数学思想方法的教学

一、数学思想方法的主要教学类型

数学思想方法的教学案例尚不多见。按照是否在课堂上直接指明数学思想方法的次序，可以分为正面论述、过程展现、回顾总结和蕴涵积累等四种类型，以下分别叙述。[1]

（一）正面论述式

数学本身是一种方法。在数学课程中，有一些数学思想方法是直接作为标题出现的。例如，四则运算就是加法、减法、乘法、除法的总称。小学阶段的算术，其实就是整数、小数、分数的计算方法。因此，可以说每堂课都是进行数学方法的教学。在具体处理上，还有整数和小数的位置计数法，基于分配率的“凑十法”和“破十法”等。数学方法论在小学算术范围内已经和数学课程融为一体。

中学里也有一些内容是正面叙述数学方法的。例如，平面几何的学习就是学习数学命题的证明方法。“证法一”“证法二”等，天天在学习。中学的代数课程，就有因式分解的提公因式法，十字相乘法，配方法等，都是正面叙述方法的内容。高中课程中的数学归纳法，则是一个冠以特殊名称的数学方法。

正面叙述数学方法的教学，主要是帮助学生理解方法的含义，掌握其本质，以便用于实际问题的解决。避免单纯的记忆和套用。

（二）过程展现式

一些重大的数学概念，并没有正面冠以某某数学方法的名称，但是实际上是一种重要的数学思想方法。例如方程、函数、坐标等一些重要的基本数学概念，虽然并不以“方法”的名称出现，却必须以数学思想方法的教学来处理。

例如，小学里引入方程概念时，就必须阐述算术方法和代数方法的区别，指明两者的思维过程恰好相反。我们应该指出：算术方法好像摸石头过河一步一步摸索着接近要求的目标，而代数方法却不同，好像是将一根带钩的绳子甩过河，钩住对岸的未知数慢慢地拉过来。两者的思维方向相反，但是结果相同。

数学的思维方法，其实并非天上掉下来的，而是很朴素的思想方法，可以植根于日常生活中的人文意境。如果在课堂教学中把这层窗户纸捅破，正是将学术形态的数学还原为教育形态，让学生觉得明白易懂，平易近人。

（三）回顾梳理式

数学思想方法需要提炼。一般地说，数学内容阐述在前，数学方法提炼在后。因此，复习课是提炼数学思想方法的主要时段。对于教材而言，数学思想方法理应成为每章每单元的“小结”的主题。可是令人遗憾的是，优秀的复习课教案十分罕见。至于许多教材的“小结”，只是画一张知识点的逻辑框图就算完事，令人十分遗憾。这也从一个侧面反映出，数学思想方法教学仍然十分薄弱。

数学不等于逻辑。在回顾梳理一个单元的知识内容的时候，将数学知识提升为一种数学思想方法，需要从数学的本质着眼，以更高的观点加以审视，进行剖析、概括、深思和欣赏。

（四）蕴涵积累式

数学思想方法可以分为许多层次。有些比较具体，可以正面阐述，或者加以充分展现，通过练习使之升华。但是有些比较抽象，涵盖范围比较宽泛的数学思想方法，就必须长期领会，点点滴滴地积累，方能体会其中的奥妙。此类数学方法的教学，贵在坚持，以收滴水穿石之功。

二、数学思想方法的教学要点

数学思想方法的教学具有许多自身的特点。简单说来，就是要超越形式化；联系数学文化背景；引起学生的思想震撼。[2]

（一）数学思想方法教学，要超越冰冷的形式演绎体系

数学的学术形态，是形式化的演绎体系。这种叙述方式，好处是严谨、准确、简洁，体现出冰冷的美丽；缺点则是枯燥、抽象，缺乏火热的思考。数学教学的任务是将这种学术形态转换为学生易于接受的教育形态。

（二）数学思想方法的教学，要密切联系数学文化背景

重要的数学思想方法大多以数学文化作为载体。数学是人做出来的，数学家的思想必然会打上他所生存时代的烙印。数学文化又是整个时代文化的组成部分。因此，在进行数学思想方法教学时，必须揭示其产生的数学文化背景，才能进一步体现数学思想方法的价值。

（三）数学思想方法教学的最高境界是让学生感到思想震撼

数学思想方法的教学，伴随着人们对数学的欣赏，能够触及学习者的灵魂。学习者在体验数学之美妙的同时，能产生心灵的震撼。

三、数学思想方法教学中存在的主要问题

数学思想方法的探究在各种数学教学研究中如影随形，广大数学教师对它不能说不重视，但在具体教学过程中，在认识及教学策略上似乎还存在一些问题。[3]

