数学命题的教学设计

第五节　数学命题的教学设计

在进行数学命题的教学设计时，教师要从以下几方面考虑：

1．引入一些重要命题的课题，往往是一些重要的课题，同时命题的引入，常常体现为课题的引入。因此，课题的有效引入，对于命题教学的成功，是很重要的。“引入”步骤实施得好，往往能引起学生的学习兴趣，集中他们的注意力使他们产生强烈的求知欲，针对具体的命题和学生的实际情况，可以在“提出问题”“陈述目标”“诱发动机”等步骤中适当地进行选择。

2．怎样使命题更易于学生理解？可以用较为浅显易懂的语言，对命题进行解释；用举例来说明命题的涵义，通过分析弄清楚命题的各个组成部分，然后对各个组成部分进行解释。如果有迹象表明，造成理解困难的主要原因来自概念不清方面，则应及时复习一些必备的知识。

3．是否要对命题的正确性进行说理？如果有必要说理，又该采取什么说理步骤？说理步骤实施与否，取决于这种步骤实施的意义。当命题的证明没有超出学生的理解能力或者其证明本身就是一种很好的学习材料时，应该把证明当作重点来讲解。如果命题的证明超出了学生现有的理解水平，为了使学生相信命题的正确性，可以采取举例证或利用权威等方法。当要否定不真的命题时，也可以列举反例。

4．是否要通过应用来强化学生对命题的理解和记忆并达到提高运用知识的能力？如果命题本身在数学理论体系中占有重要位置，涉及其他理论知识，那么就不仅仅是要求学生理解和记忆所教学的命题，而且应该提供一些需要应用这个命题的教学活动，这就要求教师能设计一些需要学生运用所学命题而又具有潜在认识价值的数学问题。

下面进一步探讨命题的发现式教学设计应注意的一些问题。

发现式策略可以区分为归纳发现策略和演绎发现策略。归纳发现就是指通过归纳途径进行的发现。在这个过程中，经常用到的是不完全归纳法。我们知道不完全归纳法，是指归纳条件所涉及的对象只是被考察对象的一部分，它通过简单枚举某几个对象都具有某种属性，而由此推及全体，作出这类对象都具有这种属性的概括性命题。所以，归纳发现一般有两步：第一步是提供一些例证，它们是用来支持将要作出的结论的；第二步是归纳推理，即从已检验的例证到未被检验的对象的推理。需要指出的是，第一步提供的例证尽管影响着归纳推理作出的结论，但是它们并不能保证归纳推理作出的结论一定正确。例如，3，5，7，11，13都是素数，从这里似乎可以作出结论：所有大于2的素数都是奇数。但是，这些例证本身是永远证明不了这个结论的。

归纳的结论，虽有一定的根据，但根据是不充足的，不足的部分是靠想象来补充和完成的。另外在归纳推理时，人们总是冒着这样的危险，即正好就在下一个待检验的例子否定了已经作出的概括结论。因此，归纳得出的概括结论只是有猜想的性质，故常称为归纳猜想，但归纳猜想有许多成功的例证。

在命题的归纳发现教学课中，有两个固有的过程，这就是抽象过程和概括过程。我们知道，抽象就是把所研究的事物的本质属性（符合考察角度的属性）抽取出来加以考察的方法。从更广泛的意义上讲，就是从某种角度去看待事物，而舍弃其他的方面。为了进行抽象，又必须首先进行分析，在这个基础上，选择其中某种本质属性，这就是抽象。例如当学生认识了由一组例证反映出的共同性质时，就表明他们作出了某种抽象。简言之，学生看到了寓于差别之中的共性时，就包含着一个抽象过程。概括，就是把若干事物共同的属性联合起来考察的方法。为了进行概括，又必须有综合，即必须把有关的属性结合起来。当学生对一些例证成立的某种结论进行推广、预言它在更广泛的范围内仍成立时，就包含着概括过程。在有些场合，学生头脑中形成的抽象可以由学生自己用语言表述为一个概括性结论。如果这个结论是对的，那么教师就会据此判断，学生已经作出了正确的发现。

然而，教师不必只凭语言表述来作出这种判断。非语言的一些迹象，如对例证作出的迅速而正确的反应或回答，也可以作为教师进行判断的依据。有一种所谓的准则性作业，学生对这种作业的完成情况，可以当作判断学生是否作出正确发现的依据。所谓准则性作业，就是这类作业的完成与待发现的某种模式（结构）有关，只有在学生认识了这种模式时，这种作业的完成才能达到迅速、正确的目的。

准则性作业往往具有足够的难度。因为，这个作业的完成当然与了解原方程的图像的特征有关。一般说来，一个还没有发现所需模式的学生，是不能迅速而正确地画出这个方程的图像的。因此，教师可以用这个准则性作业来考查学生是否已经作出了所需的发现。可以说，在归纳发现的策略中，对这样一些准则性作业的圆满完成，是人们对某个有关的概括结论获得成功发现的非语言的迹象。

为了让学生能作出所需的发现，教师应当提供足够的有一定代表性的例子供学生考虑。常见的情况是，学生喜欢从很少几个例子就得出结论。

然而这并不是说我们不应该鼓励学生大胆提出假设或猜想，恰恰相反，我们认为大胆提出假设或猜想在发现式教学中是极为重要的。我们只是想强调学生应该使用批评的眼光来检验他们的猜想，并在相信猜想的正确性之前，进行尽可能多的检验。当然，数学上建立在归纳推理基础上的任何结论，只有在经过了演绎推证之后，才能认为是可靠的。然而，数学教学过程中如果仅仅局限于演绎式的研究范围之内，那么势必对学生思维能力的培养，对提高学生分析问题、解决问题的能力，对加深学生认识数学的发展过程，都会产生很不利的影响。

