数学素质的生成

第二节　数学素质的生成

皮亚杰在《发生认识论原理》中指出：“新结构——新结构的连续加工制成是在发生过程和历史过程中被揭示出来的——既不是预先形成于可能性的理念王国中，也不是预先形成于客体之中，又不是预先形成于主体之中。”数学素质同样不是学生先验理念的存在，而是在数学活动中产生的，不是仅仅授受的，而是在数学教学中逐渐地自然生成的。所以，对数学素质的生成机制的分析是极为重要的。

一、数学素质生成的特征

从动态的生成角度看数学素质的生成具有过程性、超越性和主体性特征。

（一）数学素质生成的过程性

生成性思维表明，生成是一个过程，是一个从无到有的过程。数学素质的生成同样是一个过程，是主体在已有数学活动经验的基础上，在数学活动中，经历、体验、感悟和反思数学应用、数学思想方法、数学的思维以及数学精神，形成一种综合性特征，并将这种结果在真实情境中表现出来。所以，数学素质有“生”和“成”两个过程，生的阶段主要是学生的学习阶段，关键在于学生主动、积极地参与数学学习的过程，在数学学习中逐渐形成对数学本质的科学认识、掌握数学知识和数学思想方法，养成数学的思维习惯以及数学的精神。这个过程依赖主体对数学过程的体验、感悟、反思，是一个主体积极主动的过程。而在数学素质的“成”的阶段中，需要主体把已有数学素质的“生”的结果表现在自身的活动行为中，主体在真实世界中，能够有数学精神，用数学的思维或眼光审视现实世界，选取数学的思想方法来分析主体面临的实际问题，积极应用相关数学知识与技能来解决问题，并以数学精神来审视问题解决的结果是否适合现实问题情境。从主体的活动的角度看，数学素质的生成的过程是主体体验、感悟、反思和表现的过程。从内容看，是主体把数学活动的结果（包括知识和经验以及主体对数学的体验、感悟和反思的结果）转化为真实情境中的表现过程。

（二）数学素质生成的超越性

数学素质源于数学活动经验，但是不同于数学经验，数学素质一旦形成，它将超越数学经验以及数学知识和技能的学习范围。正如著名数学家徐利治教授等指出的：“较高的数学素质与所谓的‘数盲’直接对立，而这不仅是指掌握了一定的数学知识和技能，更是指具有数学地思维的习惯和能力，即数学地观察世界、处理解决问题。”

数学素质的超越性就是超越数学素质的原有水平而不断达到更高的层次。具体来说，主体在学习数学知识的基础上，通过现实情境获得数学应用素质的提升，数学思想方法的掌握以及数学的思维习惯养成，最终形成数学精神。而数学精神的张扬使得主体能够从数学的角度质疑、求真、求美、求善，并从数学的角度思考，决定使用数学思想方法。这个过程中，数学素质的构成要素不断转换，必将超越原有的数学素质。数学素质的超越性决定了数学教学中数学素质生成的可能性。

（三）数学素质生成的主体性

所谓主体性就是作为现实活动的主体的人为达到为我的目的而在对象性活动中表现出来的把握、改造、规范、支配客体和表现自身的能动性。从数学本身来看，由于数学是从人的需要中产生的，数学是一种人类活动，因此作为认识成果的数学就不可避免地体现出认识主体的主体性，留有认识主体的思想痕迹。数学素质的生成离不开人，与数学知识的客观性相比较，数学素质更具有主体性，包含了个体的数学经验、数学活动、对数学的领悟与反思等。数学素质的生成由于影响学生的问题解决因素和问题情境因素具有多样性特点，使得学生个体在问题解决中，必然会充盈着具有个体数学的倾向性和数学的行为模式，所以，数学素质必然具有主体性特征。皮亚杰指出“整个认识关系的建立，既不是外物的简单摹本，也不是主体内部预先存在的独立显现，而是包括主体与外部世界在连续不断的相互作用中逐渐建立起来的一个结构集合。”数学素质在生成中需要发挥主体的主动性、积极性和自主性。

