初中数学列方程教与学的条理化思考

初中数学列方程教与学的条理化思考

梅志俊　齐大文

列方程解应用题的基本步骤可分为“设、列、解、检、答”五大步（见上海教育出版社六年级第二学期初中数学教材48页）。具体研究又可以分两大块：“设、列”与“解、检、答”。后者呈现的是数学的基本运算和基本书写格式，是非常典型规范的；而前者却因题目的复杂变化，对解答者的思维造成了巨大挑战，进而成为了思维训练的重要舞台。很多答题者的做题体验都是：在朦胧中看到一线灵光后，找到了一种解答方法，并且一旦找到一种解法就很难再有新的思路产生。思维的偶然性大，思维的灵活性差，思维的迁移难。如何列方程？怎样才能使列方程变得简明、灵活、有序？本文从以下几个方面进行了一些尝试性试验：

一、尝试在已有的方法中创新

1．细化“设、列”步骤，让每一步的功能明确化

把“设、列”细化成“找、设、用、列”四步。

（1）“找”在“设”之前。从题目中找到所有的已知量、未知量以及量与量之间的各种转换关系（包括：题中明确给出的关系，称为明关系；题中暗示的、符合生活常识的关系，称为暗关系；题型固有的公式，称为固有关系）。

（2）“设”是为了“用”方便、“算”简便。从“找”出的未知量中确定一个或多个未知数，即可以任意设其中的任何一个，体现“设”的灵活性，也可以以“转换有利”为原则，选择适合每个人思路的某一个未知量，体现“设”的选择性，更可以使用“傻瓜”原则，求什么就设什么，体现“设”的简洁性。思路因人而异，但讨论后最佳思路就会自动浮出水面。

（3）“用”是以各种关系为桥，让题中所有未“设”出来的未知量用“设”之元表示出来，使每一个未知量节点都能在一个纵横交错的完整思维网络中全面贯通。

（4）“列”是确定一个含有未知量的等式，等式也是题中提供的一则关系的符号化表现形式。当前三步都已完成时，用排除法，你会发现，“列”之关系会跃然纸上，列出方程已经水到渠成。

2．让已知量、未知量、转换关系条理化

本文用二维表格为范式对数据与关系进行条理化整理。列表，并非独创，而把各量之间的关系均体现在表格中，是一种新的尝试。首先就要进行分类。分类要分横、纵，通常对同质的量进行横向分类，对非同质的量进行纵向分类。具有同质关系的量通常是题中明确提出的，可以先行分类，也易分类，而非同质关系的量通常是题型固有的，可依题目类型找寻，可以辅之于后。其次是确定关系的类型，与同质的量有关的转换关系可确定为横向关系，并于二维表格最右侧排列，与非同质量有关的转换关系可确定为纵向关系，并于二维表格最下方排列，横向关系，横向转换使用，纵向关系，纵向转换使用，泾渭分明，用之不乱，条理清晰。最后是确定关系与未知量在数量上的对应关系。依题理分析，若目标是得到唯一（或一组）解，则未知量的个数与转换关系个数应该是相等的。这一点，类似于设几个未知数就应列几个方程才会有唯一（或一组）解类同。特殊的，当横向某一行或纵向某一列都是已知的，通常该行与列是可以没有转换关系的（或都说没有必要）。而哪里转换条件多，哪里就一定是思维的中转站，思维将在这里“四渡赤水”、“柳暗花明”。

3．典型题举例，说明“方法步骤与运用的灵活性”

例题1 汽车上坡时每小时前进28千米，下坡时每小时35千米，去时，下坡比上坡路的2倍还少14千米，原路返回比去时多用12分钟，求去时上、下坡路程各多少千米？（难度B＋）

