大自然这部书，在永恒的意识中
纪录了大自然的思想；在无所不在的圣殿中
绘出了大自然的真实形象，大自然美丽
的画卷充斥着巨大的全宇宙。
T·康帕内拉（T．Campanella）
中世纪的绘画多半是为教堂画装饰物，主要是通过描绘的图像来表现基督教教义和思想。到这个时期快要结束时，画家们也和欧洲其他思想家一样，开始对自然界感兴趣。受强调人、围绕着人的宇宙新观念的鼓舞，文艺复兴时期的艺术家们敢于面对自然界，敢于深刻地研究、探索和真实地描绘自然界。画家们复兴了生机盎然的世界中壮丽、令人愉悦的本质，重新描绘出美丽的画卷，这种美丽的画卷被证明是物质世界的幸福之所在，是满足自然需要的不可剥夺的权利，是由大地、空气、河流、海洋所带来的欢乐。
在描绘现实世界的问题中，由于几个方面的原因使得文艺复兴时期的画家们对数学产生了兴趣。第一个原因在任何时期都起作用，那就是艺术家们追求逼真的绘画创造。除去颜色和创作意图，那么画家在画布上所画的东西就是位于一定空间的几何形体了。处理这些理想化物体所使用的语言，它们所拥有的理想的比例，描绘它们位于空间中相互位置的关系，都需要利用欧氏几何，才能使这几方面有机地结合起来。艺术家需要的也仅仅是利用这一知识。
文艺复兴时期的艺术家们转向数学，不仅是因为他们试图逼真地再现自然界，而且因为他们受复兴的希腊哲学的影响。他们完全熟悉而且满脑子都充满了这样的信念：数学是真实的现实世界的本质，宇宙是有秩序的，而且能按照几何方式明确地理性化。因此，像希腊哲学家一样，他们认为要透过现象认识本质，即他们需要在画布上真实地展示其题材的现实性，他们最后所要解决的问题就必定归结到与一定的数学内容相关。艺术家试图发现其作品中数学本质的最有趣的论据，可以在达·芬奇对比例的研究中找到。在这一研究中，他试图使理想人物的结构适应理想的图形——正方形和圆（插图6）。
全然为了精确的绘画而利用数学，与数学是现实的本质这种哲学观念，仅仅是文艺复兴时期的艺术家寻求利用数学的两个原因。除此还有另外的原因。中世纪晚期和文艺复兴时期的艺术家，也是他们那个时代的建筑师和工程师，因此他们必然地爱好数学。商人、世俗王侯、教会人士把所有的建筑问题都交给艺术家。艺术家设计、建造教堂、医院、皇宫、修道院、桥梁、堡垒、水闸、运河、城墙、战争器械，在达·芬奇的笔记中，可以找到大量的诸如此类设计的图纸，他自己曾服务于米兰城的统治者拉多瓦·斯福尔扎（Lodovico Sforza），不仅作为一位建筑师、雕刻家、画家，而且还作为一名工程师、军事工程建造技师和战争武器专家为其服务。艺术家甚至还被人邀请去解决炮兵部队中炮弹运行的问题，在那个时期，解决这类问题需要有高深的数学知识。文艺复兴时期的艺术家是最优秀的实用数学家，而且在15世纪，他们也是最博学、多才多艺的理论数学家，这样说一点也不夸张。
激发文艺复兴时期艺术家数学天才的那些特殊问题，与我们将在这里讨论的问题，就是如何在二维的画布上描绘现实中的三维景物。通过创立一整套全新的数学透视理论体系，艺术家们解决了这一问题，随之他们创立了一种全新的绘画风格。
在整个绘画史上，为了在石膏模板和画布上绘制图案所利用的各种方案——即各种透视体系，可以划分为两大类：概念体系和光学体系。概念体系就是按照某种观念或原则去绘制人物和物体，但是与实际的景物本身却几乎没有什么关系。例如，埃及的绘画的浮雕作品大都遵从概念体系，人物的大小经常是依据他们在政治-宗教阶层中的重要性而定。法老经常是最重要的人物，所以尺寸就最大，他的妻子则比他小一些，仆人就小得可怜了。同一个人的不同部分，正面、侧面甚至同时出现。为了表示成群结队的一系列人或动物，采用的方法甚至是，稍稍慢慢地移动同一个图像的位置，使其重复出现。不仅大多数日本画和中国画，甚至现代绘画（插图27）也遵从概念体系而进行创作。
