海洋城市旅游品牌价值评价模型

海洋城市旅游品牌评价体系中的四个子系统，即品牌价值基础因素、品牌价值保障因素、品牌价值核心因素、品牌价值发展因素，是各自独立的，因此本书采用线性加权法评价四个子系统到形成海洋城市旅游品牌价值的综合过程，其余评价过程采用因子分析，以确保评价过程的客观性，具体评价过程及方法如图3-1所示。

图3-1海洋城市旅游品牌价值评价流程图

（一）模糊性指标的处理

海洋城市旅游品牌价值的评估指标体系中，既包括客观的定量指标，又包含主观的模糊指标。对于模糊数据，需要进行量化处理，定量数据则完全一样。

1.模糊性指标的概念

模糊性指标主要是指在对特定的评价目标进行评价时，某些方面对于反映评价目标的真实水平或状态非常重要，但又难以用定量的客观数据加以反映，或者在现行统计资料中无法直接获得相应数据，就必须采用一些只能用“程度”“满意度”等人们的主观心理感受来反映评价目标状态的指标，这种无法直接用量化数据反映客观事物状态的指标称为模糊性指标。

2.模糊性指标的处理步骤

建立模糊指标的评价模型Y，

Y= （Y1 ，Y2 ，Y3 ，Y4，Y5） =（很好，好，一般，较差，差）

评语集所对应的分数集为列向量X，

X =（X1，X2，X3，X4，X5） =（100，80，60，40，20）

进行模糊性指标的评价调查，并计算模糊性指标的指标值D

其中，Di为第i个模糊性指标的指标值；Xi为第i个模糊性指标对应的评语；Pij为第i个模糊性指标获得j级评价的概率统计值（j =1，2，3，4，5分别对应分值100，80，60，40，20）。如此便可得相应的定量值，可以和定量数据一样进行相应的数据处理。

（二）数据的无量纲处理

考虑到评价指标体系中的各种属性指标的单位不同，无法直接进行比较；而且这些属性指标对城市品牌价值的影响方向也非完全相同，有些为正向指标，即该类指标越大，其对城市品牌价值的增强作用越大，有些则为反向指标，该类指标值越大，其对城市品牌价值的削弱作用越强，所以需要对现有数据进行无量纲处理，以保证数据之间的可比性。

本书采用以下公式进行标准化计算：

其中，ZX为标准指标值；X为评价对象城市的原始数据值；为同一类原始指标的平均值；SD为标准差。

考虑上述计算可能出现的负数，不符合人们的心理习惯，不便于比较，也不易理解，因此在上述标准指标值基础上进一步计算，将ZX变为：

当为正向指标时，取“+”；当为反向指标时，取“-”，使数值在0和100之间变化，且不论X为正向值标还是反向指标，TX的计量分值越高表明其表征的目标发展水平越高，反之越低。

（三）从各级指标到子系统的因子分析

1.因子分析法的提出

“因子分析”的名称于1931年由Thurstone首次提出，但它的概念起源于20世纪初Karl Pearson和Charles Spearmen等人关于智力测验的统计分析。近年来，随着电子信息技术的高速发展，人们将因子分析方法成功地应用于各个领域，使得因子分析的理论和方法更加丰富。

2.因子分析的定义

因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子（之所以称其为因子，是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息。因子分析法（Factor Analysis）就是寻找这些公共因子的模型分析方法，它是在主成分的基础上构筑若干意义较为明确的公因子，以它们为框架分解原变量，以此考察原变量间的联系与区别。

运用这种研究技术，可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些以及它们的影响力（权重）。运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。

3.与主成分分析的联系

主成分分析主要是作为一种探索性的技术。在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用，主要用于：①了解数据（screening the data） ；②和聚类分析一起使用；③和判别分析一起使用，比如当变量很多、个案数不多，直接使用判别分析可能无解，这时候可以使用主成分对变量简化（reduce dimensionality） ；④在多元回归中，主成分分析可以帮助判断是否存在共线性（条件指数），还可以用来处理共线性。

