培养学生数学思想方法素质的教学策略

第五节　培养学生数学思想方法素质的教学策略

布鲁纳认为，认知是指一个人在了解周围世界时所经历的感知、理解、推理等认识过程的总称，而认知结构是由人的过去经验、由感知概括物质世界的一般形式在人脑中形成的一种结构形式。认知心理学认为，新知识的学习一般包括“同化”和“顺应”两种，而“悟”是思维主体对新旧知识加以比较、融合、扩展、重新组合的过程，是产生“同化”和“顺应”不可缺少的过程。我们认为，认知结构是学生通过自己主动的认识而在头脑里建立起来的一种结构形式。学习者体验后对知识形成一定的领悟，就会形成一定的认知，这种认知再经过一定的转化、融会，就会形成一定的认识结构。

笛卡尔说过：“数学是使人变聪明的一门科学，而数学思想的教学则是传导数学精神，形成世界观不可缺少的条件。”而学生对数学思想方法的学习同其他知识的学习一样只能按时间的先后顺序安排，但理解却并不是直线式的简单的积累，相反，它是螺旋式的发展，结构式的建造出来的。因此，数学思想方法教学应与数学知识特点、学生认知水平相适应。高等数学教学中可采取以下教学策略培养学生的数学思想方法素质。

一、借助数学史料，渗透数学思想方法

17世纪英国哲学家培根曾说过：“读史使人明智。”作为数学教师，不仅应该读数学史，更应该用数学史，借用数学史这盏明灯在失败中寻找成功，在成功中追求创新。数学史是学习数学、认识数学的工具。人们要弄清数学概念及数学思想方法的发展过程，增长对数学的通识，建立数学的整体意识，就必须运用数学史作为补充和指导，特别是现代数学的体系犹如“茂密繁盛的森林”，使人“站在外面窥不见它的全貌，深入内部又可能迷失方向”，数学史的作用就是指引方向的“路标”，给人以启迪和明鉴。

例如，在“极限概念”的教学中，可向学生介绍我国古代数学家刘徽（公元263年）创立的“割圆术”：“以六弧之一面乘半径，因而三之，得十二弧之幕。若又割之，次以十二弧之一面乘半径，因而六之，则得二十四弧之幕。割之弥（越）细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”

通过这一数学史料，不但可引发学生的探究热情，同时也向学生渗透了极限的思想方法。

二、借助数学知识的发生过程渗透数学思想方法

恩格斯曾经说过：“世界不是一成不变的事物的集合体，而是过程的集体。”对于数学而言，知识的发生过程，实际上也是数学思想方法的发生过程。因此，数学概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程，问题的发现过程、规律的被揭示过程等等，都蕴藏着向学生渗透数学思想方法，训练他们思维的极好机会。例如，在学生学习函数的导数的定义前，需要讲两个引例：一个是求曲线的切线的斜率问题，另一个是求匀变速直线运动物体的瞬时速度问题。首先要让学生明确两个概念，曲线切线的斜率和瞬时速度，弄清曲线的切线与割线的区别和瞬时速度与平均速度的区别，还要复习函数的极限思想。其次，让学生深入体会割线到切线的变化过程以及在［t₀，t₀＋Δt］时间段内的平均速度当Δt→0时的变化过程，然后对两个问题进行对比并归纳得出导数的定义。在这个过程中，学生首先利用已经掌握的函数极限的思想方法去分析两个实例，归纳得出导数的定义，再初步认识函数的导数思想，并逐步将其理解内化。另外，在讲解知识点时，通过教师的演示、讲述、操作和分析，把完整的思维过程充分展现给学生，把某种特定的数学思想方法全景式地展现给学生，让他们通过自己的理解、经历去体验、领悟和把握，这也有助于学生形成数学认知结构的个性化。

三、借助概念教学，渗透数学思想方法

数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其特有的属性在思维中的反映，而且是以准确而精炼的数学语言运用定义的形式给出的，具有高度抽象的特征，是学生进行数学思维的核心。学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同属性及关键属性的过程。同类事物的关键属性可以由学生从大量同类事物的不同例证中独立发现，这种概念的获得方式叫做概念形成；也可以用定义的方式向学生直接提示，学生利用已有认知结构中的有关知识来理解新概念，这种获得概念的方式叫做概念同化。概念形成与概念同化是两种基本的概念获得方式。

