培养学生数学素质的教学策略及教学建议

第四节　培养学生数学素质的教学策略及教学建议

一、数学素质培养的教学策略

下面从教学策略实施的基本理念、教学过程、教学内容、师生关系设计以及评价方式等方面构建培养学生数学素质的教学策略。

（一）以具有真实情境的问题为驱动，指向数学素质的各个层面

从数学素质的内容构成来看，数学素质包括数学知识素质、数学应用素质、数学思想方法素质、数学的思维素质、数学精神素质。我国的数学教学现状表明：注重数学知识的教学，忽视数学素质整体的生成；注重数学知识与技能的常规应用，忽视在具有真实的、多样化的、开放性问题情境中的应用；注重数学问题的解决，忽视学生对问题解决以及对数学的体验、感悟、反思和表现能力的引领；注重课堂教学，忽视社会生活中应用数学的引领。所以，数学素质生成的教学必须以具有真实情境的问题为驱动，在具有真实情境的问题解决中以数学应用为核心，在数学应用的过程中引领数学精神素质、数学思维素质、数学思想方法素质和数学知识素质。

具有真实情境的问题是指将数学真实地与现实世界结合起来，凸显数学在现实世界中的作用，使学生建立数学与现实生活相联系的问题。荷兰著名数学教育家弗莱登塔尔指出，“讲到充满着联系的数学，我强调的是联系亲身经历的现实，而不是生造的虚假的现实，那是作为应用的例子人为地制造出来的，在算术教育中经常会出现这种情况”。在数学素质生成的教学中，应该以具有真实情境的问题为驱动。

具有真实情境的问题能够使学生真实地体验、感悟和反思数学在现实生活中的作用，并且在具有真实情境问题的处理中，表现自身的数学精神素质、数学思维素质、数学思想方法素质、数学应用素质和数学知识素质。杜威的“做中学（Learning by Doing）”的教学过程特别强调情境：“第一，学生要有与他的经验真正相关的情境，也就是要有一个正在继续的活动，学生是由于对这种活动本身有着兴趣才去做的；第二，要能在这种情境中产生真正的问题，以引起学生的思考；第三，学生必须具有一定的知识和进行必要的考察，来处理这种问题；第四，学生把所想到的各种解决问题的方案，自己负责将它有序地加以引申和推演；第五，他要有机会通过应用去检验他的各种观念，把他们的意义弄清楚，使自己发现他们是否有效。”斯泰恩（M．K．Stein）概括了当前数学教学的发展的两种模式：一种是认知心理学模式，指向数学理解；另一种是社会文化模式，通过让学习者成为一名数学实践共同体的成员，帮助其进行思维。其中，后一种模式的数学教学强调超越“对数学的结构、概念、程序和事实性知识的掌握”，注重“数学实践共同体解决问题过程中所包含的‘心理习惯’：架构问题、寻找解决方案、表述猜想、将数学逻辑和数学推理作为自己进行推理的依据，注重通过对数学共同体的话语方式、价值观和规范的逐步掌握而成为数学的识知者、评价者、应用者和制造者”（Brophy，2001）。社会文化模式的数学教学追求的主要目标在于使数学成为解决问题过程中强有力的工具，使学习者成为数学的实践者。数学公理、数学逻辑和推理方法要在解决现实世界问题的过程中彰显其意义。这种追求不仅远远超越了传统的程式化数学教学，就是与“做数学”相比也有不少独到之处，因为社会文化模式的教学要培养的不仅是数学思维，更有实践中的数学思维。所以，学生在具有真实情境的问题中，才会使学生面临不同方案的抉择、质疑、反思、联系，而不是追求唯一正确的答案。但是，在当前的数学教学中，具有“假”情境的问题层出不穷。例如，为了说明“幂的运算在现实生活中的应用”，设计了问题：“在手工课上，小军制作了一个正方体模具，其边长是4×10³ cm，问该模具的体积是多少？”很显然，这是为了应用而应用。数学素质的生成需要使学生真实地体验和感受到数学与现实生活的紧密联系，首先感受的是情境的真实性，如果情境不真实，就会造成学生对数学与现实生活紧密联系的质疑。

数学素质生成的实践指向性表明，数学素质的生成是在认识真实世界、解决现实问题、完成真实世界的任务中进行的。因而，数学素质的生成是在数学与真实世界的联系中实现的。正如著名数学家柯朗（R．Courant）所指出的：“当然，数学思维是通过抽象概念来运作的，数学思想需要抽象概念的逐步精炼、明确和公理化。在结构洞察力达到一个新高度时，重要的简化工作也变得可能了……然而，科学赖以生存的血液与其根基又与所谓的现实有着千丝万缕的联系……只有这些力量之间相互作用以及它们的综合才能保证数学的活力。”也就是说，“归根到底，数学生命力的源泉在于它的概念和结论尽管极为抽象，却如我们坚信的那样，它们从现实中来，并且在其他科学中，在技术中，在全部生活实践中都有广泛的应用，这一点对于理解数学是最重要的”。所以，无论是数学知识的获取，还是理解数学，无论是数学思想方法的掌握，还是数学思维的活力，都来自于学生对真实情境问题的处理。

