数学定义和教学

数学定义和教学_科学与方法

1．在这里我要谈谈数学中的一般定义；至少这是本章的标题，但是像行为统一规则所要求的那样把我严格限制在这个题目中，将是不可能的；在不涉及其他几个有关问题的情况下，我将无法论述它，因此，如果我不得不在花坛的边界时时左右漫步的话，我请求你们宽恕我。

什么是好定义呢？对哲学家或科学家来说，它是适用于且仅仅适用于所定义的对象的定义；它是满足逻辑规则的定义。但是，在教学中，情况并非如此；好定义是能被学生理解的定义。

如此之多的人不愿理解数学，这种情况是怎么发生的呢？这难道不是某种悖论吗？嗨，你瞧！科学仅求助于基本的逻辑原则，例如矛盾律，矛盾律可以说是我们理智的骨架，只要我们不停止思维，我们自己就不能抛开它，而有人却发觉它是模糊不清的！他们甚至还占大多数！他们没有发明的能力尚可谅解，但是他们竟不理解向他们表明的论证，当我们向他们展现在我们看来是十分闪亮的火焰时，他们竟视而不见，这是多么奇怪的事呀。

可是，不需要广泛的考察经验，就能知道这些盲人绝不是例外的人。这是一个不容易解决的问题，但是它应当引起所有希望献身于教学的人的注意。

所谓理解，意味着什么呢？这个词对于所有世人具有相同的意义吗？相继审查组成定理证明的每一个演绎推理，弄清它的正确性、它与游戏规则的一致性，这就是理解一个定理的证明吗？同样地，为了理解一个定义，这仅仅是辨认人们已经知道的所使用的全部词的意义并弄清它不隐含矛盾吗？

对于一些人来说，情况就是这样；当他们这样做了，他们将说：我理解了。

对于大多数人来说，情况并非如此。几乎所有的人都更为苛求；他们希望了解的不仅是证明的所有演绎推理是否正确，而且是它们为什么以这种秩序而不以另外的秩序联系起来。对他们来说，它们似乎是由任性产生的，而不是由总是意识到所达目标的理智产生的，他们不认为他们理解了。

无疑地，他们本身恰恰没有意识到他们渴望的东西，他们不能系统地阐述他们的欲望，但是，如果他们得不到满足，那么他们便会模糊地感觉到缺乏某些东西。于是，会发生什么情况呢？一开始，他们还觉察到人们摆在他们眼前的论证；但是，当这些论证仅仅是用过分纤弱的线索与处于其前和处于其后的论证关联在一起时，他们在自己的头脑里不会留下任何痕迹；他们不久便遗忘了；他们很快使一瞬间的亮光消失在永恒的暗夜中。当他们继续前进时，他们甚至再也看不到这一短暂的光亮了，因为定理是相互依赖的，他们所需要的定理被忘记了；因此，他们变得不可能理解数学了。

这并非总是他们的老师的过错；他们的心智需要察觉指导线索，但往往太迟钝了，以致找不到和查不出这个线索。但是，要帮助他们，我们首先必须了解，是什么东西正好妨碍了他们。

其他人总是询问，这有什么用处；如果他们在实践中或自然界中找不到它们，他们将不能理解如此这般的数学概念的正当理由。在每一个词下，他们都希望提出明显的图像；定义必须唤起这个图像，以致在证明的每一个步骤中，他们可以看到它变换和发展。只有在这一条件上，他们才能理解和记住。这些常常欺骗他们自己；他们不听信推理，他们着眼于图形；他们自以为他们理解了，而他们只是看见了。

2．各种各样的倾向何其之多！我们必须反对它们吗？我们必须利用它们吗？如果我们希望反对它们，那么应该赞同这种做法吗？我们必须向满足于纯粹逻辑的人表明，他们只是看到了事情的一个方面吗？或者我们需要对不如此廉价满足的人说，他们所要求的东西并不是必要的吗？

