利率期权的定价原理

2.2　利率期权的定价原理

本节讨论的是债券期权（现货期权）的定价模型。在股票期权领域，最流行的期权定价模型是布莱克—斯科尔斯期权定价模型。该模型的发明人布莱克、斯科尔斯获得了1997年诺贝尔经济学奖后，香港《信报》1997年10月17日刊载的“学以致用　大发其财”一文指出：“西方传媒对今届诺贝尔经济学奖得主的‘人与事’兴趣甚浓，之所以如此，原因不外两点。第一是与一般学说只能‘启迪思维’不同，斯科尔斯和默顿的学说深具实用价值，正确掌握便可减少投机风险、增加赚钱的机会；第二是目前股市大旺，期权市场的成交额急速增长，意味着参与期权买卖者众，期权定价理论遂有殷切的市场需求。期权是指投资者拥有在特定时期以某种价格购买某种资产（包括股票）的权利。显而易见，由于股价每分钟在变，准确的期权定价极端困难，长期以来金融学家对此束手无策，直到布莱克、斯科尔斯悟出期权的风险已从股价本身反映，股市投资者的买卖已把有关公司的业绩预期计算在内；这种突破使他们能够把股价、期权行使价、有关股票的波幅及期权期限内的利率等融入为‘期权定价公式’！……期权定价理论不但令期权市场迅速壮大，亦使其发明人大发其财。对于学术界来说，默顿和斯科尔斯诚属异数。”

1997年10月8日，英国《经济学家》周刊也载文介绍了布莱克—斯科尔斯期权定价公式的重要意义。文章指出：“默顿和斯科尔斯在1973年所做的工作是给风险定价。他们两人同已故的布莱克所做的给金融期权定价的工作把处理风险从猜测变成了科学。复杂的布莱克—斯科尔斯期权定价公式及其后来的演变已导致购股选择权和其他金融衍生产品猛增。这个公式也开辟了华尔街火箭科学家的新时代。所谓火箭科学家是指学过物理和数学的战略家，他们用计算机数字赚钱而不是凭感觉做事。”

2.2.1　价格组成部分

期权的价格由两部分组成：内在价值和时间价值。

内在价值指期权持有人在行使权证时可得到的价值。即期权的履约价格与该标的资产的现货价格的差额。

根据标的资产的价格在执行价格之上、相等或之下，可称其为价内期权、等价期权或价外期权。

时间价值反映了在期权合约有效期内，标的资产的价格变化同买方的预测相符合的概率。买方将为这种可能性支付一定的金额，即时间价值。离到期日越近，时间价值就越小，并在到期日时变成零。另外，越接近到期日，时间价值就会减少得越快。

内在价值决定于履约价格与现货价格的关系，而时间价值决定于投资者在合约到期前对市价变动的预期。

2.2.2　决定利率期权的因素

2.2.2.1　标的资产的波动率

波动率是用来衡量标的资产的价格上下波动的倾向。波动率越大，期权价格越高。其原因在于，价格波幅大的标的资产给期权持有人提供了更有利的机会，使他们对市场的预期能够在期权合约有效期内实现。所以，他们也愿意为该类期权支付更高的价格。同样地，由于风险的提高，期权出售者也要求更高的回报。

2.2.2.2　期权合约的剩余期限

期权合约的剩余时间越长，则在该期限内，买方对标的资产的价格预期被实现的机会就越大。相反，期限越长，期权卖方的风险就越大，他们就会对卖出的期权索取更高的价格。如果其他情况不变，离到期日越近，时间价值就越低，因而期权价格也越低。到期日当天的时间价值为零。所以，时间因素对期权买方不利，但对期权卖方则有利。

2.2.2.3　布莱克—斯科尔斯（Black－Scholes）（1973）欧式看涨期权定价公式

布莱克—斯科尔斯（Black－Scholes）（1973）欧式看涨期权定价公式是目前世界上最普遍使用的期权定价公式^[1]。它最初主要用于股票期权上，现在也用于其他的期权包括利率期权。该公式的前提是：（1）期权是只能在到期时行使的欧式期权；（2）利率和有关金融工具的价格波动幅度是常数；（3）价格变化按自然对数正态分布，在短期内只会发生很小的变化。其具体表述如下①：