真实情境问题具有真实性和开放性，具备生成数学素质各个层面的条件。设计一个学习环境首先必须要明确需要学习什么，行为发生的真实世界情境是什么。接着，选择其中一个情境作为学习活动的目标。这些活动必须是真实的：它们必须涵盖学习者在真实世界中将遇到的大多数认知需求。因而要求在这一领域中进行真实问题的解决和批判性的思维。学习活动必须抛锚在真实应用情境中，否则结果仍将是呆滞的知识。所以，在数学教学中需要通过真实的活动方式进行探究性学习，从而在活动的真实层次上建构知识的意义，从各个层面生成数学素质。所谓真实的方式，就是要求学习者如同是在真实世界中的实践者一样，在主动探索、实践反思、交流、提高的过程中获得知识，使学生能够在“再创造”中体验数学家所经历的苦恼、克服困难的过程以及成功的喜悦，并感悟和反思数学的思想方法、数学思维和数学精神的生成过程。

（二）以多样化的数学活动为载体，引领学生的体验、感悟、反思和表现

数学素质的生成需要引导学生体验数学发现、质疑、数学问题解决、数学审美以及数学精神的熏陶，体验、感悟和反思结果，并在各种活动中表现出来。也就是说，“课堂教学应该关注在生长、成长中的人的整个生命。对智慧没有挑战性的课堂教学是不具有生成性的；没有生命气息的课堂教学也是不具有生成性的。从生命的高度来看，每一节课都是不可重复的激情与智慧综合生成的过程”。所以，数学素质生成的教学过程需要通过设计多样化的数学活动，引导和激发学生的体验、感悟、反思以及表现。

1．数学发现的体验、感悟与反思

数学学习是一个经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等的学习过程。在这个过程中，数学发现的设计应该突出学生的经历和体验，引导学生体验和感悟数学的发现过程，在这个过程中既有对数学问题提出的体验、感悟和反思，也有对数学再创造的体验、感悟和反思。在这个过程中要强调数学家的工作的特点，强调学生的“再创造”，他们经历“做”的工作和数学家是一样的，使得学生了解数学家的工作。而对于数学家工作的理解和数学研究的理解也是数学素质的一个重要组成部分，因为一个公民应该了解科学家的研究活动和科学过程，只有这样，他才会相信科学。因为“在调查公众的科学素质时，是否知道科学家和他们的工作往往是其中的一个组成部分，一般来说，公众是不太了解科学家的工作和思想的，即使他们承认科学的重要性，也会由于专业和技术上的困难而难以理解。随着教育的普及和科学的传播，公众越来越希望了解科学和科学家”。而数学发现则是数学研究中最有价值的研究，正如爱因斯坦所言：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决一个问题也许仅仅是一个数学上或者实验上的技能而已。而提出新的问题，新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”从数学史的角度看，数学发现推动了数学研究发展，一些数学家因为提出问题而闻名世界，比如，哥德巴赫猜想可以说家喻户晓，但是对在推进哥德巴赫猜想解决过程中的研究者们未必知道得很多。数学发现主要有两个方面：一是现实世界中数学关系的发现，现代日益增多的应用数学分支就足以说明这个问题；二是数学问题、定理或者猜想的发现。“问题是数学的心脏”已经涵盖了数学发现在数学发展中的地位和价值。

在有效的教学中，需要有价值的数学问题引出重要的数学概念，并巧妙地吸引和挑战学生来思考这些问题。问题选得恰当，有利于激发学生的好奇心，从而使他们喜欢数学。数学问题可能和学生的现实经验有关，也可能来自纯数学内容。不管情境如何，有价值的数学问题应该是引人入胜的，需要认真思考和努力进取才能完成的。所以，在数学教学中，应该从两个方面进行设计：

（1）数学知识的发现。相对于现实生活中数学关系的发现而言，数学知识发现的教学引领相对比较容易，因为相对于学生来讲，这是“二次发现”或者“再创造”。因此，在数学教学中，教师呈现给学生的不应是静态的数学知识，而应是数学知识产生的背景——数学情境。教师通过根据数学课程中的知识点创设数学情境，和学生共同经历数学知识的发现、体验、感悟和反思过程，使学生在学习数学的过程中实现数学的“再创造”，在做数学中学数学，重履数学家发现数学知识之路，从而实现对数学的真正理解。

（2）现实生活中数学关系的发现。从阐述数学在现实中有广泛应用的论文或者专著中知道，数学在现实生活中有广泛的应用性是不容置疑的。但是，真正使学生体验到数学在现实生活中广泛应用的例子并不是很多。我们认为很少给学生发现现实生活中数学关系的机会是造成这一现象的直接原因。所以，设计来自于现实生活中数学应用的例子就成为数学教学的关键。设计的案例目标在于学生数学素质的生成，使学生亲身体验从数学的角度理解情境，选取合适的数学思想方法，并用数学知识与技能解决问题的过程，感悟数学与现实生活的紧密联系，反思如何在现实生活中应用数学知识与技能。

实际上，“思考的活动不是在获得课程内容的智能之后才出现的，而是成功的学习过程中整体的一部分，因此课程内容须能挑动思考的灵感，即使最不起眼、最基本的课堂教学情境中，亦可启发思考的泉源”。

