数学的现状和象数学纵横谈

2．数学的现状和象数学纵横谈

数学的现状怎样，请先听听M．克莱因（Morris Kline）的话：

多数数学家却抛弃了他们的传统和遗产，自然发生的秘密信息现在遇到的只是些紧闭的双眼和迟钝的耳朵。数学家们躺在先辈的功劳簿上，幻想依靠昔日辉煌获得喝彩与支持。纯数数家则陷得更深，他们把应用数学家从同行会中驱逐出去，妄想垄断数学家这个令人景仰的头衔，从而独自攫取先人的名誉。他们丢弃了丰富的思想之源，花费着先人积累的宝贵财富，他们正沿着一丝微光走出这个世界。但确实有些人注意到了曾促进数学发展的光荣的传统，维护了牛顿和高斯应有的荣誉。他们仍坚持从他们的数学研究中发掘出科学的潜在价值。他们虽声称要为科学创建模型，但并未为此奋斗。实际上，因为大多数数学家不懂科学，他们不可能创建出模型。他们宁可保持童贞，也不愿与科学同床共寝。从整体上看，数学在自陷；在自给自足；而且从过去的情形判断，现代数学研究的大部分都不可能会为科学发展作出贡献。数学现在几乎成了一个自我封闭的体系。它根据自己评判现实意义和完美性的标准来决定自己的前进方向，它甚至满足于自己与外界的问题、动力、灵感相隔绝的状况。数学已不复再有统一性和目标。

当今大多数数学家的孤芳自赏令人扼腕，这里有许多原因。数学的科技应用在飞速地发展着。到了今天，笛卡尔的先见似乎更近于事实：数学代表的是人类智慧的最高成就，代表着推理对经验主义的胜利，代表着基于数学的方法论将永远覆盖所有的科学领域。而正当数学方法逐渐用于如此众多的领域时，数学家们却缩到了一个角落里去了。虽然一百年或更早以前数学和物理学是密切相关的（当然只是精神上的神往），但从那里起它们开始分离，至今已很明显。数学是有价值的，因为它对人们理解和征服自然作出了贡献。而这一事实已被忽略，当代多数数学家希望将其科学分离出来做单独研究。数学家们分裂成两派，一派忠实于前人以及他们那种可敬的数学研究动机，这种研究动机在过去已结出最丰硕的果实；而另一派，则在风中游荡，研究那些可能触发他们想象力的东西。多数数学家被一个世纪以来愈发被纯的数学所蒙蔽，已经丧失了理解自然界的能力和愿望。他们转向抽象代数和拓扑学这些领域，转向抽象化和一般化（如泛函分析），转向远离实际应用的微分方程的存在性证明，转向各种思维体系的公理化和枯燥的智力游戏。只有少数人仍在试图解决比较具体的问题，值得注意的有微分方程及相关领域。

大多数数学家对科学着抛弃意味着科学将失去数学？全非如此。少数明智的数学家已经看到，未来的牛顿、拉普拉斯和哈密尔顿将创造出他们所需要的像过去那样伟大的数学。这些人虽名为数学家，实际上却是物理学家。1957年在理利奇（Franz Rellich）的讣告中，库朗写道，“如果现在的倾向继续发展下去，有这样一种危险，未来发展‘应用’数学的将是物理学家和工程师，挂着职业数学家头衔的人将与此无关。”库朗之所以在“应用”一词上打上引号，是因为他实际上意指所有重要数学。他并不把纯数学和应用数学分开。

库朗的预言正在变成现实。因为数学机构的建立就有利于纯数学，而最好的应用成果现在都是电子工程、计算机、生物学、物理学、化学和天文学方面的科学家做出的。正如格列佛在飞岛国（Laputa）之行中所见到的数学家们那样，纯数学家们生活在悬空的岛上。他们把地球上的社会问题推给别人。这些人也许会在前人为这门学科所提供的空气中呼吸上一阵子，但他们注定要消失在真空中。再不妨听听某一个数学家在数学研究上所向往的目标：