二、数学素质的生成机制

“机制”一词来源于古希腊语“mechane”，意指机器的构造和动作原理。《现代汉语词典》中对机制的解释是：“①机器的构造和工作原理，如计算机的机制；②有机体的构造、功能和相互关系，如动脉硬化的机制；③指某些自然现象的物理、化学规律，如优选法中优化对象的机制，也叫机理；④泛指一个工作系统的组织部分或者部分之间相互作用的过程和方式，如市场机制。”可见，机制一词引入不同的学科就有不同的含义，但其基本的含义是事物的组成部分、组成部分的关系以及这些组成部分之间的相互作用的运作关系、方式、过程以及结果。所以，对于数学素质的生成机制应该系统分析其生成过程，这个过程由哪些因素组成，这些过程是怎样联系的以及最终是怎样形成的。

系统论也告诉我们，要了解一个系统，首先要进行系统分析。一是弄清系统是由哪些组成部分构成的；二要确定系统中的元素或成分是按照什么样的方式联系起来形成一个统一的整体的；三要进行环境分析，明确系统所处的环境和功能对象，系统和环境如何互相影响、环境的特点和变化趋势。所以，系统地分析数学素质的生成机制有助于揭示数学素质的生成过程，为数学素质生成的教学研究奠定理论基础。

下面主要从数学素质的生成基础、生成条件、生成环节、生成标志等角度对数学素质的生成机制进行系统分析。

（一）数学素质生成的基础和源泉：主体已有的数学经验

生成学习理论表明：人们在构建对所知觉信息的意义时，总是涉及其原有认知结构，就是学习者将原有认知结构与从环境中接受的信息或新知识相结合，主动地选择信息并积极地构建信息意义的过程，并把学生的前概念、知识和观念作为生成学习理论的四大因素之一。洛克认为：“我们的全部知识是建立在经验上面的；知识归根到底都是导源于经验的。”杜威认为：“学校教育在教学中能通过符号的媒介完全地传达事物和观念以前，必须提供许多真正的情境，个人参与这个情境，领会材料的意义和材料所传达的问题。从学生的观点看，所取得的经验本身是有价值的，从教师的观点看，这些经验是提供了解利用符号的教学所需要的教材的手段，又是唤起对用符号传达的材料的虚心态度的手段。”可以看出，经验是一切学习活动的基础。经验通常指感觉经验，即人们在同客观事物接触的过程中，通过感觉器官获得的关于客观事物现象和外部联系的认识，有时也泛指人们在实践中获得的知识。实际上，在数学教育中，原有的认知结构和学生的前概念、知识和观念就是主体已有的数学经验。

什么是数学经验呢？在哲学上，数学经验可划分为三种类型：①直接来自于现实问题的数学经验，即在数学理论出现之前和应用于现实之后，人们对其现实原型的性质进行分析探索，从研究现实的量的关系中积累的经验。②间接来自现实问题的经验，即在对数学自身问题的认识过程中积累起来的，具有一定抽象性质的、从研究作为思想事物的量的关系中获得的经验，有些数学家称之为拟经验或理性经验。③在数学学习过程中积累起来的经验。获得这种经验的过程，实质上重演了前人研究数学时积累经验的过程。当然学习中的经验更精炼、更系统、更易于接受，但在启发性方面，往往不如历史上的经验那样深刻。

在数学教育中，数学经验是指主体所经历的一切与数学有关的活动经验以及所形成的个人信念，体现为这样几个方面。

1．在没有学习数学之前已经形成的经验

最初的数学概念都带有很明显的人类经验的痕迹。在教育中，在学习者尚未接触某一数学概念之前，他的生活中已经有了某一数学概念，并且学习者已经形成这种习惯。或者说学习者对原有数学概念是建立在自己的生活经验基础之上的。学习者被看做是由目标指引积极搜寻信息的施动者，他们带着丰富的先前知识、技能、信仰和概念进入正规教育，而这些已有知识极大地影响着他们对环境内容以及环境组织和理解方式的理解。因此，教师需要注意学习者原有的不完整理解、错误观念和对概念的天真解释对所学科目的影响。