2．数学成功的体验、感悟与反思

数学素质生成的影响因素表明，学生的数学自我效能感和数学自我概念与数学素质具有显著的相关性，数学成功的体验不仅使学生对数学产生兴趣，而且有助于提高学生的自我概念和学生的自我效能感，反之亦然。数学成功包括问题解决成功，也包括数学问题发现的成功和实际生活问题“数学化”的成功。实际上，学业自我概念与学业成就是相辅相成的，学业上的成功能够促使积极的学业自我概念的形成，而积极的学业自我概念又会对学生的学习起到一种推动作用，促进学生的学习，提高学生的学业成就。国外有不少研究表明自我效能与学业成绩呈正相关。班杜拉1981年的研究发现，那些对数学毫无兴趣、数学成绩特别差的学生，经过一段时间的训练后，他们的成绩和自我效能感都显著地提高了，而且，觉察到自我效能感与数学活动的内部兴趣呈明显的正相关。舒恩克（D．H．Schunk）1984年的研究和约翰（John）1987年的研究都表明学生的自我效能感水平可以准确地预测学生的学业成就水平。国内也有研究者（何光友，1992）通过实验研究发现，自我效能感不仅与学习成绩呈正相关，而且，在教学实践中通过一定的方法和措施也是可以改变和提高的。有关自我效能感和学业成就的研究表明，以下几种情况，学生在学校的成绩会得到提高，自我效能感也得以增强：①采用短期目标以更容易看到进步；②教学生使用特定的学习策略，如列提纲或写总结这种有助于精力集中的策略；③不仅根据参与情况，而且根据行为表现来给予奖励，因为行为表现奖励标志着能力的提高。实际上，对于学生来说，他用最宝贵的时间参与教学活动，如果从来没有成功的体验，那么他的一生是遗憾的。但是，学生体验了刻骨铭心的成功，并在体验的基础上感悟和反思后，将对学生数学素质的提升极为重要。

3．数学审美的体验、感悟与反思

数学的审美体验、感悟和反思是数学素质的生成的情感因素之一。因为独特的审美感对数学创造力具有重大的价值。庞加莱曾描述过数学家所体验到的那种真正的美感：“只是一种数学的美感，一种数和形的和谐感，一种几何的优美感。”雷韦斯说：“数学家之所以要创造，是因为精神构成物的美给他带来的快乐。”所以，对数学审美的体验、感悟和反思能够形成对数学家追求美和数学所涌现出的科学美的体验，有助于形成数学科学的人文精神素质。

要学生能够审美或者体验、感悟和反思数学美的前提是要使学生知道“数学美是什么”。即“要获得审美的精神享受，就要求有审美的修养。没有必要的审美修养，就不可能具有审美的能力，就不可能获得应有的审美享受”。一般认为，科学美的表现形态有两个层次，即外在层次与内在层次。按照这两个层次把科学美分为实验美与理论美（或称内在美、逻辑美）。实验美主要体现在实验本身结果的优美和实验中所使用方法的精湛上。理论美主要体现在科学创作中借助想象、联想、顿悟，通过非逻辑思维的直觉途径所提出的崭新科学假说，经过优美的假设、实验和逻辑推理而得到的简洁明确的证明以及一些新奇的发明发现上。理论美的范畴有：和谐、简单和新奇。数学美隶属于科学美，所以具有科学美的属性与特点。由于数学在抽象性程度、逻辑严谨性以及应用广泛性上，都远远超过了一般自然科学。所以，数学美又具有其自身的特征。从数学发展史上看，“无论是东方还是西方，在古典数学时期，表现出来的数学美主要是以均衡、对称、匀称、比例、和谐、多样统一等为特征的数学形态美以及数学语言美，但都是外层次的、低层次的；对于数学内层次的、内在美（神秘美）没有论及，或论及甚少而且又很肤浅。17世纪以后，特别是20世纪开始，对于数学理论审美标准有了比较一致的看法：统一性、简单性、对称性、思维经济性”。“无论是按照数学美的内容，将其分为结构美、语言美与方法美，还是按照数学美的形式，将其分为形态美与神秘美，其基本特征均为：简洁性、统一（和谐）性、对称性、整齐性、奇异性与思辨性”。

在数学教学中，结合数学教材内容进行审美知识的介绍以及数学审美的引领，只有这样才可使学生知道“什么是数学美”和“怎样从数学的角度审美”正如著名数学教育家罗增儒教授指出的，“数学教学与其他一些突出欣赏价值的艺术不同，它首先要求内容的充实、恰当，这是前提，在这个基础上还要花大力气去展示数学本身的简单美、和谐美、对称美、奇异美。这些讲授魅力是最本质的因素，也是艺术发挥的最广阔空间。‘从教材中感受美、提炼美，并向学生创造性的表现美，应该是教师的基本功。’”比如，数学的简洁美，我们经常见到“化简”，但是很少给学生说明，这就是追求简洁美的一个过程。在多样化解题中，我们可以渗透简洁美的教育。“可以通过以下几个方面寻找更美的数学解：①看解题过程多走了哪些思维回路，通过删除、合并来体现简洁美。②看能否用更一般的原理去代替现存的许多步骤，以体现解题的奇异美。③看能否用更特殊的技巧去代替现有的常规步骤，以体现解题的奇异美。④看解题过程是否浪费了更重要的信息，以便开辟新的解题通道。”

