统计与概率在小学数学教学中的实践和思考

专题三　统计与概率在小学数学教学中的实践和思考

随着小学数学课程的不断改革与发展，统计与概率知识在小学数学中越来越显示了它的重要地位。《全日制义务教育数学课程标准》（以下简称《数学课程标准》）把教学内容分为四个领域，其中一个重要的领域就是统计与概率，而且从第一学段起就安排了有关内容。如何使学生在形成和解决现实世界问题的过程中，发展数据分析观念、用统计的方法解释数据、表达及交流信息的能力，以及用多种方式来收集、整理和展示他们的思考的能力？通过“统计与概率”的学习，可以使学生熟悉统计与概率的基本思想方法，以随机的观点来理解现实社会。

一、统计与概率教学的内容设置、内容特点及教学理念

1.统计与概率的内容设置

“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们做出合理的推断和预测。

在《数学课程标准（2011年版）》中，统计与概率的内容分两个学段，其主要内容是：

第一学段：简单的数据收集、整理和描述，对数据进行简单分析；第二学段：简单的数据统计，体会随机现象。

2.统计与概率教学的内容特点

（1）将统计与概率思想作为数学课程的主线之一。

由于统计与概率这部分内容具有重要的教育价值，现代社会中每一个合格公民应具备的收集数据、整理数据、分析数据的能力，需要从小进行培养。同时，不确定性对学生来说是一种全新的思想，如果缺乏对不确定现象的丰富体验，学生往往较难建立这一思想。为此，小学阶段将统计与概率的思想作为课程的主线之一，从一年级起，安排了统计的内容，让学生逐步体验统计的过程；从四年级起，安排了可能性的内容，让学生逐步认识不确定现象。

（2）强调统计与概率的过程性目标。

根据《数学课程标准（2011年版）》的要求，统计课程的核心目标是培养学生的数据分析观念（统计观念）。数据分析观念中的内涵第一就是要有数据意识；第二是体会到数据是蕴涵信息的，也就是经历数据分析的过程；第三就是掌握数据分析的基本方法，根据问题的背景选择合适的方法；第四是通过数据分析，感受数据的随机性。学生要形成统计观念，最有效的方法是让他们真正投入到统计的全过程中去，发现并提出问题，运用适当的方法收集和整理数据，运用合适的统计图表、统计量等来展示数据，分析数据做出决策，对自己的结果进行交流、评价与改进。而观念和意识不同于一般的数学知识，必须通过学习者的亲身体验和感受，才能形成。为此，今天的小学统计与概率课程内容强化统计学习的过程性，主张小学生应对统计数据有较为全面、客观的认识，既要能从各种渠道获取尽可能多的有用信息，又要能保持理智的心态，对数据的来源、方法和呈现方式，以及由此得到的结论等进行合理的质疑。

对随机现象的理解，必须在实验的过程中进行。要理解概率的意义，体会概率与频率的关系。

（3）强调对统计图表特征和统计量意义的理解，体会数据的随机性。

学生对统计的学习需要经历较长的时间。其借助日常生活中各种各样的例子开始学习统计知识，在经历收集、整理、描述简单的数据过程中学习统计的概念；别人收集的间接信息，或在课本上呈现的已有数据，只有与学生的日常生活和亲身感受相联系，才能使他们主动对数据进行分析和解释，进而对数据信息进行理解、推理和判断，才能做出合理的推断和决策。

（4）注重统计概率和其他内容的联系。

统计与概率的内容和其他数学领域的内容有着紧密的联系，它为学生提供了将各个领域的内容联系起来的机会。其实统计与概率内容的学习，常需应用代数与几何知识。如运用比、分数、百分数、度量、坐标、图像、代数式的运算等等。反过来，统计和概率为其他知识的学习提供了活动背景和手段，为培养学生综合运用知识来解决问题提供机会。