另一方面，光学透视体系则试图表达出图像本身在两只眼睛中尽可能相同的映象。尽管希腊和罗马绘画主要遵从光学体系，但基督教神秘主义的影响却使艺术家们回到了概念透视体系，而且这种风格在整个中世纪都很流行。早期基督教艺术家和中世纪的艺术家都满足于描绘象征性的内容，也就是说，他们所画的背景和主题倾向于表现宗教题材，并由此导出宗教情感而不是去表现现实中真实的人和现实世界。人、物的绘画风格是高度统一的，而且是通过一个平坦的二维空间表现出来的。应该是参差错落的图像，经常被分开置放在同一旁或排成上下关系。呆板僵硬、毫无生气是当时绘画风格的特征。画的背景全是用同一种颜色，通常是金黄色，为的是强调宗教主题与现实世界截然不同、毫无关联。
早期基督教精心雕就的“亚伯拉罕和天使们在一起”（Abraham With Angels）（插图7），就是受拜占庭影响的一个典型实例，它表现了古代透视的风格。背景基本上是非彩色的，大地、树、杂草都呈矫揉造作状，显得毫无生气，为了顾及到画面的边缘，树的形状显得千奇百怪。画面上的物体没有任何前景或立足的基底。图像彼此间互不关联，当然，空间关系也被忽略了，因为尺寸和大小在当时都被认为是无关紧要的。画面上，所存的只是金色背景和物体的颜色所提供的松散的结构。
尽管罗马人使用光学体系的余味有时会在中世纪绘画中出现，但拜占庭风格依然居于统治地位。一个最典型的例子，而且确实被认为是中世纪绘画的精华，是由西蒙·马尔蒂尼（Simone Martini，1285—1344）创作的“圣母领报图”（The Annunciation）（插图8）。背景是金黄色的，没有任何视觉的迹象。画面上表现的内容是从天使到圣母，然后再回到天使。尽管有很美的颜色和外观，以及丰富多彩、变化多端的线条，但画面本身却毫无生气，而且也不能唤起欣赏者的任何灵感。整体的效果像是经过精雕细刻的。也许，这种作品在有一点上向现实主义迈进了，那就是利用了地面、楼板，从而使这些物体与其他景物、金黄色的背景得以区别开来。
文艺复兴影响的典型特征是，使得艺术家朝写实主义方向前进，而且在13世纪末数学也开始进入艺术领域。到13世纪时，通过翻译阿拉伯和希腊著作，亚里士多德学说已经广泛地为人知晓了。画家们意识到，中世纪绘画脱离了现实和生活，应该有意识地修正、克服这一倾向。朝自然主义努力的结果是，利用现实中的人作为宗教题材的主题，慎重地利用直线、多重平面和简单的几何形式，尝试利用非传统图形的位置，试图使画面富有生机，在描绘帷幔的降落、身体重叠的各部分时，是按实际构图的，而不是采用中世纪的传统风格。
中世纪与文艺复兴时期艺术的本质区别，是引入了第三维，也就是，在绘画中处理了空间、距离、体积、质量和视觉印象。三维空间的画面，只有通过一种光学系统的表达方法才能得到，这方面的成就，是在14世纪初叶，由D·B·杜乔（Duccio，1255—1319）和乔托（Giotto，1276—1336）取得的。在他们的作品中，出现了几种方法，至少这些方法作为一种数学体系发展过程中的一个步骤，也是值得注意的。杜乔的“庄严的圣母”（Madonna in Majesty）（插图9）有几个有趣的特征。首先，作品非常简单对称，圣母御座的轮廓线条成对地敛聚收缩，因而使人有一种深度感，御座每一边的景物都大致位于同一个水平面上，但这些景物又都画在另外其他几层景物之上。这种描绘景深的方式，就是众所周知的梯形透视，这种方法在14世纪非常普遍。帷幔飘拂在圣母的膝前，可以看作是一种自然主义画法的例证。对坚固的墙体和空间也赋予了一种情感，而且从表面上看也不乏激情。从整体上看，画面风格依然以拜占庭传统为主。背景大量利用金黄色，而且在细节上也是如此。画面依然是精雕细刻的。御座被不适当地按照透视法缩小以暗示景深，圣母并没有以坐的姿态出现在画面上。
更加值得注意的作品是杜乔的“最后的晚餐”（The Last Supper）（插图10）。布景是一个部分封闭的房间，背景采用的是14世纪非常流行的方式，这种方式标志着从内景向外景的转变。后景墙和后景天花板线条，也有些缩短了，以暗示衬托出景深。房间的各个部分安排得很恰当。在处理天花板的一些细节上下了很大功夫。中部的线条都聚集在一个区域，这个区域称为没影区域（vanishing area），随后我们将会明白这种称呼的原因。这一技巧被同时期的许多画家有意识地用来作为描绘景深的方法。第二，从天花板两端中每一部分引出的线端，是关于中心对称的，这两束线段相交于垂直线上的一点。这种方法也就是众所周知的垂直透视或轴向透视法，被广泛地用于刻画景深。这两种方法杜乔都没有系统地使用过，但是后来14世纪的画家们利用和发展了这两种方法，现实世界景物的出现，诸如画在左边的灌木丛，应该引起注意。