可以看出，数学美的生成是数学素质的很重要的内容，学生只有体验到数学美、感悟到数学美的真谛，反思数学审美结果，才有可能从数学的角度思维，才有求真、求美的过程，这是数学思维素质和数学精神素质生成的关键。

4．多样化的数学学习方式的体验、感悟和反思

数学素质生成的教学过程离不开对学生的学习方式的设计和引领，而且，数学素质的生成也离不开学生的学习。从数学素质生成的影响因素中可以发现，学生的学习方式与数学素质的生成是正相关的。所以，多样化的学习方式体验、感悟和反思的引领有助于学生数学素质的生成。当我们只是强调一种狭窄的理性认知模式时，我们就转向了经验的重力中心，因而，我们没有学会如何去看、去听、去感知，也就是说，没有学会如何去表达我们的感受。而数学素质的生成环节表明，数学素质的生成需要设计有助于学生体验、感悟、反思以及表现的过程。

学生的学习方式按照学生参与的特点（是否是主动的、积极的以及自主的）把学生的学习方式分为自主学习和他主学习；按照内容的呈现方式可以分为接受性学习和探究性学习；按照组织方式可以分为合作性学习和独立性学习，或者合作性学习与竞争性学习；新一轮基础教育课程改革倡导自主、合作、探究的学习方式。实际上，任何一种学习方式在不同的年龄段、不同的内容以及不同的学生特点作用不同，这与学生的自身特点直接有关。但是，需要学生体验不同的学习方式，并从不同的学习方式中获得不同的发展。自主学习的特点是积极的、主动的、自我监控、非依赖性的，而数学素质生成的主体性要求学生数学学习是积极的、主动的、自我监控的，特别是控制策略与数学素质的生成具有显著的正相关。探究性学习的特点是问题性、探究性、过程性、开放性。在数学素质的生成中，探究性学习有助于学生形成从数学的角度思考问题、探究问题、解决问题，在这个过程中有数学精神素质、数学思维素质、数学思想方法素质以及数学应用素质的生成。从影响数学素质生成的教学因素之间的相关性可以发现，数学素质的生成与竞争性学习和合作性学习呈显著的正相关。而我国学生在数学学习中并不缺乏竞争性学习的体验，但却缺乏合作性学习的体验。在数学素质的生成中应该强调两种学习方式的使用，特别是合作学习中，应该注重学生数学学习的交流。从我国学生的数学素质现状的调查表明，我国学生不擅长解释和说明自己的思维过程和问题解决的方法。所以，多样化学习方式的设计有助于学生数学素质的生成。

5．数学思想方法、数学思维和数学精神的体验、感悟和反思

根据有关调查，我国大多数公民对于基本科学知识了解程度较低，在科学精神、科学思想和科学方法等方面更为欠缺。而数学精神素质中蕴涵了一般的科学精神、科学思想和科学方法。对我国学生数学素质的现状调查表明，与数学应用素质相比较，学生更为缺乏数学思想方法素质、数学思维素质以及数学精神素质。所以，从不同层面进行数学素质生成的教学过程使数学素质生成的教学策略具有针对性。

日本著名数学家米三国藏认为：“以我之见，在给学生讲授数学定理、数学问题时，与其着眼于把该定理、该知识教给学生，还不如从教育的角度让学生利用它们：①启发锻炼学生的思维能力（主要是推理能力，独创能力）。②教给学生发现问题的定理、法则的方法及其练习。③教给学生捕捉研究题目的着眼点以及鼓励学生的研究心理。④使学生了解，在杂乱的自然界中，存在着具有美感的数量关系，从而培养学生对数学的兴趣。⑤再通过应用数学知识，使学生们了解数学的作用，同时，通过应用所得的数学知识，还有利于培养学生对数学的兴趣，就会促进数学精神的活动，有益于数学精神的培养。”

郑毓信教授指出：“我们不应以数学思维方法的训练和培养去取代数学基本知识和技能的教学，而应将思维方法的训练和培养渗透于日常的数学教学活动之中，也即应当以思想方法的分析去带动、促进具体数学内容的教学。因为，只有这样，我们才能真正把数学课‘讲活’、‘讲懂’、‘讲深’——所谓讲活是指教师应通过自己的教学活动为学生展示出活生生的数学研究工作，而不是死的数学知识；所谓讲懂是指教师应当帮助学生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；所谓讲深不仅应使学生掌握具体的数学知识，而且也应该帮助学生学会数学地思维。”