3.统计与概率的教学理念

“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们作出合理的推断和预测。

在实际教学中，教师应该着眼于生活中问题的探索，教学活动要充分体现现实性、过程性、情境性和实践性的原则。从学生的生活实际出发，在一个个具体情境的活动中去体验，去认识，去建构。因此，不能将这部分知识的学习，单纯当做统计量的计算、统计图表的制作以及概念识记等活动来组织。让学生有意识地经历简单的数据统计过程，根据数据作出简单的判断与预测，并进行交流。注重对不确定性和可能性的直观感受，并能在活动的体验中体验事件发生的等可能性和游戏规则的公平性。

二、统计与概率教学的具体目标

1.第一学段（1～3年级）的主要具体目标

（1）经历简单的收集、整理和分析的过程，了解简单的数学处理方法。

（2）能对调查过程中获得的简单数据进行归类，体验数据中蕴涵的信息。

（3）会独立思考问题，表达自己的想法。体验与他人合作交流解决问题的过程。

（4）能参与数学活动，感受数学活动中的成功及数学与生活的联系。

（5）能倾听别人的意见，尝试对别人的想法提出建议。

2.第二学段（4～6年级）的主要具体目标

（1）经历简单的收集、整理和分析的过程，掌握一些简单的数据处理技能，体验随机事件和事件发生的等可能性。

（2）能借助计算器解决简单的应用问题。

（3）进一步认识到数据中蕴涵着信息，发展数据分析观念；通过实例感受简单的随机现象。

（4）会独立思考，体会一些数学的基本思想。能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。

（5）主动参与数学学习活动，相信自己能够学好数学。

三、统计与概率教学的策略及方法

针对具体的教学目标，教学中，我们要根据学生的已有知识经验和生活实际，做到有的放矢、放低起点、螺旋上升、逐步提高。小学生建立数据分析观念和随机思想要有一个过程，不可能在短时间内形成。《数学课程标准（2011年版）》把统计与概率的内容安排在两个学段，分散在小学六年中，随着学生数学知识和能力的发展而逐步加深和提高。以前的统计是算术知识的运用，强调统计图表的制作，重在技巧、知识的学习；而现在更加强调的是学生从小就养成对数据的统计意识，看懂统计图，并分析数据进行决策，重在亲历统计过程，形成数据分析观念。

1.注重引导学生参与统计活动的全过程、对事件发生概率的体验

数学学习是一个动态的过程，《数学课程标准（2011年版）》在关于课程目标的阐述中，运用了大量的“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画数学活动水平的过程动词，从而更好地体现了数学学习对学生数学思考、解决问题以及情感态度等方面的要求。许多实验及其经验分析都表明，学习的主动性、积极性直接影响着知识的学习，制约着知识学习的方向与水平。积极、主动地参与到学习过程中，有利于学生进行有意义的学习，而不是机械的学习。要使学生接受统计概率特有的观念，最有效的办法是让学生真正投入到统计思想产生和发展的活动中去。面对一个个的实际问题，教师不要急于启发学生该怎样思考、如何建立模型，而是让学生作为问题解决者，去了解问题，去观察思考，自己拿出解决问题的方案。例如，组织学生观察学校路口车流量的情况。学生要获得这些数据信息，必须到路口去收集信息；然后对收集来的各种车流量的数据进行分类整理，从中得出某一时间段内，公交车、小汽车、自行车的车流量情况。由于数据信息是学生自己收集、整理的，因此，他们对于数据的描述和分析也就有了感性的认识。

在统计与概率的教学中，学生的实践活动和从中获得的体验是教学活动的核心，教学活动要自始至终为学生提供从事实践活动的环境和机会，不断地引导学生利用已有的经验和知识，亲自操作，从中获得经验和结论。

首先让学生在具体的实验活动和问题情境中学习，生活中的不确定现象从表面看无规律可循，出现哪一种结果事前无法预料。然而在大量的重复实验中，实验的每一个结果都会呈现出其频率的稳定性。对这方面的认识，只有在具体的实验活动中，学生才能理解和体会。例如：掷钱币的游戏。若只掷一两次，那么正面朝上或反面朝上的概率是十分不稳定的。如果全班同学每人都掷10次，并分别记录正面朝上或反面朝上的次数，再将全班的数据进行汇总，那么，就能让学生体会到硬币正面朝上或反面朝上的可能性的规律。