（1）因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成各变量的线性组合。

（2）主成分分析的重点在于解释各变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。

（3）主成分分析中不需要有假设（assumptions），因子分析则需要一些假设。因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（specific factor）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关。

（4）主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的，可以旋转得到不同的因子。

（5）在因子分析中，因子个数需要分析者指定（SPSS根据一定的条件自动设定，只要是特征值大于1的因子就进入分析），指定的因子数量不同，结果不同。在主成分分析中，成分的数量是一定的，一般有几个变量就有几个主成分。和主成分分析相比，由于因子分析可以使用旋转技术帮助解释因子，在解释方面更加有优势。大致说来，当需要寻找潜在的因子，并对这些因子进行解释的时候，更加倾向于使用因子分析，并且借助旋转技术帮助更好地解释。而如果想把现有的变量变成少数几个新的变量（新的变量几乎带有原来所有变量的信息）来进入后续的分析，则可以使用主成分分析。当然，这种情况也可以使用因子得分做到，所以这种区分不是绝对的。

在算法上，主成分分析和因子分析很类似，不过，在因子分析中所采用的协方差矩阵的对角元素不再是变量的方差，而是和变量对应的共同度（变量方差中被各因子所解释的部分）。

4.因子分析的主要目标和用途

主要目标：数据缩减。

主要用途：

（1）减少分析变量个数；

（2）通过对变量间相关关系探测，将原始变量进行分类；

（3）将相关性高的变量分为一组，用共性子代替该组变量；

（4）既可以进行探索性因子分析，也可以部分验证因子。因子分析是主成分分析的推广，也是多元统计分析中降维的一种方法。这种方法是把刻画事物性质、状态的一组变量缩减成为能反映这一组变量之间的内在联系和能起主导作用的少数几个共同性变量，以达到简化现象、发现规律的目的，这些共同性变量即称为因子。因子分析的主要应用有两个方面，一是寻求基本结果，简化观测系统；二是用于排序，根据因子得分值，可以对样本进行排序和比较。

5.因子分析的数学模型

因子模型是以回归方程的形式将变量表示成因子的线形组合。设原始数据矩阵为：

P为样本数，n表示变量数。

将原始数据进行标准化处理。公式：

其中：

经标准化变换后，的均值为0，方差为1，相关矩阵R与协方差矩阵S相等。

因子模型假定维p随机向量线X性依赖于m个随机变量，f2，…，fm（m＜P）和P个附加的方差源ε1，ε2，…，εp为特殊因子，则建立因子模型为：

其矩阵形式为：

其中：

且有：

φ为对角阵。

可见，ε与F相互独立。

所以，因子分析的数学模型即是把各个观测变量分别表示成m（m ＜P）个公共因子和一个唯一性因子的加权和：

公式3-24中，apa巧称为因子载荷，即用公共因子f1，f2，…， fm（m＜P）表达原始变量Xi的表达式中第j个公共因子的系数。当apa的绝对值越大时，表明公共因子fi对原始变量Xi的相关程度越大。

因子分析的任务就是从原始变量X1，X2，…，Xp的协方差矩阵出发，求出因子载荷A和个性方差矩阵φ，然后预测公共因子f1 ， f2 ， … ， fm （m ＜ p） ，并给予公共因子合理的解释。

6.因子载荷矩阵的求法

本书采用主成分分析方法求因子载荷和公共因子。步骤如下：

（1）样本矩阵的标准化，首先将样本矩阵X标准化，经标准化处理以后的数据的均值为0，方差为1，这时样本协方差矩阵S与相关矩阵R完全相同，其中，R=X×X′　，为方便计算，将标准化处理后的矩阵记为X；

