不诉诸数学特有的原理，能够把数学还原为逻辑吗？有整整一个学派，对此富于热情，充满信心，力图去证明它。他们有自己的特殊语言，这种语言不用词，而仅用记号。这种语言只能被创始人理解，以致一般人倾向于屈从内行的明确断言。稍为仔细地审查一下这些断言，看看他们是否为表述这些断言的专横的腔调做了辩护，也许不无益处。
但是，要使问题的本性清楚，就必须开始研讨某些历史细节，尤其是回忆康托尔著作的特征。
无穷概念被引入数学由来已久；但是，这种无穷是哲学家所谓的演化（becoming）。数学无穷仅仅是一个能够增加到超越所有极限的量：它是一个可变量，不能说它已超过了所有极限，而只能说它可以超过它们。
康托尔已着手把实无穷引入数学，也就是说把这样一个量引入数学：这个量不仅能够超过所有的极限，而且人们认为它已经超过了它们。他本人提出了像这样的问题：空间中的点比整数多吗？空间中的点比平面上的点多吗？等等。
于是，整数的数目、空间的点的数目等等，组成了他所谓的超限基数，也就是说，一个基数大于所有的寻常基数。而且，他正忙于把这些超限基数进行比较。在把包含无穷个元素的集合中的元素按适当的次序排列时，他也曾设想了他所谓的超限序数，我不想详述超限序数了。
许多数学家按照他的引导，提出了一系列这类问题。他们这样熟悉超限数，以致他们最终创造出依赖康托尔基数的有穷数理论。在他们看来，为了以真正的逻辑方式教算术，人们应当以建立超限基数的一般特征开始，然后在它们之中区分出一个很小的类，即寻常整数的类。多亏这种迂回，人们才能成功地证明与这个小类（也就是说我们的整个算术和代数）有关的一切命题，而没有利用任何逻辑之外的原理。这个方法显然与一切健全的心理相反；可以肯定，人的心智无法用这种方式着手构造数学；我想，它的创造者也没有这样梦想把它引入中学教学中去。但是，它至少合乎逻辑吗？或者更恰当地讲，它是正确的吗？人们可以对它表示怀疑。
无论如何，使用它的几何学家为数众多。他们习惯于公式，他们在写学术论文时企图使自己摆脱不是纯粹逻辑的东西，这些学术论文与通常的数学书不同，公式不再与说明性的论述交替出现，这种论述已经全部消失。
不幸的是，他们得到了矛盾的结果，这就是所谓的康托尔矛盾，我们有机会回过头来谈它。这些矛盾并没有使他们灰心丧气，他们力图修正他们的结果，以消除已经呈现在他们面前的那些矛盾，尽管如此，也不能保证不会显露新的矛盾。
是审判这些夸张言语的时候了。我不奢望使他们信服；因为他们在这种气氛下生活的时间太长了。而且，当他们的证明之一被反驳时，我们确实看到，它通过轻微的改变复活了，一些证明已经从它们的灰烬中出现一些时候了。这就像很久以前希腊神话中的九头怪蛇一样，它那有名的头总是可以再生。海格立斯（Hercules）(1)杀死了它，因为九头蛇只有九个头或11个头；但是，这里却有许多头，一些在英国，一些在德国、意大利、法国，连海格立斯恐怕也不得不认输。于是，我只向有健全的判断力的、毫无偏见的人诉说。
近年来，出版了许多纯粹数学和数学哲学方面的著作，力图把数学推理的逻辑元素隔离、孤立起来。库蒂拉特（Couturat）先生在《数学原理》一书中对这些著作做了清楚的分析和阐述。
在库蒂拉特先生看来，新著作，尤其是罗素（Russell）和皮亚诺（Peano）的著作，最终调解了莱布尼兹和康德（Kant）之间长期以来悬而未决的争论。它们表明，不存在先验综合判断（康德称呼判断的用语，这种判断既不能通过分析加以证明，也不能还原为恒等，也不能用实验确立），它们还表明，数学完全可以还原为逻辑，直觉在这里不起作用。