不过，杜乔并没有用一种统一的观点处理“最后的晚餐”这幅画的整个画面。桌子边缘的线条面向观察者，而相反的方向观察者也能看到。桌子后面似乎比前面更高些，而且桌子上的物体似乎不是平放着。事实上，作品朝画面的前景方向投射得太长了。然而，它们依然代表着写实主义风格，在整个画面的主体特征上，这一点尤其显得突出。
可以说，杜乔的作品中明显地出现了三维的表现方式。画面的景物有一定的质量和体积，而且彼此相关，整幅画面构成一个整体。按照某些特殊的方法运用线条，平面被缩小了，光线和阴影也被用来暗示体积。
近代绘画之父是乔托。他在创作过程中直接利用了视觉印象的空间关系，因此他的作品近似于照相机。他的画中的景物具有厚度感、空间感和生命力。他选择田园般的风景，将各种景物均衡地分配在画面上，以眼观愉悦为原则进行构图。
乔托最著名的作品之一，“圣方济之死”（The Death of St Francis）（插图11），类似杜乔的“最后的晚餐”，也利用了流行的变换方法——一个部分封闭的房间。对应于插图11的二维画面，房间的确暗示了一个位于三维空间中的景物。构图时物体和景物安排得非常均衡，从而使人一眼看去就觉得和谐、清晰。景物与各部分的关系十分明显，尽管各部分与背景没有关系。在这幅画以及乔托其他的作品中，房间或建筑物看上去似乎是立于地面上的。缩距法（foreshortening）被用来表示景深。
乔托并没有始终一贯地保持自己的风格。在他的“莎乐美之舞”（Salome's Dance）（插图12）中，右边壁龛的两堵墙并不完全一致，桌子和餐厅的天花板也不一致。但是，这幅画所表现的三维空间的立体感却再也不能被人忽视了。最有意义、最令人感兴趣的是左边建筑的切断面。真实的现实世界甚至是以漫不经心的方式引入的。
乔托是光学透视发展中的关键人物。尽管他的画在视角上并不正确，他也没有引入新的概念，但从整体上来看，他的作品却显示了他那个时代最伟大的成就。他自己也意识到了自己所做出的贡献，因为他经常在画面上留出一些不必要的部分来展示他的才能。几乎可以肯定，这就是在他的“莎乐美之舞”中为什么会有水塔的原因。
技巧和观念方面的进步，则应归功于安布罗焦·洛伦采蒂（Ambrogio Lorenzetti，活动时期：1823—1348）。他之所以值得引起注意，是因为他所选择的题材具有现实性和地方特色；他的线条充满生机，画面健康活泼而富有人情味。在“圣母领报图”（Annunciation）（插图13）中，明显的有这些优点。画面上景物所占据的地面给人以明确的现实感，而且与后墙明显地分开了。地面既作为对物体大小的度量，又暗示出空间向后延伸到后墙。第二个进步是，从观察者角度看楼板线条都向后收缩并交于一点。最后，房屋伸向远处时越来越缩小了，以至于最后消融在背景中。在处理空间和三维度量的问题方面，总的说来，洛伦采蒂使用的是14世纪人们常用的方法。与杜乔和乔托类似，他也没有在其作品中将所有这些因素结合起来。在“圣母领报图”中，墙和楼板并不相关。但是，尽管不是从数学方面，然而他却以一种直觉的方式把握了空间和景深。
在洛伦采蒂身上，我们已经看到了文艺复兴时期的艺术家在引入数学透视体系以前所能达到的最高水平。朝着建立一个令人满意的光学系统的方向每前进一步，都显示了艺术家们是如何力图解决这个问题的。很明显，这些革新者们为了获得一个有效的方法，在黑暗中进行了艰苦的探索。