（2）求解相关矩阵R的特征方程|R-λI|=0，求得特征值为λ1 ≥λ2 ≥…≥λp＞0；

（3）求出对应于各特征根的单特征向量u1，u2，…，up；

（4）求出主成分的因子解。

7.因子载荷矩阵的正交旋转

因子分析的目的不仅要找出因子，更重要的是要知道每个主因子的意义。但是用上述方法所求出的主因子解，初始因子载荷矩阵并不满足“简单结构准则”，各因子的典型代表变量不很突出，容易使因子的意义含糊不清，不便于对因子进行解释。为此，需对因子载荷矩阵进行旋转，使得因子载荷的平方按列向和两级转化，以达到结构简化的目的。

在实际问题中，希望能寻求到适当的正交矩阵，使得其中的元素清楚地显现出：每一公共因子只对少数几个原始变量具有高载荷，而每一个变量只在少数公共因子上具有显著的载荷。

对因子载荷矩阵施行正交变换，等价于对诸因子轴做正交旋转，最常用的是方差最大正交旋转。这种方法是使旋转后的因子载荷矩阵中的各列元素平方的方差之和最大，同时也包含着按行向两极分化。

设因子载荷矩阵为A，T为m×m的正交矩阵，则记

正交旋转后，对协方差阵（或相关阵）的估计、残值阵、特殊方差和共同度的估计都不会改变，这是因为：

所谓方差最大正交旋转的原则是使旋转后的因子载荷S中的各列元素平方的方差之和V达到最大。

其中，

如果Vi为极大值，则此fj因子具有简化性，它们的载荷是趋于1或是趋于0，这样可以简化对复杂问题的理解。

8.析取因子

因子载荷矩阵旋转后，根据各因子在若干变量上载荷值的高低正负以及这些变量的共性来说明因子含义。将正交旋转后的因子载荷矩阵B每一行中最大的载荷值挑选出来，然后看看第j =（j =1，2，…，m）类有几个这样的载荷值，这些载荷值对应的指标就归于因子fi。因子正交旋转后得到新的因子载荷矩阵B（p×m）　，该矩阵即为因子得分系数矩阵，各载荷反映了各指标对因子的依赖程度。

其中，R-1为变量相关矩阵R的逆矩阵。

公式）为因子的权数向量分别为各因子的方差贡献进行归一化处理后的值，即：

（四）从子系统到城市品牌价值的线性综合评价过程

1.基于AHP法的权重确定

本书选用AHP法确定四个子系统（即品牌价值基础因素、品牌价值保障因素、品牌价值核心因素、品牌价值发展因素）之间的权重。AHP法通过建立问题的递阶层次结构，┘两两比较判断矩阵，由判断矩阵计算被比较元素相对权重，计算各层元素的组合权重，其中大部分计算过程可借助计算机程序实现。

AHP（Analytic Hierarchy Process）方法，是在20世纪70年代由美国著名运筹学学家T.L.Satty提出的。它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。这一方法的特点是，在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供一种简便的决策方法，该方法在决策领域得到广泛运用。

2.递阶层次结构的建立

一般来说，可以将层次分为三种类型。①最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，因此也称为总目标层。②中间层：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及的各子目标，包含各种准则、约束、策略等，因此也称为目标层。③最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。

典型的递阶层次结构如下：①从上到下顺序地存在支配关系，用直线段（作用线）表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。②整个结构不受层次限制。③最高层只有一个因素，每个因素所支配元素一般不超过9个，元素过多可进一步分层。④对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。

3.构造比较判断矩阵

设有m个目标（方案或元素），根据某一准则，将这m个目标两两进行比较，把第i个目标（i=1，2，…，m）对第j个目标的相对重要性记为aij （j =1，2，…，m），这样构造的m阶矩阵用于求解各个目标关于某准则的优先权重，成为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作A=（aij）m×m。