我做了一个梦。

我被空无包围。不是虚无的空间。因为没有什么空间是虚无的。不是黑暗，因为没有任何东西是黑色的，我用思维下指令，要有空间！我有一个选择：三维空间，多维空间，甚至弯曲空间。

……

他的这本书的最后一节，题为“尾声”的开头的一句话是我做了另一个梦：

我的第一梦，“虚拟幻境机”，不过是一种技术……

我把第二个梦，叫做“形态数学”（Morphomatics），它不是技术，而是一种思维方式。

这位数学家的名字叫伊恩·斯图尔特，是英国沃里克大学的数学教授，他的专著叫《自然之数：教学想象的虚幻实境》。^[1]

上举两位数学家的论述，似乎有一点是相通的，即虚拟的多维，甚至弯曲的空间形式。简单地讲，就是如何创作各种各样的模式，因为当今时代的科学思潮已从公理论走向模型论了。

模型论主张，寻求某种理想化的理论形式，进而建立某种模型，再进一步不断寻找越来越多的可观察性质，这当然是十分困难的事，所以数学家为此要做夜梦了。

但是夜楚好做，付诸实践则难，因此正如M．克莱因所说：“数学家们不可能创建出模型，他们宁可保持童贞，不愿与科学家同床共枕了……”

又为什么创建模型如此之难呢？单是因为数学家们的心理因素吗？这好像话又说得片面一点了。

这好像和数学的文化传统有关。在西方，虽然古希腊毕达哥拉斯学派有万物皆数的理念，但是所谓万物皆数的对象并不明确具体，自然主义世界观的中国哲学，在数的对象上，就十分明确。最可宝贵的一个数学模式本身就是《洛书》，这是数学模式包罗万象的模式，如图3‐2‐1所示。

图3‐2‐1

早在3000年以前，人们就依循这一数学模式：

确立了一种象数学，即以某一个数来对应某一种自然客体。

其中最为基本的对一空客体，而这种客体本身确系大自然确实存在的东西，如图3‐2‐1中的“3”；它的时空框架所指的就是“东”，是太阳视路径所指的早晨或者春季，由此举凡提到一个“3”字的，首先就意指东方或春季成为一种公理性质的数，诸如此类，又如9，它被定义成夏季或正午，与之相对的是“1”，那就是北方或者子夜……

人类生活中最大的一个问题是时空问题。著名天文字家费雷德·霍伊尔说：“我们日常的条件是无法离开宇宙中遥远部分，那么，我们关于空间的几何概念也就完全错了。我们的日常经验，甚至在最小的细节上，都是与宇宙的大尺度性质密切联系在一起的。以至于根本不可能设想两者可以分离。”^[2]而我们的《洛书》矩阵就展示了这种宇宙的方位和时间的相互关系，恐怕只有我们的《洛书》矩阵能如此精密地把时间和空间用数字形式合在一起而成为一个无限意义的数学模型。并由此首先在古天文上作出了领先世纪的记录。有西方学者说，早在1600年以前，中国人就已有了关于天文的知识。

确确实实，这样包括时间在内的空间模式，可能任何数学家都是设计不出来的。

然而随着社会的进步、科技的发展，中国的这种“以数状象”，“以象定数”的象数学也在不断地向前发展，数的自然原型也就日新而月异了，如图3‐2‐2所示。

图3‐1‐2

随着社会实践的进步和发展，作数的自然原型表如下：

根据这种“数”和所有相关的自然现象相统一的动力机制，于是可以对所有自然现象作出数学模型，进而对所有自然现象作出某种特定的数量分析了。这就是象数学之所以成为现象学或者形态数学，对自然现象作出更精确的探索了。

【注释】

[1]［英］斯图尔特著，潘涛译：《自然之数：教学想象的虚幻实境》，上海科学技术出版社，2007年。

[2]［美］F．卡普拉著，灌耕编译：《现代物理学与东方神秘主义》，四川人民出版社，1984年。