分析：二维表

属性：行程问题：公式：距离＝速度×时间

分类：横向：以“去”、“回”为大分类，以“上”、“下”为小分类

纵向：以“速度”、“时间”、“距离”划分

对列表数据的说明：

（1）已知量有四个（两两相等也可以看成两个已知量）：分别是来回上下坡的速度。

（2）未知量有八个（来上与去下相等也可以看成六个）：分别是来回上下坡的时间与距离。

（3）量与量间的关系：有八个（其中后四个相同也可以看成一个）；

明关系为：（1）回比去多12分钟（4）去下比上2倍少14千米

暗关系为：（2）去上距离等于回下距离（3）来回距离相等

行程问题固有关系为：（5）（6）（7）（8）公式：距离＝速度×时间

说明1：二维表格的条理性：表中已知、未知分明，横纵关系有序。思维在表格的横纵之间跳跃，路径清晰简明。从关系数量的角度思之，题中表示距离的量，转换关系多，表示时间的量要通过距离之量中转。从未知量与关系数量上对等角度思之，当解答者因理解这不完整而没有找到足够的转换关系时，表格也可以对解答者给予提醒，使暗条件无处可藏。

问题1：从哪里开始设元（一个未知数）。

方案一：解答者因未知量多而无明确方向时，可以“求什么设什么”。

依关系：“去时下坡比上坡距离的2倍少14千米”，为简明表示未知量，可设“去时上坡”

说明2：用所设未知量去表示其他未知量时，用一次，将使用一个转换关系。上表中斜体字部分的关系均已使用过。表中还有一个关系“回比去多12分钟”没有使用，它就是为完成列方程第四步而准备的。合理地使用排除法，使列方程所需的等量关系，一目了然。

列方程得：

方案二：表中未知量多还可以以某一类时间为未知数设元。

解：设去时上坡时间为y小时，由“距离＝速度×时间”则去时上坡距离为28y千米（表中纵向关系（5））；依关系“去下比上2倍少14千米”，则去时下坡为（2×28y －14）千米（表中横向关系（4））；依关系“去上等于回下”，“来回相等”可得回时上坡（2×28y－14）千米，回时下坡28y千米（表中横向关系（2）、（3））；由“时间＝距离÷速度”得去时下坡时间为小时，回时上坡时间为小时，回时下坡时间小时（纵向关系（6）（7）（8））；利用横关系中“（1）回比去多12分钟”

填表如下：（单位省略）

可列方程：

说明3：以表中任意一个表示距离的未知量为未知数时，过程与结果与方案一类似；以表中任意一个表示时间的未知量为未知数时，过程与结果与方案二类似。这说明选择谁为未知数可以灵活掌握。它有效地解决了最初在思考设元时的选择困难。因此说：设谁都行，问题不是该设谁，而是谁最优（计算量而非思路）。由于开放的选择，思路才打开了，思维才拓展了。条理清晰，纵横明了，让思考由繁化简。

问题2：设几个元的问题？

方案三：设两个未知数。

解：设去时上坡距离为m千米，下坡距离为n千米，依关系“去上等于回下”，“来回相等”可得回时上坡n千米，回时下坡m千米（表中横向关系（2）、（3））；由“时间＝距离÷速度”得去时上坡时间为 小时，去时下坡时间为，回时上坡时间为小时（纵向关系（5）（6）（7）（8））；依横关系“回比去多12分钟”，“去下比上2倍少14千米”可得方程组（表中横向关系（1）（4））。

填表如下：（单位省略）

说明4：可以选择任意两个未知量设元，方案三因为问题问上坡和下坡的距离就直接作为未知量进行设元，那么二维表中四个横关系和四个纵关系中留取两个关系作为等量关系式进行列方程，利用其余六个关系来表示剩余未知量。