其次，在生动活泼和富有个性的活动中学习。统计与概率这一领域的内容对学生来说是充满趣味和吸引力的。动手实践与呈现数据是一个活泼性很强且充满挑战和乐趣的过程。在这一过程中，有助于激发学生学习的主动性和积极性。

成功案例：“游戏公平”

老师将全班同学分为淘气组和笑笑组。

A.老师谈话导入：“在淘气组和笑笑组一起跳绳时，你们是怎样决定谁先跳的？”引导学生发现用“石头、剪刀、布”的方法来认识可能性，即规则的公平性。

B.除了这种方法外，你们还有别的方法决定谁先跳吗？

老师从学生中最常用的游戏规则（石头、剪刀、布）入手，提出问题：规则是否公平？让学生在习以为常的方法中探索数学奥秘，激发学生的学习兴趣和热情，拉近数学与生活的距离，让学生走进生活。在分析问题时，以一个对双方不公平的规则为突破口，理论联系实际，探索出什么样的规则比较公平，让学生在动手操作和理论分析中感悟等可能性，同时培养学生严谨的科学态度。在修改规则中发现学生的创造性思维，拓宽学生的思路。学生有了从感性到理性、从试验到理论过程的体验之后，对于游戏规则的等可能性已有了一个较清晰的认识。同时，学生们能够在活动中感受到别人的思维方法和思维过程，达到全面发展的目的。

2.注重数学思想和方法的渗透

《数学课程标准（2011年版）》实施建议：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。”数学教育心理学告诉我们：具体数学知识的学习容易遗忘，而数学思想方法的学习则不容易遗忘，学生一旦形成了数学精神、数学观念，那将是终生受益的。当然，教学中要渗透数学思想方法，就要合理地创设情境，引导学生自主探索，以实践活动为载体。如数据统计是对日常生活中大量的信息进行整理分析的过程，学习这些方法离不开实践活动。拿概率的教学来讲，如何让学生体会可能、一定、不可能现象的存在，如果专门依靠教材图片的启示、事件的描述等方式去呈现，学生就难以获得真实的体验。因此，教师必须要通过一系列的活动，让学生在活动中发现问题，通过探索找到解决问题的方法，最终得出结论。如人教版小学数学三年级上册的《可能性》，很多老师在上此课时都采用了让学生多次亲历摸球的游戏，体会事件发生的可能性。这样，学生对生活中存在的不确定现象就有一个初步认识。

3.注重学生已有的生活经验

课程标准对小学数学内容强调“重视学生已有的经验”，同时还提出“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”。教学中，要密切联系学生的生活实际，选择发生在学生身边的生动有趣的活动，唤起学生学习的欲望，充分调动他们对数学的情感，进一步激发学生学习数学的积极性，从而使他们感受到生活中处处有数学，增强学习数学的自信心。例如，组织学生收集本班男女同学的身高情况。学生要获得这些数据信息，必须要去调查每一个同学的身高是多少，然后对收集来的各种身高的数据进行分类整理，从中得出某高度内的男女生身高情况。此外，还可以安排一些实践活动、社会调查等，使学生亲自经历解决实际问题的过程。由于数据信息是学生自己收集、整理的，因此，他们对于数据的描述和分析也就有了感性的认识，其中少不了一些程式的步骤，没有必要要求学生把它们逐字逐句地背出来，重要的是让他们理解这些步骤的意义，并会根据不同的问题灵活地运用这些步骤，留给学生一定的创造余地。

4.注重学生的自主探索和合作交流

动手实践、自主探索、合作交流是学生学习统计与概率知识的重要方式。教学中要创设一种气氛，使学生能够通过积极、主动的思考和探索，形成自己的结论，并与同伴交流整理信息。在自主探索的过程中，学生可能会提出多种方法来解决问题，如在统计活动中选择不同的调查对象、选择不同的收集数据的方法、用不同的统计图表和统计量来描绘数据等，我们要充分鼓励学生的这种有个性的行为，以促进他们的发展。学生之间还会存在一定的差异，要承认这种差异，在保证基本要求的前提下允许差异的存在，并尽量发掘每一个学生的潜在能力，使学生在合作交流中互相促进。