15世纪时艺术家们终于认识到，必须从科学上对透视问题进行研究，而几何就是解决这一问题的关键。这种认识通过研究古代透视方面的著作而得到了强化，古代透视学与希腊和罗马艺术紧密相连。当然，新方法更为主要的是受到了渴望描述真实世界这一愿望的刺激。最为根本的目的，则是把握空间结构和发现自然界的奥秘。这是文艺复兴时期哲学的一种信念，数学是探索自然界的最有效的方法，而且终极真理的表达方式就是数学的形式。这些艺术家们在他们的创作中，运用独特的技艺去展示自然界，他们具有与那些借助于数学、实验方法而建立起现代科学的研究者们十分相似的精神气质和研究态度。事实上，文艺复兴时期的艺术，被认为是一种知识和一门科学。它包括4种柏拉图式的“艺术”形式：算术、几何、声学（音乐）以及天文学。人们希望将几何应用于具有较高层次的知识领域。在科学的透视体系的发展过程中，一个同样吸引人的目标就是建立绘画艺术的统一性。
绘画科学是由布鲁内莱斯基（Brunelleschi）创立的，1425年他建立了一个透视体系。多那太罗（Donatello）、马萨乔（Masaccio）、弗拉·菲利普（Fra Filippo）等曾是他的学生。L·B·阿尔贝蒂（Leone Battista Alberti）的第一本著作《论绘画》（della Pittura）于1435年出版。阿尔贝蒂在这篇关于绘画的论著中说，做一个合格的画家，首先要精通几何学，学习这门艺术要借助于推理、掌握条理秩序，并且只有通过实践才能把握它们。就绘画所关注的问题来说，阿尔贝蒂坚持认为，借助数学的帮助，自然界将变得更加迷人。为了实现这个目的，他主张利用数学透视体系，也就是众所周知的聚集体系。
最重要的透视学家，碰巧也可被认为是15世纪最伟大的数学家之一，是彼埃罗·德拉·弗朗西斯卡（Piero della Francesca）。在《透视绘画论》（De Prospettiva Pingendi）中，尽管他采用的方法与阿尔贝蒂的稍微有些不同，但却极大地丰富了阿尔贝蒂的学说。在这本书中，他开始利用透视法来绘画。在其后半生的20年时间，他写下了3篇论文，试图证明利用透视学和立体几何原理，可见的现实世界就能够从数学秩序中推演出来。
对透视学做出贡献最大的艺术家是列奥纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）。通过广泛而深入地研究解剖学、透视学、几何学、物理学和化学，他为从事绘画做好了充分地准备，使他那扣人心弦的作品中的人物，具有难以置信的形体魅力和无可比拟的聪明才智。他对待透视学的态度可以在他的艺术哲学中看出来。他用一句话揭示了他的《绘画专论》（Trattato della Pittura）中的思想：“欣赏我的作品的人，没有一个人不是数学家。”他坚持认为，绘画的目的是再现自然界，而绘画的价值就在于精确地再现。甚至纯粹抽象的创造物，如果能在自然中存在，那么它也必定会出现。因此，绘画是一门科学，它就像所有其他科学一样，以数学为基础，“任何人类的探究活动也不能称为科学，除非这种活动通过数学表达方式和经过数学证明来开辟自己的道路”。再者，“一个人如果怀疑数学的极端可靠性，就会陷入混乱，他永远不可能平息科学中的诡辩，只会导致空谈和毫无结果的争论”。达·芬奇藐视那些轻视理论而声称仅仅依靠实践也能进行艺术创造的人，认为正确的信念是“实践总是建立在正确的理论之上”。他将透视学看作是绘画的“舵轮与准绳”。
在透视学方面最有影响的艺术家是A·丢勒（Albrecht Dürer）。丢勒从意大利大师们那里学到了透视学原理，然后回到德国继续进行研究。他最通俗、流传甚广的文章是《直尺圆规测量法》（Underweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd，1528）。他认为，创作一幅画的透视基础不应该是信手涂画，而应该依据数学原理构图。实际上，文艺复兴时期的画家们并没有能完全自觉地应用透视学原理。稍晚一些时间后，著名的数学家B·泰勒（Brook Taylor）和J·H·兰伯特（Lambert）撰写了一些关于透视学的权威性著作。