4．非典型性问题举例

非典型性问题，不存在固有公式关系，关系的形成全由人为约定，理解题意，找出转换关系是非常重要的。

例题2 读诗，回答诗中问题

巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧；

三百六十四只碗，看看用尽不差争；

三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹；

请问先生明算者，算来寺内几多僧。

二维表分析：

属性：非典型性问题：无固有公式，

分类：横向：以“饭”“羹”分类，

　　　纵向：以“人”“碗”划分，

解：设寺中人数为x人，则从表中“碗数”行及关系，可列方程：

二、教学实践中学生所面临的问题说明：学会较难

（一）书写复杂说

在应用题教学中，利用二维表能最直观地让学生看清应用题的本质，更准确迅速地解决问题。但在操作二维表的时候，学生遇到的普遍问题是认为制表中关系书写复杂，特别是较为简单的问题，有简单问题复杂化之嫌。例如六年级数学第二学期第六章第四节一元一次方程的应用课后练习“若银行一年定期储蓄的年利率是2．25%，小丽的父亲取出一年到期的本金及利息时，扣除了利息税27元，问小丽的父亲存入的本金是多少元？”这个问题中未知量和关系式都只有一个，学生能一目了然地解决问题，而不需要再制作二维表把问题复杂化。那么在实际教学中，何时使用二维表才对学生思考带来最佳的帮助呢？试验中发现，未知量到4个及4个以上时，就会出现很多同学无法正确解答甚至出现部分同学完全没有解题思路的情况，此时，二维表的制作将是条理清晰的有效途径，前文举例说明中的例题1，因为有8个未知量，绝大部分学生在分析时会出现思路混乱，最后无法正确解答，二维表格能让8个未知量与8个明、暗关系清晰地呈现出来，有助于提升学生解决应用题的能力，把数学的复杂问题简单化。

（二）分类困难说

实践表明：对学生而言，二维表格如何分类是一个难题，二维表格的关键是横、纵分类，也可理解为同质关系的量与非同质关系的量进行分类。在制表前期，主要问题就是学生没有办法迅速而准确地找出同质与非同质关系的量，举例说明“某校航空模型小组在飞机模型比赛中，第一架模型飞机比第二架模型飞机少飞行480米，已知第一架模型飞机的速度比第二架模型飞机的速度快1米／秒，两架模型飞机在空中飞行的时间分别为12分钟和16分钟，这两架模型飞机各飞行了多少距离？”题目中很明确地告诉我们其中同质的量为两架飞机，而不同质的量为时间、速度、距离。在制表前分析题目时如缺乏深层次挖掘，同质的量在题目中是较容易能够找出，非同质的量一般是隐藏在题目中，有时就不为解答者找到。尤其是解答者较有生疏的“浓度问题”中的浓度、盐重量、盐水重量的关系。分类困难从侧面看出学生没有仔细读题，没有读出题目的本质，这可以通过制表时，量与关系的等数量对比中得到提醒，促成解答者在读题时更有针对性地找到要点和关键。

（三）非典型说

这里暂时把应用题可分为典型性与非典型性两类，典型性题目例如行程问题、工程问题、浓度问题、盈亏问题等，这些类型的题目会存在一些固有的公式，公式中的非同质的量使学生在分类时还是较为容易把握。而非典型性题目让学生不管是在分类还是在找寻未知量的过程中都会遇到较大困难，比如例题2。此时在分析题目时，需要学生不但要理清关系找出横关系，更需要我们把题目分为几个层次，从中来找出纵关系。再如在六年级第二学期课本中6．1列方程的问题2“有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就会有100人没床位，那么在学校住宿的学生有多少人？”这个问题的关键就在于找出纵关系，我们可以把它分成2个层次，第一层次即为“如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍”，第二层次为“如果每间宿舍安排住3人，就会有100人没床位”，纵关系就可以分两种情况，再利用横关系中的总人数与总宿舍数就能顺利解决这个问题。二维表格的制作中关键还在于学生对于应用题的理解，对于常规典型类题目能很顺利地制作表格，对于非典型类的题目通过分层或者找出隐藏的非同质量也就能完整地分析和解决问题。