2．学习数学的过程中形成的经验

在数学学习中，主体在数学教师的引领下就会逐渐形成数学的活动经验。这种数学经验因数学教师教学和学生学习方式的差异而不同。如果数学教师在数学教学中过分强调公式和定理的记忆，学生所形成的数学学习经验就是死记硬背公式。如果数学教师在数学教学中强调数学的质疑、猜想、发现、证明，学生就会体验到数学质疑、猜想、发现、证明，从而形成与之对应的数学经验。

3．学习数学之后形成的经验

在数学学习之后形成的数学经验包括数学知识与技能、数学活动经验、数学观念以及数学的思维习惯等。此时，个体的数学经验已经具有综合性、外显性、个体性等特点。这些经验为数学素质的生成提供独特的个人框架，形成了组织和吸收新知识的概念关系项，把新知识与已有概念整合起来生成数学素质。因为“人人都体会得到，对于那些曾经寄托了自己情感、意念的习得经验，是最刻骨铭心的，常常是终生难忘的，因为，那是最可能融于自身的，或者说它真正成为素质了。也就是说，这种习得经验对素质发展有最实在、最深刻的影响。”所以，主体已有的数学经验是数学素质生成的基础和来源。这也表明数学素质的生成离不开主体已有的数学经验，而且数学经验也是数学素质的重要组成部分。数学素质的生成中，尊重和充分挖掘学生的数学经验成为数学素质生成的先决条件。

（二）数学素质生成的外部环境：真实情境

教育现象学表明，教育是教学、培育的活动，或者从更广泛的意义上讲，是与孩子相处的活动，这就要求在具体的情境中不断进行实践活动。教育学存在于极其具体的、真实的生活情境中。从系统的角度看，任何系统都是在一定的环境中产生出来的，又在一定的环境中运行、延续、演化，不存在没有环境的系统。数学素质生成需要一定的环境，数学素质生成的环境决定了数学素质的生与成。

数学素质的生成是在数学活动中产生，指向在真实情境中对数学知识与技能的运用并逐步形成数学思想方法以及数学的思维和数学精神素质。因为，如果思维不同实际的情境发生关系，如果不是合乎逻辑地从这些情境产生进而求得有结果的思想，我们永远不会搞发明、作计划，或者，永远不会知道如何解决困难和作出判断。所以，真实情境既是数学素质生成的环境，又是数学素质表现的载体。

数学素质生成的环境不仅仅是对于一个问题的解答，更为主要的是主体在一个真实情境中，从数学的角度理解情境、把握情境，在合理理解情境中展示自己的数学素质。

（三）数学素质生成的载体：数学活动

无论是知识的获取还是知识意义的建构，都与主体所从事的学习知识的活动有关，数学素质的生成依赖于主体所从事的数学活动。较早对数学活动的阐述是在前苏联数学教育学家斯托里亚尔的《数学教育学》中。斯托里亚尔认为：“从对数学教学中积极性的狭义理解出发，我们把数学教学的积极性概念作为具有一定结构的思维活动的形成和发展来理解，这种思维活动叫做数学活动。”到底什么是数学教学的积极性概念呢？他首先指出：“在教学过程中，学生的积极性是掌握知识的自觉性的前提。如果缺乏积极的思维活动，就不能自觉地掌握知识。数学教育学不能建立成听任学生在积极的思维活动和单纯的死记硬背之间进行自由选择的两头，它应当建立成以全体学生的积极思维活动为基础的积极的数学教学。”在数学教学中有两种积极性：广义和狭义。“在数学教学中的广义积极性，与学生在其他学科教学过程中的积极性没有本质的区别。它是一般的积极思维活动。狭义积极性是带有数学特点的，因而叫做数学活动的一种特殊积极性，是具有一定结构的思维活动。”把数学活动分为三个阶段：①借助观察、试验、归纳、类比和概括，积累事实材料（可称之为经验材料的数学描述，也可称之为具体情况的数学化）；②从积累的事实材料中抽象出原始概念和公理体系，并在这些概念和体系的基础上演绎地建立理论（可称之为数学材料的逻辑组织化）；③应用理论形成模型（也指数学理论的应用）。因而，数学活动可看做是按照下列模式进行的思维活动：①经验材料的数学组织化；②数学材料（第一阶段活动的结果中积累的）的逻辑组织化；③数学理论（第二阶段的结果中建立的）的应用。因此，数学活动是再发现或有意义地接受数学真理，是逻辑地组织用数学经验方法得到的数学材料，并在各种具体问题上应用理论并发展理论的过程。