换句话说，我们应该强使年轻人改变他们的心智本性吗？这样的企图是徒劳的；我们没有点金石，能够向我们透露秘密，使我们把一种金属变为另一种金属；我们所能做的一切就是对它们进行加工，并使我们顺应它们的性质。

许多儿童不能成为数学家，但是我们必须教他们数学；数学家本身并不是用同一个模子铸造出来的。读一读他们的著作，就足以把他们分为两种心智类型，例如像维尔斯特拉斯（Weierstrass）那样的逻辑主义者，像黎曼那样的直觉主义者。在我们的学生中间也有同样的差别。一类人正如他们所说，偏爱“用解析学”处理他们的问题，另一类人则偏爱“用几何学”来处理。

企图改变这种状况是无用的吗？而且这样做是合乎需要的吗？最好是既有逻辑主义者，又有直觉主义者；谁敢说他宁愿维尔斯特拉斯从来不写东西，或者黎曼永远不存在呢？因此，我们必须听任心智的多样性，或者最好我们必须为之高兴。

3．由于理解一词有许多意义，一些人易于理解的定义对另一些人来说则不易理解。我们有力求产生图像的定义，有我们限于把空洞的形式组合起来的定义，这些形式是完全可理解的，而且是纯粹可理解的，抽象剥去了其全部内容。

我不知道是否有必要引用例子？无论如何，让我们引用一个例子吧，分数的定义首先将向我们提供一个极端例证。在小学，要定义分数，人们切开苹果或馅饼；当然，这是在内心切开，实际上并没有切开，因为我没有假定初等教育的预算容许如此挥霍。另一方面，在师范学校，或者在高等学校，却说分数是用水平线分开的两个整数的组合；我们通过约定定义这些符号可以服从的运算；据证明，这些运算法则与整数计算中的相同，而且我们最后根据这些法则确定，用分母乘分数则得分子。这是十分恰当的，因为我们正在向年轻人讲解他们通过切开苹果或其他对象长期以来就熟悉了的分数概念，由于严格的数学教育的熏陶，他们的心智逐渐地向往纯粹逻辑的定义。但是，如果有人要力图把它给予初学者，那岂不是要使他呆若木鸡么！

这也是在希尔伯特的《几何学基础》一书中所看到的定义，该书受到公正的称赞并获得了极大的荣誉。看看他事实上是如何开始的：我们设想三个事物系统，我们将称其为点、线和面。这些“事物”是什么呢？

我们不知道，也不需要知道；想要了解它们甚至被认为是憾事；我们有权知道的一切就是这个假定告诉我们的东西；例如这就是：两个不同的点总是决定一直线，还要紧随这样的话：倘若不用决定一词，我们可以说两点在直线上，或者说直线通过这两点或连结这两点。

因此，“在直线上”只不过被定义为“决定一直线”的同义语。瞧，我认为是很好的书，但是我不应向学童推荐。可是，即便我毫无顾忌地推荐了，学童也无法读懂它。我所举的是极端的例子，没有老师会梦想走得那么远。不过，即使突然中止这样的模式，他难道不是已经面临同样的危险吗？

假定我在一个班级里；教师讲道：圆是与称之为圆心的内部一点等距的平面上的点的轨迹。好学生在他的笔记本写下这句话；差学生拉长了脸；但是，无论谁都不理解其意；于是，教师拿起粉笔，在黑板上画圆。学生认为：“啊！他为什么不同时说圆是环形物呢，否则我们早该理解了。”毫无疑问，教师是对的。学生的定义是无效的，因为它不能用于证明，因为它不能培养学生分析概念的有益习惯。但是，人们应该向他们说明，他们并不理解他们自以为知道的东西，应该引导他们意识到他们的原始概念的粗糙性，意识到他们需要使概念变得纯粹、变得精确。

