平均利率期权

第十三章　变异期权

在金融市场上，还没有一种产品像期权那样具有如此高度的灵活性。^[1]如果我们回顾一下有关交易策略的那几章，可以再次明显地看到期权对交易商设计策略几乎没有限制。期权成为资本市场的主要产品，这毫不奇怪，因为它们能提供其他产品所不能提供的好处。对套期者来说，期权能在波动的市场中获得有保证的收益，并在当前市场收益率较低时提高收益。的确，用这些创新产品，好像没有什么不能被创造出来。作为这个论述的进一步证据是，在过去5年中，金融分析家已经开始用期权理论中的基本概念来“设计”全新的产品，其中一些产品以前并不存在。人类创造力的成果和极其灵活的产品（比如期权）组合导致了金融市场一个全新领域的出现。相机选择权（contingent claims）分析的领域包括被称为变异期权（exotic options）的那些金融产品。

既然期权与高等数学和物理学领域有如此密切的联系（见第四章和第十四章期权理论从这些学科中演变发展的历史），这些领域内的创新已经被移植到期权领域就一点也不奇怪了。对理论科学家来说，期权市场为他们理论的实际应用提供了出路，并且至少能为理论家赚取实实在在的金钱。然而，这种理论科学与金融市场（通过期权）之间的互动并不是一个新生现象。这一突破始于20世纪70年代早期，当时需要理论科学家的另一个领域开始崩溃。

几乎所有超过30岁的人都会记得，在1969年的夏天，人类历史上发生了一件意义深远的大事。美国宇航员成功地在月球表面登陆并安全地返回了地球。阿波罗太空计划（Apollo space program）利用最好的理论科学家仅在10年里就取得了成功，这在以前是难以想像的。不幸的是，一旦到了月球，很明显的是，月球上不存在任何有价值的东西，那里没有金子、钻石，甚至原油。所以，一旦达到目标，再也没有人对月球感兴趣了。美国政府认为，没必要花费数十亿美元去取回更多的岩石，这些岩石差不多与第一次任务收集的岩石质地相同。因此，数千位“火箭科学家”失去了工作。尽管这些人经过专门训练且具有丰富的经验，但他们似乎运气不好。仅靠大学是没有能力接纳所有这些失业的理论家，虽然他们的简历都给人留下深刻印象。因此，他们中的许多人去了华尔街（Wall Street），为投资公司提供服务，至少他们可以准确地加减数字以计算交易商损益的多少。在这同一时期，布莱克（经过高等数学训练）和斯科尔斯（经过物理学训练）发表了关于期权定价的论文。所有的投资银行很快意识到他们必须有理论科学领域的专家队伍，否则，他们会落后于人。在这些投资公司（常常是在后勤办公室）中，“火箭科学家”们在耐心地等待时机。这些人很快被调到一个新的分析部门，并被分派了任务，要在短时间内根据他们精通的理论开发创新产品。美国最成功的投资银行，比如高盛（Goldman Sachs）和所罗门兄弟（Salomon Brothers），争夺了这些火箭科学家中的精英。有趣的是，我们注意到费雪·布莱克（目前在高盛）和迈伦·斯科尔斯（目前在所罗门兄弟）都离开了学校来到目前来说是全球最好的金融部门工作。有意思的是，这些人在大学里再也找不到，他们集中在纽约、伦敦和东京的金融区。

已经开发出来和目前正在开发的店头市场期权新品种的范围真让人难以想像。这些变异期权在许多方面与标准期权的条件不同，它们几乎为所有可能的风险管理问题都提供了产品。这些产品的变异可以被分为四大类：

·允许持有人买入或卖出另一个期权的期权

·改变标准期权标准期限的期权

·路径依赖的期权（Path - dependent options），即期权的损益取决于期权有效期内某个标的资产价格的行为，而不只是期权到期日的价格

·多因素期权（Multi - factor options），即最终的损益取决于两种或两种以上标的资产的价格

在本章，我将介绍所有这些领域，并向读者简要论述这些产品涉及到的关键问题。对每一个产品，我将定义产品是什么，推荐一些应用并分析特定产品定价中存在的关键问题，必要时将提供产品的损益图以加强理解。对这些产品提供像简单期权那样相同程度的细节是不合适的，因为这需要另一本书才能讲清楚。然而，贯穿本章始终，每个产品都有参考资料，以便那些对该产品细节感兴趣的人进一步阅读。在我讨论变异期权所涉及的理论定价问题之前，我必须介绍对这些产品定价的一般方法。

变异期权定价的一般方法

当讨论变异期权的定价时，用来求解的比本书中的其他方法都要复杂。本质上有三种方法可以用来估计变异期权的价格。我只是简要介绍有关概念，以便读者能更好地理解后面的内容。这三种方法包括：

（1）解析模型（Analytic Models）

（2）数值模型（Numerical Models）

（3）蒙特卡罗模拟模型（Monte Carlo Simulation Models）

解析模型

这类模型试图求解的分部微分方程（partial differential equation）存在“解析（closed - form）”解。简单地说，存在惟一的公式，在输入变量的基础上可以得出单个公允的期权价格。Black & Scholes模型是解析模型中解析解的最有名的例子。对变异期权来说，我们会发现许多情况下存在解析解。正如读者将要知道的那样，简单的复合期权（compound options）、数量调整期权（Quanto）、幂期权（Power options）、有或无二进制期权（All or Nothing Digital options）和选择者期权（Choosers options）都有解析解。这些是求解变异期权定价问题得出的“最干净（cleanest）”的解，但读者以后会知道它们也可能非常复杂。

数值模型

这种方法需要画一条路径作为标的资产分布的模型。这些模型中通常最有名的是科克斯、罗斯和鲁宾斯坦（Cox，Ross和Rubinstein）提出的二项式技术，第三章对它进行过全面探讨。其他方法将二项式过程扩展为随着资产上涨、下跌或保持不变的三项式（trinomial）过程。此外，第九章介绍的超模型（supermodel）是根据普通欧式期权“笑容”模式构建状态树的一个数值模型。正如我在前面章节探讨的那样，期权在到期日所有可能的结果都被估计了。根据每个结果发生的可能性赋予这些结果相应的权重，所有这些值的总和将是期权到期日的预计价值。为测算期权的当前价值，只要用合适的折现率把这个终值简单折现为现值。除简单美式期权外，百慕大期权（Bermudan options）和包括棘轮期权（Ratchet options）、阶梯期权（Ladder options）和叫价期权（Shout options）在内的变异期权系都根据这种方法定价。

蒙特卡罗模拟模型^[2]

有时用解析方法或数值方法不可能解决特别难的期权定价问题。通过输入假定和计算机的数千次反复模仿，这种技术实质上可以模拟标的资产价格随时间变化如何波动。做了这些以后，就能产生标的资产的一个估计分布函数。在每个实验中，期权的最终损益也可以被估计出来。一旦完成这些工作，就能分析期权可能价值的分布，且平均结果将用来测算变异期权的价格。很明显，这种技术应用中的最关键因素是得到标的资产的初始条件。这种技术经常被用于具有“开放式边界（open boundary）”条件的期权，而在这种条件下第二章提出的简单随机优势主张就不能采用。本章探讨的屏障期权（barrier options），如敲出期权（knock out options）和敲进期权（knock in options），就出现了这种情形。这种技术也用于“触发（one touch）”二进制期权。

我将论述的第一类变异期权包括允许持有人买入或卖出另一个期权的期权。

允许持有人买入或卖出另一个期权的期权

这些期权通常被称为复合期权（compound options）。它们允许持有人有权（但没有义务）买入另一个标的期权，比如，有可能买入一个看涨期权。这个看涨期权允许持有人有权购买另一个有效期比复合期权更长的看涨期权。在这种情况下，复合期权的标的资产是一个简单期权。表13. 1列示了复合期权的四种可能类型。

表13. 1　复合期权的可能类型

表13. 1中，水平方向是标的期权，垂直方向是复合期权。例如，本表左上方1/4区域中，你可以看到一个标准看涨期权的复合看涨期权，它允许期权持有人有权（但没有义务）买入另一个看涨期权。这个区域的正下方是一个看涨期权的看跌期权，它允许期权持有人有权（但没有义务）卖出另一个看涨期权。标的看跌期权的复合看涨期权和复合看跌期权以此类推。

分析所有期权的结构总是有助于分析这些工具的损益图。^[3]看上去复杂的结构经常与前面第六、七、八、九章探讨的期权策略其中之一相像。图13. 1a、13. 1b、13. 1c、13. 1d显示了所有可能的复合期权在到期前90天和到期日的价值。对所有这些图形，我们假设标的资产价格为100，复合期权的标的期权在复合期权到期后有3个月的有效期，标的期权价格为3。复合期权自身的成本均为1。