数学活动是主体积极主动地学习数学，探索、理解、掌握和运用数学知识与技能，形成数学能力，经历数学化过程的数学认知活动。与一般活动不同的是，学生能在数学活动中经历“数学化”过程。这里的学习是以数学思维为核心，包括理解、体验、感悟、反思、交往、表现和实践等多种方式，是数学认知结构的形成发展过程，其实质是数学思维活动。阿兰·施恩菲尔德认为，如果我们相信做数学是一种获得意义的过程；如果我们相信数学是一种动手的、经验的活动；如果我们相信数学是一种集体活动，需要合作解决一些问题，给出一些现象的尝试解释，并回头对这些解释进行加工；如果我们相信数学学习是很有用的，而且数学地思维是很有价值的，那么课堂教学就必须反映这些信念。因此我们必须创设一种学习环境，在这种环境中，学生能够积极地去体验数学。以上表明，数学活动是数学素质生成的主要载体，只有在数学活动中，主体才有机会体验数学、感悟数学和反思数学，并在具有应用数学的真实情境中，通过主体的数学活动使主体的数学素质表现出来。可以说，没有数学活动，数学素质就是空中楼阁。

（四）数学素质生成的环节：体验、感悟、反思和表现

现象教育学把知识理解为一种动态过程，认为要通过体验和理解、能动地建构才能形成知识。儿童要在个人经验的基础上发展生成问题的能力，建立自己的判断，学会批判、理性地思考。教育的首要问题应该是儿童的经历和体验是什么样子。生成学习理论认为，学习是一个主动的过程，学习者是学习的主动参与者，大脑并不是被动地学习和记录输入信息，而是有选择地去注意所面对的大量的信息或者有选择地忽视某些信息，并主动构建输入信息的解释和意义，从中作出推论。从心理学的角度看：“生命系统不是被动接受信息，而是主动筛选，脑内有些结构可以抑制外周信息，使之中断不再上行传递。例如，脑的边缘系统有些结构是听觉意识的闸门，使无意义的听觉信息不进入听觉高级中枢，形成听而不见的情况，同样也有视而不见的情况，总之，边缘系统是控制外界无关信息进入意识的重要结构。脑的智力活动是洞察外来信息的过程，包括学习（选择有意义的信息）、记忆（有用信息的积累与贮存）以及经过思维活动（形成概念、推理、判断等等）再产生新的行为反应。”而且，数学素质的个体性和数学素质生成的主体性表明，数学素质的生成离不开主体的数学活动参与，这些参与表现为主体在数学活动中的体验、感悟、反思和在真实情境中的表现，是数学素质生成的关键环节。

1．体验

体验是指参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得经验。实际上，体验一词，在不同的学科中有不同的含义。在哲学中，特别是生命哲学中，体验是指生命存在的一种方式，它不是外在的、形式性的东西，它是指一种内在的、独有的、发自内心的和生命生存相联系着的行为，是对生命、对人生、对生活的感触和体悟。在心理学中，是指一种由诸多心理因素共同参与的心理活动。体验这种心理活动是与主体的情感、态度、想象、直觉、理解、感悟等心理功能密切结合在一起的。在体验中，主体不只是去认知、理解事物，还通过发现事物与自我的关联而产生情感反应和态度、价值观的变化。

学生在数学学习过程中，通过对数学本质属性的认识，亲身感受数学的抽象性、数学的广泛应用性。这里强调的是学生在学习过程中的主动体验，强调学生的亲身体验，强调学生的亲历性。荷兰著名的数学教育家弗莱登塔尔指出，“如果不让他经受足够的亲身体验而强迫他转入下一个层次，那是无用的，只有亲身的感受与经历，才是再创造的动力”。