4．我将返回到这些例子；我只希望向你们说明两种对立的概念；它们处于猛烈的冲突之中。科学史可以说明这种冲突。如果我们读一下50年前写的书，我们发现大多数推理似乎缺乏严格性。当时曾经假定，连续函数只有在通过零点时才能改变符号；今天我们证明了这一点。人们曾假定，通常的运算法则可用于不可通约数；今天我们证明了它。人们还做过许多其他假定，其中有时也会出错。

我们信赖过直觉；但直觉既不能给我们以严格性，也不能给我们以确定性；我们愈来愈看清了这一点。例如，我们被告知，每一个曲线都有切线，也就是说，每一个连续函数都有导数，但这却是错误的。由于我们寻求确定性，我们使直觉成分越来越少。

是什么促成了这种必要的进化呢？我们并非迟钝地觉察到，如果一开始不使严格性进入定义，那么严格性就无法在推理中确立。

数学家所研究的对象长期以来没有很好地定义；因为我们用感官或想像描述它们，所以我们自以为了解它们；但是，对于它们，我们只有粗糙的图像，而没有推理赖以进行的精确概念。正是在那里，逻辑主义者完全可以指导他们的努力。

对于不可通约数来说，情况就是这样。我们把模糊的连续性观念归因于直觉，这种观念本身分解为与整数有关的复杂的不等式系统。这样便最终消除了所有的困难，我们的祖先在考虑微积分基础时，曾为这些困难感到惊讶。今天，只有整数留在解析学中，或者说，只有用等式和不等式丛结合起来的整数的有限系统或无限系统留在解析学中。我们所说的数学被算术化了。

5．但是，你认为数学在没有做出任何牺牲的情况下获得了绝对的严格性吗？根本不是这样；在严格性方面有所得，则在客观性方面有所失。正是由于严格性本身与实在相分离，它才获得了这种完美的纯洁性。我们可以自由地在它的整个疆域驰骋，以前这里充满着障碍，而且这些障碍还没有完全消失。它们只是移到了边界，如果我们想越过这一边界而进入实用领域，就必须重新破除这些障碍。

我们已经具有由不一致的要素形成的模糊的概念，在这些要素中，一些是先验的，另一些来自或多或少经过整理的经验；我们认为，我们通过直觉知道这个概念的主要特性。今天，我们摒弃经验要素，仅仅保留先验要素；特性之一作为定义，所有其他特性都能通过严格的推理从定义导出。这都是十分恰当的，不过依然要证明，这种变成定义的特性从属于真实的客体，经验使我们了解这些客体，我们从中引出了我们模糊的直觉概念。为了证明这一点，就必须诉诸经验或求助于直觉，如果我们不能证明它，我们的定理或许十分严格，但却毫无用处。

逻辑有时造成奇异的东西。半个世纪以来，我们看到，出现了一大堆异乎寻常的函数，它们似乎力图尽可能地不类似于具有某些效用的普通函数。它们不再有连续性，或者也许有连续性，但却没有导数等等。不仅如此，从逻辑的观点看，正是这些奇异函数，才是最普遍的，人们无须寻找就能遇到的函数除非作为特例，否则不再出现。它们继续仅占据了一个很小的角落。

从前，当一个新函数被发明时，正是为了某种实用的目的；今天，为了指出我们祖先推理的错误，才特意发明新函数，人们从来也不能从它们得到任何比这更多的东西。

如果逻辑是教师的唯一指导，它就必须从最普遍的函数开始，也就是说从最奇异的函数开始。正是初学者，必须下决心对付这个畸胎陈列馆。如果你不这样做，逻辑学家就会说，你只能分阶段达到严格性。

6．是的，也许是这样，但是我们不能使实在如此贬值，我不仅仅意指感觉得到的世界的实在，这种实在无论如何具有它的价值，因为你的学生十分之九都向你索求武器，以便与之斗争。还有一种更为微妙的实在，它造成了数学存在的真正生命，它完全不同于逻辑。