Satty于1980年根据一般人的认知习惯和判断能力给出了属性间相对重要性等级表，利用该表取aij的值，称为1-9标度方法。在确定每一层次的因素相对上一层次某一因素的权重时，将其简化为成对因素的判断比较。其标度含义如表3-2所示，并写成矩阵形式，构成判断矩阵。形成判断矩阵后，即可通过计算判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量，计算出某一层因素相对于上一层次某一因素的重要性权值。在计算出某一层次相对于上一层次各个因素的单排序权值后，用上一层次因素本身的权值加权综合，即可计算出某层因素相对于上一层整个层次的相对重要性权值，即层次总排序权值。

表3-2　数量标度取值及含义

构造出各层次中的所有判断矩阵并求得其最大特征向量的近似解，中间层A1—A5各因素对目标层Z构成比较判断矩阵：

给出成对比较判断矩阵A中aij的标度数值。

例如：

则可得：

4.单准则下排序

层次分析法的信息基础是比较判断矩阵。由于每个准则都支配下一层若干因素，这样对于每一个准则及它所支配的因素都可以得到一个比较判断矩阵。因此，根据比较判断矩阵求得各因素w1，w2 ，…wm对于准则A的相对排序权重的过程称为单准则下的排序。这里设A=（aij）m×m，A＞0。

（1）本征向量法

利用AW=λW求出所有λ的值，其中λmax为λ的最大值，求出λmax对应的特征向量W* ，然后把特征向量W*规一化为向量W，则W=［w1， w， …，wm］T为各个目标的权重。求λ需要解m次方程，当m≥3时，计算比较麻烦，可以利用matlab来求解。

（2）判断矩阵的近似解法

判断矩阵是决策者主观判断的定量描述，求解判断矩阵不要求过高的精度。判断矩阵有三种近似计算方法：根法、和法及幂法。幂法适于在计算机上运算。

对W*做归一化处理，得到权重向量

对A中每列元素求和，得到向量

计算λ max的值，

2）和法：将A的元素按列做归一化处理，得矩阵Q = （qij ）m×m。其中，

将Q的元素按行相加，得向量α=（α1，α2，…，αm）T。其中

对向量α做归一化处理，得权重向量，其中

求出最大特征值

3）幂法：幂法是一种逐步迭代的方法，经过若干次迭代计算，按照规定的精度，求出判断矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量。

设矩阵，其中，W是A的最大特征值对应的特征向量，C为常数，向量e=（1，1，…，1）T。

幂法的计算步骤是：

任取初始正向量，计算

迭代计算，对于k=0，1，2，…计算

精度检查，当时，转入下一步骤；否则，令k=k+1，转入下一步骤。

求最大特征值和对应的特征向量，将Y（k+1）归一化，即

5.单准则下的一致性检验

由于客观事物的复杂性，会使判断带有主观性和片面性，完全要求每次比较判断的思维标准一致是不太可能的。因此在构造比较判断矩阵时，并不要求n （n-1）/2次比较全部一致。但这可能出现甲与乙相比明显重要，乙与丙相比极端重要，丙与甲相比明显重要，这种比较判断会出现严重不一致的情况。虽然不要求判断具有一致性，但一个混乱的、经不起推敲的比较判断矩阵有可能导致决策的失误，所以希望在判断时应大体一致。而上述计算权重的方法，当判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠程度也就值得怀疑了。因此，对于每一层次作单准则排序时，均需要作一致性的检验。

一致性指标（Consistency Index， CI） ：

随机指标（Random Index， RI）

一致性比率（Consistency Rate， CR） ：

当CR取0.1时，最大特征值

6.层次总排序

计算同一层次中所有元素对最高层（总目标）的相对重要性标度（又称权重向量）称为层次总排序。

（1）层次总排序的步骤为：计算同一层次所有因素对最高层相对重要性的权重向量，这一过程自上而下逐层进行；设已计算出第k-1层上有nk-1个元素相对总目标的权重向量为；第k层有个nk个元素，它们对于上一层次（第k-1层）的某个元素j的单准则权重向量为（对于与k-1层第j个元素无支配关系的对应wij取值为0）；第k层相对总目标的权重向量为