理解概念是学好数学的基础，是理解数学思想方法、运用数学思想方法、掌握基本技能、提高数学素质的先决条件，学生数学能力的分化，也往往从学习基本概念开始。而学生学习概念是掌握前人已经发现的数学知识，把前人的数学活动经验转化为自己的经验，使其成为自己解决问题的工具的过程，因此概念同化是学生获得数学概念的最基本方式。但是，由于学生的认知结构处于发展过程之中，他们的数学认知结构比较简单，数学知识比较贫乏而具体，在学习新的数学知识时，作为“固着点”的已有知识往往很少或者不具备，这时他们就只能采取概念形成方式来学习。靠死记硬背是很难牢固掌握概念的，所以在进行概念教学时，要引导学生参与数学概念的形成过程，使学生弄清概念的来龙去脉，加深对概念的理解，从而准确地把握概念的实质，感受和领悟隐含于概念形成之中的数学思想方法。教材中许多概念都是用文字叙述的，若照本宣科给出概念的意义，学生往往难以理解其概括性和抽象性。因此，在教学中我们可以通过以下途径：①讲清数学概念，引导学生挖掘其中的数学思想方法。例如，在子集概念教学中，讲清AB含有AB和A＝B两种情况，向学生展示分类思想方法。②通过概念的形成，让学生了解数学思想方法。③通过创设情境，让学生体验数学思想方法。

总之，教师在数学概念教学中，要引导学生积极挖掘并掌握数学概念中包含的数学思想方法，并向学生介绍基本数学思想方法的作用，以引起他们的重视。

四、在定理、公式、法则教学中，渗透数学思想方法

数学中的每一个公式、定理都是数学家辛勤研究的结晶，他们的研究蕴藏着深刻的数学思维过程，处处绽放着创造性思维的“火花”。而现行教材中往往只有公式、定理的现成结论和推导过程，缺少公式、定理的发现过程，因而引导学生参与公式、定理的发现过程，有利于揭示数学思想方法。比如“微积分基本定理”的教学中，不仅要使学生掌握微积分基本定理及其应用，更重要的是向学生渗透“由特殊到一般”的思想方法，即引导学生通过探究变速直线运动物体的位移函数与速度函数的关系（特殊），猜想获得积分上限函数求导公式（一般）。知识的深层中隐藏着思想方法的实质，只有充分揭示这种实质，才能使学生真正感受到数学的魅力，也才能使知识真正转化为技能。因此在公式定理的教学中不要过早给出结论。数学定理、公式、法则等结论都是具体的判断，而判断则可视为压缩了的知识链，教学中要恰当地拉长这一知识链，引导学生参与结论的探索、发现、推导的过程，弄清每个结论的因果关系，探讨它与其他知识的联系，领悟引导思维活动的数学思想方法。

五、在问题解决的探索过程中，突出和深化数学思想方法

问题是数学的心脏，数学问题的解决过程，实质是命题的不断变换和数学思想方法反复运用的过程，而数学思想方法则是数学问题解决的观念性成果。这是因为，数学问题的解决过程中，问题的每一步转化，无不遵循数学思想方法指示的方向。因此，我们要在教学中突出数学思想方法在解题中的指导作用，展现数学思想方法的应用过程。

例：两人相约上午九点到十点在某一地点会面，早到的人要等另一人20分钟才可以离开，则两人会面的概率是多少？

解法1（一维图形处理方法）

画一条线段，其长度表示60分钟，则20分钟的长度占其1／3，从而问题可以分成两类：

①如果两人都是在最后的20分钟内到达的，则两人必定相遇，此时的概率是。

②如果两人中至少有一人是在前40分钟内到达的，则早到的一个人必定是前40分钟内到达的，此时的概率是，设他到达的时刻为A，要使两人相遇，则后一个人必须在A时刻后面的20分钟内到达，而此时的可能性是，从而两人会面的概率是。