（一）认识侧重点存在偏差

我们认为，数学思想方法教学存在认识上的偏差，主要是处理知识与数学思想方法的渗透过程以及数学思想方法的内在联系上。例如，有的教师认为，过程重要，知识只是思维的载体，似乎一改以往的重知识轻方法的做法，我们认为，这是走另一个极端。又如，数学思想与数学方法是怎样的关系？不少老师认为很难区分，干脆就以数学思想方法来统一称呼即可，也有的老师在解决同一个数学问题时对不同的数学思想方法的渗透主次关系上也存在认识上的问题。

1.数学思想方法与知识的关系

目前有一种说法：“知识只是思维的载体”，甚至有一种极端的说法：“知识不重要，关键在于过程。”这对以往只重视知识的教学，忽略数学思想方法的渗透的认识似乎是一种进步，但这种认识如果走向极端，可能会造成学生的学习基础不扎实现象。实际上，在数学教学过程中，有很多场合不能把知识与过程的关系一概而论的。有的场合是知识重要，而数学思想方法可以退其次；有的场合则是数学思想方法重要，而结论似乎可以不关心；很多场合则是数学思想方法与数学知识并重。

在数学教学过程中，很多的数学命题由于是经过长期研究而得到的，我们可以无须展开（实际上有时也没有必要，甚至也很难展开）其知识的来源，只要让学生感受其正确性即可。当然，有的知识我们降低教学需要，不需要展示其过程，其过程中所含的数学思想方法也就暂时回避了。有些数学知识，我们只展开其部分含重要数学思想方法的过程，而回避非本质或不重要的数学思想方法。

2.数学思想方法的内在关系

数学思想方法的内在关系处理有两个方面的意思：一是数学思想与数学方法的关系；二是很多数学问题含有多种数学思想方法，如何体现主要数学思想方法的教育价值协调问题。

第一方面，数学思想与数学方法的关系是否区分似乎并不重要，因为它们本身就联系非常密切，任何数学思想必须以数学方法得以显性体现，任何数学方法的背后都有数学思想作为支撑。但我们认为，在教学过程中我们数学教师应该有一个清醒的认识，学生掌握了好多问题的解决方法但不知道这些方法背后的数学思想的共性情况比比皆是；同样，有数学思想，但针对不同的数学问题却“爱莫能助”的情况也不少。

数学技能中有很多的方法模块，这些方法模块背后有一定层次的数学思想方法和理论依据，在解决具体问题时，可以越过使用这些模块的理论说明，直接形式化使用，我们姑且称之为原理型数学技能。数学中一些公理（如两点定线公理、平面基本性质公理等）、定理（如一元二次方程的求根公式、三垂线定理、余弦定理等）、原理（如祖暅原理、数学归纳法等），甚至在解题过程中积累起来的“经验模块”（如二次不等式的某些解法、直线与二次曲线的截弦“公式”、分式不等式的“标根法”等）等的使用，能够使数学高效解决问题。为了建立和运用这些“方法模块”，首先必须让学生经历验证或理解它们的正确性（这个过程往往也是一种技能训练，关系到学生能否正确运用这些模块解决数学问题）；其次，这些“方法模块”往往需要一定的条件和格式要求，如果学生不理解其背后的数学思想方法，很可能在运用过程中出现逻辑错误，数学归纳法就是一个很典型的例子。

第二方面，同一个数学问题或同一节课，往往涉及多个数学思想方法，哪个是主要的哪个是次要的教师应该有一个清醒的认识，不能主次不分。这里有两个方面是我们需要注意的：一是问题解决的实效性衡量标准；二是教育功能的侧重性衡量标准。

另外，数学思想方法的教育在不同时期侧重点有所不同，我们必须对每个教学环节的数学思想方法的侧重点有清醒的认识，不能主次颠倒。例如，刚开始进行数学某项技能的训练，就不能过度讲技巧等。

（二）数学策略认识尚模糊

我们现在编写教材也好，教师上课也好，基本上是采取以数学知识为主线，而数学思想方法却似乎是个影子，忽隐忽现。其中的规律也很少有人去认真思考过。我们不反对让数学思想方法“镶嵌”在数学知识和数学问题中，采取重复或螺旋形方式出现，但我们缺乏一些鉴别和认真的思考。数学思想方法教育几乎处于一种随意和无序状态恐怕有些不妥。数学思想方法的教学策略为什么会出现这样的现象？我们认为，有这么几点需要我们注意。