张楚廷教授对体验和素质的观点有：“①体验是在与一定经验的关联中发生的情感融入与态度生成，它是包括认知在内的多种心理活动的综合。②体验的价值在于使人在必然的行动中超越行动，在不可缺少的物质基础上达到精神，在永远存在变化之中感悟到永久。体验产生的不只是观念、原理，也产生情感、态度与信仰。③一个人良好的素质是一种内在之物，它的形成有一个内化的过程，既有认知心理也有非认知心理在起作用，必须经过体验才能达到人的心灵最深处，经过体验才真正谈得上素质。④教学过程不仅仅是一个特殊的认识过程，而且是一个特殊的认知、感受和体验的过程，教学不仅要使学生认识到，而且要让学生感受到、体验到。⑤学校和教育者的责任不仅在深入认识到体验的作用，而且在于创造良好的条件，以便于学生体验，便于他们的体验朝着积极的方面发展。”

数学体验的生成决定其他数学学习的发生和保持。主体在数学学习活动中的良好体验是数学素质生成的起始环节。在数学活动中的体验有：①数学地发现和数学发现的体验。数学地发现是指学生在现实情境中，寻找数学化的关系，自我地提出数学问题或者理解现实情境。在这个过程中要体验数学与现实生活的紧密联系，体验数学在现实生活中的广泛应用性，体验“数学地思维”。数学发现通常就是我们所说的“再创造”，是已有数学知识的发现过程。这个过程中要体验数学家工作的过程，以及在数学发现中的一些数学思想方法的作用。②数学思想方法的体验。数学思想方法可以分为两个方面：数学中的科学方法和数学特有的方法。前者是科学研究通用的方法，如归纳、演绎、类比、综合、分析等；而数学特有的方法有公理化方法、数形结合、数学模型等。③数学审美的体验。从数学角度体验简洁美、和谐美、奇异美等。④数学精神的体验。从数学的角度质疑、求真、求美、创新等。

2．感悟

感悟就是有所感触而领悟或者醒悟，是在认知、理解、体验的基础上的自我觉醒，是一种综合性的生活形式，它包含着认知、理解、体验。从心理学的角度看，感悟既有感性认识的成分，又有理性认识的成分，还有直觉的成分；既有理智的成分，又有情感的成分；既是认识的过程，又是实践的过程。感悟是人的自我意识的内在活动，它从来就不可能被给予。感悟是人的生存的一种境界，只有发挥了主体性的人，才能在处理与自然事物、社会事务的关系过程中有所感悟。没有主体性的人，就不可能有感悟。

数学感悟来自于数学活动中，通过对数学的接触和体验形成对数学活动的认识，不仅包括数学学习的方法、数学知识的应用、数学技巧的掌握、数学活动过程等，还有对数学本质的领悟。在数学学习中，悟很早就被中国古代数学家所提出。刘徽就在《九章算术》中说：“徽幼习《九章》，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。”

由于不同的学习者对数学活动参与不同、体验不同，形成对数学感悟的差异比较明显。但是，必须明确的是数学感悟不是教出来的，是在教师的引导下自然、自发地形成的，是在数学体验的基础上形成的。但是，学生所从事的数学活动对数学感悟的形成极为重要。下面是在“多练”的数学活动中形成的“数学感悟”。

学习数学，感悟最深的便是得多练，不过练的前提是要先掌握好基础知识，这样才能更好地把知识点落实好。多练要有讲究，不要专挑有挑战性的题目练，基础题也应适时多练，这样的好处是：①便于巩固所学知识，使之不易遗忘；②便于由易到难，富有学习逻辑性；③能够熟练地解决考试时的基础题，为考试赢得时间去解决稍难或难的题目打下基础。多练便会碰到许多不懂的问题，这时你不应直接去问老师或同学，而应该把这些问题归类，看它属于哪种类型。如果这样还是思考不出的话再去请教老师或同学，但不用每道题都去问，这样可起到既省时又能总结知识点的作用。多练的过程中一定会出现许多解题错误或方法错误，最好的方法是收入错题集，把错的题目或无从下手的题目中具有代表性的集在一个本子上，并不时地翻开看看，有时也可重新做做这些题目，这样便于巩固一些经典的解题方法，也巩固了许多知识，还起到了强化的功能。解答一个题目，不仅要关注结论，更应关注其解题过程，在碰到一些好的题目、难的题目时，可以写下它的分析过程，这样时间久了，再翻看，便于记忆理解。总之，学习数学，多练是最重要的。