综上可得两人会面的概率是。

解法2（二维图形处理方法）

以9点为零时刻，设甲到达的时刻为x，乙到达的时刻为y，则要使两人相遇，必须符合下列几个条件：0≤x≤60，0≤y≤60，｜x－y｜≤20。

易画出符合要求的图形，数形结合易得两人会面的概率可用面积之比来表示，即。

在数学解题教学中，“一题多解”对于发展学生的智力，开阔解题思路，丰富学生的想象力都大有好处，它被认为是培养学生思维能力的一种行之有效的手段。教师应引导学生对每一种解法进行深入的分析，并对各种解法的思路加以提炼，突出和深化各种解法中所蕴涵的数学思想方法。

六、在知识的总结归纳过程中，系统归纳、概括数学思想方法

揭示知识之间的内在联系是小结的功能之一。由于教材是按知识发展系统编排的，对于数学思想方法是采用蕴涵披露的方式溶于数学知识体系的，因而数学思想方法的教学是零散而不系统的。这就要求教师在课后小结、单元小结或总复习时及时归纳，才能使数学思想方法纳入学生的知识系统网络，进而逐步完善，实现迁移。系统归纳可以从以下两个方向进行：①归纳某一数学思想方法可以通过哪些数学知识点的教学。②归纳某一部分知识可以实现哪些数学思想方法的渗透。如在讲解求函数的不定积分时，可对各种不同类型的不定积分的求法进行归纳，概括性地向学生指出求不定积分的实质是数学的变换思想、整体与分部思想以及化归思想。当然，要掌握求不定积分的基本积分公式、运算法则、换元积分法和分部积分法等知识点。对一般的、复杂的求积分问题可以利用整体换元的思想方法或恒等变换法将其简化。

概括数学思想方法要纳入教学计划，且应有目的、有步骤地引导学生参与数学思想方法的提炼和概括，尤其在章节结束或单元复习时，将统摄知识的数学思想方法概括出来，可以加强学生对数学思想方法的运用意识，也使其对运用数学思想方法问题的具体操作方式有更深刻的了解。概括数学思想方法可分两步进行：一是揭示数学思想方法的内容、规律，即将共同具有的属性或关系抽取出来；二是明确数学思想方法与知识的联系，即将抽取出来的共性推广至同类的全部对象上去，从而实现由特殊性认识上升为一般性认识。

由于同一数学知识蕴涵着不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的知识点里，所以通过课堂小结、单元总结或总复习，甚至是某个概念、定理公式、问题教学都可以在纵横两方面归纳、概括出数学思想方法。

七、在引导学生反思的过程中，增强数学思想方法的应用意识

反思是对自己的思维过程、思维结果进行再认识和检验的过程。研究表明，从感性认识到理性认识，反思在其中起着重要的作用。通过反思数学活动中所涉及的知识、方法、思路、策略，学生的数学学习活动便成为有目标、有策略的主动行为，有利于学生在学习活动中获得个人体验。然而在学习知识时，很少有学生去挖掘其中所隐藏的数学思想方法；在实际解题中，也很少有学生去对解题思想方法进行反思，往往只是满足于问题的解决。因此，在数学概念、定理、公式、法则、解题以及小结的过程中，教师应引导学生进行反思，培养他们的反思习惯，反思这些知识所包含的数学思想方法。

总之，对数学思想方法的研究，具有十分重要而深远的意义。我们相信，数学思想方法作为一个独立的研究领域，必将不断取得新的研究成果，为数学、自然科学、教育科学与哲学等科学的发展，作出应有的贡献。

【注释】

[1]中国大百科全书总编委员会《哲学》编辑委员会，中国大百科全书出版社编辑部．中国大百科全书（哲学）［M］．北京：中国大百科全书出版社，1987：832．

[2]钱佩玲，邵光华．数学思想方法与中学数学［M］．北京：北京师范大学出版社，1999：2．

[3]张奠宙，过伯祥．数学方法论稿［M］．上海：上海教育出版社，1993：1－2．

[4]徐利治．数学方法论选讲［M］．武汉：华中理工大学出版社，2000：2．