更新数学分析教学内容的初步实践与思考

更新数学分析教学内容的初步实践与思考

黄　骏

（东南大学应用数学系，江苏南京，210096）

微积分发展至今已有三百多年的历史，经过几个世纪的数学巨匠的精雕细琢、千锤百炼，已经形成了一个完整的巨大知识宝库和严密的逻辑体系。随着科学技术的发展和时代的进步，现在国内出版的大多数数学分析教材的某些内容显得有些陈旧，不能适应新世纪的高素质人才培养的要求。教材内容的陈旧主要表现在以下几个方面：

1．使用的符号和叙述的语言不仅与现代数学所使用的符号、语言有较大差距，而且与现代工程技术研究中使用的数学语言及符号也有一定差距。

2．重一元微积分轻多元微积分。通常只是把多元微积分作为一元微积分的简单推广，内容处理上显得粗糙和简单。

3．教材内容过于追求系统的完整性，形成自我封闭，与其他分支的内容（尤其是线性代数）联系较少。对于在微积分基础上生长起来的一些十分热门的新分支，则是更少提及。

4．过多地注重计算技巧，忽略数学思想的介绍，很少展现现代计算机技术的发展对传统数学分析教学内容的冲击和挑战。

近几年来，全国许多高校在数学分析教材革新方面作了大量的工作，出版了不少改革型的教材。从1994年至今，在系、室领导和许多老教师的支持和帮助下，我在高等数学少学时改革试点班、强化班及应用数学专业班先后进行了关于教学内容改革的试点，编写并试用了两本补充讲义。所做的工作归纳起来主要有如下几点：

1．用较为现代的符号和语言叙述数学分析中的经典内容，力求通过本课程的学习使学生正确理解构成本门学科基础的及出现在一些科学技术文献中的数学概念，学会用这些符号和语言描述现象与表达思想。如过去在处理数列极限和函数极限时，分别采用“ε－N”和“ε－δ”说法，特别在处理函数极限的二十四种可能情形时，传统的处理方式是讲述四至五种，其余留给学生作为练习。学生面对各种不同情形下的极限定义，往往很难掌握它们的共同点，难以理解被眼花缭乱的表象所掩盖的极限的实质内容。现在处理这部分内容时，在给出多种类型下极限定义的“ε－N”或“ε－δ”说法的同时，采用邻域及集合间的包含关系予以说明。这种做法初看起来，既增加了课时又使教学内容更具抽象性。但通过教学实践证明，由于邻域及集合间包含关系的说明是与“ε－N”或“ε－δ”说法同时出现的，具体生动的几何直观，反而会起到帮助学生理解极限概念的作用。由于使用了邻域的语言，最终使得数列极限和各种情形下的函数极限有了一个统一的表述，这不仅使得极限性质及极限存在性准则等内容的表述更加简洁、清晰，而且使得多元映射的极限概念的引入更显自然，更易于为学生所接受，因而从整体上看并没有增加课时。所以在极限定义中引入并坚持使用邻域的语言，实质是导入一种思想，把各种相关的对象用一根线贯穿起来，使教学内容增添了提纲挈领式的整体美感。学生通过学习现代的极限语言，更深刻地理解了有限与无限，近似与精确的辩证关系，对极限概念不只是停留在形式上的掌握，而进入实质的理解。

2．强调局部近似思想，强化微分的概念，注重一元微分学与多元微分学的和谐统一，力求使学生通过学习理解微分的实质，掌握应用数学处理问题的基本方法之一——近似方法。现在出版的大多数分析教材重导数、轻微分，重一元、轻多元，重导数计算，轻微分概念。我们在微分学的教学中，采用先微分后导数的顺序，着重强调函数在某点的微分是函数增量关于自变量增量在局部范围内的最佳线性近似，并将微分理解为自变量增量的齐次线性映射。关于多元映射的微分，则使用向量、矩阵作为实现最佳线性近似的工具，使学生更易于理解无论是一元函数的微分还是多元映射的微分，其实质是一致的。还利用映射的复合（实现形式是矩阵乘法）非常清晰、简洁地解决了令许多学生头痛的复合映射的微分运算问题。这种将一元与多元紧密结合，用统一方式处理的办法使学生在学习多元部分的内容时，加深了对一元部分内容乃至于整个内容的理解，微分的实质性内容得到了必要的重复和螺旋式的提升，可以使学生将来不再惧怕用微积分方法处理高维问题。通过引入高阶近似导出一元和多元映射的Taylor公式，利用局部近似概念这根主线将微分学的核心内容串联起来，使学生理解微分不仅仅可用于近似计算，更主要的是微分的局部线性化思想及推广而来的局部高阶近似的思想是今后研究理论问题或者用数学处理许多复杂的实际问题的最基本的方法，是科研工作者应当具备的基本数学素养之一。