图13. 1a　看涨期权的看涨期权随时间变化的损益图

图13. 1b　看涨期权的看跌期权随时间变化的损益图

图13. 1c　看跌期权的看涨期权随时间变化的损益图

图13. 1d　看跌期权的看跌期权随时间变化的损益图

很明显的是，两个复合看涨期权最像简单看涨或看跌期权，主要差别在于复合期权的成本比它们的标的期权的价格要小（本例中是1/3）。与目前为止探讨的简单期权策略相比，复合看跌期权的损益图看上去确实是独一无二的。然而，它们看上去像第八章探讨的做空日历价差图的一边。从多方面来说，复合期权可以被认为是日历价差的一种变形，后面接下来的内容会对此进行探讨。我们首先分析一下需要复合期权的那些场合。

利率覆盖协议的复合期权：上限复合期权（Captions）和下限复合期权（Floptions）

在许多可能发生套期的场合，客户需要的可能不是期权而是买入一个期权的期权。这种场合在第十章举第一个套期例子时做了详细介绍。我们复习一下那个例子。一名财务经理必须向一家养老基金投标以提供他的投资服务，且必须向客户报出某个特定利率。如果市场利率（对一个长期美国政府债券）发生变化，他可能处境困难。而且，他存在服务不被选择的或有风险。在那个例子中，如果投标被拒绝，显然期权套期要优于期货套期。这种情况在外汇市场中经常发生，并导致许多金融机构提供一种全新的期权合约，也就是期权的期权。像过去一样，这些机构为这些期权的期权提出了聪明的名称。外汇复合期权的典型名称包括EXTRA（由Hambros银行提供）、TTC（对合约期权投标，由Bardays银行提供）和SCOUT （Midland银行产品）。当然，这些产品也存在许多其他名称，或许名称越奇异，银行向客户收取的期权费越高。

在利率风险管理领域，最常见的复合期权是购买上限协议的期权或购买下限协议的期权。购买上限协议的期权被称为上限复合期权（Marine Midland商标名），购买下限协议的期权被称为下限复合期权（Floption或Floortion）。这些产品是为那些面对或有利率风险同时不能确定利率风险是否会发生的套期者而创造出来的。

这种或有利率风险的一个典型例子是：一家公司计划善意收购另一家公司，为购买目标公司足够数量的股份，它必须借入资金。然而，收购公司不能确定监管机构是否允许收购程序进行下去。在等待监管机构裁定的期间内，打算进行收购的公司将面临利率上升的风险。为规避利率上升风险同时解决不允许收购的风险，购买上限协议的期权（一份上限复合期权）是理想的解决方案。然而，上限复合期权和下限复合期权对存在借款或贷款风险的公司也都很有用。

比如，芝加哥西北运输公司有一笔用于项目融资的2年期8亿美元的借款，它想要规避美元利率上升的风险。公司担心利率将上升，但相反如果利率下降，公司将错过节省利息的机会。因此，纽约化学银行合成了一个上限复合期权，它为该公司提供了最大的灵活性。在1989年9月，芝加哥西北运输公司与化学银行达成了2年借款期间内一系列欧式期权。执行水平与6个月美元LIBOR相比，设在10% 和11%，并且从1990年9月开始的每6个月，公司可以选择执行上限协议。上限复合期权的结构包括两部分，以当前价格在未来购买上限协议的前期费用和如果公司选择执行期权时的执行价格。总的来说，上限复合期权的期权费等于标的上限协议价值的35%～40%。^[4]

期权定价很难，读者或许会想对期权的期权定价将是难上加难。事实并非如此。第一个攻克复合期权定价难题的学者是加州大学伯克利分校的罗伯特·格斯科（Robert Geske），^[5]格斯科分析的是股票复合期权。

在一个有财务杠杆的公司（也就是有借款的公司）中，它的股票可以被视做标的资产为公司价值的看涨期权。就像看涨期权一样，你最多失去的是你购买股票付出的数额，而你的可能收益是无限的。股票价格与期权价格之间惟一的区别是股票的“到期时间”被认为是无限的（或至少是一个非常长的时间）。格斯科假设公司的价值可以被估计为“V”，未清偿负债的面值为“A”。我们用“V”代替Black & Scholes公式中的股票价格“S”，并用“A”代替期权的执行价格“E”。因此，如果公司的价值（像股票价值）低于借款数额（期权的执行价格），则公司没有价值，且濒临破产（期权处于亏价并且价值也为零）。

在到期（或公司倒闭）之前，时间价值一定增加，这可以用一个非常类似于Black & Scholes模型的公式进行验证。这个关于复合期权的格斯科模型的公式可参见表13. 2。

表13. 2　格斯科复合期权定价模型

格斯科用公司的价值“V”而不是“S”，且他假设公司价值的波动率（σv）是常数。此外，他假设负债“A”的数额不发生变动（像执行价格E不变那样）。最后（同时这也是关键之处），股票价格“S”的波动率与公司价值“V”呈负相关关系。这意味着当公司价值减少且公司似乎将破产时，股票价格的波动率将增加。当然，公司价值增加时将发生相反的情况。

在表13. 2中，“V”是公司的价值，“A”是持有负债的数额，“E”是期权的执行价格，且M（）函数是双变量正态分布（它考虑了股票价格和公司价值的分布以及两者之间的相关关系）的累积概率。从本质上说，格斯科模型首先估计了股票的价格（左边两项的类似期权特征）减去最右边项的期权执行价格。

这与上限复合期权、下限复合期权和其他复合期权有怎样的关系？只要用标的期权（或类似于上限协议的期权系列）的价值代替“V”，用标的期权的执行价格（或利率）代替“A”，然后用复合期权的执行价格代替“E”，格斯科方法会很容易地评估出一个具有提前执行特征的复合期权的理论价值。^[6]

输入复合期权定价模型中的最重要的参数（通常如此）是波动率。在复合期权的实例中，波动率参数不是当前波动率，而是从复合期权到期日至标的期权到期日的远期波动率。为测算远期波动率，我们只要应用第五章最后部分提供的远期/远期波动率计算就行了。

上限复合期权定价的另一种方式是作为标的上限协议时间价值在复合期权有效期内的预期变化。比如，读者可以参考前面第二章的时间衰减图。表2. 13a和表2. 13b提供了两个特定期权买入策略的预期时间衰减图。一个上限复合期权基本上类似于表2. 13b中的情形或类似于日历价差的损益图。那样的话，相当于我们买入了一个长期期权（或上限协议中的一个期权系列），同时，又在期权到期之前卖回了期权。

上限复合期权的预期价值应该等于标的期权合约的时间衰减（这将发生在上限复合期权的有效期内）。表2. 13b中，预期的损失等于2 -1/2美元，同时，也代表以那个期权为标的资产的期权的预期成本。不幸的是，表2. 13a和表2. 13b中的图形只有在所有其他变量是常数时才看起来是那样。复合期权定价模型的基本原理考虑了以下事实：如果标的资产价格或波动率发生变化，则表2. 13a和表2. 13b中的曲线形状会有所偏离。

改变标准期权标准期限的期权

百慕大期权（Bermudan option）

这些期权就如它们听起来的那样：介于欧式期权与美式期权之间。百慕大期权允许持有人在期权有效期内某几个特定日期执行期权。比如，期权可以有3年的到期时间，但只有在3年中每一年的最后一个月才能被执行。

百慕大期权的应用

百慕大期权的应用常常与固定收益市场有关，这个市场的债券在到期前的不同时点可转换或可赎回。如果债券投资人希望消除看涨期权特征的影响或清除看跌期权特征（见上一章这样的例子），百慕大结构是取得这个目标的惟一方式。假设，可赎回债券的持有人有三个债券可被赎回的时窗（windows）。债券在2004年到期，但可以在2001年、2002年和2003年的9月份以面值价格（或100）被赎回。如果债券可以在这些期间的任何一个时间段内被赎回，但只能在这三个（长1个月）“时窗”内执行他的期权，则债券的持有人可能会对债券感兴趣。在2003年9月底到期的百慕大期权将满足到期日在那个月和前两个9月的要求。当然，即使债券持有人并不希望购买百慕大期权，但估计它的公允价格以评估收益所得（通过比较买入可赎回债券与买入具有相同到期日的不可赎回债券）是否足以抵消他已卖出的看涨期权的价格，这也非常重要。

百慕大期权的定价

百慕大期权的定价本质上与第三章论述的美式期权的定价没有区别。在那一章，介绍了二项式状态树方法的概念。我们需要做的是，在可能发生行权时，估计二项式状态树中那些节点的期权价值。如果所有这些节点的期权价值都低于那个价格的内在价值，则认为期权将被执行。一旦估计了所有可能标的价格的百慕大期权价值，则这些值被折现回期权当前的概率加权价值。