另一种发现式策略叫做演绎发现策略。所谓演绎发现策略就是先向学生提供一些已知的前提条件，然后引导学生寻找出可由这些前提条件推出的蕴含物。数学是由隐含着的、具有网状式结构的、演绎论证体系组成的。所以演绎发现在数学课上有重要的位置。

演绎发现的实质是，向学生介绍某些数学概念和必要的原理，给出一些必备的前提条件。然后鼓励他们提出另一些先前不为他们所知的数学知识，演绎发现所用的方法是演绎推理的方法。值得注意的是，应该把演绎发现的教学过程同一个命题的演绎证明过程区别开来。实际上，命题的演绎证明过程是在给出命题的情况下，采用演绎证明的方式进行说理。这是一个验证命题正确性的过程。确切地说，命题的演绎证明只是命题教学中的一个说理步骤。

归纳发现和演绎发现都要求学生在学习知识的过程中是积极的。在归纳发现的过程中，学生是通过一些例子的考察，并猜测寓于差别之中的共性来积极获得新知识的。而在演绎发现的过程中，他们则是通过一些已被接受的“旧”知识，并从这些知识出发，经过演绎推理的方式，来达到积极获取新知识的目的。

无疑，在这两种发现过程中，教师的指导都是很重要的。在归纳策略中，为了有利于学生抽象出预期的规律，不仅要求教师精心挑选一些有代表性的例子，还要求教师以恰当的顺序和方式安排这些例子。为了能够把学生的注意力引向有关的因素和可能的关系上来，教师应时常采取提问题的方式，且所提的问题应有一定的启发性和引导性。同样在演绎发现的策略中，更要求教师有提问的技巧，使得所提问题能把学生的思维引向有利于演绎出所需结论的方向。

在制定和实施发现式教学策略时，应该遵循以下要求：

1．不要偏离要发现的目标，在发现式教学中，教师应该紧紧盯住发现的目标，有计划有步骤地加以指导。教师除了在例子的选择和被提问的人员安排方面多加考虑外，还应事先估计一下学生可能会有一些怎样的猜想，以应付一些难以预料的情况。特别值得注意的是，如果教师对学生的发现活动的引导不巧妙，则整个实施策略的过程就可能是混乱的，学生所从事的活动就很可能是相当肤浅而失去实际意义。

2．恰当选择合适的发现策略。如果已经决定要以发现式策略来讲授某个课题，那么就应根据一些有关的因素来决定选择哪一种发现策略。首先，要讲授的命题本身是作出决定的重要因素。事实上，有些课题本身的性质就显示出采用某类发现式策略更合适。一般说来，条件较多或结构较为复杂的课题，采用归纳发现教学可能较之于采用演绎发现教学更困难；因为这种情形下，往往需要有较多的例证才能奏效，从而增加了介绍的难度。

学生也可能因观察力不强而失去成功的机会。对于这样一些课题，演绎发现的策略可能会更有效。其次，学生的数学基础和能力，也是影响作出决定的另一个重要因素。一般地说，在学生还不具备能从一些例子的考察中抽象出某种需要的模式特点的能力时，不宜过多使用归纳发现的策略。因为这样可能给他们造成巨大压力，使他们因得不到“发现”而感到沮丧，从而失去这种教法的意义。对于演绎发现策略的采用，同样需考虑到学生的抽象推理能力。实践表明，只有当学生具备了适当的抽象推理能力时，那种对问题安排经过了精心考虑而确定下来的演绎发现策略才会显示其效能。

3．选择有足够代表性的例子。在归纳发现策略中，一方面要考虑怎样鼓励学生提出猜想，另一方面又要考虑怎样为学生作出猜想提供必要的条件。这里最重要的是要给学生提供一些有代表性的例子。如果教师提供的例子没有足够的代表性，那么学生的猜想可能不全面或不合需要。例如，一个在非负有理数范围内成立的命题，为其提供的例子就既要涉及非负整数这样的有理数，也要涉及非负非整数这样的有理数。

在使用归纳发现策略时还要注意不要过早要求学生使用语言来表述似乎已作出的发现，这样可能会使某些学生感到焦虑不安，使抽象、概括等心智活动不能顺利进行。另外，教师还应根据具体场合出现的实际情况判断出什么时候给学生暗示以及给什么样的暗示。当学生作出了不正确的结论或学生的回答与教师期望的不一致时，当他们提出一些逻辑上可行但实际上并无助于得出结论的意见时，教师应该慎重地作出反应，既不能挫伤他们的积极性和主动性，又不能回避学生的错误，处理这个问题的一个明智的方法是，设计一些能使学生用批评眼光检查所作回答或结论的问题。

4．让学生证明所作出的发现。经过发现过程得到的命题，其正确性需要经过演绎推理来确定。然而，演绎证明的严格性通常要顾及学生的数学基础和理解水平。无论是演绎发现，还是归纳发现，就其过程的性质而言，都不必要求学生做那些超出他们理解水平的证明。因此，验证学生作出的发现，不必一定是提供演绎证明，有时可以让学生检验一些例子，或者看看学生能否举出反例。

5．通过应用巩固所作出的发现。发现式教学的两大优点，就在于发现对知识有更好的迁移和保持的潜在作用。似乎有理由相信，当学生在初步发现之后，立即应用所发现的知识，能使这两个目的更好地实现，因此在发现式教学中也经常提供丰富多样的练习来巩固所作出的发现。