公正地说，15世纪和16世纪早期几乎所有的绘画大师，都试图将他们绘画中的数学原理与数学和谐、实用透视学的特殊性质和主要目的结合起来。西纽雷利（Signorelli）、布拉曼特（Bramante）、米开朗琪罗（Michelangelo）、拉斐尔（Raphael），以及许多其他人对数学都有着浓厚的兴趣，而且力图将数学应用于艺术。他们精心创作了难度极大、风格迥异的艺术品，利用高超而惊人的技巧发展、掌握了缩距法，甚至将这些技法的处理置于情感和激情的表现之上。所有这些，都是为了在他们的作品中展示科学因素。这些大师们意识到，艺术创作尽管利用的是独特的想像，但也应受规律制约。
这些艺术家们所发展的数学体系的基本原理，可以通过阿尔贝蒂、达·芬奇、丢勒所使用的术语得到解释。这些人把艺术家的画布想像为一块玻璃屏板，通过它，艺术家能看到所要画的景物，就如同我们能够通过窗户看见户外的景物一样。从一只认为是固定不动的眼睛出发，设想光线能投射到景物中的每一点。这样的一束光线称为射影（projection）线。在这些光线穿过玻璃屏板（画面）之处都标出一个点子。这样的点集称为一个截景（或称截面，section）。这一截景给眼睛的印象，与景物自身产生的效果是一样的。然后，艺术家们断言，写实主义绘画——作画逼真的问题，就是将眼睛看景物时投射在插入其间的玻璃屏板上物体的大小、位置及其相互关系，在画布上表现出来。事实上，阿尔贝蒂就曾明确地宣称，一幅画就是投射线的一个截景。
这条原则可以通过丢勒的几幅木刻作品而得到说明。前两幅木刻（图19和图20）显示了艺术家在一块刻有小方格的玻璃屏板或纸上绘画时，将一只眼睛固定地看着某处，而从眼睛射向景物的光线则交于屏板（或纸）上的某些点。第三幅木刻（图21）显示了，艺术家在即使眼睛与屏板严重偏离的情况下，也能准确地画出图像。在这幅木刻中，眼睛牢牢地盯住景物中的一个点，在该点上有一根系在墙上的细绳子。第四幅木刻（图22）显示的是如何在屏板之外绘画。
图19 丢勒：为坐着的男人画像
图20 丢勒：为躺着的妇人画像
图21 丢勒：画罐
图22 丢勒：画琵琶
由于画布不透明和不可穿透，因此对于一位希望描绘出仅仅在他的想像中才能存在的景物的艺术家来说，他就不能简单地通过描点的方式来画出丢勒的“截景”。他必须有指导自己绘画的规则。这样，那些专注于研究透视的学者，就从投影线和截景原理中获得了一系列定理，其中包括聚焦透视体系的大部分内容。这个体系被自文艺复兴以来的几乎所有艺术家采用。
数学透视学的基本定理和规则是什么呢？假设画布处于通常的垂直位置。从眼睛到画布的所有垂线，或者到画布的延长部分的垂线，都相交于画布上的一点，该点称为主没影点（principal vanishing point）（这就是不久将出现这个术语的原因）。经过主没影点的水平线称为地平线，这是因为如果观察者通过画布看外面的空间，这条地平线将对应于真正的地平线。这些概念在图23中可以看到。这幅图显示的是一个人所观察到的大厅过道。这个人的眼睛位于点O（没画出），处于与本页纸垂直且通过点P的垂线上。P点就是主没影点，而线段D2PD1就是水平线。
图23 按照聚焦透视体系所画出的过道
第一条基本定理是，景物中所有与画布所在平面垂直的水平线，在画布上画出时都必须相交于主没影点。这样，诸如像AA′、EE′、DD′和其他线段（图23）都相交于P。所有实际上平行的线，应该画作相交，这看起来似乎是不对的。但是，这却是人眼观看平行线的实际情况，如大家所熟知的两条无限伸长的铁轨看起来相交在一起的情况就是一例。也许，现在我们清楚了为什么将P点称为没影点。在现实的景物中没有一个与之相对应的点，因为现实中平行线自身绝不会相交。
一幅画应该是投影线的一个截景，从这条一般的原理出发，可以推导出另一条定理：任何与画布所在平面不垂直的平行线束，画出来时应该与其垂直的平行线相交成一定的角度，以便收敛于地平线上的一点，收敛的点取决于这些平行线与画布所在平面的角度。在这些水平平行线中，有两条非常重要。如图23中的AB′和EK，在实际景象中，它们是平行的，而且与画布所在平面成45°，相交于点D1，该点称为对角没影点（diagonal vanishing point）。PD1的长度必须等于OP的长度——从眼睛到主没影点的距离。类似地，如BA′和FL这样的水平平行线，在实际景象中与画布成135°角，那么画出来也必须相交于图23中的第二个对角点D2，而且PD2必须等于OP。随着观察者后退，实际景物中上升或下降的平行线被画出来时，也必须相交于相应的地平线的上方或下方的点。这个点将位于从眼睛发出的平行于所讨论的穿过画布的那条线上。