四、教学中应注意的问题

要落实《数学课程标准（2011年版》中的理念，达到课标中的目标，需要我们教师认真地实施统计与概率的教学。在这个内容的教学中，我们认为要注意以下几个问题。

1.统计与概率教学的重要目标是建立随机思想，突出数据分析观念的培养

统计与概率教学的重要目标是：让学生通过统计与概率知识的学习，建立随机思想，培养数据分析观念。通过教学使小学生的思想观念由“确定性教学”进入到“随机性教学”。以前小学数学中的统计与概率的教学，常常局限在算术的计算上，如平均数问题，一般教材会给出一些数据，让学生去计算这些数据的平均数，学生缺少采集数据的过程。那么，在认识上学生思维就受阻于“确定性教学”的领域，没有突出随机思想和统计观念。而作为一个现代的公民，应该具有随机的思想，知道现实世界中有许多现象带有随机性，而冒昧地采集数据，势必会影响数据的可靠性、统计的准确性，从而进一步影响决策的合理性。要让小学生自己在一个实际的随机环境中，亲自经历研究具有随机性问题的过程。

数据分析观念主要表现在什么地方呢？能从数据分析的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、分析数据的过程做出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。可见，要培养学生的统计观念，就应该让学生置身于一个环境，在这个情境中包含有数学问题，解决这个问题可以用统计的方法，让学生自己去收集、处理和描述数据，最终解决问题。在这样一个活动过程中，培养学生良好的统计观念。

2.统计与概率教学内容的选取应注重生活实际，突出联系身边事例

在明确统计与概率教学目标的前提下，统计与概率教学内容的选取就应注重生活实际，联系身边事例。如一位老师让五、六年级的学生去解决这样一个问题。一个公司在招聘广告上写着：本公司平均月薪2000元。李杨觉得工资待遇可以，就去应聘，结果被这个公司录用了。但李杨工作一个月后，老板只给他发600元钱的工资，你认为这样做是否合理？为什么？有的学生认为，这个公司的广告是不对的，是骗人的。也有的学生认为这个广告是对的，因为广告中只说平均月薪2000元，而没说每月都发2000元。可能这个月是1000元，下个月可能就是3000元，这样平均就是2000元了。还有的学生认为这件事情完全可能是合理的，因为一个公司的人员，由于分工的不同，每人从事的工作也不同。公司的董事长、总经理他们月薪很高，远远超过2000元，这样公司中就一定有人每月的工资要远远低于2000元。在解决这个问题时，学生们产生了浓厚的兴趣，引发了学生激烈的争论，在这个过程中，同学们进一步体会到了统计量“平均数”的含义，同时，在学生相互讨论、争论的过程中，又发展了学生的思维和交流的能力。

这部分的教学还应着重于对现实问题的探索，使学生认识到统计与概率的广泛应用以及对制定决策的重要作用。应当根据学生的特点提供丰富的、反映统计与概率思想方法的探索素材，可以从教材、报纸杂志、参考资料等许多方面寻找素材，也可以自己设计统计活动或从学生的实践中引出统计活动。同时要结合现实题材，重视对学生进行思想道德品质教育。如：如何让学生统计每个同学家里每天塑料袋的丢弃个数，去推断一个城市每天塑料袋的丢弃产生的污染，进行环保教育；通过人口增长的统计，进行人口教育等等。