（2）层次总排序的一致性检验：在对各层元素做比较时，尽管每一层中所用的比较尺度基本一致，但各层之间仍可能有所差异，而这种差异将随着层次总排序的逐渐计算而累加起来，因此需要从模型的总体上来检验这种差异尺度的累积是否显著，检验的过程称为层次总排序的一致性检验。

第k层的一致性检验指标：

当CRk ＜0.1，可认为评价模型在第k层水平上整个达到局部满意一致性。

7.子系统到城市品牌价值的线性综合评价

在采用因子分析计算出四个子系统（即品牌价值基础因素、品牌价值保障因素、品牌价值核心因素、品牌价值发展因素）的评估值后，采用线性综合评价方法计算城市品牌价值评估值：

其中，VB为城市品牌价值的评估值，wi为各主题层指标的权重，Pi为各主题层指标的评估值。

（五）样本城市的聚类分析

聚类分析是对多属性统计样本进行定量分类的一种多元统计分析方法。这种方法基本思想是：从一批样本的多个观察指标中，找出度量样本之间或指标之间相似程度（亲疏关系）的统计量，构成一个对称的相似性矩阵，在此基础上进一步找寻各样本之间或样本组合之间的相似程度；按相似程度的大小，把样本逐一归类，关系密切的归类聚集到一个小的分类单位，关系疏远的聚集到一个大的分类单位，直至所有样本聚集完毕，形成一个亲疏关系谱，用以更自然地和直观地显示分类对象的差异和联系。本书采用聚类分析方法对研究样本城市的品牌价值进行分类，发现各类城市之间城市品牌价值的异同之处。

1.聚类分析的具体过程

（1）将被评价的n个样本城市看成n个类，这时类间距离与样品间距离是相等的；

（2）按照被评价对象的评价指标体系的特征，选择适当的距离作为不相似性度量，并求出最小类间距离；

（3）将最小距离的类并为一类，并求出新类与其余类之间的距离，并选出最小类间距离；

（4）重复步骤（3），直至所有类归为一类；

（5）在所取“距离”意义下，画出按相似性或相近程度联结的谱系图；

（6）按综合评价的精度要求，选择阈值，确定聚类结果并给出综合评价的结果。

2.模糊聚类分析的一般步骤

（1）数据标准化

1）数据矩阵：设论域U= ｛ x1， x2， … ，xn｝为被分类对象，每个对象又有m个指标表示其性状，即xi =｛xi1，xi2，…，xim｝　　（i =1，2，…，n），

于是，得到原始数据矩阵为

其中，xnm表示第n个分类对象的第m个指标的原始数据。

2）数据标准化：在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间［0，1］上。因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间［0，1］上。通常有以下几种变换：

平移标准差变换，

其中，

经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。但是，再用得到的还不一定在区间［0，1］上。

平移·极差变换，

显然有，而且也消除了量纲的影响。

对数变换，

取对数以缩小变量间的数量级。

（2）标定（建立模糊相似矩阵）

设论域U=｛x1，x2，…，xn｝，xi=｛xi1 ，xi2 ，…，xim｝，依照传统聚类方法确定相似系数，建立模糊相似矩阵，xi与xj的相似程度rij =R（xi，xj）。确定rij =R（xi，xj）的方法主要借用传统聚类的相似系数法、距离法以及其他方法。具体用什么方法，可根据问题的性质，选取下列公式之一计算。

