数学能力和数学能力的培养

二、数学能力和数学能力的培养

数学学习过程中建立的信息加工的方式倾向差异就构成了数学能力的差异。什么叫数学能力？根据广西教育出版社出版，郑君文、张恩华编著的《数学学习论》的观点，数学能力是完成数学活动所必备的且直接影响活动效率的一种个性心理特征，它是在数学活动过程中形成和发展，且在数学活动中表现出来的比较稳定的心理特征。在学生的数学能力研究上，前苏联的克鲁切茨基作了卓有成效的研究，他认为，数学能力有两种活动水平：

1．看作创造性（科学）的能力——科学的数学活动的能力，这种能力能产生对人类有意义的新成果和新成就，对社会作出有价值的贡献。

2．数学学习能力——学习数学课程的能力（中小学课程），迅速掌握适当的知识和技能的能力。（（苏）克鲁切茨基《中小学生数学能力心理学》上海教育出版社P85．）

他对中小学生的数学学习进行了十多年的研究，提出了学生数学学习能力的结构要素如下：

2．1对数学材料的形式化感知能力，对问题形式结构的掌握能力。

2．2对空间关系，数字和字母符号方面的逻辑思维能力；对数学符号进行思维的能力。

2．3迅速而广泛地概括数学对象、关系和运算的能力。

2．4缩短数学推理过程和相应的运算系统的能力；以简短的结构进行思维的能力。

2．5在数学活动过程中心理过程的灵活性。

2．6力求解答的清晰、简明、经济和合理的心理倾向。

2．7迅速而自如地重建心理过程的方向、从一个思路转向另一个相反思路的能力（逆向思维能力）。

2．8对数学关系、类型特征、数学结构、解决问题的思想与策略进行概括性记忆的能力。

克鲁切茨基的数学学习能力学说的显著特征是：承认学生的数学能力的差异，对这种差异的表现进行实验研究；提出了数学语言符号应用这一数学文化语言特征；提出了数学认知对象的特征：数学结构、数学结构关系、数学运算和数学的形式化。他的数学能力结构中没有包括数学的应用，这与数学应用的广泛性格格不入，这是时代的局限，也是该理论的缺憾。但这并不影响这一理论对数学教育的指导作用。

3．克鲁切茨基的数学学习能力学说给数学教学的启示。

启示（1）：在数学教学中，应重视对数学对象的结构与关系的感知与概括。随着数学科学的发展，数学对象的涵义也在不断的发展中，对于中小学数学学科来说，数学对象存在于生活实际中，存在于对数学知识的不断质疑、反思中，存在于在活动过程的想象火花中。数学教学设计应该十分重视这些产生数学对象的活动资源的开发与应用。首先要重视学生的数学问题情境资源的开发，为学生提供数学建模的情境资源，在现实情境中用数学中的数、符号、表格、图形来刻画现实生活中的模型，从中发现数学对象，进行“数学建模——解模——模型的应用与拓广”的数学活动，建立模型与知识经验之间的心理对应关系，这是对学生的数学现实的横向拓展；其次应该提供对数学对象的概括的活动资源并予以必要的指导，引导学生进行数学质疑与数学反思，不断提高得到的原理的抽象水平和联系迁移水平，使学生的数学现实得到纵向发展。下面是为学生提供横向数学现实迁移和纵向数学现实迁移的两个情境问题：

问题1：学校有一块矩形空地要进行绿化设计，学校的基本设想是，用一半的面积进行绿化，留一半的面积作为道路或师生休闲活动场地，请你设计绿化方案。（其意图是为学生提供面积公式的应用、面积的分割等数学知识的横向迁移平台）。学生对这个问题非常感兴趣，设计的积极性很高，提出了几十种设计方案，下面给出几种有代表性的学生设计作品：

图6－2－1

问题2：目的是为学生提供相似三角形研究的纵向迁移平台。

图6－2－2

①如图6－2－2甲，经过△ABC三个顶点的三条光线都通过一点P，然后发散出去，在这三条光线经过的地方分别作三个点，依次连结这三个点形成三角形，使作出的三角形与原三角形相似，面积是原来三角形的4倍，怎样画出三角形？这时三角形内的任何线段（如线段DE）与对应三角形中的对应线段有什么关系？

②如果定义四边形相似如下：对应边成比例，对应角相等的四边形叫相似四边形，那么你能在图6－2－2乙中画出相似四边形吗？此时，四边形内任一条线段与它在对应四边形中的对应线段有什么关系？

③我们知道，有三边对应成比例的两个三角形相似，那么，四边对应成比例的两个四边形是否一定相似？若相似，说明理由，若不一定相似，请举出反例，然后给出一个用线段定义相似的四边形相似定义。