3．注意与线性代数的结合。通过寻找线性代数与数学分析的结合点，使学生了解两门课程之间是有联系的，从而可激发学生的学习兴趣，同时也使数学分析的某些内容的表述更加清楚，更加简洁，甚至更容易揭示实质。由于我校许多专业在大学一年级的第一学期就开设了线性代数课，学生已掌握了有关线性空间、线性变换及二次型的基础知识，这就为用线性空间、线性变换讲述多元映射的微分，及用二次型理论讲述多元函数的极值提供了可能。有了线性代数的基础后，也可以引进微分形式，统一处理第二型线、面积分及Green公式、Gauss公式和Stokes公式这三大积分公式，从而使学生对微积分学基本定理有更深刻的理解。

4．部分教学内容的处理更加简练，给学生留下较多思考的空间。教材如写得十分详尽，面面俱到，篇幅冗长，表面上看来既有利于教师备课教学，又有利于学生自学。其实不然，这种保姆式的教材没有留给学生独立思考、自由想象的余地，从而限制了学生的思维，长此以往将会养成思想懒惰的习惯。对于数学分析中内容相近，多次反复出现的有关材料，有的采取归并后统一叙述，有的只点到为止。如对于无穷限和无界函数的广义积分，在分别给出定义后，将两个定义写成统一的形式，其后的判别法则及性质全都统一叙述，不同的个性部分留给学生自己思考。对于在广义积分和无穷级数中多次出现的Abel判别法则和Dirichlet判别法则，在列出定理之后，仅给出证明所需要的工具和一个关键表达式，完整的证明留给学生补出。

以上是我们近几年来在教学内容改革方面的一些初步探索，积累了一些经验，取得了一定的实际效果。一部分原来数学基础较好，入学后又能勤奋学习的学生比较乐意接受对教材内容的这种更新方式。有的同学反映通过学习，自己的科学抽象能力，逻辑推理能力和辩证思维能力得到了提高。有的同学反映，尽管开始学习时，感到很不习惯，有一种类似于爬高坡那种很累的感觉，但后来再看现在出版的大多数数学分析教材，自然产生了一种“会当凌绝顶，一览众山小”的感觉，提高了学习数学后续课程的兴趣和信心。得益于这种改革方式。这几年来，我们所教的这些学生中已有多人获得国际、国内数学模型竞赛的一、二等奖及江苏省高等数学竞赛的一、二等奖。当然，要全面评判这种改革方式，还需要对受教育者进行长期跟踪调查，还要考虑各种因素的综合作用。同时也不否认，这种改革方式对基础较差，且习惯于被动灌输式教学方式的学生而言，是不受欢迎的。

由于各种原因，在教学内容改革方面还有一些想做而目前尚没有做到的事情。由于计算机技术的迅速发展，如求导数、求积分、级数展开等微积分中的许多基本运算，现在都可以通过计算机软件完成。这必然促使微积分教学的重心发生转移，从重计算、重解题技巧转到其他方面上去。比如转向启发学生如何发现数学的定理，训练学生严密的逻辑推理能力，向学生适度展示建立在微积分基础上的近百年来的新发现等等。其次加大教材中微积分应用的内容，在原有的物理、力学及几何应用的基础上，适当增添一些微积分在其他学科领域或工程实践、社会生活中的广泛应用的范例，如将一些数学建模的实例适当改造后引入教材，使我们的数学教学从形式到内容摆脱几十年不变的老面孔，变得生动活泼，充满时代的气息。

教学内容的改革是一项长期的、艰巨的任务，且不可能孤立地进行。它是与教学观念、教学方法及对教师和学生的考核办法紧密联系在一起的，是教学改革这个系统工程中的一个环节。因此既需要一线教师坚持不懈地探索，更需要各方面的理解和支持。对教材改革应鼓励试点、帮助指导，不断探索，认真总结，努力营造自由讨论，百家争鸣的氛围，切忌将教学和教材从一种固定模式变成另一种固定模式。这是我几年来进行教材改革试点工作的最深切的体会。

（原载于《工科数学》，2000年第12期）