我们的身体是由细胞构成的，细胞是由原子组成的；于是，这些细胞和这些原子都是人们身体的实在吗？这些细胞排列的方式，由此导致个体统一的方式，不也是实在，而且不也是更有趣的实在吗？

博物学家只是用显微镜研究大象，他能够认为他充分地了解这种动物吗？这与数学中的情况相同。当逻辑学家把每一个证明分解为许多全部正确的基本演算时，他还不具有整个实在；我不了解哪一种东西构成证明的统一性，这一点将完全逃脱他的注意。

在由我们的大师们建设起来的大厦中，即使我们不理解设计师的规划，我们也要称赞砖石工的工作多么有用吗？现在，纯粹逻辑不能使我们正确评价总效果；为此我们必须求助直觉。

以连续函数的观念为例。起初，这只是一个可感觉到的图像，用粉笔在黑板上所画的痕迹。逐渐地，它变得精练了；我们利用它构造复杂的不等式系统，该系统再现了原初图像的所有特征；当做完这一切后，正像在建成了拱门之后，我们便拆除了拱架；从这时起，支撑物无用了，这种粗糙的表象消失了，留下的只是大厦本身，在逻辑学家看来，它是无可指责的。可是，如果教师不回忆原初图像，如果他不暂时恢复拱架，那么学生怎么能够以某种随意性凭直觉推测，所有这些不等式相互之间以这种方式搭成脚手架呢？定义在逻辑上也许是正确的，但它并没有向他显露出真正的实在。

7．因此，我们必须回溯一下；对一个教师来说，无疑很难教他完全不满意的东西；但是，教师的满意并不是唯一的教学目标；我们首先应该注意学生的心智是什么样的，我们希望使它变成什么样的。

动物学家主张，动物的胚胎的成长简短地重演了它的祖先在整个地质时代的全部历史。在心智发展中，情况似乎与此相同。教师应该使儿童走他的祖先走过的路；要更快些，但不要越站。为此，科学史应该是我们的第一个向导。

我们的祖先以为他们知道分数是什么，或连续性是什么，或曲面的面积是什么；我们发现他们并不了解它。当我们的学生开始认真学习数学时，他们恰恰也是这样以为他们了解数学。如果在没有预先通知的情况下我告诉他们：“不，你们不了解数学；你们以为你们理解的东西，其实你们并不理解；我必须向你们证明在你们看来似乎是自明的东西。”在证明中，如果我使自己立足于在他们看来似乎不比结论自明的前提，那么这些不幸的人将怎么想呢？他们将认为，数学科学仅仅是无用的不可捉摸的东西的任意堆积；或者他们将厌恶它，或者他们将把它作为游戏来玩，并将达到像希腊诡辩家那样的心智状态。

相反地，当学生的心智后来熟悉了数学推理时，心智由于这种长期的反复训练而成熟起来，学生本人将发生疑问，于是你的证明将受欢迎。这将唤起新的疑问，问题将相继地呈现在儿童面前，正像它们曾相继地呈现在我们祖先的面前一样，直到完美的严格性才能使他满意。怀疑一切是不够的，人们必须了解他为什么怀疑。

8．数学教学的主要目的是发展心智的某些官能，其中直觉并不是最不珍贵的。正是通过直觉，数学世界才依然与实在世界保持接触，即使纯粹数学家没有真实世界也能工作，但总是必须求助于它，以填平把符号与实在分隔开的鸿沟。实际者将总是需要它，对于一个纯粹几何学家，应该有一百个实际者。

工程师应该接受完善的数学教育，可是数学教育对他应该有什么帮助呢？

看看事情的各个方面吧，迅速地看一看它们吧；工程师没有时间捉老鼠。在呈现给他的复杂的物理对象中，他应该敏捷地辨认，我们放在他手中的数学工具能够占据什么地点。如果我们在工具和对象之间留下逻辑学家挖掘的深渊，他该怎么办呢？