在数学教学中过于强调数学的练习必然导致学生对数学感悟的片面性。如果学习者对数学的感悟只是多练，这将会阻止数学素质的生成，因为数学素质强调在真实情境中学生的数学精神、数学思维、数学思想方法、数学应用和数学知识素质的表现。所以，在数学活动中对数学形成感悟是数学素质形成的必要环节，只有使主体感悟到数学与现实生活的紧密联系，从数学的角度思考现实生活问题的重要性时，主体才可能会在现实或者真实情境中应用数学知识与技能，并从不同层面促进数学素质的生成。

3．反思

反思也称为反省。指反映、返回、沉思等。西方哲学中通常指精神（思想）的自我活动和内省方式。洛克认为反思（反省）用以指知识的两个来源之一。反省是心灵以自身的活动作为对象，进行反观自照，是通过感觉形成的内部经验的心理活动。黑格尔认为反思具有多种用法与含义：①反思与知性思维相同。知性是用有限的抽象思维形式把握真理，由此造成自相矛盾，不能把握活生生的事实。而反思的范畴是各个独立有效，可以离开对方而孤立地理解的，与反思同义。②反思与后思相同。他明确地说：“后思也即反思。”“只有在哲学的反思里，才将‘我’当做一个考察的对象。”这里的反思实指后思。③指处于知性和消极理性之间的阶段。反思是知性思维通向理性思维的桥梁。④反思与异化也有联系。反思指思维主体将它自己异化为自己的对象，并从异化中返回到自身。马克思主义在唯物主义立场上借用这一术语，用以指人们在实践活动的基础上对获得的感性材料进行思想加工，使之上升到理性认识的过程。对事物的反思，就是对事物的思考。恩格斯在批判形而上学时指出：“这些对立和区别，虽然存在于自然界中，可是只具有相对意义，相反地，它们那些想象的固定性和绝对意义，只不过是由我们的反思带进自然界的。”反思还表现在思考自己的思想、自己的心理感受、描述和理解自己体验过的东西，即自我意识。

在教育学中，杜威认为：“没有某种思维的因素便不可能产生有意义的经验。极力倡导‘反省思维（Reflective Thinking）’，这种思维乃是对某个问题进行反复的、严肃的、持续不断的深思。”反省思维包括五个要素、步骤或阶段：第一，问题的感觉——在一个真实的经验的情境中，令人不安和困惑的问题阻止了连续的活动；第二，问题的界定——是感觉到的（直接经验到的）疑难或困惑理智化，成为有待解决的难题和必须寻求答案的问题；第三，问题解决的假设——占有知识资料，从事必要的观察，以对付疑难问题；第四，对问题及其解决方法的逻辑推理——从理智上对假设进行认真推敲，以检验解决问题的方法的有效性。

数学素质的生成离不开反思，荷兰著名数学教育家弗莱登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化”，“只要儿童没能对自己的活动进行反思，他就达不到高一级的层次。”美籍匈牙利数学教育家波利亚也说：“如果没有反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面。”我国学者涂荣豹教授提出了反思性数学学习，认为：“反思性数学学习就是通过对数学学习活动过程的反思来进行数学学习。可以帮助学生从例行公事的行为中解放出来，帮助他们学会数学学习，可以使学生的数学学习活动成为有目标、有策略的主动行为，可以使学习成为探究性、研究性的活动，增强学生的能力，提高个人的创造力，可以有利于学生在学习活动中获得个人体验，使他们变得更加成熟，促进他们的全面发展。”

