中学数学中的文化特质

关于数学的文化特质，应该和数学的特点有着密切的关系。在《数学文化教程》中提到，关于数学的特点，一般都沿用苏联亚历山大洛夫的“三性”提法：抽象性、严谨性、广泛的应用性。书中还提到，亚历山大洛夫的这“三性”都是从纯粹数学的意义上来说的。

《爱＋恨数学，还原最真实的数学》主要从数学文化的四个方面作了介绍。第一个方面是关于数学的认知方式和情感；第二方面是关于数学美感；第三个方面是关于数学的社会性；第四个方面是数学团体内部的矛盾。

《数学教育中的数学文化》中介绍：胡炳生等将数学文化的特征概括为抽象性和逻辑性以及数学的理性精神；易南轩等将数学文化的特征归纳为思维性、数量性、发展性、实用性和育人性。

论文《数学文化与人类文明》中，关于数学的文化特征，介绍了数学的抽象性、确定性、继承性、简洁性、统一性。

究竟数学文化特质涵盖了哪些具体的方面，我想每一种主张的背后都有着不同的视角和对数学学科的独到领悟。

本书中研究内容是在中学数学的课堂教学中如何引领学生品味数学文化。这里说明一下，关于中学数学中的文化特质，我这里主要考虑其在以下几个方面的表现。

一是简洁性

（1）表达的简洁

数学的简洁体现在表达的简洁。数学的表达因为有了符号而变得简洁。

例如，用符号n！表达一连串的连乘；用符号∑表达一连串的连加。

又如，欧拉公式eix＝cosx＋isinx中，令x＝π，得到eiπ＋1＝0。无数人赞美过这个式子。将三个单位元（加法单位元、乘法单位元、虚数单位）和两个无理数（超越数）集中在一个简单的等式中。

当然表达的简洁也不仅仅在于符号，它可以体现在对问题的阐述过程中。

（2）方法的简洁

数学的简洁也体现在方法的简洁上。

丘成桐说过，定理的证明开始时可以很繁复，但后来必须要变得简洁。一般来说，简洁有力的证明才是最美的。

例如，欧几里得对有无穷多个素数的构造性证明简洁、巧妙、清晰。

在中学数学中，有时对于一个问题，我们会有多种解决方法，那些简洁的方法往往干净利落、一气呵成。

二是纯粹性

（1）表达的纯粹

这里表达的纯粹不同于形式表达的那种外在的简洁，而是指具有逻辑内涵的简洁表达。例如，数学的概念或定义总是抛开一切华丽的包装，一贯以干净、纯粹的形式呈现。具体来看，形式化的函数奇偶性定义，集合的交、并、补运算以及集合间包含关系的定义等等，都纯粹到不需要用琐碎的文字进行装点。它们只需用简单的一组符号，就可以系统地、逻辑严谨地阐述定义。

（2）纯粹的本质

纯粹的数学还体现在概念、定义的纯粹本质。

对概念本质的诉求是数学教师的基本素养。教师总会为揭示概念的那些纯粹的本质而设计这样或那样的具有思辨性的问题，意图让学生能够更清晰地把握概念本质。

例如，数列的函数本质。再如，数学归纳法，名称中有“归纳”两字，但究其本质是演绎法。它有着归纳的外在，演绎的实质，它是由无数个三段论构成的一种递推的证明方法。

三是思辨性

（1）逻辑的思辨

思辨中的一个重要内容就是逻辑的思辨，逻辑思辨也是中学数学教学中不可忽视的内容。

数学的逻辑与严谨决定着数学中必然充满着思辨。

例如，判断一个命题的真假，这里就存在着思辨。又如，悖论中充满着思辨，蕴含着深刻的智慧。

（2）哲学的思辨

在数学学科中，关于常量与变量、曲与直、静态与动态、有限与无限、矛盾与统一、量变与质变等关系，在哲学层面都充满着思辨。

四是历史性

数学史应该是一个重要的、显在的数学文化表现特质。数学的发展具有历史继承性。

在我们中学数学阶段，具有浓浓数学发展历史的数学概念、定理等也可以找出很多。如初中的毕达哥拉斯定理，高中的算法的概念、复数的概念、解析几何的诞生等等，这些都具有深深的历史发展轨迹。