3.统计与概率教学活动应重视探索研究，突出主动参与

从《数学课程标准（2011年版》的具体目标中，我们已经知道，过程性目标在统计与概率教学中十分突出。统计与概率教学的过程应该是学生比较系统地收集、整理和描述数据，制作、阅读和解释表格、图表和曲线，根据数据分析作出推理和有根据的说明，体会统计在决策中的重要作用。因此，研究和探索的精神应该充满整个教学。同时还要重视学生自己提出问题，设计和实施解决问题的方案，让学生主动投入整个统计活动。首先让学生会读统计图表。读统计图表就是要根据已经绘制的图表了解信息，作出合理的判断。对一些开放性的问题，让学生独立思考、合作交流，有利于培养学生的创新意识。其次是让学生在课堂中研究统计课题。在课堂教学中，教师应该让学生经历统计课题的研究过程。传统的统计教学，往往把根据已知数据解决提出的问题作为统计学习的重点，却不知道运用什么样的方法去搜集所需要的数据，不会主动地运用统计的方法去解决身边出现的问题。其主要原因是，他们只经历了统计过程中的一部分，而且这个部分不需要太多的主动性和独立性，只是根据提供的素材机械地解决问题而已，这种“掐头去尾”的学习方式，是一种盲目的被动学习，根本没有涉及统计的实质。为什么要进行统计，统计要做哪些事情，统计的结果是什么，这个结果有什么意义，只有经过了统计的全过程，才能真正体会到统计的意义和价值，感受到统计与生活的密切联系，才能真正学会一种解决问题的技能。如：班级要选数学课代表了，该选谁呢？老师指定了一个同学，大家都说不公平，怎么办呢？有的说：×××不错，我选他；有的说：×××学习好，我选他。大家的想法各不相同，究竟该选谁呢？怎么也定不下来。为了做到公平，在大家左右为难时，老师提出了一个问题，能否用举手、投票、画圆圈等方式呢？最后经过讨论大家选择了举手的方法，大家将认为不错的同学名字写到黑板上，然后同意哪个同学就举手。再请一同学来数人数并记录下来。

举手结束了，到底选谁？老师请同学们根据记录的结果进行判断，并说出自己的理由，最后根据大家讨论的结果，确定了班级数学课代表。正是在这种积极的情感体验中，学生学会了用统计去解决生活问题，知道了统计知识的重要性。因此，设计一些“微型”的统计课题，以便在规定的时间内，让学生经历这种研究过程，同时产生新的、与随机有关的学习需求。最后是让学生走出课堂，从事调查研究。学生走出课堂，就是让学生在现实环境中去从事调查研究，从事统计工作。这样的调查研究是让学生建立随机思想、培养统计观念的重要途径。我们知道，一个现实的环境常常比课堂要复杂得多，学生在一个真实的现实环境中从事调查研究，他们就要像统计学家那样工作，就需要考虑在课堂中不需要考虑的问题，通过这样一个过程，能使学生增加经历和体验，有利于培养他们的实践能力。走出课堂可以是校园内，也可以是校园外。

如：学生对学校提供的中餐是否满意，它们还存在哪些问题？应该如何改进？面对这个问题，学生就需要设计调查的方案，需要在校园内展开统计，收集数据、写出调查报告。也可以是这些问题：由空气质量想到的环保问题，家庭用水量的节约问题。

因此，在统计教学中，我们要借日常生活中的例子，让学生经历简单的数据统计过程。

4.统计与概率教学活动应重视教学的度，突出层次性

通过近十年的课改实验，老师们有一个疑问：统计与概率内容的教学由原来的四年级提前到现在的一年级，低年级的孩子知识储备有限，学习统计是不是难度太大？一、二年级所进行的统计活动好像很相似，到底有什么区别？

其实这里很多问题都牵涉到学习的度的问题，低年级学生和高年级学生学统计，肯定有很多不同，关键是看怎样把握度。如：一位老师讲二年级下册《统计》的内容，本来教材只要求学生在认识以一当二统计图的基础上认识以一当五的统计图，但这位老师却让学生在写作业时画条形统计图，结果学生到下课都还没有画出图来，对本节课内容根本就没有掌握，大部分学生不知所以然。因此，教师在教学的时候，应该仔细分析课程标准和教材，深入了解学生认识的现状，把握不同时期、不同阶段对统计与概率教学的不同要求，根据教学目标的需要，不随意拔高教学目标或降低教学目标，在教学的时候一定要把握合适的度。

5.注意现代信息技术的结合

课程标准要求运用计算器或计算机来处理较为复杂的数据，以使学生有更多的精力学习统计与概率的思想方法。在建立、记录和研究信息方面，计算机是一个良好的工具，可以使学生有充足的时间来探究统计的实质。