从投影线和截景的一般原理出发，可以写出第三条定理：景物中与画布所占平面平行的平行水平线，画出来时也将是水平平行的，而那些与画布所在平面垂直的平行线画出来也应是垂直平行的。用眼睛观看，所有的平行线都是收敛的，所以这个第三条定理初看起来就与视觉不协调了。随后我们将讨论这种不一致性。
在创立聚焦透视体系很久以前，艺术家们就已经认识到，远处的物体画出来时应该缩小。但是，在确定缩小的比例方面，他们面临着巨大的困难。新体系提供了所需要的定理，这些定理也可以从绘画是投影线的截景的一般原理中推导出来。在图23所画出的正方形楼板的情形中，适当地处理对角线如AB′、BA′、EK和FL，就得到了正确的缩小方法。
对于训练有素的艺术家来说，如果希望达到聚焦体系的写实主义境地，那么他们可以利用许多其他的定理。但是，进一步追求这些特殊的结果将会使我们离题太远。有一点在讨论中已经暗示过了，而且这一点对于外行看一幅根据聚焦体系而创造的画，也是十分重要的。那就是，艺术家眼睛的位置与画的创作密不可分。当观察者的眼睛位于主没影点的水平线上，而且位于从主没影点到两个对角没影点的等距离点的正前方时，从这样的位置观察画面，则可达到最佳效果。实际上，如果画能挂在适合于观察者的高度而又能上下移动的位置上，效果也是很好的。
在我们考察一些按照聚焦透视体系创作出的伟大的绘画作品之前，应该指出的是，这个体系并不是将眼睛所看到的一切都再现出来。正如所说过的那样，绘画就是投影线的截景，这条原理要求，与画布所在平面平行的水平平行线束，以及与画布所在平面平行的垂直平行线束，画出来时都应该平行。但是当用眼睛观察这些线束时就会发现，它们看起来似乎要相交，就如同另外一些平行线束一样。因此，至少在这一点上，聚焦体系似乎是不对的。一个更重要的批评意见认为，存在着这样的事实：眼睛看一条直线不能总是直的。读者可能自己也会相信这样的事实，如果想像一下，从一架飞机上俯瞰两条完全平行、沿水平方向延伸的铁轨。在每一个方向，铁轨看起来在远处的水平线上都相交了。但是，两条直线仅仅只能在一点相交。因此，明显地，既然铁轨相交于水平线上的两点，因此用眼睛去观看它们就必定是曲线。希腊人和罗马人已经认识到，直线，当用眼睛去观看时就是弯曲的。在欧几里得的《光学》（Optics）中的确也有这样的论述。但是，聚焦透视体系忽略了这一显而易见的事实：这个体系没有考虑到，我们实际上是用两只眼睛去观察，而且每只眼睛看到的东西会稍微有些不同。当观察者看一幅画时，眼睛并不是固定的而是在移动。聚焦体系同样也忽略了这样的事实：光线射在视网膜上呈曲面形状。视网膜并不是一个摄影底板，观看景物主要靠大脑反应，而这种反应纯粹是一生理过程。
既然指出这个体系有如此多的缺点，那么为什么艺术家们又采用它呢？当然，相对于14世纪时那个不成熟的体系来说，这个体系还是大大改进了。对15—16世纪的艺术家们来说，更重要的是这样的事实：这是一个完全数学化的体系。在探索自然界的过程中，数学的重要性已经给人们留下了深刻的印象，一个完整的数学体系的成就已经使他们心满意足了，以至于他们对所有这些缺点都熟视无睹。事实上，艺术家们认为这个体系与欧氏几何一样真实。
现在，让我们看看这种几何与绘画结合的产物。第一次开始运用由布鲁内莱斯基引入的透视学的画家是马萨乔（Masaccio，1401—1428？）。尽管后来的绘画受这门新学科的影响更为明显，但他的“纳税钱”(1)（插图14）却比任何早期的作品更具有写实主义气息。G·瓦萨里（Vasari）说，马萨乔是第一个达到了完全真实地描绘事物的艺术家。这幅特殊的画寓意深刻，内容广泛，富有自然主义特色。人物形象厚实魁伟，每个人都占据着一定的空间，每个人的形体都比乔托的作品更为真实，画中的人物站立着。马萨乔也是第一个利用几何的辅助方法即透视技术的艺术家。通过颜色的浓淡以及背景物体大小的变化，这样就表示出了距离。事实上，马萨乔是一位处理光线和暗影的高手。