二进制/二元期权 ^[7]（Digita/ Binary Options）

二元期权是最简单的变异期权之一。它们是针对到期日标的市场价格高于或低于执行价格的直接打赌。不管标的资产价格如何，这种期权的损益是一个固定的数额。标准看涨期权到期日的损益等于：

对一个二进制期权来说，损益稍有不同：

图13. 2描绘了这种期权的损益。读者可以看到，这种变异期权看起来像楼梯上的一个台阶。

图13. 2　二进制看涨期权到期日的损益图

这种类型的工具也被称为有或无看涨期权（all - or - nothing call）。当我们关注二进制期权的损益时，会发现损益图看起来非常像本书其他地方提出的另一个简单期权的组合。如果我们回到第六章，仔细分析牛市垂直价差策略，我们可以看到一个类似的形状图。它的损益图从较低执行价格到较高执行价格呈45度角上升，而二进制期权垂直上升（呈90度角），除此之外，两种策略实际上看上去很相像。这些二进制期权有两种基本类型：有或无（All -or -Nothing）和触发（One Touch）。

有或无二进制期权只有在期权到期日标的资产处于盈价时才付款。触发二进制期权只要在期权有效期内某一时点，标的资产的价格高于期权的执行价格就要付款。对触发期权来说，付款既可以在标的资产处于盈价时立即支付，也可以延期至期权到期日支付。因而触发期权取决于期权有效期内标的资产的路径，这种类型期权和相关的变异期权将在本章后面部分予以探讨。这部分我重点讨论有或无二进制期权。

二进制期权的应用

由加州大学伯克利分校尼尔斯·哈堪森（Nils Hakansson）提出的超股票（su-pershare）的构造，可能是二进制期权最有名的应用。^[8]超股票是一种证券，假如到期日基金资产的价值在某个较低价值与较高价值之间，则超股票在到期日将赋予持有人相当于基金资产一定比例的规定美元价值。如果情况相反的话，超股票将到期无价值。当然，可能存在另一种超股票，只要价值超过执行价格它就要付款。

正如科克斯和鲁宾斯坦（Cox and Rubinstein）在他们书中所说的那样，^[9]这些混合二进制期权真正诱人之处在于为投资管理人提供了客户化定制的组合损益。比如，如果投资目标是满足与标的资产市场表现密切相关的特定义务要求，则构造的超股票组合将完全满足这些要求。从这方面来说，超股票组合能保证满足仅靠投资标的资产所不能满足的义务。

二进制期权的定价

在两种二进制期权中，最容易定价（目前为止）的是有或无二进制期权。触发二进制期权的估价要复杂得多，因为它们涉及某个“屏障（barrier）”，而这需要估计出一个合适的“屏障”概率密度函数。对有或无二进制期权来说，定价可以被认为是调整股利后Black & Scholes方法的直接扩展：

在有或无二进制期权的定价中，我们所感兴趣的是资产的预期价值（对资产或无看涨期权来说）或执行价格的现金价值（对现金或无看涨期权来说）。因此，Black & Scholes模型已经告诉我们这些价值的大小。有或无二进制期权难以置信的简单结果是：

资产或无看涨期权= S·N（d1）·e-dT

现金或无看涨期权= E·N（d2）·e-rT

延迟支付期权 ^[10]（Pay Later Options）

这些期权的期权费只在期权被执行时才支付。然而，只要标的资产等于或大于期权的执行价格，期权就必须被执行，即使那意味着收取的内在价值小于必须支付的期权费。图13. 3描绘了这种策略的损益图。

图13. 3　延迟支付看涨期权到期日的损益图

读者可以看出，这也与本书中我们探讨过的另一种策略非常相像。如果回顾一下第七章关于波动率交易策略的内容，并找到买回价差（call - back spread）的损益图，我们很快就会注意到两者的相似性。对期权买方来说，延迟支付期权的主要优势是如果期权到期处于亏价则不必支付期权费。然而，读者可以回忆一下在构造等值的买回价差时，他实际上收取了延迟支付期权所放弃的期权费。此外，延迟支付期权从期权执行价格点开始垂直下降直到最大的可能损失点，而买回价差从价差的较高执行价格开始缓慢下降直到最大的可能损失点。

延迟支付期权的应用

延迟支付期权的主要目标客户是那些不愿在套期保值时支付期权费的人。正如我们在第十一章探讨的组合应用那样，这也会导致其他期权策略的发展，比如试图取得相同目标的零成本期权，即用无成本提供有限的保护。其中的区别在于，如果市场最终达到执行价格，延迟支付期权的持有人将遭受来自于必须支付的期权费的损失，从某些方面讲，他还不如只买入一个看涨期权。延迟支付期权可以被认为是买入一个标准看涨期权和卖出一个有或无二进制期权的等值组合，这里的二进制期权费等于标准期权的期权费。

延迟支付期权的定价

上述延迟支付期权的定价就是用一个标准Black & Scholes看涨期权的价格减去一个有或无二进制期权的价格。如果我们把这两个期权的公式组合在一起，就可以求出延迟支付期权的价格，结果是：

延迟期权（Delayed Option）

这类期权允许持有人在到期日取得另一个执行价格等于前一个期权到期日标的资产价格的期权。这种产品可以被认为是具有零执行价格的一个复合期权，但标的期权的执行价格只由复合期权被执行的时点决定。这类期权也被称为远期生效期权（Forward Start Options）。

延迟期权的应用

延迟期权的可能应用类似于前面探讨过的复合期权的应用。然而，根据我的经验，这种期权对基金管理人构造有保证收益的基金有特殊的好处。当使用第十一章提出的90/10策略或有保证的投资基金时，这些方法需要将大多数资金投资于存款，而用余下的部分购买看涨期权。当购买标准期权时，它们只对一个固定的期间提供保护。假如客户到目前为止比较满足，这些基金常常就会在到期时被展期成为另一个90/10策略。然而，不知道有多大比例的客户会选择对投资进行展期。延迟期权的购买将允许基金不只提供某一期间的目标杠杆，而且也为后续期间提供杠杆水平。这对一个长期投资者来说，特别具有吸引力。此外，正如第十一章指出的那样，有保证收益基金的成功取决于一定的市场条件。短期利率必须足够高以提供利息购买期权，同时期权市场的波动率必须相对较低。在基金管理人发现期权市场具有非常低的波动率情况下，他可能希望不仅在第一个期间而且在基金可能被展期的后续期间锁定这个低波动率。由于他不能肯定将被展期的数额，所以，他购买了延迟期权。因为他是在当前购买，他锁定了一个具有吸引力的波动率水平，而且他知道在基金展期时，当前的执行价格将等于展期那天的市场价格水平。

延迟期权的另一个应用是员工股票激励计划，这里的期权只提供给员工，如果在将来的某个时点他还留在公司，那时他的期权才实际上存在。

延迟期权的定价

这种变异期权的定价相对也很简单。在期权生效日（grant date）t，标的资产为平价看涨期权（此时距到期日的时间为τ）的远期生效期权的价值为：

C（St，St，τ）

因为资产价值和执行价格都乘以同一个因子（St），等同于用那个因子增加期权的数量，所以我们将上式变为：

St·C（1，1，τ）

这是简单地将一个常数乘以未来股票价格St。在未来期权生效日，股票的市场价值（St）是目前股票价格S，根据从当前到期权生效日t这个期间支付的股利进行的调整。这与前面一样可以用e-dt函数进行处理。^[11]因此，得出延迟期权的当前价值为：

S·e-dt·C（1，1，τ）

最后，用同一个比率（S）改变资产价格和执行价格，我们得到：

e-dt·C（S，S，τ）

因此，延迟生效期权的价值等于具有相同到期日平价期权的价值，但对利息收入的影响进行了数量上的调整。

选择者期权 ^[12]（Chooser Option）

标准期权的这种变异允许持有人在到期日选择他已购买的期权是看涨期权还是具有相同执行价格的看跌期权。这种期权与骑墙组合非常相似，但成本要低得多，因为在持有人作出他的选择后，他只可以持有一种类型的期权。此外，因为这种期权是在店头市场交易，与交易所交易的期权相比，到期之前取得价格的可能性是有限的。由于到期之前不能在具有流动性的市场中对选择者期权进行交易，因此，购买骑墙组合的基本原理，也就是波动率交易，不起作用了。

选择者期权的应用

选择者期权的通常使用人是投机者，他们对标的资产在到期日的剧烈波动打赌，而没有打算对这期间隐含波动率变化进行交易。另一个应用是投资管理人，他们对一家面临敌意收购的公司股票进行交易。如果收购以一个较高价格水平被接受，则选择者期权中的看涨期权部分将被选择。如果公司通过吞食“毒丸（poison pill）”成功地击退了敌意收购者，这意味着公司的重组使整个公司对任何潜在的收购者都不再有吸引力，则市场对公司反应消极将导致它的股票上下波动。无论发生哪种情况，当收购成功的结果已知时，关于目标公司股票价格不确定性的主要来源将从市场上消除，同时隐含波动率将下降。因此，选择者期权考虑到了股票价格变化的方向，同时不具有与骑墙组合相关的隐含波动率风险水平。