所以，反思不仅仅是一种结果，更为重要的是一种过程。数学素质的生成中，反思是在体验、感悟的基础上对数学活动的思考，是在数学活动中对自己所经历的数学活动过程的反思，反思自己的数学活动、反思自己的数学体验和感悟。即“对自己的思考过程进行反思；对活动所涉及的知识进行反思；对涉及的数学思想方法进行反思，对活动中有联系的问题进行反思；对题意理解过程进行反思；对解题思路、推理进行过程、运算进行过程、语言的表述进行反思；对数学活动的结果进行反思。”

4．表现

要真正把握一个人的素质，最可靠的办法还是中国的一句老话“听其言，观其行”。所以，一个人的言和行是表现自身素质的重要途径。实际上，表现与内在情感活动有关，表现即内在情感的外部表现。在《现代汉语词典》中，表现有两层含义，一是表示出来，二是故意显示自己（含贬义）。许多“人类行为”都可以称之为一种表现。

在数学学习中，表现是指在对数学的体验、感悟、反思的基础上，在真实的情境中把所体验、感悟和反思的结果表现出来。即“学以致表”（From Knowing to Showing），就是要由内而外，将个体内在的良好素质充分地外化出来，让别人（也包括表现者本人）能够清晰、具体地感受到，直观形象地观察到。正如有人指出的，“各种表现行为便是这整体人类实践中的最微妙的成分，因为人类对它们的使用不是随意的，而是根据它们在一个变化无穷的环境（即其他事物和其他人群组成的环境）中的作用和地位被使用着。因此，表现作为手段，既是实践的构成成分，又是实践的丰硕果实，它同人类的知觉能力、思维能力和想象能力一起成熟起来，都是人类无数实践活动在心理结构中的积淀，它的外在表现是本能的、无意识的，但实质上却是实践的智慧结晶。”

表现是数学素质生成的最后环节也是最为关键的环节，数学素质充分表现出来并用于理解现实情境或者解决现实情境中存在的问题。如果表现不出来的就不是数学素质，也就是知识与能力没有转化为素质，也就是通常所说的“有知识，没素质”。实际上，“课程知识不仅仅是用于‘储藏’以备未来之用的，而且也是用来改变学习者的当下的人生状况的。学习了科学知识，就当有科学的生活态度；学了社会知识，就当提高自己的社会交往和实践能力；学习了人文知识，就当对人的存在、价值和意义有新的认识和理解”。也就是说，数学学习的结果就是要使人的思想和行为的表现有所变化，通过其表现来展示自身的数学素质。

数学素质的外显性的特点最终要通过学生在真实情境中的活动来表现。洛克认为：“任何人从事任何事物，都根据某种看法作为行动的理由，不论他运用哪种官能，它所具有的理解力都不断引导他，所有活动能力，不论真伪，都受这种看法的指导，人们的观念、意象才是不断控制他们的无敌的力量，人们普遍地顺从这种力量。”正如有学者描述的：“一个有数学思维修养的人常常表现出如下特点：在讨论问题时，习惯于强调定义（界定概念），强调问题存在的条件；在观察问题时，习惯于抓其中的（函数）关系，在微观（局部）认识基础上进一步作出多因素的全局性（全空间）考虑；在认识问题时，习惯于将已有的严格的数学概念如对偶、相关、随机、泛函、非线性、周期性、混沌等概念广义化，用于认识现实中的问题。”数学素质是否生成就要看学生在真实情境中的表现，需要学生对数学活动体验、感悟和反思的结果在具有真实情境的问题中表现出来。所以，表现环节决定了数学素质的最终生成。

可以说，体验、感悟、反思和表现构成一个四元素的环形网状关系。其中，数学素质的生成从学生对数学的体验开始，这种体验包括学生的数学活动经验，学生有了体验才可能有感悟、反思和表现的内容；感悟最初来源于学生的数学活动体验，在体验中感悟数学活动，同时，学生在真实情境中的表现也是学生感悟的一个重要方面。反思既有对数学体验的反思，也有对数学感悟的反思，更有对自身在真实情境中的表现的反思。表现是数学素质生成的最终环节，是数学素质超越的起始环节，表现的内容是对数学体验、感悟、反思的结果。表现也是数学体验、感悟和反思的主要内容。通过在真实情境中的表现，学生将会获得在真实情境中数学素质表现的体验并验证自己的感悟和反思，从而更新自己的体验、感悟和反思的结果。基于以上的分析，可以发现体验、感悟、反思和表现是数学素质生成的重要环节。