④如图6－2－2丙，你能画出与给你的长方体形状相同的长方体吗？怎样的两个长方体相似？

⑤你能利用灯光把透明照片中的图形进行放大吗？怎样放大？

问题2中，问题情境逐步深化，从三角形到四边形到任何平面图形再后到几何体的相似研究平台可以使学生的相似概念认识逐步深入，并与生活实际紧密结合，可以提高学生的数学现实向纵向深入迁移，不断发展。事实上，如果进一步深入研究，利用三维扫描并利用激光聚焦，可以利用激光切割进行物体的外加工和内加工，这种工件加工技术是我国科学家近年发明并具有国际专利的材料加工技术，这种技术的优势是可以大规模地提高工效和降低材料的损耗。教师对学生进行数学结构化感知能力培养所需要的学生基础性活动是：①进行数学结构的识别，在其它比较复杂的背景中寻找特定的数学结构（几何图形、代数结构、实际情境数学结构）；②进行数学结构的补形活动，能把问题中被隐含的数学结构要素重新补全（如几何辅助线、代数配方等结构补全）；③拓宽数学原理的概括广度（如把合并同类项、提取公因式、合并同类二次根式概括到乘法分配率水平，把三角形两边之和大于第三边概括到“两点之间的连线中线段最短”水平）。

启示（2）：在数学教学中重视学生的数学语言符号应用能力的培养。具体的策略是，首先强化对用数学符号语言描述生活实际模型的数学化活动训练，其次是强化学生用数学的语言进行相互交流；第三是把数学语言转化为数学对象和数学行为，进行数学对象、数学行为与数学语言相互转化的有针对性的训练活动。例如，在原来的代数式学习中，我们重视学生根据实际问题列代数式，而忽视把代数式赋予现实意义。这就需要进行教学改进。如对式子（a＋b）²＝a²＋2ab＋b²如果赋予以下意义，则有利于学生数学语言符号能力的发展：

①语言意义：两个数的和的平方等于这两个数的平方和加上这两个数的积的两倍；

②几何意义（图6－2－3）：大正方形面积等于内部4个矩形面积之和。

同样，如果把绝对值的距离意义、语言描述和式子表达相互联系，则学生的横向迁移（绝对值方程、不等式、实际应用）与纵向迁移（如对平面上两点间距离的研究、空间两点间距离的研究、向量与复数的模的研究）的可能性大大提高。

图6－2－3

图6－2－4

启示（3）：数学概括能力的培养。根据克鲁切茨基的数学学习能力学说，数学概括主要包括两种类型：①把特殊的现象归入已知的、一般的概念与原理；②从特殊到一般，形成概念与原理。因此在数学教学设计中，必须统筹考虑这两种活动平台的开发。在进行活动①时，主要注意对数学概念、原理的结构化分析，分析原理的先决条件结构和原理的结论结构，如勾股定理的先决条件是直角三角形，而结论结构可以是斜边平方等于两直角边的平方和，也可以是一直角边的平方等于斜边与另一直角边的平方差。对问题进行结构化分析，分析问题中具有的数学结构，与数学原理建立联系，需要进行结构的识别与补全，同时，也需要对同一个结构中所有的原理建立联系，如在图6－2－4的结构中包含的原理有：

先决条件：∠ACB＝90°，CD⊥AB于D

包含的原理有：勾股定理、三角形内角和定理、相似三角形、锐角三角函数关系等。

在进行活动②时，要提供足够的具体、直观的素材使学生能够探索、发现数学原理，对得到的数学原理进行反思、质疑，不断提高概念原理的抽象水平使之具有尽可能宽的迁移领域。主要活动任务是对数学对象的结构相似性与差异性进行分析、对数学结构进行变换、映射，确定数学对象结构的关系（包含关系、因果关系、同态与同构关系、数量关系、映射关系等）。根据实际问题情境，进行有目的的数学思维的一般思想方法和思维基本模式的活动训练。在这种活动中，应该充分重视学生对数学对象的过程性情境体验，引导学生调用已有的知识经验（内隐的和外显的），在充分体验数学对象的过程性体验的基础上，把数学对象上升为对象来认识。例如，在代数式学习过程中，要充分体验用字母表示数的基本活动体验、求代数式的值的活动体验、然后逐步过渡到把代数式看作一个对象，对其进行运算、变形。在方程和不等式学习中，进一步熟练代数式的对象性，在函数学习中，把方程、不等式作为对象认识；在微积分学习中，把函数作为对象来认识，进行运算和变换。

启示（4）：关于思维灵活性的培养。学生的思维灵活性，主要体现在解决问题的过程中。数学问题的解决，实际上就是把问题进行划分和变化，形成通向最终问题解决的问题链，使问题链中的每一个小问题都与一定的数学概念、原理相联系，其基本图式如图6－2－5

图6－2－5

问题分割方式的不同，就会产生多种解决问题的方法，有意识地进行解决问题的多种方法的探索活动是培养思维灵活性的主要活动途径之一。其应用数学原理的来源领域的差异程度就构成了活动的心理价值的差异。另一途径是通过相互交流，得到启发，产生与众不同的解决问题的方法，因此，数学思维灵活性的培养，一靠一题多解的探索活动，二靠相互交流与启发。