一是数学思想方法的相对隐蔽特性使得它的隐现与教师水平“相协调”。要从一些数学知识和数学问题中看出其背后的数学思想方法需要教师的数学修养，有的教师能够用高观点从一些看似普通的数学知识与数学问题中看出背后的数学思想方法，而有的教师却做不到这一点，当然导致数学思想方法的教学出现了差异。

二是数学思想方法教学的相对弹性化使得它的隐现与教学任务“相一致”。在中学数学教学过程中，数学知识教学属于“硬任务”，在规定时间内需要完成教学任务，而数学思想方法的教学任务则显得有弹性。如果课堂数学知识教学任务少，教师可以多挖掘一些“背后的数学思想方法”，反之则可以少讲甚至不讲。正因为数学思想方法具有这样的特性，所以可能产生两种后果。一方面，如果教师能够高瞻远瞩，充分运用数学思想方法教育弹性化特点，能够把知识教学与数学思想方法进行有效融合，融会贯通，达到良好的教学效果；另一方面，如果数学教师眼界不高，看得不远，很可能捉襟见肘，使一些重要的数学思想方法得不到有效灌输，而一些非主流的数学思想方法却得到不必要的重复关注。

三是数学知识及数学问题所蕴涵的数学思想方法的多样性使得一些数学思想方法的隐现受制于教师注意力的临时状态。绝大多数数学问题具有多种解决方案，也就是说，一个数学问题往往具有多种数学思想方法的教育功能，除了取决于教学任务外，往往还取决于教师的兴趣偏好，特别值得指出的是，还受制于教师教学注意力的临时状态。

（三）数学思想方法及渗透策略急需研究

数学思想方法有宏观和微观的，除了我们前面指的数学思想具有宏观和隐性、数学方法具有微观和显性的一层意思外，还有一层意思是，如果我们把数学思想与数学方法看成一个整体，用数学思想方法简称之，那么“大一些”的数学思想方法是由“小一些”的数学思想方法组成，或者说一些数学思想方法经过逐级抽象或适度组合形成“更高级”的数学思想方法。例如，化归思想。它就是由诸如换元法、配方法等一些“小数学思想方法”整合而成。可以这样认为，数学思想方法是由知识教学向智慧培养转移的重要手段，也是我国数学教育工作者提出的具有中国特色数学教育理论的一个尝试。目前，数学思想方法的提法已经普遍得到国内数学教育工作者的认可，并在数学教学实践中得到研究和实施。但是，很多理论和实践层面的问题似乎还不成熟，还需要广大数学教育工作者的进一步参与。

以下几个是仍需要研究的问题。

（1）数学思想方法属于整体概念还是可以看成“数学思想”+“数学方法”？这个问题一直没有达成一致的认识。

（2）中小学数学包含哪些数学思想方法？各种数学思想方法的教学“指标”是什么？能否采用硬性的指标把数学思想方法的教学要求写进课程标准中？

（3）能否把整个中小学的数学思想方法的教学进行整体规划？然后在这个规划的前提下，制定各个学年、各个学期、各个单元、各节数学课乃至各个数学知识和数学问题的数学思想方法教学目标？

（4）数学思想方法是如何形成的？需要分成几个阶段进行教学？学生形成数学思想方法的心理机制是什么？

（5）数学教学过程中以数学知识和数学技能为主线的传统做法，能否更改为以数学思想方法为主线的教学策略？

四、数学思想方法的培养的层次性简析[4]

尽管任何一种数学思想方法形成的教学要求有高低，但根据我们的观察，它们应该从低到高经历不同的层次，也可以理解为不同的阶段：隐性的操作感受阶段、孕伏的训练积累阶段、感悟的文化修养阶段。

（一）第一层次：隐性的操作感受

学生接受一些数学基础知识及技能开始时一般采取“顺应”的策略，他们也知道这些数学知识及技能背后肯定有一些“想法”。但出于对这些新的东西“不熟”，一般就会先达到“熟悉”的目的，边学习边感受。而教师一般也不采取点破的策略，只让学生自己去学习，把一些掌握知识和技能的“要领”对学生进行“点拨”，有时也借助一些“隐晦”的语言试图让一些聪明的学生能够尽快地感悟。应该说，此时的数学思想方法的感悟处于一种自由的感受直至感悟阶段，不同的学生感受各不相同。