（五）数学素质生成的标志：个体成为数学文化人

数学素质最终生成体现在个体的身上，使个体成为有教养的数学文化人。所谓有教养的人，即按照一定时代的理想所陶冶的人，在他那里，观念形态、活动、价值、说话方式和能力等构成了一个整体，并成为他的第二天性。所谓文化就是以“文”化“人”。而数学是一种文化，在个体学习的过程中就会发生个体文化内化的现象。所谓个体文化内化是指特定文化圈中的个体，在一定的社会文化教化和熏陶之下，将文化的模式内化为心理过程，形成自己的独特模式，最终成为所属文化圈中的成员的过程。这是一个终身的过程，受特定文化和个体主观条件两方面的影响。从文化同化的角度来看，某种文化的个体或者群体吸收并融入另一种文化的过程中，同化者常常接受了新的文化要素而逐渐失去原来的文化特征，并与新的文化环境中的成员在行为模式上相似。数学学习中，主体在体验、感悟、反思结果以及在真实情境中表现出综合性特征，直至最终成为数学文化人。他类同于和田秀树描述的“数理人”，真正的数理人是：有数学头脑，思考与处理事情的角度和方法不流于情绪应对的人。也就是，以所受数理科学知识训练为基础，并进而运用理性思考的人。这里所说的数学头脑，基本上不是情绪性的思考，而是根据数字分析状况，从几率的角度考虑问题。看了统计数字后，还会进一步思考：“照这种趋势，接下去应该会……”，“展示的是单纯的相关关系，还是因果关系呢？”注意，不要被数字欺骗了。平均数跟众数是不一样的，跟中位数也不同。想一想，哪个数字跟实际情形最符合，这样便能够掌握全局。同样的，也不要因为别人引用数字就被吓唬住。毕竟数字最客观，大家都会以自己的数字做根据，所以每个人都需要具备客观的、看透数字的能力。还有，不要盲从于毫无根据的数字，即使数字有其出处也不要轻易相信，如果连对自己提出的数字都会习惯性地怀疑，就证明你已经拥有数学头脑了。Harem，Bard，Scheid（2003）发现数学素质（Numeracy）较高的人在观看与前列腺癌发生有关概率的影视中作出的判断更为准确。Gurmankin，Baronand Armstrong（2004）发现数学素质较低的人会相信医师口头上的一些危险信息，而不相信数字给出的危险信息，但是，数学素质较高的人则不同。

一个数学文化人的综合性特征是由一系列的品质和能力构成的，是指数学素质整体性表现出来的特点：首先，一个具有数学素质的人具有数学所具有的科学精神和人文精神，即从数学的角度置疑、求真、求美、求善以及实事求是的精神，表现出数学地、理性地理解、分析和把握面临的情境。其次，一个具有数学素质的人能从数学的角度把握面临的情境，并试图数学化，从而抽象出数学。第三，在确定数学关系之后，就会选择合理的数学思想方法去处理。第四，最终表现为调动或者选择合理的数学知识与技能给出一个解决办法。最后，具有数学素质的一个显著特点是，把这种结果合理地与情境联系起来，校正解决的方案，使之符合现实情境。所以，一个人是否有数学素质不仅仅是有数学知识，更为重要的是在有数学知识的基础上，应该具有数学精神，并能够从数学的角度思考问题，选取合适的数学思想方法并合理选取合适的数学知识、技能以及数学工具。

基于上述分析，我们可以得出数学素质的生成的基础与源泉是学生已有的数学经验；数学素质的生成需要具有真实情境的问题；数学素质的生成以数学活动为载体，并经历体验、感悟、反思和表现等环节，最终以成为数学文化人为标志。这个生成过程中具有过程性、超越性和主体性特征。