数学命题的学习

数学命题是数学知识的重要组成部分，是数学学习的主要内容。

所谓命题，是表示两个或多个概念之间的关系的语句。因此，命题学习实际上是学习若干概念之间的关系，也就是学习由几个概念联合所构成的复合意义。它包括发现命题、理解其语句所表达的复合观念的意义和论证命题。就其复杂程度来说，它一般高于概念学习，是意义学习的一种最高级形式。

数学中的命题学习，主要是指数学定理、公式和法则的学习。

一般来说，新学习的命题与学生原有认知结构中的有关知识的关系有下位关系、上位关系、组合关系等三种类型，相应这三种关系，数学命题就有三种学习形式，即下位学习、上位学习和组合学习。

一、下位学习（主要为分化）

学生头脑中原有的已知结构在包摄程度或概括程度上高于新学习的内容，这种学习称为下位学习。如：先讲函数，再讲正比例函数、一次函数、反比例函数；先讲四边形，再讲平行四边形、矩形、菱形、正方形。

下位关系有两种形式：

一种是派生的下位，即新的学习内容仅仅是学生已有的、包摄面较广的命题的一个例证。如菱形为平行四边形的特例。再如，学习了函数单调性的概念和判定后，再学习指数函数的单调性定理，就属于派生的下位学习。

另一种是相关的下位，当新内容扩展、修正或限定学生已有的命题，并使其精确化时，表现出来的就是相关的下位。例如，在学习了“三角形内角和等于180°”，“三角形中大边对大角”等一般三角形的知识后，再来学习等腰三角形和直角三角形的有关性质定理，“等腰三角形两底角相等”、“勾股定理”等，就属于相关的下位学习。

下位学习的效率与原有的认知结构有关。

二、上位学习（主要为概括）

在认知结构中已经形成的几个概念，在这些知识之上，学习一个概括程度更高的数学命题的形式称为上位学习。（上位学习、下位学习是相对原有知识而言的。）

例如，学习一般的二次曲线时，学习者要对几种特殊二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线等）进行概括，改组原来具有的特殊二次曲线的认识结构，成为一般二次曲线的认知结构。

再如，学过全等三角形后，再学习相似三角形。（在概括程度上，相似更高，全等是相似的特例，相似比k=1。）

三、并列学习（或组合学习）

新的数学命题与原有知识结构有一定联系，但既不是上位关系，也不是下位关系，则这种学习方式称为并列学习或组合学习。

组合学习的关键在于寻找新定理与原有认知结构中的有关定理的联系（共同特征），使得它们能在一定意义下进行类比。如从椭圆到双曲线的学习，从x2a2+y2b2=1到x2a2—y2b2=1。

以上三种命题的学习方式并不矛盾，常同存在同一命题中，只是所占比重不同。

三种数学命题的关系