启示（5）：关于数学思维的自我评价、反思、质疑等思维品质的培养。数学思维的自我评价、反思和质疑的对象是：思维对象、思维过程和思维结果。这种思维品质对培养学生的思维的灵活性、形成缩短思维过程和求异创造倾向具有重要心理意义。教师在教学过程中，针对教学内容有意识地组织学生的思维评价、反思和质疑活动是非常必要的。

①在教学过程中，进行对思维对象的结构化评价、反思与质疑。这种活动的基本内容是：

联一联，主要是把思维对象与各种领域建立联系，包括与本学科其它单元和分支的联系、与各个学科的联系以及与生活实际的联系。例如，在学习了轴对称变换时，可以用轴对称研究等腰三角形、圆的有关性质、研究函数图像的对称性，可以应用轴对称研究物理学中光的反射，也可以用轴对称进行日常生活中的图案设计等。下面的问题与其说是物理问题，还不如说是数学问题：

图6－2－6

如图6－2－6是潜水艇用来观察海面情况的潜望镜示意图，在镜筒的两个垂直转角处放两个平面镜AB和CD，使海面上的光线经过两次反射后平行地从潜水艇的潜望镜另一端出来，这样，就可以在潜水艇内如实地看见海面上的情况，问：应该怎样固定两个平面镜？

变一变：对数学对象进行各种不同的描述可以拓宽迁移的领域，有利于数学问题的解决和思维灵活性的培养。例如距离概念在数轴上表现为绝对值、在平面几何中表现为连结两点间线段的长度、在解析几何中表现为两点间距离公式、在复数和向量中表现为模。如果学生能够建立这样的多种连接，那么就不会在用绝对值意义解决下面问题中遇到很大的困难：有一个纺织女工，工作时要关照同一直线上的五台纺织机，每次巡视都要看遍每台机器，请问：她怎样走动才能使每次巡视所走的总路程最少？

在变一变活动中，重要的是使学生发现数学对象并用自己的语言描述数学对象，而不是老师或书本告诉学生数学对象的描述，只有前者能有产生不同的描述的源泉。变一变具有丰富的内涵，可以把代数式的恒等变形、方程和不等式的同解变形、图形的运动变换、对数学原理的逆向探索等都是变一变的活动内容，也包括老师平时所说的变式训练。

加一加：在数学对象上加上特定的数学元素，可以显现隐含的数学结构，有助于问题的解决，这就是数学结构的补全问题，这在几何中表示为图形辅助线的添加、用单个几何图形经过复合、运动变换，形成美丽的图案设计；在代数中体现为添加要素构成代数原理、添加条件限制范围（如方程组，复合函数等）。

减一减：在数学对象中忽略有些元素，克服背景的干扰，使特定的数学结构显现出来，这是数学结构的识别。或者减少对象的条件的限制，研究其不变的数学性质，这是数学原理的推广，它在数学科学的发展历史中发挥了重要的作用。从几何的度量不变性研究到保角变换的研究再到一般变换的研究，体现在从欧氏几何到仿射几何、射影几何及现代代数变换群的研究和拓扑学的研究的发展过程中。

②对思维过程的评价、反思和质疑。这一环节的活动主要包括对思维过程的实时评价、反思质疑和延后评价、反思与质疑。在数学思考过程中，要不断地评价自己的思维的阶段成果与目标要求是远了还是近了，表现为解决问题过程中的实时监控。例如，有下面问题：已知抛物线y＝x²＋x＋b经过点（a，－）和（－a，y₁），求y₁的值。

学生在解决这个问题中，习惯地用抛物线的一般式代入计算，发现得到的结果是：－＝a²－a＋b，而要求出y的₁值，就设法先求出a和b的值，得到的结果是一个二元二次方程，a和b的值不确定，因此思维受阻。这时，就要对自己的思维过程进行评价、反思和质疑，得到用此方法与目标要求距离无法接近，考虑用其它方法，只要考虑运用抛物线的配方式，则问题迎刃而解。在进行思维过程的延时评价时，主要对解决问题过程的合理性，简捷性和解决问题的思想方法进行评价、反思和质疑，由此产生一题多解，寻求最漂亮的解决问题的途径，并对解决问题的思想方法进行总结提炼，使之成为能够产生广泛迁移的数学现实。

③对思维结果的评价、反思和质疑。对思维结果进行评价、反思和质疑的最有代表性的例子是著名的罗素悖论：考察一切自身不为其中一个元素的集合B，此时假设x∈B，则可以推出x∈B，假设x∈B，则可以推出x∈B。对推动现代数学的发展，起到重要的作用。当然，这个例子初中学生难以理解，但是，初中学生进行思维结果评价、反思和质疑活动的资源是丰富的。对思维结果的评价、反思和质疑活动的主要内容是：思维结果的合理性、思维结果是否能推广到别的领域加以应用。对思维结果的合理性思考可以引导学生思考数学证明的必要性，同时，学生对自己得到的结果的自我评价能力会得到培养，就会有利于改变学生做了题目而不知道对错的现象。对思维结果的应用领域的思考可以有效地拓宽学生的数学现实的迁移范围。在这种思考过程中，可以把自己得到的结果当作思维的对象，运用对思维对象的评价、反思和质疑的活动方法开展活动。