式中，S为即期价格，E为协定价格，C（E）为期权在规定价格的情况下的期权价格，e为自然对数的底2.718 28；t为到期日以前的剩余时间，以年为单位表示；r为无风险的市场年利率，用小数表示；ln为自然对数，为即期价格的波动幅度；N（d）为对于给定自变量d，服从平均值为0标准差为1的标准正态分布N（0，1）的概率，其数值可从正态分布表中查得。

例如，假定某欧式看涨期权的资产现价S为42美元，协定价格E为40美元，价格波动幅度为每年20%，市场无风险利率r为每年10%，有效期限t为6个月即0.5年，该期权价格的计算方法如下：

第一步，代入各项数据，求出自变量d₁和d₂的值。即：

第二步，通过查正态分布数值表，求出N（d₁）和N（d₂），分别为：

N（d₁）＝N（0.769 3）＝0.779 1

N（d₂）＝N（0.627 8）＝0.734 9

第三步，将上述数据代入公式（1），求得期权价格为：

即购买该看涨期权的价格为每一资产应支付4.76美元的期权金。

需要说明的是，该公式只能用于计算欧式看涨期权的价格。对于欧式看跌期权的价格，可利用看涨期权与看跌期权之间的平价关系近似地求得。其计算公式为：

P（E）＝Ee^－rt N（－d₂）－SN（－d₁）　　　　　（4）

2.2.2.4　外汇期权的定价公式

1983年Garman和Kohlhagen对Black－Scholes的期权定价公式提出了修正，创造了适用于外汇期权的第二种定价公式。该模式进一步考虑了本国货币和外国货币不同的利率水平，使计算结果更加精确。修正后的公式如下：

式中，D为本国货币利率，F为外国货币利率，其他符号的意义不变。

上述公式计算的是看涨期权价格，看跌期权的价格可在计算出看涨期权的价格后，利用债券市场看跌期权、看涨期权和远期汇率的平价理论公式（Put－Call Forward Exchange Parity Theory，PCFEPT）用代入法求出。该平价理论用下列公式表示：

式中，F为与期权到期时间相同的远期汇率；C（E）为看涨期权的价格；P（E）为看跌期权的价格；E为协定价格；R为利率；t为到期时间，以年表示。

如果已知看涨期权的价格，运用该式可以很容易地求出看跌期权的价格。

尽管Black－Sholes模型在整个行业中被广泛用于期权合约的定价，它仍然存在着一定的局限性。布莱克—斯科尔斯期权定价模型的第二个假设是在期权期满日前短期利率不变。然而利率期权的价格将随着利率的变化而改变，短期利率的变化将沿着收益率曲线改变收益率。因此，短期利率不变的假定对于利率期权来说是不成立的。第三个假设是在期权期满日前价格变化是固定的，当债券接近到期满日时，其价格波动率降低了，因而期满日前价格变化固定的假定也是不正确的。

2.2.2.5　债券期货期权的估价模型—费舍尔·布莱克模型

对债券期货期权的估价最常用的模型是费舍尔·布莱克建立的^[2]，这一模型是针对远期合同的欧式期权进行估价建立的。基于布莱克模型的买入和卖出期权的价值分别是：

C＝e^－rt［FN（d₁）－XN（d₂）］

P＝e^－rt［XN（－d₂）－FN（－d₁）］

其中：

在此ln为自然对数，C＝买入期权价格；S＝现行股票价格；X＝执行价格；r＝短期无风险利率；e＝2.718；t＝距离期满日的时间（以一年的一部分计量）；s＝股票价格的标准差；N（·）＝累积可能密集度（N（·）值可从统计学课本中查表获得）。

这一模型也存在两个问题：首先，它不能避免前面所介绍的布莱克模型的问题，不能确定收益率曲线意味着国债期货定价与国债期权定价之间缺乏内在的一致性。其次，布莱克模型是用以对远期合同的欧式期权进行定价的，而国债期货期权则是美式期权。

布莱克模型已经由巴隆—阿德西和威利（Baron－Adesi and Whaley）进行了拓展，以运用于期货合同的美式期权，芝加哥期货交易所使用这一模型计算浮动利率的国债期货期权。尽管有其局限性，但布莱克模型仍是对国债期货期权定价的最常用模型。