对我国学生学习现状的调查结果显示，学生缺乏数学思想方法的知识，没有形成数学的思维习惯以及数学质疑的态度。从数学素质的生成机制的讨论中可以发现，数学素质生成的源泉和基础是数学的活动经验（包括知识）。所以，要养成各个层面的数学素质就必须使学生具有与之对应的数学活动经验。在有这种数学活动经验的基础上，在数学活动中体验、感悟和反思这些活动经验的结果，把这种结果表现在真实情境中。为此，在数学教学设计中，要针对于数学素质的层面，首先要引导学生发现或者介绍与之对应的数学思想方法、数学的思维以及数学精神的知识以形成与之对应的数学活动经验。比如说，在当前的数学教学中，都是渗透数学思想方法，但没有明确地说明这些数学思想方法和这些数学思想方法的特点以及使用的过程与步骤，这样造成学生有朦胧的体验，但不明确是什么，不利于学生数学思想方法素质的生成。其次，在数学教学中，通过数学活动引领学生对这些活动经验的体验、感悟和反思。最后，通过设计真实的、开放性的数学活动激发学生数学素质的生成。著名数学家辛钦在强调培养学生的思维素质时，描述了学生体验完整的论证的教学过程：“在研究数学时，学生首次在自己的生活中遇到论证的要求，这使学生感到惊奇，使之疏远，它们对于学生来说似乎是不必要的，超过限度和苛求的。但日复一日，他们逐渐习惯于此了。”他认为，好的教师使这个过程更快、更有成效地完成。他教自己的学生相互评议，当其中之一在全班面前证明某个东西或者解某个题的时候，所有其他同学应紧张地寻找可能的反驳理由并很快地表达出来。而为这种反驳所诘难的学生，当他促使对方缄口不言的时候，不可避免地会尝试到胜利的喜悦。他清楚地感受到这一点时，他不可避免地要学会尊重这一武器，努力地使之时时刻刻备有它。并且当然地，不仅仅在数学里，而且在任何其他场合的讨论他都会越来越多地，越来越经常地努力进行完备的论证。

所以，需要在数学教学中设计与数学素质各层面对应的综合性的数学学习过程，在这个过程中，学生要有与之对应的数学活动经验，并在此过程中引领和激发学生的体验、感悟、反思和表现。

（三）以转变师生关系为手段，调适教师的帮助和学生的自主

从数学素质生成影响因素的分析中可以发现，数学素质的生成与教师的帮助呈现负相关，而与师生关系和学习风气呈现正相关，特别是与学习风气呈现显著的正相关。实际上，师生关系的设计包含了教师的帮助和学习风气。所以，数学素质生成的教学中，以转变师生关系为手段，调整教师的帮助和学生自主学习，使之适合学生数学素质的生成。

1．教师指导与学生自我监控的调适

在数学素质生成的影响因素研究中，表明教师的帮助与学生的数学素质呈现负相关。但是，数学素质的生成离不开数学教师，离不开数学教师的引领，而且教师也是影响师生关系的重要因素。数学素质的生成中，要不断调适教师的指导和学生的自主学习，逐渐从“他主”走向“自主”。

数学素质的生成影响因素表明，学生的控制策略与学生的数学素质呈现显著的正相关。其他研究表明，学生的数学自我监控能力与学生的数学成绩具有显著的相关性，而且通过培养学生的自我监控能力有助于学生数学成绩的提高。传统的数学教学中“教师一讲到底”以及教师过多的干预，一定程度上剥夺了学生数学活动的独有的体验、感悟、反思和表现的机会，学生的学习依赖于数学教师的“他主”。而自主的主要特点是学生具有自我监控能力。所以教师帮助的隐性化，培养学生的自我监控能力将会弱化教师的“一帮到底”，强化学生的自我监控，有助于学生数学素质的生成。而且，以具有真实情境问题为驱动的数学教学中，教师的角色不再是讲授者，而是与学生一道合作探究，在合作探究的过程中，教师必须引导学生形成自我监控意识和能力。

著名数学教育家波利亚指出：“教师最重要的任务之一是帮助他的学生。这个任务并不是很容易，它需要时间、实践、奉献和正确的原则。学生应当获得更多的独立工作的经验。但是，如果把问题留给他一个人而不是给他任何帮助，或者帮助不足，那么他可能根本得不到提高。而如果教师的帮助太多，就没有什么工作留给学生了。教师应当帮助学生，但不能太多，也不能太少，这样才能使学生有一个合理的工作量。如果学生没有能力做很多，那么教师至少应当给他一些独立工作的感觉。要做到这一点，教师应当谨慎地、不露痕迹地帮助学生，最好是顺乎自然地帮助学生。通过这样去做，学生将学到一些比任何具体的数学知识更重要的东西。”

实际上，所谓“教学”是指教师引起、维持或促进学生学习的所有行为。它的逻辑必要条件主要有三个方面：一是引起学生学习的意向，即教师首先要激发学生的学习动机，教学是在学生“想学”的心理基础上展开的；二是指明学生所要达到的目标和所学的内容，即教师要让学生知道学什么以及学到什么程度，学生只有知道了自己学什么或学到什么程度，才会有意识地主动参与；三是采用学生易于理解的方式。

在数学素质生成的数学教学中，教师要通过对学生自我监控能力的培养和引领入手，使学生形成良好的自我监控能力。

2．师生关系民主平等化调适

在数学素质生成的影响因素研究中，表明师生关系与学生的数学素质呈现正相关。但是，我国学生在师生关系上的得分较低，表明师生关系有待改进。美国学者勒温及其同事以及后续关于教师领导方式的经典研究表明，教师的领导方式分为专制型、民主型、放任自流型，三者对学业成绩的影响不是最大，但对学校中的一般社会行为、学生的价值观、学习风格产生深远的影响。例如，民主型教师领导的课堂，学生们喜欢同别人一道工作，互相鼓励，而且独自承担某些责任；而放任自流性的教师领导的课堂，学生之间没有合作，谁也不知道应该做些什么；专制型教师领导的课堂，学生推卸责任是常见的事情，不愿合作，学习明显松弛。现代脑科学研究表明，大脑皮层的活动状态主要有兴奋和抑制两种。学生在不适当的抑制状态下由于信息传递和整合受到影响，不仅难以接受教育、教学活动中的有用信息，而且在大脑皮层也难以正常传递和处理信息。因此，数学素质的生成需要民主、平等、对话的师生关系。