这就是库蒂拉特先生在刚才引用的著作中陈述的东西；他在纪念康德的演说词中更明确地谈到了这一点，因此我听到我周围的人窃窃私语：“我充分地看到，这是康德逝世100周年纪念。”
我们能够同意这一结论性的谴责吗？我认为不能，我将力图表明为什么。
首先，在新数学中冲击我们的是它的纯粹的形式特征，希尔伯特说：“我们设想三种事物，我们将称其为点、直线和平面。我们规定一直线将被两点决定，若不说这条直线被这两点决定，我们可以说它通过这两点，或者说这两点位于这条直线上。”我们不仅不知道这些事物是什么，而且我们也不应该企图知道它。我们不需要知道，从来也没有看到过点、直线或平面的人也能像我们一样地研究几何学。通过这个用语，或者位于……上这个用语不可能在我们身上引起形象，前者仅仅是被决定的同义语，后者仅仅是决定的同义语。
这样一来，据说为了证明一个定理，知道它意味着什么既没有必要，甚至也没有好处。几何学家可以被斯坦利·杰文斯（Stanley Jevons）设想的逻辑皮亚诺取代；或者，如果你乐意的话，可以设想一种机器，在一端输入假定，而在另一端便输出了定理，这就像传奇中的芝加哥机器一样，从一端送入活猪，在另一端便转化为火腿和香肠。数学家不过是这些机器，他不需要知道他做什么。
我并不为希尔伯特几何学这种形式特征而责备他。在给出了他分配给自己的问题后，这正是他应走的道路。他希望把几何学的基本假定的数目缩简到极小，并完备地列举它们；现在，在我们心智在其中依然是能动的推理中，在直觉在其中还起作用的推理中，在生气勃勃的推理中，可以说，不引入通行证未被觉察到的假定或公设是困难的。因此，只有在把所有几何学推理划归为纯粹机械的形式后，他才能保证实现他的计划并完成他的工作。
希尔伯特对于几何学所做的事情，其他人针对算术和解析也力图去做。即使他们完全成功了，康德主义者最终会被谴责得哑口无言吗？也许不会，因为在把数学思想还原为空洞的形式时，它肯定是残缺不全的。
人们即使承认已经确立，所有定理都能够用纯粹解析的程序、用有限数目的假定的简单逻辑组合推导出来，这些假定仅仅是约定；但是，哲学家还会有权利调查这些约定的起源，考察为什么断定它们比相反的假定更可取。
可是，从假定导致定理的推理的逻辑正确性并不是应该使我们忙碌的唯一事情。完善的逻辑的法则，它们是整个数学吗？不妨说，下棋的整个技艺归结为棋子走法的规则。在由逻辑提供的材料能够建立起来的一切结构中，必须做出选择；真正的几何学家之所以明智地做出这种选择，因为他或者受可靠的本能的指导，或者受对比较深奥、比较隐秘的几何学的某种模糊的意识——我不了解它——的指导，唯有这一切，才赋予建造起来的大厦以价值。
寻求这种本能的起源，研究这种只可意会不可言传的深刻的几何学的规律，对于不需要逻辑即是一切的哲学家来说，也可能是一件极好的工作。但是，我本人希望提出的并不在于这个观点，我希望考虑的问题也不是这样的。对于发明家来说，所提到的本能是必要的，但是乍看起来，在学习先前创立的科学时，似乎没有本能我们也能行动。好了，我希望审查的是，逻辑原则一旦被承认，人们是否真的能够证明——我不说发现——所有的数学真实性而不重新诉诸直觉。
最近的著作能够修改我们的回答吗？对于这个问题，我曾说不能。(2)我之所以说不能，是因为“全归纳原理”在我看来似乎是数学家所必需的，同时它也不能还原为逻辑。这个原理是这样陈述的：“如一种性质对数1为真，倘使它对n为真，若我们确认它对n＋1为真，则它将对所有的整数都为真。”在其中，我看到数学推理的正常优点。与人们设想的不同，我的意思并不是说，所有的数学推理都能够还原为这个原理的应用。仔细地审查一下这些推理，我们能看到其中应用了许多其他类似的原理，呈现出同样的基本特征。在原理这个范畴中，全归纳原理只不过是所有原理中最简单的，这就是我把它选作典型的原因。