“隐性的操作感受”主要有这样的几个特征：一是知识的反思性极强。对数学知识和技能的获得方法的反思、对数学知识的结果表征和对技能的获得的观察、多向思考尤其是逆向思维的运用等，均需要学生边学习边反思。二是处于“意会期”情形较多。这个时期的数学思想方法可谓“只可意会，不可言传”。尽管有一些可以通过语言讲述，但教师更多的是让学生去体验和感悟，给学生一个观察与反思的机会，以培养学生的“元认知”能力。三是发散度极强。对于“感悟性极强”的数学思想方法培养，应该给学生思维以更大的发散空间，而“隐性的操作感受”恰好符合这个要求。因为对人类已经发明或创设的数学知识及背后的思想方法进行重新审视和反思，往往能够提供给初学者一个创新机会，知识传授者不可以以自己已经定式的思维对学生进行直接的“引导”来限制或剥夺学生的“创造空间”，最好暂时保持“沉默”，以换来学习者更大的“爆发”。

（二）第二层次：孕伏的训练积累

尽管我们给学生一个“隐性的操作感受”，但由于学生的年龄特征及知识和能力的局限，如果没有进行必要的点拨，他们也很可能无法“感悟到”知识背后的一些数学思想方法，所以教师应该适时进行点拨。教师通过数学知识的传授或数学问题的解决，采用显性的文字或口头语言“道出”一些数学思想方法并对学生有意识训练的阶段称为“孕伏的训练积累阶段”，其中“孕伏”是指为形成“数学文化修养”打下埋伏。这个阶段教师的导向性比较明显，是将内蕴性较强的数学思想方法显性化传输的一个时期，也可能是学生有意识地去“知觉”的阶段，是学生对数学思想方法感悟和学习的重要提升阶段。

处于“孕伏的训练积累”的数学思想方法教学具有这样的几个特征：一是显性化。教师“一语道破天机”，采用抽象和精辟的语言概括出学生所学数学知识背后的数学思想方法，使学生从“初步感受阶段”中“豁然开朗”。例如，化归思想，刚处于“初步感受阶段”时，教师更多的是使用“转化”“化简”“变形”“等价”等词语来进行“微观”描述，等到学生积累一定的感性认识后，教师就可以采用“化归思想”来进行概括。就本质而言，“孕伏的训练积累阶段”是教师提高学生学习数学的“元认知能力”的“催化过程”。二是导向性。教师在这个阶段的教学行为导向性非常明显，不仅使用显性而明确的语言概括出数学活动背后蕴涵的数学思想，而且还编拟一些数学问题进行训练，以增强运用某种数学思想方法的意识。三是层次性。教师根据学生在学习的不同阶段，采用不同层次的抽象语言来概括数学思想方法，经常采用“××法”等过渡性词语来表达一些数学思想。四是积累性。人类对自己的思想方法也是一个无限发展的过程。“孕伏的训练积累阶段”就是将一些数学思想在学生面前的“曝光阶段”，很可能在学生面前“曝光”一种数学思想方法却同时在孕育着另一种更高层次的数学思想方法，低层次的数学思想方法培养的“孕伏的训练积累阶段”可能是更高层次的数学思想方法培养的“隐性的操作感受阶段”。数学思想方法在“逐级抽象”到一定的程度时，很可能会“抛弃”数学这一“载体”，与其他学科的思想方法“胜利会师”。

我们认为在概括数学思想方法的时候，应该特别强调具有“数学味”，是想体现以数学为载体在培养人的思想方法方面的特殊价值，让数学思维成为人类思维活动的一枝奇葩。

（三）第三层次：感悟的文化修养

所谓“感悟的文化修养”是指学生已经掌握了某种数学思想方法，成为他的“数学修养”中的组成部分，一旦“触景”他将“生情”，成为他的“下意识”行为。

感悟的文化修养阶段的数学思想方法具有这样的几个特征：一是优选性。处于“内化感悟”的一种思想方法能够有效地“融合”在其他数学思想方法中，一旦需要，就能够选择并发挥这种思想方法的“优势”，顺利解决某个数学问题。二是灵活性。当学生触景生情地想使用某种思想方法来解决某个问题，他往往能够很快地发现这种思想方法是否其有“优越性”，并且及时地决定是否改变方向而选用其他思想方法来解决。三是整体性。这一时期的某个思想方法，学生并非孤立地看待，而是与各种数学思想方法一起采用整体的观点来审视，发挥不同数学思想方法的有机结合作用。四是发展性。当一种数学思想方法进入“感悟的文化修养”，不是停滞不前，而是在解决问题过程中不断地进行反思和抽象，进入更高一级的数学思想方法的“隐性的操作感受阶段”。