选择者期权的定价

求解选择者期权价格的第一步是写下选择日的损益会是多少。这很简单：

使用简单的看跌—看涨期权平价公式，可以写为：

这意味着我们收到的是看涨期权或看跌期权中最好的。因为（从看跌—看涨期权平价公式来看）一个看跌期权只是一个看涨期权减去一个远期合约，所以，我们也可以用一个看涨期权加一个期货期权（零执行价格看跌期权）来表达上述损益。

用简单的看跌—看涨期权平价公式，可以写成：

Pt= Ct+ E·e-r（T-t）- St·e-d（T-t）

当把它代入MAX（Ct，Pt），我们可得到：

= Ct+ MAX（0，E·e-r（T-t）- St·e-d（T-t））

这意味着从选择者期权得到的损益与下列损益相同：

·买入一个看涨期权，标的资产价格为S，执行价格为E，到期时间为T；

·买入一个看跌期权，标的资产价格为S·e-d（T-t），执行价格为E·e-r（T-t），到期时间为t。

标准选择者期权的价值为：

从其他方面做分析，可以用看跌—看涨期权平价公式代替看涨期权：

Ct= Pt+ S·e-d（T-t）- E·e-r（T-t）

这种情况下，选择者期权价值为：

= Pt+ MAX（0，St·e-d（T-t）- E·e-r（T-t））

这意味着从选择者期权得到的损益与下列损益相同：

·买入一个看跌期权，标的资产价格为S，执行价格为E，到期时间为T；

·买入一个看涨期权，标的资产价格为S·e-d（T-t），执行价格为E·e-r（T-t），到期时间为t。

如果看跌—看涨期权平价公式成立，得出的结果应该相同。

幂期权（Power Option）

这些期权允许持有人得到一个标准期权的损益，但标的资产的价值被提高到某个乘方。比如，一个标准看涨期权在到期日的损益为：

一个幂看涨期权在到期日提供了不同的损益：

这种情况下，期权的持有人在到期日得到的价值为标的资产价格的平方减去幂期权的执行价格。假设幂期权的标的资产是一只执行价格为100美元的股票，如果标的资产的最后价格等于或低于10美元，则期权无任何价值。在标的资产最终价格为20美元的情况下，损益是300美元（用20美元的平方减去100美元），如果标的资产为25美元，损益是525美元。图13. 4比较了一个幂看涨期权的损益图与持有10个执行价格为10美元（相当于执行价格为100美元）的标准看涨期权的损益图。

图13. 4　一个幂看涨期权与10个标准看涨期权损益图的比较图

幂期权的应用

很明显，幂期权对那些希望对标的市场变动杠杆最大化的人有用。对那些试图最大化对标的市场Gamma或Lambda的投资者来说，幂期权或许是最好的选择。

幂期权的定价

幂期权的定价实际上非常简单。这是因为当我们对标的资产价格进行平方时（S2），如果标的资产价格被假设为服从对数正态分布，则价格平方也保持对数正态分布。因此，我们可以简单地对假设的标的资产随机过程进行平方。

资产的简单随机过程：

dS =μ·Sdt +σ·Sdz^[13]

资产平方的随机过程：

d（S2）= 2·S·（μ·Sdt +σ·Sdz）+1/2·2·σ2·S2dt

对这个方程式进行求解并简化，结果是：

d（S）=（2·μ·σ）Sdt +（2·σ）·Sdz

则对幂期权定价我们需要做的是，把新的变化项（2·μ·σ2）和波动率项（2 ·σ）代入到Black & Scholes公式中去，我们将得到在风险中性环境下的答案。

路径依赖期权（Path - Dependent Options）

店头市场期权的一个重要特征是能对交易进行客户化定制以满足单个客户的需要。路径依赖期权是投资银行满足客户需要程度的最好代表。在这些期权中，平均利率（Average Rate）（即亚式Asian Style）期权和最大/最小（Maximum / Minimum）（即回瞻Lookback）期权在过去几年里崭露头角。

平均利率期权——“亚式”期权^[14]

在店头市场变异期权的范围内，平均利率期权（也称为亚式期权）对公司使用者具有广泛的吸引力。当执行一个亚式期权时，支付的是执行利率（或价格）与期权有效期内某段时间标的资产平均利率（或标的资产平均价格）之间的差额。^[15]

亚式期权往往比其他类型的期权便宜得多，它特别适合那些不能肯定暴露风险时间和大小的借款人的需要。这些期权往往有欧式执行特征，而且一般用现金结算。“亚式”期权这个词来源于美国银行家信托基金（Bankers Trust）在日本东京最早推出这种期权的事实。这些期权的到期时间通常在1～2年之间，然而，对这些期权来说，长达3年的期限也不罕见。

平均利率期权的应用

亚式期权最明显的是应用于年内有不确定借款需求的公司。举例来说，如果某一公司很难准确判断借款时间或借款数额，则平均利率期权将对那段期间发生的利率波动风险提供套期。

如前所述，平均利率期权最吸引人的卖点在于它的期权费比普通期权的期权费低得多这个事实。大多数亚式期权的价格是普通店头市场利率期权价格的60%～65%。虽然构造平均利率期权的概念较为简单，但它的定价却不那么简单。

平均利率期权的定价

平均利率期权定价复杂是由于它们的价值取决于标的资产价格随时间推移发生变动的方式，而不仅仅取决于标的资产的价格水平。惟一经济实用的利率期权是建立在标的资产价格简单算术平均的基础上。这可以写成：

A =［S（t1）+ S（t2）+…+ S（tN）］/ N

到目前为止，没有发现简单算术平均利率期权定价问题的解析解。惟一能进行准确估价的平均利率期权依靠的是价格的几何平均。这就是：

原因在于Black & Scholes模型只对对数正态分布起作用，而几何平均服从对数正态分布，算术平均不服从对数正态分布。

为解决这个问题尝试了许多方法。最简单的方法是假设几何平均的分布类似于算术平均，将几何平均值代入Black & Scholes模型以估计平均利率期权的价格。这种方法产生的误差每年在0. 20%的范围内，并且导致低估平均利率看涨期权，高估平均利率看跌期权。建议使用的一个更好方法是，用几何平均值与算术平均值之间的差额调整平均利率期权的执行价格。在这种情况下，误差降至每年低于0. 05%。为进一步减少误差，我们必须应用维尔金森—利维（Wiklinson - Levy）的逼近方法，它试图直接估计算术平均的分布。^[16]可以看出，平均利率期权价格的误差现在能降至每年0. 02%左右。

虽然一些机构确实使用这些技术，但大多数提供亚式期权的银行已经提出这种期权的另一种逼近方法，他们要么应用二项式方法（类似于我在第三章所提出的），要么调整标准期权定价模型以降低与标的资产平均利率相关的波动率。

当使用标准定价模型时，调整包括将期间的平均利率视为一个普通利率，以及降低输入到Black & Scholes模型的波动率参数并考虑降低后的波动率。经验法则（rule of thumb）表明，平均利率的波动率应该是普通标的波动率的（57. 7%）。根据多伦多大学约翰·赫尔（John Hull）的研究，如果在平均中使用的时点数足够频繁同时波动率不太高的话，逼近效果不算太差。^[17]然而，使用Black & Scholes模型或修正后的模型存在的最大问题是，保留了标的资产分布服从对数正态分布这个假设。当我们用都服从对数正态分布的资产组合成一个资产系列时（平均值的估计也这样做），结果可能不再服从对数正态分布（特别是如果资产之间存在相关关系）。

令人惊讶的是，虽然银行对平均利率期权定价存在困难，但用来套期保值几乎不存在问题。这些亚式期权可以像标准期权一样在现货市场上进行Delta套期（读者可参考第八章对Delta套期的探讨），惟一的区别在于，它使银行在其账面上体现这些亚式期权的组合更有道理，否则，保持Delta中性套期所涉及的交易成本会过高。幸好由于平均利率的不确定性随时间的推移将会降低，所以，持有亚式期权的银行的风险也将减少。最大的风险是在亚式期权的开始期间，这意味着随亚式期权到期日的临近，银行可以相当肯定平均利率的大小，而且能更准确地计算暴露风险。

平均执行价格期权 ^[18]（Average Strike Option）

这种期权类似于前面讨论的亚式期权，两种期权都取决于期权有效期内标的资产价格的平均值。平均执行价格期权的不同之处在于期权的执行价格被设定为这个平均价格，支付的是这个平均价格与到期日资产价格之间的差额。为帮助读者看清楚这些平均期权与标准看涨期权之间的区别，我们比较这三种期权在到期日支付的款项：