在数学素质的生成中，以具有真实情境的问题为驱动需要民主、平等、对话的师生关系，情境的真实性激发学生的探究和质疑的欲望，学习不再是压力和教师的传授。结论的开放性和多样性改变了答案唯一的教学情境，激发学生尝试成功和相互交流的积极性，摆脱了教师的权威性，使学生和教师平等，激发了学生之间和教师与学生之间的相互交流，从不同层面促进了数学素质的生成。

3．教师教学责任与学生学习的责任性调适

学习的责任性是指学习者对学习的个人对社会应尽的义务和责任有充分的认识和体验，表现为学习者对学习目标和意义的认识以及由此产生的对学习的积极态度和敬业精神。传统的数学教学过分强调教师的角色转变而忽视了学生的转变和学生学习的责任性，甚至鼓吹“没有教不好的学生，只有不会教的老师”，实际上，在影响因素的分析中，我们发现学生的控制策略与数学素质呈正相关，而教师的帮助与数学素质呈显著的负相关。所以在数学教学中，激发学生的责任性是数学素质生成中必须关注的问题。《美国学校数学教育的原则和标准》中提出：“学生们每年在学校学习数学并且对他们的数学十分投入，懂得为自己的数学学习负责。”在“角色和责任”中提出：“教师每天的教学决定了他们的学生所得的数学教育的效果和质量。但仅仅依靠数学教师是不够的，他们只是复杂的教学系统中的一个组成部分。其他成员——学生自身……负起责任。”对学生来说，“数学学习是很刺激的。给人以成就感的，有时也是很困难的。学生尤其是初、高中的学生，应该通过认真地研究各种资料并努力发现数学对象之间的关系，以提高数学学习的效率来尽他们的责任。如果学生积极配合并把他们的理解清楚地告诉他们的老师，那么教师就可以更好地针对学生的困难设计教学方案。这种交流要求学生记录和修正他们的思维，并学会在数学学习过程中提出好问题。在课下，学生们必须抽出时间来学习数学。他们还必须学会利用网络这样的资源来解答数学疑难和提高学习数学的兴趣。当学生们开始有职业立项意识的时候，他们可以初步调查一下这些职业对数学的要求，并对自己学校提供的课程计划进行考察，以确定这些课程计划是否能够为将来的职业做好准备”。

学生学习数学的责任感的养成有助于学生对数学作用的认识，才会激发学生数学学习的积极性。如果学生意识不到数学学习的责任性，不能把自己的数学学习与自己的生活、生命、成长、发展联系起来，数学素质就难以生成。换句话说，学生只有意识到数学在现实生活、科技发展以及自己将来职业选择中的作用，才会学习数学和应用数学，进而在学习和应用数学的过程中从不同层面生成数学素质。

（四）以数学在现实生活的应用为依托，开发从教材走向社会生活的教学资源

课程资源是课程建设和教学的重要方面，数学素质的开放性表明数学素质的生成不能仅仅靠教科书和一些辅助性的练习册，需要在教学中不断建设。而数学素质生成的课程资源来源于真实的社会生活。杜威认为，教学不是学院式的，而必须与校外和日常生活中的情境联系起来，创设能够使儿童的经验不断生长的生活情境——“经验的情境”。

数学素质的开放性表明数学教科书不能完全承担数学素质生成的课程资源。因为，现在的数学书籍，不论是教科书还是参考书，也不论是大部头的著作还是论文，都仅仅记述了数学知识，可以说还没有一本论述数学精神、数学思想和数学方法的著作。所以，数学素质的课程资源需要数学教师和学生共同建设，共同挖掘社会资源中的开放性、真实性问题。

数学素质生成的课程资源分为几个方面：数学应用、数学思想方法、数学思维以及数学精神。数学应用方面应该开发一些充分利用数学知识与技能的真实性问题，提供者是数学教师和学生，数学思想方法的开发，需要教师和学生一起在课堂教学或者现实生活中建构。每当有好的范例，教师就应不失时机地将它（数学的精神）教授给学生，还应反复地教学生，不限于数学，还将它应用于数学以外的问题。新西兰的贝格（Begg）认为：“一个理想的课程不仅包括数学内容的掌握和理解及数学能力的培养与发展，而且还要通过教育达到个人的、职业的，乃至人类整体的目的。如自尊心的发展、责任心、合作的态度与科学的精神等。”

正如《美国学校数学教育的原则和标准》所描述的：我们生活在一个非常的、加速变化的时代。研究和交流数学的新知识、新工具和新方法不断地涌现和发展。在20世纪80年代初，为大众使用所生产设计的计算器仍然太昂贵了。但是现在，它不仅到处可见，价钱便宜，而且功能更强。日常生活和工作场所对理解数学和应用数学的需求变得前所未有的大，并且这种需求将不断上升。例如：

