的工作是要寻找另一个与P等价的概率测度Q，使得EQ（ST｜Ft）＝St，t＜T，也就是把（St）t∈［0，T］变成一个鞅。如果可以实现，就使得有着正的风险溢价的资产看上去是无风险的了，这样的概率分布Q称为是等价鞅测度。基于上述的分析与假设，若存在这样的等价鞅测度Q，对金融资产的定价则只需要求出在测度Q下资产的期望收益，然后用无风险利率贴现到当前时刻即可。

例如，假设随机变量X服从P测度下的正态分布，X～N（μ，1），则有

构造函数：

其中μ为任意常数，令

可以看到dQ（x）是均值为0，方差为1的分布函数，Q是一个新的概率测度，从而实现了测度变换。这种变换使得在变换前后的两个测度有着相同的零概率集合，即P（dx）＞0⇔Q（dx）＞0，所以被称为是等价测度变换。

对于一般的

dQ＝ξ（x）dP（x）

可以将ξ（x）理解为是测度Q对测度P的变化率，并称之为拉登－尼科迪姆导数。ξ通过下面的形式把两种测度联系起来。

以上的分析是基于一维随机变量进行的，它不足以用于处理连续时间的随机过程，连续时间的随机过程需要处理右连续的情形。以下定理可以处理复杂情形下的概率测度变换任务，不加证明地给出以下定理。

定理4　（Girsanov定理）［5］524在概率空间（Ω，F，P）上定义一个随机过程

其中βt是Ft－可测的随机过程，Wt是服从P分布的标准Wiener过程。用dQ＝ξtdP定义概率测度Q，并令

则WtQ为概率空间（Ω，F，Q）下的标准Wiener过程。

（二）支付红利率的跳－扩散模型

假设市场上存在两种可连续交易的证券，一种是无风险证券如国债，一种是风险证券如股票，股票价格St所满足的随机微分方程如下：

其中μ为股票的期望收益率，q为证券有效期内支付的股票红利率，σ＞0为没有发生跳跃时标的资产收益率的标准差，J＞0是刻画跳跃幅度的随机变量，Nt服从参数为λt的泊松过程，Wt是标准Wiener过程，γ＝E（J－1）＞0，并假设dWt，dNt，J是相互独立的。

基于上述模型，对于任意的衍生证券F（St，t），记Y＝F（St，t），由Ito定理得

考虑证券组合∏＝－Y＋ΔSt，即卖空一份衍生证券同时买入数量为Δ的股票，则d∏＝－dY＋ΔdSt

将式（5-12）、式（5-13）代入d∏＝－dY＋ΔdSt整理得

可以看到，令Δ＝FSt即可消除dWt项，随机项只剩下dNt。从本质上说，这一不确定项不能被对冲掉，因为在Merton［2］模型中假设“jump component”是纯粹由公司内部因素导致的而与市场无关，根据资本资产定价模型（CAPM）此类风险将无超额回报。

同时考虑到在dt时间内，持有该证券组合的投资者获取资本利得d∏，红利为qStFStdt。

定义dP为该证券组合的持有者在dt时间内的财富变化，于是当Δ＝FSt 时，有

式中没有出现dWt项，而dNt项被解释为无须风险回报，所以该证券组合的收益率为r，即

E（dP）＝r∏dt

整理得

由于跳出现的概率是λdt，且γ＝E（J－1），所以

代入（5－14）得到，对任意Y＝F（St，t），有

式（5-15）即为标的资产为支付连续红利率q且股票价格服从跳－扩散过程的任一衍生证券价值F所满足的方程。当λ＝0，q＝0时即为经典Black-Scholes微分方程，而边界条件取决于衍生证券F（St，t）自身的意义和相关性质。

需要说明的是，在方的推导过程中令Δ＝FSt是为了对冲掉dWt项，有时也会采用别的方法来确定Δ的值。例如，可以选择适当的Δ值使得dP的方差最小从而获得风险最小的投资组合。

进一步地，根据式（5-13）式可以得到

于是

lnJ～N（μJ，σJ2）

由于Ji独立同分布于J，由式（5-16）得到

（三）欧式期权定价

假设股票价格St满足式（5-12）所示随机微分方程，则任意衍生证券F（St，t）均满足式（5-15），下面讨论基于支付红利率的跳－扩散过程的欧式看涨期权定价，再由平价关系得到欧式看跌期权价值。