标准看涨期权

MAX（0，S - E）

其中：

S是到期日标的资产的价格

E是标准期权的执行价格

平均利率看涨期权

MAX（0，Sa- E）

其中：

Sa是期权某段期间标的资产的平均价格

E是期权的执行价格

平均执行价格看涨期权

MAX（0，S - Ea）

其中：

S是标的资产到期日的价格

Ea是期权的执行价格，它等于标的资产在期权有效期内某段预定期间的平均价格

通过比较这两种平均期权各自更适合应用的场合，它们之间的不同可以看得更清楚。

平均执行价格期权的应用

让我们考虑一下一家在意大利有大量业务的英国医药公司巨头所面临的套期保值问题。这家公司在意大利经营的业务面临三种类型的外汇风险。首先，它与某个

迈克尔·柯伦（Curran，Michael），《平均的理解之外》，《风险杂志》，1992年11月，60～61页。埃德蒙·利维（Levy，Edmond），《平均的理解》，《风险杂志》，1992年2月，53～9页。意大利客户有大量购买药品的离岸业务；其次，它有销售现存商品给多个意大利客户的稳定业务流；最后，因为意大利的生意太好，它已经在那里成立了一家分公司，这家公司直到年末才取得用里拉（Lira）计算的利润。在第一个例子中，大笔交易的交割时间和支付里拉的数额被固定了。英国公司要么使用远期外汇合约锁定里拉与英镑（Sterling）的兑换，要么简单地买入里拉看跌期权或英镑看涨期权。标准期权在这里发挥作用。

对每月里拉稳定流入的第二个问题，平均利率期权将是理想的解决方案，因为英国公司对锁定这段期间内预计销售收入总额的平均汇率感兴趣。

第三个问题稍微复杂些。意大利的分公司在创业初期前的10个月，在当地用里拉融资。利息费用的支付来源于英国公司作为启动资金投入的大笔英镑，这些英镑已经按当前汇率兑换成了里拉。在11月份和12月份，分公司站稳了脚跟，并且开始将赚取的里拉兑换回英镑以偿还初始投资。在这种情况下，这家英国公司所承担的汇率风险并不发生在全年，而只发生在第11和12两个月。因此，他们可以买入一个一年期平均执行价格期权，以第11和12这两个月的平均汇率作为执行价格。

平均利率期权与平均执行价格期权的比较

为把平均利率期权与平均执行价格期权之间的差别看得更清楚，读者可参考图13. 5。读者可以从图中看到，BTP期货从1994年1～5月的实际收盘价格，此外，还可以看到设定为平均执行价格的整个期间的平均利率。BTP期货的简单算术平均价格是一条相对平滑的曲线，它降低了标的市场的上下波动程度。平均执行价格只有在5月份期权到期日才能被测定，因而是最后一个月的单个价值。这就是为什么它在最后那个月是一条扁平线的原因。

图13. 5　1994年1～5月BTP期货的平均利率和平均执行价格的测定

最大/最小期权——“回瞻”期权 ^[19]（Maximum / Minimum Op-tions - The“Look Back”Option）

最大/最小期权概念建立的基础是大量客户抱怨他们不能得到期间内可能的最好价格。最大/最小期权（也称为“回瞻”期权）使持有人有权以期权有效期内达到的最好价格买入或卖出标的资产。对一个看涨期权来说，这个价格是期间内的最小价格（或利率）；对看跌期权来说，这个价格是期间内的最大价格（或利率）。比如，考察一个具有这种最小/最大特征的借款者期权。假设借款者期权的持有人持有它6个月。在到期日，他可以“回瞻”前面的6个月期间，并以期间内出现的最低借款利率执行期权。这种特征使持有人得到了一个“没有遗憾”的结果：没有错过最好的利率（或价格水平）。

“回瞻”期权的潜在使用者

很明显，“回瞻”期权的潜在使用者是那些对普通利率期权或任何标的资产期权感兴趣的客户。其不同之处在于，追求“回瞻”期权的客户渴望得到最好的利率。潜在的使用者包括：浮动利率中期债券的投资者，他们想确保在浮动利率投资中取得的利率最大；借款者，他们希望在高度波动的市场中使浮动利率借款费用最低，以及交易商，他们将“回瞻”期权和普通期权组合在一起以构造一个“零成本”套期策略。最后一个“零成本”套期策略的例子与我在第十一章举的例1非常相像，不同之处在于，这里的最大可能收益像普通期权那样没有限制（假设套期者买入“回瞻”期权同时卖出普通期权）。

“回瞻”期权的定价

虽然这对客户来说是个大问题，但那些必须对“回瞻”期权定价以及对其套期的机构在计算价值时则存在更大的问题。为测算“回瞻”期权的理论价格，在期权定价中必须作出通常的假设。我们必须假设期权标的利率服从对数正态分布，利率的波动率已知而且利率市场24小时连续交易。

根据这些假设，戈德曼、索新和加特（Goldman，Sosin and Gatto）^[20]可以构造出一个等值的其他证券的组合，它提供与一个“回瞻”期权完全相同的损益。因为他们能对等值组合的组成部分定价，所以，他们既能对“回瞻”期权定价，也能通过买卖“回瞻”期权和做与等值组合完全相反的交易对“回瞻”期权进行套期保值。

让我们想想他们的等值组合看上去像什么。假设某一金融机构已经卖出上述的利率“回瞻”期权。为完全对冲风险，他们必须立即购买一个6个月到期的普通借款者期权，这个期权与他们卖给客户的借款者期权具有完全相同的条款。他们将持有那个期权直至出现一个新的最低利率，在那个时点，他们将立即卖出所购买的借款者期权，同时重新购买一个执行利率等于这个新最低利率的新（普通）借款者期权。每当出现一个新的最低利率时，他们将重复这个过程直到他们卖给客户的期权到期为止。这种策略被称为“滚动（rollover）”策略，并在到期日产生与“回瞻”期权完全相同的损益。

不幸的是，这种“滚动”策略在出现新最低利率时，总是涉及卖出具有较高利率的借款者期权，同时买入一个那时处于平价的新借款者期权。这总会需要现金流出（比如损失），因为他们现在必须支付平价期权的期权费很可能大于收取的现在处于亏价的购买者期权的期权费。这样，很清楚的是“回瞻”期权的卖方要承受两部分成本：第一是买入普通借款者期权的成本，第二是对借款者期权进行滚动套期以确保最低的利率累积损失。第二部分被称为“执行津贴期权（strike - bonus options）”。^[21]这两个因素意味着，一个利率“回瞻”期权的价格等于执行价格为期权有效期内最小价格水平的一个普通利率期权价值加上“执行津贴期权”价值的总和。

“执行津贴期权”的定价

如何估计“回瞻”期权这两部分的价值？第一个部分比较容易：它只是一个普通利率期权的价值，我们可以用利率的远期价格、取得的最低利率作为执行价格以及Black（1976）模型来估计其价格。问题在于“执行津贴期权”的价值。为从本质上解决这个问题，我们要运用与Black & Scholes公式相同的推理。表13. 3列示了这个公式。

表13. 3　回瞻期权中“执行津贴”期权的定价模型

读者可以看出，这个“执行津贴期权”的定价模型看上去与Black & Scholes公式有些不同。实际上，惟一的主要区别是不存在特定的标的资产价格（S）或执行价格（E）乘以累积正态分布函数（N）。相反，利率当前价格（S）与最低利率（L）的比率被作为标的输入使用。最后，τ是马克·加曼（Mark Garman）所说的“速度（speed）”因子。^[22]因此，一个“回瞻”期权的价值只是一个执行价格等于期间最低利率的普通借款者期权与该“执行津贴期权”价值（它的公式我刚才已经给出）之和。

随着这些定价模型的到位，测算“回瞻”期权对标的利率水平的敏感度就成了一件简单的事情。与其他所有期权一样，可以估计Delta和Gamma来测算一个无风险套期的合适套期比率。对“回瞻”期权进行Delta套期存在的问题是，与普通利率期权相比，Delta通常更小，Gamma一般更高。而且，Gamma风险是单边（one sided）风险（它只在达到一个新最低利率时出现）。然而，研究表明，虽然这些最大/最小期权必须比普通期权更密切地予以监控，历史数据似乎显示对它们进行有效套期是可能的。^[23]

我们可以认为“回瞻”期权的期权费一定比普通利率期权要高，原因仅仅是插入了另一个期权。实际上，事实也是如此。“执行津贴”期权的价格有时与普通利率期权的价格一样高。所以，一个“回瞻”期权的价格是一个普通利率期权价格的两倍，将其作为一个经验法则使用是合理的。