五是创造性

数学文化具有创造性。用公理化体系来研究几何是一种创造，吴文俊的机械化证明也是一种创造。

古印度画人只有正面或侧面像，随着绘画技术的提高，在文艺复兴时期，发现利用透视原理就可以在二维画布上非常生动地展现出立体的效果。在立体几何中，斜二轴测画法、正等轴测画法正是基于透视原理，它们便是来源于生活的一种创造。

六是力量性

要说数学具有力量，我们会想到它具有统整的力量。

在古希腊，毕达哥拉斯学派就有这样的论断：“数支配着宇宙。”当然我们现在知道，毕达哥拉斯当时的“数”仅仅是指“整数”。但至少说明当时有这种数学统整宇宙一切的意识存在。

柏拉图说：“数学是一切知识中的最高形式。”

20世纪40年代，布尔巴基学派缔造了一个“结构”王国。他们用结构来对整个数学进行统整。他们认为全部数学基于三种母结构：代数结构、序结构和拓扑结构，这是“数学结构”的力量。（注：平时最常用的自然数集合、整数集合、有理数集合、实数集合、复数集合，都按布尔巴基的用法分别用N，Z，Q，R，C来表示。）

或许以上这些与我们目前中学数学教学的关系不是很紧密，现在回到我们的中学数学中来。

（1）思想的力量

数学的力量包括思想的力量。

有专家认为，从提高学生的素质、水平和能力的角度来说，比起教他们一些个别的、有些应用价值的知识，给他们一个完整的体系应该更重要一些。

荷兰数学家弗赖登塔尔说：“与其让学生学习数学，不如让学生学习数学化；与其让学生学习公理系统，不如让学生学习公理化；与其让学生学习形式体系，不如让学生学习形式化。”

米山国藏曾说过，无论对于科学工作者、技术人员，还是数学教育工作者，最重要的是数学的精神、思想和方法，而数学知识只是第二位的。

正如欧氏几何是公理化思想的典范，由为数不多的一些公理和公设出发，演绎出了一个庞大的理论体系。

另外，数学中的“类比思想”就是一种力量。开普勒就曾感叹“它是我智慧的老师，它能揭示自然界的秘密”。

“对应思想”是一种力量。正因为联想到代数与几何的对应，笛卡尔和费马不约而同地开创了“解析几何”的先河，统整了代数与几何。

再如，“代换思想”也是一种力量。在三角比这一章中，一连串的诱导公式和三角恒等式正是代换所带来的。

（2）应用的力量

数学的触角已经延伸到了生活、科技等各个领域。

我们来看看，中学数学中的一些知识在现实生活中的应用。

例如，我们到超市里去购物。超市里每天都有大量的顾客和大量的货物交易记录。那么利用矩阵这个工具，就可以为我们管理、记录、运算数据带来极大的便利。

又如，我们在中学数学中有一个专门的教学内容就是求最值，而这些求极值的方法就可以用到我们现实生活中的一些最优化问题中。

在第一章第二节中提到了数学的文化价值。我把中学数学的文化价值限定在了纯粹数学价值和精神价值这两个方面。其中，纯粹数学价值主要包含审美情趣和理性精神；精神价值主要包含探索创新和价值判断。

通过引领学生欣赏数学表达的简洁、方法的简洁、表达的纯粹，以促进学生审美情趣的提升。通过引导学生进行逻辑的思辨、哲学的思辨，抓住概念中纯粹的本质，有利于学生理性精神的养成。结合数学文化中的创造性和数学应用性的教学，有利于培养学生的探究精神与创新精神。结合数学的发展历史以及数学思想的力量，有助于学生树立正确的价值观。

下面的图表给出了中学数学文化特质所指向的中学数学文化教育价值的四个具体方面——审美情趣、理性精神、探索创新、价值判断。

中学数学的文化特质

在数学文化观下的课堂教学就要考虑如何将这些数学的文化特质在课堂中予以活化，即我们的任务是采取有效的策略，通过这些外在的、静态的、沉淀下来的文化特质激发起学生心理内部思维的运作，从而在课堂教学中引领学生体验、感受、欣赏、品味。

数学教育的普遍意义最终应该指向提高人的素养。中学数学教育的最终价值，也是中学数学教师的使命应当是在日常的课堂教学中落实学生审美情趣、理性精神、探索创新、价值判断的养成，而这着实给我们教师提出了挑战。