记c（St，t）为欧式看涨期权价值，ST为到期时刻股票价格，K为期权执行价格，则欧式看涨期权满足边界条件

c（ST，T）＝max（ST－K，0）＝f（ST）

式（5-16）给出了St的解析表达式。

由于假设股票支付连续红利率q，而红利的支付使得股票价格降低了等于红利的数量，所以支付连续红利率q使得股票价格的增长率比不支付红利时减少了q。也就是说，如果支付连续红利率q的股票从t时刻的St增加到T时刻的ST，那么没有红利支付的股票价格是从t时刻的Ste－q（T－t）增加到T时刻的ST。

令St＊＝e－（r－q）tSt

则为在有红利支付情况下的股票贴现价格。

进一步地有

由Girsanov定理知，令

则有

于是WtQ为（Ω，Ft，Q）上的标准Wiener过程，St＊为等价鞅测度Q下的鞅。容易解得

进而其中Nt服从参数为λt的泊松分布，Ji为与J独立同分布的随机变量。欧式看涨期权价值c（St，t）求解如下：

F（ηi）是Ji的分布函数，Lj是关于Ji分布的期望算子。

由于f（ST）＝max（ST－K，0），故

又

而

其中N（x）为标准正态分布的累积分布函数。

对于看跌期权p（St，t）的价值推导过程与上述类似，只是边界条件发生变化为f（ST）＝（K－ST）＋，或者根据标的资产为支付红利股票的看涨看跌期权的平价关系得到

三、期权的行权概率与风险评估

（一）期权的行权概率

假设股票价格满足式（5－12），该方程的解为

进而有

其中Ji独立同分布于J，n服从泊松分布。

进一步假设

lnJ～N（μJ，σJ2）

于是欧式看涨期权的行权概率为

Pc＝1－P（ST≤K｜St）

＝1－P（lnST≤lnK｜St）

欧式看跌期权的行权概率为

Pp＝P（ST≤K｜St）＝1－Pc

（二）风险评估

风险价值是指在给定的置信水平下，在一定时间内持有某种证券或资产组合可能遭受的最大损失，这个方法是在1996年由J．P．Morgan提出的。VaR值的计算公式是：

VaR＝预期收益／损失—在给定置信水平下可能遭受的最大损失

若V代表敞口目前的市价，R为在期间H内的收益率，μ＝E（R）为其预期收益率，R＊代表与既定置信水平α（如99%）下的最大可能损失相对应的收益率。

令V＊＝V（1＋R＊），则

VaR（H；α）＝E（V）－V＊＝V（1＋μ）－V（1＋R＊）＝V（μ－R＊）

一般来说，推导资产组合的VaR值需要知道组合收益率的分布，通常的做法是假定资产收益服从正态分布或价格服从对数正态分布。但事实上，组合的收益率不一定服从正态分布，特别是含有期权的组合。

假设股票价格服从式（5－12）的随机微分方程，基于此的欧式看涨期权c（St，t）和欧式看跌期权p（St，t）的价值分别在式（5－18）和（5－19）中给出。

下面对欧式看涨期权的风险进行评估，定义［0，T］内期权的收益率为

R＝（ST－K）＋／c－1

其中K为期权执行价格，c为欧式看涨期权价值，α为事先给定的置信水平。

当ST＜K时，R的值为－1；

当ST≥K时，有，同时有Wi，Ji相互独立，故

于是

1－α＝P［（ST－K）／c－1＜R＊］

＋∞e－λ（T－t）［λ（T－t）］jln（cR＊＋c＋K）－lnS1

＝∑∫

t

［x－（μ－q－1σ2－λγ）（T－t）－jμ］2

·e－2Jdx

2［σ2（T－t）＋jσ2］

J

给定具体的t，α可以根据以下步骤得到看涨期权的风险价值：

2）由式（5－20）式得到R＊的值；

3）根据公式VaR＝c（μ－R＊）计算看涨期权的风险价值。

类似的推导可以得到看跌期权的风险价值。