乌切洛（Uccello，1397—1475）也是对透视学做出过重大贡献的人物之一，他对这门学科有着十分浓厚的兴趣。瓦萨里曾说，乌切洛“为了解决透视学中的没影点，他曾通宵达旦地进行研究”。他常常是在妻子的再三催促下，才不得不上床休息。他说：“透视学真是一门十分可爱的学问。”他热衷于探索难题，而且十分热衷于精确的透视学，以至于他没将全部精力投入绘画。绘画成了他解决问题和施展其在透视学方面造诣的机会。实际上，他并没有完全成功。他的作品只能算一般水平，他在绘画方面的造诣并不能令人满意，在把握深度方面也非尽善尽美。
遗憾的是，乌切洛在透视学方面创造出的最好的作品，随着时间的流逝而被严重毁坏了，今天已不可能再复原。他的创造特征，我们可以从标有“被玷污的圣饼”（Desecration of the Host）（插图15）的作品残骸中窥见一斑。他的“一个酒杯的透视研究”（Perspective Study of a Chalice）（插图16）显示了在精确的透视绘画中所涉及的景物的表面、线条和曲线的复杂性。
使透视学走向成熟的艺术家是彼埃罗·德拉·弗朗西斯卡（1416—1492）。这位造诣极深的画家对几何学抱有极大的热情，而且试图使他的作品彻底地数学化。每个图形的位置都事先安排得非常准确，以便保持与其他图形的正确比例关系，并且使得整个绘画作品构成一个整体。他甚至对身体的各个部位及其所穿衣服的各个部分都运用了几何形式，他喜欢光滑弯曲的曲面和完整性。
彼埃罗的“鞭挞”（The Flagellation）（插图17）是透视学的一幅珍品。主没影点的选择和聚焦透视体系的精确运用，与院子前后的人物素描紧密地结合在一起，使得景物全都容纳在一个清晰有限的空间内。大理石楼板中黑色镶体的减少，也经过了精确的计算。彼埃罗在他的论透视学的著作中说，他在绘画方面下过极大的工夫。同样，在其他的绘画中，他也利用空间透视以增强立体感、深度感。整个绘画设计得精确入微，以至于任何一点小的改动都会破坏整个画面的效果。
彼埃罗的“耶稣复活”（Resurrection）（插图18）被评论家们认为是世界绘画史上的杰作之一。这幅画几乎像建筑师设计的一样。在透视学方面具有异乎寻常的意义：有两个视点，因此就有两个主没影点。我们可以明显地从下面看到躺着的两个士兵的脖子，因此一个主没影点就一定在石棺的中部。随后，我们的眼睛会不由自主地移向第二个主没影点，这个主没影点在基督的脸上。两幅画，也就是上、下两部分，为一种自然的边界——石棺的上部边缘分开了，所以视觉上的变化一点也没有引起混乱。通过一座陡然升起的山丘，他在利用上半部自然出现的背景时，同时也将上下两部分合二为一了。有时人们说，彼埃罗太过分地沉溺于透视学之中了，以致他的画太数学化了，并且基调冷峻，缺乏人情味。但是，看看基督那忧虑、心事重重、慈祥的面容，就足以表明，彼埃罗能够表现细腻的情感。
达·芬奇创作了许多精美的透视学作品，这位真正富有科学思想和精巧美术才能的天才，对他的每幅作品都进行过大量精确的研究（插图19）。他最优秀的杰作和最著名的绘画，同时也是精密的透视学的极好典范。“最后的晚餐”（The Last Supper）（插图20），描绘出了真情实感，一眼看去如在真实生活中一样。观众似乎觉得达·芬奇就在画中的房子里。墙、楼板和天花板上后退的光线不仅清晰地衬托出了景深，而且经仔细选择的光线集中在基督的头上，从而使人将注意力集中于基督。附带地，还应注意到12门徒每3人一组分成4组，对称地分布在基督的两边。基督本身被画成一等边三角形；这样的描绘是试图表达其感情、思考和身体处于一种平衡状态。达·芬奇的这幅画可与杜乔的“最后的晚餐”相媲美。