9．除工程师而外，其他为数不多的学生本身将要成为教师；因此，他们必须追本穷源；对他们来说，关于本原的深刻的、严谨的知识首先是不可或缺的。但是，这并不是在他们身上无须培养直觉的理由；其原因在于，如果他们从来不注重直觉，只是片面地看问题，那么他们就会得到错误的科学观念，而且他们也无法在他们的学生身上发展他们自己并不具备的品质。

对于纯粹几何学家本人来说，这种官能是必不可少的；人们证明正是用逻辑，人们发明正是用直觉。知道如何批判固然不错，知道如何创造当然更好。你知道如何辨认组合是否正确；如果你没有在所有可能的组合中选择的技艺，便会陷入何等困境。逻辑告诉我们走如此这般的道路保证不会遇到任何障碍；但是它没有说哪一条道路通向目标。为此，必须从远处瞭望目标，教导我们瞭望的官能是直觉。没有它，几何学家便会像这样的作家，他只是按语法作诗，但却毫无思想。现在，它刚一出现，如果我们驱逐它、排斥它，如果我们在了解它的好处之前轻视它，那么这种官能怎么能够发展呢。

在这里，请允许我插句话，强调一下书面练习的重要性。书面写作在某些考试中也许没有充分地予以重视，例如在巴黎综合工科学校就是这样。我被告知，书面写作对于十分优秀的学生紧闭大门，这些学生精通课程，透彻地理解它，不过没有能力作最少量的应用。我刚刚说过，理解这个词有几种意义：这样的学生只是在第一个方面理解了，我们看到，这既不足以成为工程师，也不足以成为几何学家。好了，由于必须做出选择，我宁可要完全理解的学生。

10．但是，数学教师首先应当培养的健全的推理技艺不也是珍贵的东西吗？我未充分留神而忘记了这一点。它应该引起我们的注意，从一开始就这样做。我总是忧伤地看到，几何学退化为我不了解的低级的准距快速测定术，我决不赞成某些德国教师的极端主张。但是，有足够的机会使学生练习数学那一部分中的正确推理，我所指出的不方便在这里还未呈现出来。有一长串定理，其中绝对的逻辑从最初就处于支配地位，也可以说十分自然地处于支配地位，在那里，头一批几何学家给我们以模式，我们应该不断地仿效和赞美这些模式。

正是在第一原理的阐明中，必须避免过多的不可捉摸的东西；这也许最让人丧气而且无用。我们不能证明一切，我们不能定义一切；因而总是有必要借用直觉；问题在于，是早一点还是晚一点这样做，倘若正确地利用直觉向我们提供的前提，我们便能学会健全地推理。

11．有可能满足如此之多的对立条件吗？尤其是，当问题在于给出定义，这是可能的吗？怎样才能找到一个简明的陈述，使它同时满足不妥协的逻辑法则，满足我们把握新概念在科学总体中的地位的要求，满足我们用图像进行思维的需要呢？这样一个陈述通常是找不到的，这就是人们不足以陈述定义的原因；必须为它作准备，并且为它辩护。

这意味着什么呢？你知道，人们常常说：每一个定义都隐含着假定，因为定义肯定所定义的对象的存在。于是，从纯粹逻辑的观点看，直到人们既不用术语、也不用预先承认的真实性证明它不包含矛盾为止，否则定义将不会受到辩护。

但是，这还不够；定义是作为约定向我们陈述的；但是，如果我们希望把定义作为任意的约定强加给人们，那么大多数心智都会感到反感。只有当你回答了许多问题时，他们才会满意。

正如利阿德（Liard）先生表明的，数学定义通常完全是由比较简单的概念建造的名副其实的建筑物。但是，当许多其他组合都是可能的时候，为什么以这种方式集合这些要素呢？