全归纳原理这个流行的名称，并未受到辩护。这种推理模式仍然是真正的数学归纳法，它与通常的归纳法的差别仅在于它的确实性。
对于毫不妥协的逻辑主义者而言，这样的原理的存在是困难的；他们如何妄图摆脱它呢？他们说，全归纳原理不是严格意义上所谓的假定或先验综合判断；它恰恰只是整数的定义。因此，它是简单的约定。要讨论这种观察它的方法，我们必须稍为仔细地审查一下定义和假定之间的关系。
让我们首先回到库蒂拉特先生论述数学定义的文章吧，该文发表在巴黎戈蒂埃-维拉斯和日内瓦热奥尔出版的《数学教学》杂志上，我们从中将看到直接的定义和用公设定义之间的区别。
库蒂拉特先生说：“用公设定义不适用于单个概念，而适用于概念系统；它在于枚举把概念结合起来的基本关系，这些关系能使我们证明概念的其他一切特性；这些关系即是公设。”
如果所有这些概念除一个而外都被预先定义，那么这个剩下的概念按照定义将是证实这些公设的东西。这样一来，某些不可证明的数学假定只可能是伪装的定义。这个观点往往是合法的；例如，提到欧几里得公设，我本人就承认它。
几何学的其他假定不足以完备地定义距离；于是，按照定义，在所有满足另外这些假定的量中，距离将是能使欧几里得公设为真的这样一种量。
好了，我对于欧几里得公设所承认的东西，逻辑主义者假定对于全归纳原理也为真；他们想把它仅仅看做是伪装的定义。
但是，要给他们这种权利，必须满足两个条件。斯图尔特·穆勒（Stuart Mill）说，每一个定义都隐含着假定，由于这个假定，肯定了被定义的对象的存在。依据这种说法，定义不会再是可以被伪装成定义的假定，相反地，它也许是可以被伪装成假定的定义。斯图尔特·穆勒在实质性的和经验的意义上意谓存在一词；他的意思是说，在定义圆时，我们肯定在自然界中存在着圆形物。
在这种形式下，他的观点是无法接受的。数学与实物对象的存在无关；在数学中，存在一词只能有一种意义，它意味着没有矛盾。这样纠正以后，斯图尔特·穆勒的思想就变精确了；在定义一种事物时，我们肯定该定义不隐含矛盾。
因此，如果我们有一个公设系统，如果我们能够证明这些公设不隐含矛盾，那么我们便有权利认为它们表示了进入其中的概念之一的定义。如果我们不能证明这一点，就必须在没有证据的情况下承认它，于是那将是一个假定；这样一来，要在公设下寻找定义，我们应该在定义下发现假定。
通常，要表明定义不隐含矛盾，我们要用范例进行，我们力图使事物的范例满足定义。举一个用公设定义的案例吧；我们希望定义概念A，我们说，按照定义，A是任何对其而言某些公设为真的事物。如果我们能够直接证明，所有这些公设对某一对象B为真，那么定义将受到辩护；对象B将是A的范例。我们将断定，公设没有矛盾，因为存在着它们同时都为真的案例。
但是，这样的通过范例的直接证明并非总是可能的。
要确立公设不隐含矛盾，因而必须考虑从这些作为前提看待的公设中可以推导出的所有命题，并表明在这些命题中没有两个是矛盾的。如果这些命题为数有限，那么直接证实就是可能的。这种案例很少发生，而且毫无趣味。如果这些命题在数目上是无限的，这种直接的证实就不再能够进行了；必须求助于这样一些程序，在这些程序中，它一般说来正好必须乞求全归纳原理，而该原理恰恰是已被证明的东西。
这是对逻辑主义者应该满足的条件之一的说明，进而我们将看到他们并未这样做。
还有第二个条件。当我们下定义时，正是利用它。