棘轮期权（Ratchet Option）

这种变异期权最早在法国推出，它们建立在CAC 40股票指数的基础上。从那时起，它们在全球范围内传播开来，尤其被权益基金管理人所使用。棘轮期权在开始时类似于一个具有固定执行价格的标准看涨期权，但在预先规定的若干日期内，执行价格被重新设定为标的资产价格。当执行价格被重新设定时，所有正的内在价值被记入买方账户。如果下一个重新设定日的标的资产价格低于前面的水平，将执行价格重新设定在等于标的资产价格的一个较低执行价格水平，就不会发生其他变化。

比如，我们假设在12月31日，买入一个以CAC 40股票指数为标的资产的1年期棘轮看涨期权，初始执行价格为2100。期权执行价格的重新设定日是每季度的最后一天，即3月31日、6月30日和9月30日。在3月31日，CAC 40股票指数为2250，同时期权的内在价值150点被记入买方账户。此外，棘轮期权新的执行价格被设定为2250。在6月30日，CAC 40股票指数降至2080。既没有额外的付款，也不触及初始150点的收益。执行价格再次被重新设定在2080。在9月30日，CAC 40股票指数涨至2190，110点的内在价值再次被记入棘轮期权持有人账户。当日，期权有效期余下3个月的执行价格被设定在2190。这个时点以后，棘轮期权的表现像一个标准期权。如果在12月31日CAC 40股票指数年末以2300收盘，另一个110点被增加到棘轮期权的累积内在价值中（2300减去上一个执行价格2190）。因此，棘轮期权持有人总共从期权中收到370点。如果相反，他只购买一个执行价格为2100的标准看涨期权，在年末他只能收到200点的内在价值。

从本质上说，我们可以将棘轮期权认为是一系列前面探讨的远期生效或延迟期权。

棘轮期权的应用

对组合管理人来说，棘轮期权就像美梦成真。在许多情况下，每个季度结束要对基金管理人的业绩进行评价，然后，向委托人公布评价结果。

投资人长期抱怨的是当一个基金在过去业绩很好时，它却通常在一段特别倒霉的时期内失去所有的利润。当发生这种情况时，投资人（如果不是基金管理人本人）会问以下问题：为什么当你获得利润时你不把它取出来？如果业绩评价日能事先决定，棘轮期权或许是解决基金业绩多变问题的一个方案。

棘轮期权的定价

棘轮期权的定价是通过简单加总延迟期权（或远期生效期权）组合的价值，这个组合形成了棘轮期权的等值组合。这个公式可正式地写为：

MAX（ST1- E，0）·er（Tn-T1）+ MAX（ST2- ST1，0）·er（Tn-T2）+…+ MAX （STN- STN-1，0）

阶梯期权（Ladder Option）

从本质上看，阶梯期权的运作方式与棘轮期权相同，并且在某些方面类似于前面讨论的回瞻期权。阶梯期权预先规定了一系列标的资产价格水平，每当标的资产达到一个预定的较高价格水平，内在价值就被记入买方账户，同时，在那个价格水平设定一个新的执行价格。与此相比，棘轮期权标的资产执行价格只在特定日期被重新设定，而不管那个日期的标的市场价格水平如何。与回瞻期权相比较，阶梯期权只在达到特定较高价格时才被重新设定。对回瞻期权来说，每一个较高价格水平意味着一个新的执行价格的重新设定。打一个比方，阶梯期权不同于回瞻期权就像楼梯不同于移动的倾斜人行道一样。

阶梯期权的应用

与棘轮期权一样，阶梯期权对基金管理人来说也是一个理想的工具。就基金管理人而言，比棘轮期权更偏爱阶梯期权取决于对基金管理人业绩的衡量。如果投资人每天评价业绩并且设定了应实现收益的价格水平，则阶梯期权将是取得这个目标的理想工具。棘轮期权和阶梯期权存在的共同问题是它们的价格可能非常高。

阶梯期权的定价

在这种情况下，图形将有助于理解阶梯期权定价中涉及的主要问题。图13. 6显示了执行价格增大对阶梯期权的影响。

竖轴（y）是标的资产的价格，ST是阶梯期权初始执行价格，E和L1至L4是各个阶梯执行价格。在横轴上是从当前（t）到阶梯期权到期日（T）。锯齿线（jagged line）代表阶梯期权标的资产的历史价格。当标的资产价格达到一个较高的阶梯期权执行价格水平，它将取代初始执行价格E。读者可以看出，标的市场只上升到了触发点L1和L2这两个阶梯期权执行价格水平。

本例中阶梯期权的损益为：

MAX（ST- MAX（LiㄧST＞Li））+（L1- E）·er（T-t1）+（L2- L1）·er（T-t2）

如果达到阶梯的梯级时，现金被立即付出，则上述公式就是损益的计算方法。如果情况并非如此，现金是在阶梯期权有效期结束时付出，则阶梯期权定价的问题可以得到简化。在这种情况下，到期日损益的计算方法将变为：

MAX（ST- MAX（Li| ST＞Li））+（LMAX- E）

图13. 6　阶梯看涨期权增长的执行价格

目前，看上去并不存在阶梯期权定价的解析解，然而，我们可以再次应用第九章介绍的超模型（修正后二项式方法）或用蒙特卡罗模拟方法以获得一个公允价格。

叫价期权 ^[24]（Shout Option）

叫价期权是棘轮期权和阶梯期权概念的进一步延伸。在棘轮期权中，执行价格在期权合约条款规定的某些特定日期被重新设定。对阶梯期权来说，执行价格在标的资产达到以前商定的价格水平时被重新设定。对叫价期权来说，执行价格的重新设定既不在预先规定的某些特定日期也不在标的资产的某些价格水平，而是在期权的买方想要重新设定执行价格时发生。此时，他对期权卖方进行“叫价”，以把执行价格重新设定在他觉得最终会最有利的价格水平。假设，我们买入一个以CAC 40股票指数为标的资产的1年期叫价期权（而不是棘轮期权），起始执行价格为2100。执行价格将保持不变，直到买方决定锁住一个新的价格水平为止。如果CAC 40股票指数在仅仅一个月内上升至2280，持有人可以对期权“叫价”，同时，无论接下来发生什么，他都能在年末收到一张180点的内在价值收条。

叫价期权的应用

同棘轮期权和阶梯期权一样，叫价期权也是为基金管理人推出的。在基金管理人需要更加审慎地选择取出利润的价格水平的场合中，叫价期权或许会成为他的选择。此外，与阶梯期权相比，叫价期权或许更便宜，因为投资者必须作出何时重新设定执行价格的决策，而不是让执行价格在每个新的预定更高点自动被重新设定。

叫价期权的定价

叫价期权的估价从寻求期权到期日的损益开始，然后算回到当前，以寻求它的公允价格。在这种情况下，损益取决于持有人“叫价”的价格水平。为给叫价期权定价，假设持有人只以最佳的方式叫价。^[25]根据这个假设，到期日的损益可以写为：

一旦这个损益被测算出来，我们就只要沿着二项式状态树算回到当前日期，将到期日所有可能损益的总和折现为它们的当前价值，就测算出叫价期权的价格。

屏障/敲出期权 ^[26]（Barrier / Knockout Option）

我将介绍的最后一个路径依赖期权是屏障期权，它是最古老的变异期权之一。在一个屏障期权中，初始执行价格被设定以后，还设置了另一个价格水平，如果标的资产达到那个价格水平，期权作废。一般来说，当发生这种情况时，期权持有人能收到退回的某一商定数额的期权费。这种屏障期权被称为敲出期权，因为期权被取消了。另一种屏障期权被称为敲进期权（Knock - in Option）。对这种期权来说，一开始期权并不存在，直到标的资产价格达到某个价格水平的情况发生时，具有预定执行价格的期权才被构造出来。

对看涨期权来说，屏障水平一般被设置为低于当前市场价格和期权的执行价格。因此，这些类型的期权对敲出期权来说被称为下敲出看涨期权（Down - and -out Calls），或对敲进期权来说被称为下敲进看涨期权（Down - and - in Calls）。同样对看跌期权来说，屏障水平一般被设置为高于当前市场价格和期权的执行价格。因此，这些类型的期权对敲出期权来说被称为上敲出看跌期权（Up - and - out Puts），或对敲进期权来说被称为上敲进看跌期权（Up - and - in Puts）。