生活中的数学。懂得数学使人们在生活中得到满足和能力。日常数学越来越需要数学和现代科技的支持。例如，制订采购计划、选择保险或健康计划、在投票中作出明智的选择，都需要数量方面的知识。

作为人类文化遗产一部分的数学，是人类文化和智慧成就中最伟大的一部分。人们应该具有理解和欣赏这一伟大成就的能力，包括对其美学及娱乐方面的理解和欣赏。

工作场合的数学。正像公众对数学的需求大大增加一样，从医疗保健到图象设计的各种专业领域，都越来越需要数学思维和问题解决能力。

科技领域的数学。尽管所有的职业都需要数学，但有的职业却是数学密集型的。更多的学生必须通过教育这个途径为他们的终身职业，如成为数学家、统计学家、工程师和科学家做准备。^[4]

具有真实情境的问题需要从教材走向社会，从社会不同的环境中寻找来自生活中的数学、作为人类文化遗产的数学、工作场合的数学、科技领域的数学等。所以，数学素质生成的课程资源需要走向社会，挖掘社会生活中不同层面存在的和应用的数学，激发和引领学生数学地体验、感悟和反思数学在现实生活中的应用，并在真实的情境中表现主体自身的数学素质。

（五）以真实的、多样化的、开放性的情境问题为工具，激发和引导学生数学素质的表现

数学素质的境域性表明数学素质评价需要与之对应的真实情境。数学素质综合性特点表明数学素质需要数学素质的评价方式的多元化。而数学素质的外显性特征需要主体能够把数学素质表现出来。所以，创建适合于学生表现数学素质的情境极为重要。为此，数学素质评价策略关注表现性评价和真实性评价。隆贝尔格指出：“我们面临的挑战是怎样创造课程体系，充满着来自社会和政治、经济方面的成果，从而帮助学生理解问题的复杂性，在解题的过程中帮助学生懂得并且发展数学在解决问题中的作用，相应地让他们发挥数学威力。”

真实情境是指主体所面临的一种的情境。在这里强调真实情境，因为有些情境是不真实的，通常是为数学知识的应用而有意编写的情境。数学素质教学现状调查结果表明，我国学生对于开放性问题解答的平均正确率落后于国际平均水平，甚至在一些开放性问题上接近平均正确率最低的国家。而这一点与我国长期的数学问题答案的唯一性有关，学生形成只有唯一正确答案的习惯。“由于对一种‘正确答案’的文化适应，学生们常常对批判性思考或应用材料的尝试畏缩不前。”所以，基于数学素质的特征，构建真实的、开放性的问题情境是数学素质生成的评价关键。美国格兰特·威金斯（Grant Wiggins）认为真实的情境应符合以下标准：①是现实的。任务本身或设计能复制在现实情况下检验人们知识和能力的情境。②需要判断和创新。学生必须聪明并有效地使用知识和技巧解决未加组织的问题，比如拟订一个计划时，解决方案不能只按照一定的常规、程序，也不能机械地搬用知识。③要求学生“做”学科。不让学生背诵、复述或重复解释他们已经学过的或知道的东西。他们必须在科学、历史或者任何其他一门学科中有一定的探索行为。④重复或模仿成人接受“检验”的工作场所，公民生活和个人生活等背景。背景是具体的，包含着特有的制约因素、目的和群体。⑤评价学生是否能有效地使用知识、技能来完成复杂任务的能力。⑥允许适当的机会去排练、实践、查阅资料、得到关于表现及其作品的反馈，并能使表现和作品更加完善。

需要指出的是，数学素质生成的真实性问题要让学生亲自去发现，而不是简单的计算。

总之，数学素质生成的评价需要具有真实情境的问题来激发和引领学生数学素质的外显，促进数学素质的生成。

二、数学素质培养的教学建议

通过梳理国内外关于数学素质的研究成果，通过对数学素质进行内涵的界定、构成要素以及生成机制的系统分析，并结合我国学生数学素质的现状和影响因素，初步得出这样一些结论与建议：