因此，我们将在阐明的结局中寻找被定义的词；我们有权利肯定适合定义的公设属于用这个词所表示的事物吗？显然有权利，倘若该词保持着它的意义，倘若我们不隐含地赋予它以不同意义的话。好了，这就是有时发生的情况，通常很难觉察它；需要查看一下，这个词是怎么进入我们的论述中去的，它进入的大门是否实际上不隐含与所陈述的定义不同的定义。
这个困难在所有的数学应用中均出现。人们给予数学概念以十分精练、十分严格的定义；对于纯粹数学家来说，所有的疑问都消失了；但是，如果人们想把它应用于例如物理科学，那就不再是纯粹概念的问题，而是具体对象的问题，具体对象往往只不过是它的粗糙图像。说这个对象满足定义，至少近似地满足定义，就是陈述了一个新的真理，惟有经验才能够毫无疑问地提出新真理，新真理不再具有约定的公设的特征。
但是，尽管没有超越纯粹数学，我们也遇到了同样的困难。
你给出了数的微妙定义；而且，一旦给出了这个定义，你就不再去想它；因为在实际上，它并不是教给你数是什么的它；你早就知道这一点，当在你的钢笔下进而写出数这个词时，你赋予它的意义与第一次碰到时的相同。为了知道这个意义是什么，以及它在这个短语或那个短语中意义是否相同，那就需要考察一下，你是如何被引导说数的，你是怎样把这个词引入这两个短语中的。我暂时不想详述这一点，因为我还有机会回过头来谈它。
这样考虑一个词，我们明确地给它以定义A；此后，我们在论述中使用它时，便隐含地假定了另一个定义B。有可能，这两个定义指示同一事物。但是，正是如此，这才是一个新真理，我们必须证明或承认它是一个独立的假定。
我们将进而看到，逻辑主义者并没有满足第二个条件，正如他们没有满足第一个条件一样。
数的定义很多，而且各不相同；我甚至只好放弃列举它们的作者的名字。在这里有如此之多的定义，我们不应为此而惊讶。如果其中之一是令人满意的，那么人们便不会给出新的定义。如果每一个从事这个问题的新哲学家都认为他必须发明另一个定义，这是因为他不满意他的前辈的那些定义，他之所以不满意它们，因为他认为他看到了预期理由。(3)
在读论述这个问题的著作时，我总是深感不安；我总是期待偶然碰上预期理由，当我没有即时察觉它时，我担心我遗漏了它。
这是因为，要下定义不用句子是不行的，而不用数词，或至少不用词几个，或至少不用复数词，便很难造一个句子。因此，倾斜是容易滑脱的，时刻都存在着陷入预期理由的危险。
接下来，我将只集中注意那些最能够隐藏预期理由的定义。
在这些新研究中，皮亚诺所创造的符号语言起着十分重大的作用。它能够提供某种帮助，但是我认为，库蒂拉特先生把过大的重要性赋予它，这必定会使皮亚诺本人感到惊讶。
这种语言的基本要素是某些代数记号，它们代表各种连接词：如果、与、或、因此。这些记号也许是方便的，这是有可能的；但是，说它们注定要使整个哲学发生革命，则是另一回事。人们很难相信，当把如果这个词写成C，就能得到把它写成如果时所得不到的好处。皮亚诺的这一发明起初被称之为通用书写法（pasigraphy），这就是说，写数学论文的技艺是不用日常语言的一个词。这个名称十分精确地定义了它的范围。后来，由于授予它以逻辑斯谛的头衔，它也被提高到比较突出的高贵地位。这个似乎在军事学院使用的词汇，用来称呼高度机动的地面部队的军需军官之技艺、部队行军和驻扎之技艺；但是在这里，不要害怕弄混，马上就可以看到，这个新名称包含着使逻辑发生革命的方案。
我们可以看到布拉利-福尔蒂（Burali-Forti）在题为“论超限数问题”的数学论文中所使用的新方法，该论文登载在《帕勒莫数学会报告》（Rendiconti del circolo mathematico di Palermo）第XI卷上。