众多的绘画与精密的透视学结合的实例，表明这门新学科得到了广泛普及和应用。尽管S·波提切利（Botticelli，1444—1510）是因为他的许多绘画如“春”、“维纳斯的诞生”而举世闻名，在这些作品中，艺术家在图案、线条和曲线中表达自己的情感，写实主义并不是目的，但他依然很好地把握了精确的透视学。他大量绘画中最优秀的作品之一“寓意的诽谤”（The Calumny of Apelles）（插图21）已经表明他精通这门科学，每个物体都清晰地画出来了。御座和建筑的每个部分都恰如其分，而且所有物体缩小得也很恰当。
在透视学方面显示出卓越才能的画家是A·曼特尼亚（Mantegna，1431—1506）。他将解剖学与透视学看作是绘画中的理想技艺。他选择困难的问题进行研究，而且利用透视学以实现自己严格的写实主义风格和强烈的进取心。在他的“圣·詹姆斯之死”（St James Led to Execution）（插图22）中，他有意选择了一个偏心点。主没影点就正好位于画的底端，中心的右边。由于选择了这一不同寻常的视点，因此整个画面处理得极为成功。
16世纪显示出了现实主义绘画在伟大的文艺复兴时期以来所发展的最高顶峰。这些作品展示了精密的透视学及其表现方式的作用，注重空间和色彩。完美的表现方式受到人们的钟爱，以至于艺术家对具体内容表现得漠不关心。达·芬奇的杰出学生和米开朗基罗、拉斐尔，创作出了许多若干世纪以前人们一直梦寐以求的理想、标准和成功的光辉典范。拉斐尔的“雅典学院”（School of Athens）（插图23），以和谐的安排、巧妙的透视、清晰精确的比例描绘了一座神圣庄严的建筑物。这幅画的意义，并不仅仅因为它巧夺天工地处理了空间和景深，而且因为这幅画表达了文艺复兴的有识之士对希腊先圣们的崇敬之情。柏拉图和亚里士多德，一左一右，处于画的中心。柏拉图左边是苏格拉底。而在左边地上，是正在著书立说的毕达哥拉斯。右边地上，则是欧几里得或阿基米德蹲在那儿在证明定理。画的右边，托勒玫手中拿着一个球。整幅画中，有音乐家、数学家、文法家，群英荟萃。
16世纪威尼斯名画家们则使线条依附于颜色、光线和阴影。但是，他们也都掌握了透视方法。空间的表示完全是三维的，可以明显地感觉到画面富有条理，而且使用了透视方法。J·丁托列托（Tintoretto，1518—1594）是这个画派的代表。他的“圣马可的奇迹”（Transfer of the Body of St Mark）（插图24）对景深的处理＋分得体；前景中图像的前缩法显然值得注意。
我们再看一个实例。我们已经注意到，丢勒作为论述透视学的学者之一，对阿尔卑斯山北部的画家们产生了极为深远的影响，他的铜雕刻“圣·哲罗姆在研究”（St Jerome in His Study）（插图25），表现了丢勒自己对透视学身体力行。画中的主没影点位于画面的右中心，画面的效果使欣赏者感觉到，他当时就在房间里，离圣·哲罗姆只有几步之远。
读者通过观摩、揣测威廉·贺加斯（William Hogarth）的题为“错误的透视”（插图26）的铁板雕刻，会发现其中许多东西是多么地荒谬，由此，读者现在能估量一下自己在透视学方面的知识水平了。
像上面这些利用聚焦透视体系的实例不胜枚举。但是，这些例子已经能够充分说明，人们是如何利用数学透视方法使绘画从中世纪绘画的金黄色背景中解放出来，而自由自在地描绘现实世界的大街小巷、山川河流。这些例子也表明，利用聚焦透视方法的第二个价值，即绘画风格的统一性问题。我们所着重论述的这一体系的发展状况也显示出一些适当的数学定理，以及建立在数学基础之上的自然哲学，怎样强有力地决定着西方绘画的进程。尽管现代绘画已经明显地摆脱了对自然界的直接描写，但是艺术学校依然讲授聚焦体系，并且绘画中仍在广泛运用。无论何时，透视体系对于达到真实的表达效果来说，仍然十分重要。
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(1) 这幅画（The Tribute Money）又被译作“迪纳里的奇迹”。——译者注
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