（一）素质教育思想是数学素质培养的落脚点

数学素质的生成是否会影响数学教育的最终目标是数学教学从数学知识的传授走向数学素质生成的一个关键性前提。也就是说数学素质生成的教学策略不能“为素质而素质”。实际上，无论是素质教育的实施，还是数学教育本身的育人价值都表明：数学教育的最终目标是提高学生的数学素质，也只有提高学生的数学素质才能使素质教育思想在数学教育中落种、发芽、生根、成长。从国内外文献的梳理和数学教育的研究中，就会发现培养具有数学素质的合格公民成为数学教育改革的共同目标，而且学生数学素质水平成为国际大型教育组织评价各国教育的状况的重要指标之一。仅仅注重解题训练来提高学生数学知识的传统数学教学越来越受到来自不同领域的挑战。如美国数学家R．柯朗在《数学是什么》中指出的：“两千多年来，人们一直认为每个受教育者都必须具备一定的数学知识。但是今天，数学教育的传统地位却陷入了严重的危机之中。而且遗憾的是，数学工作者却要对此负一定的责任的。数学教学有时竟演变成空洞的解题训练。解题训练虽然可以提高形式推导的能力，但却不能导致真正的理解与深入的独立思考。相反，那些醒悟到培养思维能力的重要性的人，必然采取完全不同的做法，即更加重视和加强数学教学。教师、学生和一般受过教育的人都要求数学家有一个建设性的改造，而不是听任其流，其目的是要真正理解数学是一个有机的整体，是科学思考与行动的基础。”著名数学家丁石孙指出：“使每个人都能受到良好的数学教育，这是远远没能解决的问题。在某种意义上讲，这是个世界性问题。如果把这个问题局限于研究每个人应该掌握哪些数学知识和技能，以及如何把这些东西教好，那么数学教育的问题是解决不好的。更为根本的问题是弄清楚数学在整个教育中的地位与重要性，或者说得更为广泛些，就是要弄清楚数学在整个科学文化中的地位和重要性。”有学者认为：“要学好数学，不等于拼命做习题、背公式，而是着重领会数学的思想方法和精神实质，了解数学在人类文明中所起的关键作用，自觉地接受数学文化的熏陶。只有这样才能从根本上体现素质教育的要求，并为全民思想文化素质的提高夯实基础。”数学素质生成的教学强调，在数学教学中，从学生已有的数学活动经验出发，面向全体学生，在数学活动中关注学生的体验、感悟、反思和在真实情境问题中的表现，激发了学生学习的积极性、主动性和自主性，全面体现了素质教育思想。所以，在数学教育中要关注学生数学素质的生成，只有关注数学素质的生成，才会使素质教育思想在数学教育中实施和落脚。

（二）数学素质的内涵与构成要素是数学素质培养的着眼点

通过梳理和分析国内外关于数学素质的定义及其构成要素的分析框架，结合我国数学教育的认识得出数学素质具有境域性、个体性、综合性、生成性和外显性等特征。数学素质可以表述为：主体在已有数学经验的基础上，在数学活动中通过对数学的体验、感悟和反思，并在真实情境中表现出的一种综合性特征。结合数学的广泛需求、彼得斯（R．S．Peters）的“受过教育的人”的特征、数学课程标准与数学素质关系、国内外数学素质的分析框架以及我国国家科学素质框架，提出数学素质应该包括数学知识、数学应用、数学思想方法、数学的思维以及数学精神五要素，其中数学知识素质是数学的本体性素质，数学应用、数学精神、数学的思维以及数学思想方法素质是数学知识的拓展性素质。这一表述明确了数学素质教学的出发点、数学素质的教学过程以及数学素质的教学评价的问题。而且数学素质的内涵蕴涵了当前数学教育中的四维目标（知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度）。

（三）数学素质的生成机制是数学素质培养的立足点

数学素质的生成具有过程性、超越性、主体性等特征。从教育学的角度，对数学素质的生成的基础、外部环境、载体、环节、生成标志等构成数学素质生成的机制的几个方面进行了系统分析。数学素质生成的基础和源泉是主体已有的数学活动经验；数学素质强调学生在真实情境中的表现，真实情境必然是数学素质教学生成的外部环境；数学素质生成以数学活动为载体；数学素质生成依赖于主体对数学的体验、感悟、反思和表现等环节；数学素质生成最终标志是个体成为数学文化人。这是数学素质生成的教学立足点。

（四）数学素质的现状和影响因素是数学素质培养的切入点

我国学生的数学素质教学状况：从数学素质的整体性来看，注重数学知识的教学，忽视学生数学素质的全面提升；从数学素质的涉及的情境来看，注重数学知识与技能的常规应用，忽视在具有真实的、多样化的、开放性问题情境中的应用；从数学素质的生成过程来看，注重数学问题的解决，忽视学生对问题解决以及对数学的体验、感悟、反思和表现能力的引领；从数学素质生成的课程资源来看，注重课堂教学，忽视社会生活中应用数学的引领。所以，数学素质的生成的教学必须从我国学生的数学素质现状和相关影响因素切入。

（五）培养数学素质的教学策略是数学素质培养的出发点

基于数学素质生成机制和数学素质的现状、数学素质生成的影响因素以及教学策略的特征，初步构建了数学素质培养的教学策略：即以具有真实情境的问题为驱动，注重数学素质不同层面的生成；以多样化的数学活动为载体，引领学生的体验、感悟、反思和表现；以转变师生关系为手段，调适教师的帮助和学生的自主；以数学在现实生活中的应用为依托，开发从教材走向社会生活的教学资源；以真实的、多样化的、开放性的情境问题为工具，激发和引导学生数学素质的表现。实践表明，数学素质生成的教学策略对学生数学素质的培养具有显著的影响。所以，数学素质培养的教学必须从数学素质的教学策略着手。

【注释】

[1]石中英．教育哲学导论［M］．北京：北京师范大学出版社，2004：158．

[2]〔美〕比格．学习的基本理论与教学实践［M］．张敷荣，等译．北京：文化教育出版社，1983：271．

[3]陈佑清．论学生素质发展的机制［J］．教育研究与实验，2008（3）：30．

[4]郑毓信，梁贯成．认知科学、建构主义与数学教育［M］．上海：上海教育出版社，2002．