数学思想方法形成的层次性或阶段性分析是我们的一个尝试，目的是提醒我们在培养过程中根据不同的时期，灵活选择培养手段。

首先，要准确把握好各个阶段的特征。一种数学思想方法必须经历孕育、发展、成熟的过程，不同时期的特征各不一样，教育阶段也差距甚远，如果我们不根据阶段性特征而拔苗助长，很可能会违背数学教学规律而“受到惩罚”。例如。处于“隐性的操作感受阶段”的数学思想方法的培养，教师必须有足够的耐心“等待”，为学生提供足够多的感性认识。因为一些数学思想方法是需要学生感悟的（有些还需要一定的思维能力和心理成熟条件），需要一个磨合或“发酵”的过程，没有这个过程，即使教师“道破天机”并且天天挂在嘴上也是枉然，甚至让学生产生厌烦心理，得不偿失。美国20世纪60年代的“新数运动”的教训就是一个典型的例子。当然，条件成熟后，没有进入另一个时期也是不恰当的，这样会让学生“只见树木，不见森林”，思维缺乏概括性，错失数学思想方法进一步培养的良机。例如，公理化思想、反证法思想在高中阶段如果还停留在“隐性的操作感受阶段”恐怕就不妥了，一方面学生已经经历和积累了大量的感性认识，同时他们的抽象思维已经接近成人的水平，再不进入后两个阶段，对学生的终身发展是一个缺憾，而极限的ε-δ语言的精确化描述和“逐步逼近”等思想恐怕还要让高中生停留在“隐性的操作感受阶段”了。值得指出的是，各种思想方法培养所经历的不同时期的时间往往是不一致的。我们应该了解各种思想方法的特征，从学生今后发展的宏观角度认识数学思想方法的价值，有意识、有步骤地进行渗透和培养。

其次，注意各种思想方法的有机结合。各种思想方法的有机结合有多个方面的意思。一是思想方法具有逐级抽象的过程，“低层次”的数学方法可能“掩盖”了“高层次”的数学思想。我们发现，目前的教学过程中以“法”代“想”的现象比较普遍。虽然我们可能将“微观”中的“法”作为“宏观”中的“想”在“隐性的操作感受阶段”的感性材料，但是，或许我们并没有将一些本该进一步“升华”的“法”发展和培养成“想”的意识。二是对同一个学生而言，各种思想方法培养所处“时期”可能也不一样，我们应该注意培养的侧重点，不能因为一种已经进入成熟的思想方法掩盖了尚处于前两个时期的思想方法，错失培养的良机。三是一种数学知识可能蕴涵着多种数学思想方法。一个数学问题可以采用多种思想方法中之一来解决，也可能需要多种数学思想方法的合理“组合”才能解决，我们应该引导学生进行优选和组合，使学生具有良好的学习数学和解决数学问题的综合能力。

最后，认真体验和反思数学思想方法。数学方法具有显性的一面，而数学思想往往具有隐性的一面。数学思想通过具体数学方法来折射，一些学者由于数学思想和方法的紧密联系，往往就不加区分统称为数学思想方法。我们不要以为讲授了一些问题的具体处理方法就已经体现了背后的思想，这其实存在一个认识误区。学生采用多种方法解决了一个又一个数学问题，但他们说不出背后思想的情况比比皆是。徐利治教授的RMI法则的提出离现在还不久，说明我们现在已有的所谓数学思想方法还有更多的“提炼空间”。可以这样认为，能否在千变万化的数学方法中概括出数学思想是衡量一个学生或数学教师的水平和数学修养的重要标志。我们只有提升自己的认识水平，才能高屋建瓴地有效培养学生的数学思想，因此，我们完全可以通过体验和反思目前已有的数学思想方法，使我们的观点和水平得到进一步提高。

[1] 张奠宙，于波著，《数学教育的中国道路》，上海教育出版社，2013，221～222。

[2] 张奠宙，于波著，《数学教育的中国道路》，上海教育出版社，2013，218～221。

[3] 资料来源于方均斌著，《数学课程与教学》，科学出版社，2013，110～119。并对其内容进行了精简。

[4] 资料来源于方均斌著，《数学课程与教学》，科学出版社，2013，131～136。并对其内容进行了精简。