敲出期权的应用

我们或许会问的一个合理问题是，为什么有人需要这样一种期权。对买方来说，主要原因是它们比标准期权要便宜很多，但敲出期权真正的买家是店头市场期权的做空方（尤其在债券市场上）。我曾经与纽约的一位老债券期权交易商进行过长谈，他对我了解店头市场期权中敲出期权的用处有很大的启发。读者或许还记得我在第八章探讨Delta中性交易时所说的，成功的关键因素在于持续保持标的资产头寸和期权市场头寸之间的平衡以保证Delta中性。在交易所交易市场中，这样做相对容易，因为两种产品的交易都具有足够的流动性使得保持平衡成为可能。然而，在店头市场上，这种做法也许并不可行。考虑一下店头市场期权做市商卖给客户一份看涨期权的情形。为对他持有的头寸进行套期，他将买入标的债券的Delta数量。如果随后标的债券的价格下跌，他将在债券上遭受一定损失，同时，在看涨期权上获得一个理论收益。如果他已经正确地平衡了Delta风险，则他既没有收益也没有损失。一个问题是，他在债券上遭受的未实现损失能在市场上得到印证，而看涨期权价格降低带来的收益只能从理论上估计。另一个问题是，他必须保持头寸的平衡以保证Delta中性。要实现这种策略，买卖期权是不可行的，因为客户还持有期权，因此，店头市场期权做市商必须实现在债券上的损失。如果随后债券市场价格上涨，他必须再次买入更多的债券以保持头寸被套期。在市场行情变化剧烈的情形下，期权交易商很快就会发现他保持平衡的成本正在失去控制，同时，他的累计损失远远超过收取的期权费。敲出期权可以防止这种情况的发生，因为当市场降至屏障水平时，期权上的理论收益可以通过期权作废来实现。他所支付给敲出期权持有人的是最初收取的期权费与到那个时点为止保持平衡的成本之间的差额。在早期，由于被套期头寸相关的平衡成本不能确定，期权持有人常常什么也得不到。即使敲出期权看上去对期权的卖方更理想，然而期权的买方也可以应用。

试想一位试图在股票市场上抄底的投资者。当时金融时报（FTSE）100股票指数在3100。通过技术分析，投资者发觉股票市场目前的水平应该有“较小（minor）”的支撑，这意味着有足够的买盘保持市场稳定在这个价格水平。如果价格开始下跌，买方会退却，当市场下降至3000时，人们又会再次买入股票进场，技术分析上称之为“较大（major）”的支撑。不考虑其他条件，该投资者将在3000点买进股票。他可能会对一个执行价格为3100，屏障水平为3000的敲出看涨期权感兴趣。为什么？首先，期权的价格便宜得多。其次，如果市场降至3000，他完全知道敲出期权得到的补偿是多少。因此，他不必担心随时间推移或隐含波动率的减小而造成的期权时间价值的降低。最后，在那个价格水平上，他无论如何都会成为股票市场的买方。因此，那时他可能仅仅买入一份金融时报（FTSE）100股票指数期货合约。这样，他可以根据在目前价格水平有较小支撑和低于100点处有较大支撑，使用敲出期权对预期进行完全匹配。此外，他的期权费成本将更低，同时，他可以确切知道如果期权作废时他所得到的补偿。这种头寸的损益可参见图13. 7。

图13. 7　敲出看涨期权的损益图

敲出期权的定价

虽然这种期权是最古老的变异期权之一，但它们也是最难测算公允价格的期权之一。原因是当存在一个屏障水平时（比如敲出或敲进价格），分布不再连续以进行微分求解。它不再像正态或对数正态分布那样是一个非常平滑的函数，而好像某个疯子拿起斧头在分界水平上将对数正态分布劈为两半。有可能找出这些“屏障”的分布，并为这类期权建立一个公式。然而，这至少需要四页纸的偏微分方程，方程的最后结果既不简单也不立即说明将发生什么。所以，通过列举这些证据，我认为，即使增加大量的工作也不会增进对本书的理解。然而，对于那些有兴趣去发现“屏障”分布问题解决办法的人来说，确实存在一个对过程的全面解释，读者可参考这方面著作。^[27]

多因素期权（Multi - Factor Options）

这种期权的损益取决于两种或两种以上标的资产的价格。建立这种期权的原则与我在第九章论述市场间期权交易时探讨的原则相同。在那一章，关键因素是市场间的相关性。对多因素期权来说，这种相互依赖期权的概念已经运用于其逻辑结论中：客户化定制的相机抉择权的发展建立在波动率和相关性基础上。

彩虹期权 ^[28]（Rainbow Option）

我将探讨的第一个多因素变异期权被称为彩虹期权。^[29]对于这个期权，持有人的损益由两种或两种以上标的资产在到期日取得的最高价格决定。这种期权在到期日的损益可写为：

这样的一个彩虹期权允许投资人从所有欧洲国家中取得最高的利率，这里的执行价格E被表示为一个执行利率。

彩虹期权的应用

彩虹期权的买方试图取得某一类资产中业绩最好的资产。选择那些与其他投资相比能提供最高收益率的证券，是基金管理人的梦想。基金管理人可以用存款与一个彩虹期权打包，以构造一个范围更广的有保证投资基金。无论如何，投资者得到的是可能最好的投资。

彩虹期权的定价

彩虹期权定价的复杂性取决于可比组合中资产的数量。对两种资产来说，解决办法是第九章和第十二章提供的玛格瑞伯（Margrabe）方程。当加入了更多资产，就不能求解得出一个解析解，这些期权的定价主要通过使用蒙特卡罗模拟法得到。

篮子期权 ^[30]（Basket Option）

篮子期权是彩虹期权的一个变异，不同之处在于这种期权的损益是篮子中标的资产价格的加权平均数。这种期权是为那些持有投资组合的投资人而构造出来的，这些投资组合不同与交易所交易的标准化组合（像股票指数）或债券。

篮子期权的应用

篮子期权的主要应用是持有客户化定制组合的投资者，这些组合需要期权提供套期保护。标的资产为投资组合的一个期权比期权的一个组合要便宜得多，这是一个得到文献全面证明过的事实。^[31]因此，投资者不是为组合中每个金融工具买入期权，而是将他的组合作为一个整体进行保护。

篮子期权的定价

篮子期权定价中的关键因素是波动率的估计，因此，我们将应用第十一章提出的资产组合波动率的公式。为减少读者回头查找的麻烦，我这里再列示一遍：

资产组合的标准差公式是：

在这个公式中，xi是组合中每个资产i的投资比例，σ2i代表每个资产i的方差。σi是每个资产i的标准差，ρij是资产i和j之间的相关系数。单个求和符号表示从第1个资产到第N个资产的所有加权方差之和。双重求和符号表示组合中所有资产之间的加权协方差之和。这只是由组合理论决定的组合方差。

知道这个公式以后篮子期权的定价就非常简单。我们只要用Black & Scholes公式对欧式期权定价，用二项式方法对美式期权定价。

价差期权（Spread Option）

价差期权的损益是两种资产价格之间的差额。在第九章，我举了原油对汽油和原糖对白糖的例子对这个过程做了详细论述。读者可参考那一章做更多的了解。

数量调整期权 ^[32]（Quanto）

对于一个数量调整期权来说，其损益取决于标的资产价格和作为标的资产价格函数的风险大小。Quanto是数量调整期权（Quantity - Adjusted option）的简称。在大多数情况下，与数量调整期权有关的有：购买以另一种外币计价的资产，而持有人希望该资产的收益以自己的本国货币计价。让我们看看当前一个有关某英国投资人使用数量调整期权的例子，该期权以衡量德国股票市场波动的达克斯指数（Deutsche Aktien Index，DAX）作为标的资产。

假设DAX目前在2100，英国投资人买入了一个以DAX指数为标的资产的数量调整看涨期权。期权到期时，如果DAX达到2200，则投资人所获得的不是100点所对应的德国马克，而是按期权开始日规定的汇率兑换成100点所对应的英镑，外汇风险得到完全消除。数量调整期权有四种基本形式：

（1）以外币计价执行的外国股票看涨期权

（2）以本币计价执行的外国股票看涨期权

（3）固定汇率外国股票看涨期权

（4）与外汇看涨期权相连的股票

数量调整期权的应用

在美国和欧洲，国际化投资的基金管理人已经显示出极大兴趣。投资于国外的一个主要问题是外汇风险。当然，衍生产品比如交易所交易的期权和期货使规避风险的过程变得更容易：就期权而言，只要交纳一个相对较低数额的期权费；就期货来说，只要交纳初始保证金。然而，当期权变为盈价或期货价格改变需要现金补足保证金账户时，投资者将面临外汇风险。数量调整期权的开发是为了消除与国外投资相关的外汇风险。

数量调整期权的定价

对本章讨论的最后这个变异期权，读者可以很高兴地看到它的定价是所有变异期权定价中最简单的定价之一。在对第一类数量调整期权，也就是以外币计价执行的外国股票看涨期权定价时，定价很容易。这种结构允许对外国股票投资提供股票价格下跌的保护，但不能规避外汇风险。这种最基本的数量调整期权的损益是：