以谈这篇论文开始是十分有趣的，我在这里之所以把它作为例子举出来，恰恰因为它是用新语言写出的全部论文中最重要的一篇。此外，由于有意大利文的隔行对照译文，未入门者也可以读它。
这篇论文的重要性在于，它给出了在研究超限数时所遇到的自相矛盾的第一个例子，多年来，那些自相矛盾一直使数学家感到绝望。布拉利-福尔蒂说，这篇短文的目的是证明可以存在这样两个超限数（序数）a和b，以致a既不等于b，也不大于或小于b。
为了使读者放心，为了理解紧接着的考虑，读者并不需要知道超限序数是什么。
现在，康托尔精确地证明了，在两个超限数之间，正如在两个有限数之间一样，除了在一种意义或另一种意义上的相等和不等之外，不能有其他关系。但是，我希望在这里讲的，并不是这篇论文的实质；那样会使我离题太远；我只希望考虑形式，而且正好要问，这种形式是否使它获得更多的严格性，从而它是否能补偿强加在作者和读者身上的辛劳。
首先，我们看到布拉利-福尔蒂如下定义数1：
该定义十分适合于把数1的观念给予从来也没有听说过它的人。
我对皮亚诺的学说了解得太差，我不敢冒昧地批评它，但是我仍旧担心这个定义包含着预期理由，这是由于考虑到，我在第一部分看见数字1而在第二部分看到字母Un。
不管怎样，也许布拉利-福尔蒂是从这个定义开始的，在简短的演算之后，便得到方程：
这告诉我们，一是数。
由于我们面对着头一批数的定义，我们回想起库蒂拉特先生也曾定义过0和1。
零是什么？它是空类元素的数。而空类又是什么？它是无元素的类。
用空定义零，用无定义空，这实际上是滥用语言资源；于是，库蒂拉特先生对他的定义进行了改善，并写成：
这意味着：零是满足从来也不能满足的条件的事物之数。
可是，鉴于从来也不的意思是决不，我看不到有什么大进步。
我赶紧附加说，库蒂拉特先生给出的数1的定义是较为满意的。
他说，1本质上是其中任何二个元素都是恒等的类中的元素之数。
我说过，在这种意义上定义1是比较满意的，因为他没有使用一这个词；作为补偿，他使用了二这个词。但是，我担心，如果问什么是二，库蒂拉特先生也许不得不利用一这个词。
可是，返回到布拉利-福尔蒂的论文上来吧；我已经说过，他的结论与康托尔的结论直接对立。当时，阿达马（Hadamard）先生有一天来看我，话题落在这种致命的自相矛盾上。
我说：“在你看来，布拉利-福尔蒂的推理似乎不是无可指责的吗？”“不，相反地，我一点也没有发现在康托尔的推理中反对的东西。而且，布拉利-福尔蒂没有权利讲所有序数的集合。”
“请原谅，他有权利讲，因为他总是可以设
我想知道，是谁妨碍了他，当我们把一个事物叫做Ω时，能够说它不存在吗？”
这是徒劳的，我不会相信他（而且，这样做也许糟透了，因为他是正确的）。这仅仅是因为我没有用足够的雄辩术来讲解皮亚诺的学说吗？也许如此；但是，在我们中间，我不认为是这样。
因此，尽管有这种通用书写法工具，问题并没有解决。这证明了什么呢？就问题只是证明数一而言，通用书写法足够了，但是，如果困难摆在面前，如果在解决时存在着自相矛盾之处，通用书写法就变得无能为力了。
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(1) 亦译成赫尔克里士或赫拉克勒斯，主神宙斯之子，力大无穷，曾完成12项英雄事迹。九头怪蛇是斩去一头立生二头之怪蛇。——中译者注
(2) 参见《科学与假设》，第一章。
(3) 预期理由（petitio principii）是一种逻辑错误，把未经证明的判断作为证明论题的论据。——中译者注
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