在场外交易中，金融机构流行的利率期权定价方式是利率上限、利率下限、利率双限。利率上限、利率下限、利率双限是期权交易技巧在利率中的运用。

2.2.2.6　利率上限、利率下限、利率双限

（1）利率上限（Interest Rate Cap）

利率上限是一个利率买入期权合约的系列，被设计成对多重利息支付的贷款成本进行限制的一类工具。具体而言，利率上限是客户与银行达成一项协议，双方确定一个利率上限水平，在此基础上，利率上限的卖方向买方承诺：在规定的期限内，如果市场参考利率高于协定的利率上限，则卖方向买方支付市场利率高于协定利率上限的差额部分；如果市场利率低于或等于协定的利率上限，卖方无任何支付义务，同时，买方由于获得了上述权利，必须向卖方支付一定数额的期权手续费。

图2-1　LIBOR与利率上限

利率上限的应用

图2-1说明了一个利率上限的运作过程。利率上限确保在任何给定时刻所支付的利率是市场当前利率与上限利率的较小者。假如一个本金为1 000万美元的贷款，利率每3个月按3个月期LIBOR利率重新设定一次，而一家金融机构提供了一项年利10%的利率上限（由于是每季度支付一次利息，这个利率上限也是按季度计复利来表示的）。

为了履行利率上限协议规定的义务，该金融机构在每个季度末必须向那个借款人支付（以百万美元为单位）：

0.25×10×max（R－0.1，0）

其中R是每季度开始时的3个月期的LIBOR利率（按季度计复利来表示的）。例如，当每个季度开始时3个月LIBOR利率是年利率11%时，金融机构在季度末必须支付：

0.25×10 000 000×0.01＝25 000美元

当LIBOR年利率为9%时，金融机构不必做任何支付。

表达式max（R－0.1，0）是基于R的看涨期权所得的收益，因此可把利率上限看成是一个基于R的看涨期权的组合，其收益是在期权发生3个月才获得。

一般而言，若利率上限为RX，本金为L，重新设定的利率的日期是从利率上限生效时刻开始后的t，2t，…，nt时刻，则利率上限的出售方在（k＋1）t时刻需支付的金额为：

tLmax（RK－RX，0）　　　　　　　　　　　（5）

其中RK是Ktr时刻被限定的利率的价值。这是一个在K_t时刻观察到的基于利率的看涨期权，而其收益在（k＋1）t时刻出现。通常是这样构造利率上限，以使得t时刻没有任何基于零时刻利率的收益。因此在t，2t，…，nt时刻，利率上限都具有潜在的损益。

（2）利率下限（Interest Rate Floor）

利率下限是利率卖出合约的系列，它通常是被设计用来保护多重利息支付下的贷款收益。具体而言，利率下限是指客户与银行达成一个协议，双方规定一个利率下限，卖方向买方承诺：在规定的有效期内，如果市场参考利率低于协定的利率下限，则卖方向买方支付市场参考利率低于协定的利率下限的差额部分，若市场参考利率大于或等于协定的利率下限，则卖方没有任何支付义务。作为补偿，卖方向买方收取一定数额的手续费。

（3）利率双限（Interest Rate Collar）

所谓利率双限，是指将利率上限和利率下限两种金融工具结合使用。具体地说，购买一个利率双限，是指在买进一个利率上限的同时，卖出一个利率下限，以收入的手续费来部分抵消需要支出的手续费，从而达到既防范利率风险又降低费用成本的目的。而卖出一个利率双限，则是指在卖出一个利率上限的同时，买入一个利率下限。

（4）利率上限和利率下限的估值

正如公式（5）式中所示，对应于K_t时刻所观察利率的利率上限，期权给出了在（k＋1）t时刻的收益：

tLmax（RK－RX，0）

其中

F_kt为在Kt与（k＋1）t时刻之间那个期间的远期利率。

根据布莱克—斯科尔斯（Black－Scholes）模型给出了这个利率下限期权估值表达式：

图2-2　波动率的弓状隆起

在这个方程式中，r^＊是到期日为（k＋1）t的按连续复息计息的零收益率曲线利率。RX和FX都是按t的频率计复利来表示的。每个利率上限都可使用上述估值公式（6）进行估值，由于对利率上限的波动率计算方法不同，对利率上限估值结果也有所不同（图2-2）。通常有两种测算方法：一种方法是远期的远期波动率（forward forward volatility）：对每个利率期权使用不同的波动率。另一种方法是单一波动率（flat volatility）：对所有的组成特定利率上限的利率上限都使用同一波动率。