就国外的期权卖方而言，他不关心以另一种货币计算的损益，他所知道的是有人从他手中买入了以他所在国货币标价的股票期权。在最后的损益中，期权的收益仅仅按当前日期的市场汇率兑换成持有人的货币。这种最简单的数量调整期权的价值只是一个标准看涨期权的价值（可以用Black & Scholes公式估价）乘以当前汇率。

当对第二类数量调整期权，也就是以本国货币计价执行的外国股票看涨期权定价时，定价也相对简单。这种结构允许对外国股票投资提供股票价格下跌的保护，同时也能规避某些外汇风险。对这种数量调整期权的持有人来说损益是：

当然，数量调整期权的卖方有不同的损益，这就是：

C = MAX（0，S′-［E′·X］）

然而，这种数量调整期权比第一种（只要用Black & Scholes公式）要复杂一些，问题涉及到本国货币的E′单位与外国股票S′的单位进行交换。我们的问题再次成为测算以一种资产交换另一种资产的期权的价值。解决办法是第九章和第十一章提出的Margrabe公式（再次使用）。

对第三类数量调整期权，也就是固定汇率外国股票看涨期权来说，定价要困难得多。这种结构允许对外国股票投资提供股票价格下跌的保护，同时，也能规避某些外汇风险。对这种数量调整期权的持有人来说，损益是：

这种数量调整期权的卖方有不同的损益，这就是：

这里不可能像上面那样使用Margrabe公式。我们首先必须评估股票和汇率是否相关。如果不相关，我们可以单独求出每个产品的期望值并加在一起以估计出数量调整期权的价值。否则，如果相关的话，我们必须对汇率进行修正。

对最后一类数量调整期权，也就是与外汇看涨期权相连的股票来说，定价又变得简单了。考虑一下这种产品给持有人提供了什么：它没有对外国股票投资提供股票价格下跌风险的保护，但能完全规避外汇下降的风险。对这种数量调整期权的持有人来说，到期日的损益是：

国外的期权卖方看到的损益是；

C′= S′·MAX（0，1 - E，X′）= E·S′·MAX（0，1/ E - X′）

这种类型的数量调整期权完全类似于具有股票和汇率互换作用的固定汇率外国股票看跌期权。从这方面来说我们只要应用前面数量调整期权的结果。

总　结

所有这些变异期权遵循的共同原则已经被应用到其他市场，如外汇市场、商品市场和股票市场。客户需要是创新的原动力，它不取决于市场的技术专家队伍。学术界近来的研究成果（本章只提到了这些论文中的少数几篇）为金融工程师提供了必要的工具，他们可以对几乎任何一种相机抉择权进行定价。因此，读者可以预见这种创新浪潮将极可能持续下去并波及其他市场。不管尚未构造出的期权类似证券的结构将会怎样，可以有把握地认为，所有这些创新很可能建立在本章或本书前面章节（第二、三、四、五和九章）所提出的概念的基础上。因此，不管读者对何种类型的期权进行估价，记住本书介绍的基本原则应该足以解决问题。

【注释】

[1]沃里克大学金融期权研究中心的莱斯·克卢洛（Les Clewlow）和斯图尔特·霍奇斯（Stewart Hodges）对本章讨论的理论定价问题作出了巨大贡献，对此表示感谢。

[2]肯娜和沃斯特（Kemna，A. G，. and A. F. Vorst），《建立在平均资产价值上的一种期权定价方法》，《银行和金融月刊》，1990年3月14日，第113～124页。

[3]对伦敦美洲银行布赖恩·托马斯（Brian Thomas）提供的图样进行修正就得到了这些损益图。

[4]本例来源于纽约化学银行，摘自文章，《对不确定性的保险》，《风险杂志》，第2卷，第9期，1989 年10月，第20页。

[5]罗伯特·格斯科（Geske，Robert），《复合期权的估值》，《金融经济学月刊》，第7卷（1979年），第63～81页。

[6]感谢剑桥大学迈克尔·塞尔比（Michael J. P. Selby）博士对格斯科（Geske）模型如何应用于上限复合期权提出的建议。读者可参考关于复合期权或许更有趣的一篇论文，迈克尔·塞尔比和斯图尔特·霍奇斯著，《论复合期权的估值》，《管理科学》，第33卷，第3期，1987年3月，第347～355页。

[7]马克·鲁宾斯坦（Rubinstein，Mark），《整理二进制编码》，《风险杂志》，1991年10月，第75～83页。

[8]读者可参考《购买力基金：一种新的金融中介》，尼尔斯·哈堪森（Nils Hakansson）发表于《金融分析家月刊》，32（1976年11～12月），第49～59页。

[9]约翰·科克斯和马克·鲁宾斯坦（John C. Cox and Mark Rubinstein），《期权市场》，Prentice - Hall，1985年，第458～468页。

[10]斯图尔特·特恩布尔（Turnbull，Stuart），《价格是对的》，《风险杂志》，1992年4月，第56～57页。

[11]推断t时点St的市场价值是S·e - dt需要的惟一假设是股利收入是常数而且等于d。

[12]马克·鲁宾斯坦（Rubinstein，Mark），《现在付款，以后选择》，《风险杂志》，1991年2月，第13页。

[13]如果两边同除以S，则结果是：dS/ S =μ·dt +σ·dz，这与我前面提供的方程式相同。

[14]本部分大多摘自于《优雅的亚式期权》，Krystyna Kryzak发表于《风险杂志》，第3卷（1989年12月～1990年1月），第1期，第30～34，第49页。

[15]亚式期权提供的标的资产也有外汇、商品和股票价格指数，允许持有人对某期间的平均价格承担风险。

[16]埃德蒙·利维（Levy，Edmond），《亚式期权的算术平均》，《风险杂志》，1990年5月，第7～8页。

[17]《优雅的亚式期权》，Krystyna Kryzak IBID.，第49页。

[18]马丁·科沃德（Coward，Martin），《何时平均会好》，《风险杂志》，1998年1，42～43页。

[19]本部分大多摘自于马克·加曼（Mark Garman）发表的一篇论文《平静地回忆》，《风险杂志》，第2卷（1989年3月），第3期，第16～19页。

[20]戈德曼，索新和加特（Goldman，M. B.，H. Sosin and M. Gatto），《路径依赖期权：低价买入，高价卖出》，《金融月刊》，第34卷，第5期，第1111～1127页。

[21]见马克·加曼（Mark Garman）《平静地回忆》，《风险杂志》，第2卷（1989年3月），第3期，第16页。

[22]见马克·加曼（Mark Garman）《平静地回忆》，《风险杂志》，第2卷（1989年3月），第3期，第16页。

[23]见马克·加曼（Mark Garman）《平静地回忆》，《风险杂志》，第2卷（1989年3月），第3期，第17页。

[24]杰弗·杜威尼（Dewynne，Jeff），《偏爱变异期权》，《风险管理》，1993年3月，第38～46页。马克·加曼（Garman，Mark），《平静地回忆》，1989年3月，第6～19页。

[25]测算期权执行的最佳点，为得到更加详细的资料，读者可参考Bryan Thomas的文章《叫价为何物》，《风险杂志》，1993年5月，56～58页。

[26]罗伯特·本森（Benson，Robert），《向上、超过和敲出》，《风险杂志》，1991年1月，第17～19页。罗伯特·海伦（Heynen，Robert），《超越屏障》，《风险杂志》，1994年6月，第46～51页。麦克·赫德森（Hudson，Mike），《敲出中的价值》，《风险杂志》，1991年3月，第29～33页。埃里克·赖纳（Reiner，Eric），《打破屏障》，《风险杂志》，1991年9月，第28～35页。

[27]读者可与沃里克大学金融期权研究中心联系，向斯图尔特·霍奇斯（Stewart Hodges）教授或莱斯·克卢洛（Les Clewlow）教授询问他们有关变异期权的工作稿。在那篇优秀著作中，有整个“屏障”期权体系“屏障”分布问题的完整证明。

[28]马克·鲁宾斯坦（Rubinstein，Mark），《某处，越过彩虹》，《风险杂志》，1991年11月，第63～66页。

[29]我假设如果有人在店头市场上购买彩虹期权，这就被称为一个店头市场彩虹期权或一个朱迪花冠（Judy Garland）期权。

[30]大卫·吉纳特（Gentle，David），《篮子的编织》，《风险杂志》，1993年6月，第51～52页。帕特尔·帕瓦茨（Patel，Parvez），《保护性篮子》，《风险杂志》，1990年2月，第25～28页。

[31]参见科克斯和鲁宾斯坦（Cox and Rubenstein）的书，《期权市场》，Prentice - Hall，1985，第454～456页。

[32]埃里克·赖纳（Reiner，Eric），《数量调整机制》，《风险杂志》，1992年3月，第59～63页。法什德·詹姆什德安（Jamshidian，Farshid），“数量调整的聚集”，风险杂志，1994年3月，第71～75页。