（四）量与关系不分说

当学生在制作二维表时完成分类后，大多能够较为顺利地填写完整个表格，对于大部分应用题而言，未知量和明、暗关系的寻找并不是一件非常困难的事情。但有些题目，看似容易，实则在解决时学生都感觉毫无头绪。如下例子：

例题3 商场的自动扶梯以匀速由下向上行驶，如人等速度往上走（电梯往上），数得走了12级，下走（电梯还是上）走了36级。问露在外面多少级？

这样的题目，所给的已知条件很少，但是里面存在的未知量却很多，甚至有些未知量是没有办法求出来的，有些未知量只在其中起到桥梁作用，这样势必给我们学生造成了困难，学生在分析未知量时出现偏差，简短的题目所存在的明关系又少，需要学生分析的暗关系就多，学生在解决此类问题时大部分都出现量与关系分析不清的情形。但对于此类复杂的问题，二维表格通过分类后能清晰地看到一共有多少个量，条件中有的是已知量，没有的就是未知量，这样就能很清楚地知道未知量共有多少个，在找寻暗关系时根据未知量的个数至少知道自己有没有遗漏关系，给学生在解决疑难问题时提供了一个有效而务实的方法，当完成二维表时，所有的难题都已不再困难，都能游刃有余地解决。

例题3的分析与解答

属性：行程问题，公式路程＝时间×速度。

分类：横关系：“人上行、人下行”；总关系：“速度、时间、距离”。

解：设电梯露在外面的级数为x级，人上行所用时间为t

利用关系式（1）可得方程：

额外说明：通过二维量表研究题目的难易程度（学生思考理解的难易程度），可分为：（A）设在量外；（B）求在量外；（C）等量关系出乎意料；（D）关系多已知量少；（E）隐含条件不好找等五种。然这些问题在列表面前都将一个一个浮出水面，被解答者所发现。展开进一步思考。

（五）有“量”无“关系”说

“量”是死的，关系是活的，没有了关系的量，也没有存在的价值。这一点体现了数学的转化思想，也反应了思维的灵动性。正是因为有了关系，才让二维表格真正地活了起来。

这正是：二维表格列分明，已知、未知、关系清；未知、关系数对等，纵横联络任我行。

三、成功的教学实践分析：学会之后可以得到多方面的收获

（一）可有效拓展思维空间

学生在解决应用题时有种定式，老师教一元一次方程，学生就用一个未知数，老师教二元一次方程组学生就设两个未知量，学生的“乖”凸显了学习数学的弊端，只是为了做出答案，思维空间狭小。二维表的制作是一次拓展过程，把复杂繁琐的问题通过二维表简单化明了化，重要的不再是最后的答案，而是解题过程，做题的关键不在于用什么方法做或者必须用什么思路解，二维表的不再追求用一元还是二元甚至三元，明确量与关系的配比，解题的方式方法也就可以随意选择，思考不再单一，思考空间由一道题目提升到一类题目。例题1正好说明了这一点。

（二）有利于揭示思维本质，促进思维的条理化进程

人类所面临的问题越来越复杂，而有效解决问题的方法却呈现简单化与条理化趋势。为了加快思维的进步，学习的过程不再是学习独立的知识点，而变成学然方法和策略，来包容海量的知识。方法得当就更有利于揭示本质。“跟着感觉走”或是强化训练出的“好成绩”背后，在感知觉不灵时，一切又会回到迷茫状态。其根本原因是没有得到本质性的东西，而是浮于表面。这正是能力与学历不成正比的社会现象根源之一。制作二维表的目的就在于帮助学生分析问题，揭示问题的本质，从本质出发，从已知量、未知量以及关系入手来把问题分析透彻，让思维从迷茫走向条理化，从而达到事半功倍的效果。社会化让生活越来越面对更复杂的问题，而数学任务正是让问题简单化。数学教学必须在不断地让思维在条理化的进程中越走越宽。