1）相似系数法

夹角余弦法：

最大最小法：

算术平均最小法：

几何平均最小法：

以上四种方法要求xik ，xjk　＞ 0，否则也要做适当变换。

数量积法：

其中，

相关系数法：

其中，

指数相似系数法：

其中，

而

2）距离法

直接距离法：

其中c为适当选取的参数，使得0≤rij ≤1，d（xi，xj）表示他们之间的距离。经常用的距离有以下几种。

海明距离：

欧几里得距离：

切比雪夫距离：

倒数距离法：

其中，M为适当选取的参数，使得0 ≤ r i j ≤1。

指数距离法：

（3）聚类（求动态聚类图）

1）基于模糊等价矩阵聚类方法

传递闭包法：

根据标定所得的模糊矩阵R还要将其改造成模糊等价矩阵R* 。用二次方法求R的传递闭包，即t（R）=R* 。再让λ由大变小，就可形成动态聚类图。

布尔矩阵法：

布尔矩阵法的理论设R是U=｛x1，x2，…，xn｝上的一个相似的布尔矩阵，则R具有传递性（当R是等价布尔矩阵时）矩阵R在任一排列下的矩阵都没有形如的特殊子矩阵。

布尔矩阵法的具体步骤如下：求模糊相似矩阵的λ-截矩阵Rλ；若Rλ按定理2.2.1判定为等价的，则由Rλ可得U在λ水平上的分类，若Rλ判定为不等价，则Rλ在某一排列下有上述形式的特殊子矩阵，此时只要将其中特殊子矩阵的0一律改成1直到不再产生上述形式的子矩阵即可。如此得到的为等价矩阵。因此，由可得λ水平上的分类。

2）直接聚类法所谓直接聚类法

指在建立模糊相似矩阵之后，不去求传递闭包t（R ），也不用布尔矩阵法，而是直接从模糊相似矩阵出发求得聚类图。其步骤如下：取λ1=1（最大值），对每个xi做相似类［xi］R，且［xi］R=｛ xj | rij =1｝ ，即将满足rij = 1的xi与xj放在一类，构成相似类。相似类与等价类的不同之处是，不同的相似类可能有公共元素，即可出现［xi］R = ｛xi ，xk｝，［xi ］R = ｛xj，xk｝，［xi］∩［xj ］≠ø。此时只要将有公共元素的相似类合并，即可得λ1=1水平上的等价分类；取λ2为次大值，从R中直接找出相似度为λ2的元素对（xi，xj）（即rij =λ2） ，将对应于λ1=1的等价分类中xi所在的类与xj所在的类合并，将所有的这些情况合并后，即得到对应于λ2的等价分类；取λ3为第三大值，从R中直接找出相似度为λ3的元素对（x，xj）（即rij =λ3），将对应于λ2的等价分类中xi所在的类与xj所在的类合并，将所有的这些情况合并后，即得到对应于λ3的等价分类；以此类推，直到合并到U成为一类为止。

3.最佳阈值λ的确定

在模糊聚类分析中对于各个不同的λ∈［0，1］，可得到不同的分类，许多实际问题需要选择某个阈值λ，确定样本的一个具体分类，这就提出了如何确定阈值λ的问题。一般有以下两个方法：①按实际需要，在动态聚类图中，调整λ的值以得到适当的分类，而不需要事先准确地估计好样本应分成几类。当然，也可由具有丰富经验的专家结合专业知识确定阈值λ，从而得出在λ水平上的等价分类。②用F统计量确定λ最佳值。设论域U=｛x1 ，x2 ，… ，xn｝为样本空间（样本总数为n），而每个样本xi有m个特征：xi　=　｛xi1，xi2 ，…，xim ｝，（ i =1，2，…，n）。于是得到原始数据矩阵，其中，

称为总体样本的中心向量。

设对应于λ值的分类数为r，第j类的样本数为nj，第j类的样本记为，第j类的聚类中心为向量，其中为第k个特征的平均值，即，做F统计量为间的距离，为第j类中第i个样本x（j）与其中心间的距离，称为F统计量，它是遵从自由度为r-1，n-r的F分布。它的分子表征类与类之间的距离，分母表征类内样本间的距离。因此，F值越大，说明类与类之间的距离越大；类与类间的差异越大，分类就越好。