这是出于任性吗？如果不是，为什么这种组合比所有其他组合更有存在的权利呢？它符合什么需要呢？人们如何预见它在科学发展中会起重要的作用，它会使我们的推理和运算简化吗？在自然界中存在着某种熟悉的对象，也可以说是存在着它的粗糙的和模糊的图像吗？

这并非一切；如果以满意的方式回答所有这些问题，我们事实上将看到，新生儿有权利被命名；但是，名称的选择也不是任意的；它要说明人们受什么类似指导，如果把类似的名称给予不同的事物，这些事物至少仅在材料上有差别，而在形式上却相关联；它们的性质是类似的，也可以说是平行的。

以此为代价，我们可以满足所有的倾向。如果陈述正确得足以使逻辑主义者中意，那么辩护将会使直觉主义者称心。但是，还有更好的程序；若辩护无论在什么地方都是可能的，它就应该先于陈述，并为陈述做准备；通过研究某些特例，便会引导人们达到普遍的陈述。

还有另外的事情：定义的陈述的每一部分，其目的在于把被定义的事物与其他邻近对象的类区别开来。只有当你不仅指出了被定义的对象，而且也指出了可以恰当地与之区别的邻近对象时，只有当你把握了差异并明确地附加道：这就是在陈述定义时我为什么这样说而不那样说时，定义才算是被理解了。

不过，现在是放下一般原则，进而审查我详述过的某些抽象原理如何可以应用在算术、几何学、解析学和力学中的时候了。

 

算术

12．整数不必定义；作为回报，人们通常定义整数的运算；我认为，学生虽则记住了这些定义，但并不明白它们的意义。关于这一点，有两个理由：首先，使学生过早地学习它们，当时他们的心智还没有感到需要它们；其次，从逻辑的观点看，这些定义是不能令人满意的。加法的好定义还未找到，只是因为我们必须停下来并且不能够定义一切。说加法在于添加，这并不是定义加法。人们能够做的一切就是从若干具体例子出发，并且说：我们完成的运算就是所谓的加法。

至于减法，完全是另一个样子；从逻辑上讲，减法可定义为加法的逆运算；但是，我们能够以这种方式开始吗？在这里，也是用例子开始的，依据这些例子表明两种运算的相关性；于是，将为定义预先做了准备，并使它得到辩护。

乘法恰恰也是这样；举一个特殊问题吧；先表明乘法可以通过把几个相等的数加在一起来解决；接着表明我们用乘法可以比较迅速地达到这一结果，乘法是学生已经知道如何按惯例去做的运算，逻辑定义将会自然地由此得出。

除法被定义为乘法的逆运算；可是还是以例子开始，例子是从分割这一熟悉的概念产生的，依据这个例子表明，乘法可以再产生被除数。

还有分数运算。唯一的困难是关于乘法。最好先详述一下比例理论；只有从它才能够得到逻辑定义；可是，要使在这个理论的开头遇到的定义是可以接受的，就必须用许多例子为它们做准备，并尽力引入分数已知件，而那些例子则来自比例运算三个法则的经典问题。

我们也不应害怕用几何学图像使学生熟悉比例概念：或者如果他们已经学过几何学，可以通过诉诸于他们回忆起来的东西，或者如果他们没有学过几何学，则可以求助于直接的直觉，而且这将为他们以后学习几何学作好准备。最后，我想再说一句：在定义了分数乘法之后，需要通过表明它服从交换律、结合律和分配律，来为这个定义辩护，并让听者注意，这样规定是为定义辩护。

人们看到，几何学图像在这一切中起了什么作用；这种作用已得到哲学和科学史的辩护。如果算术和几何学依然毫无混合，那么算术只可能知道整数；正是为了使自己适应几何学的需要，算术才发明了其他东西。

 

几何学

在几何学中，我们即刻就遇到了直线的概念。直线能够被定义吗？众所周知的定义，即从一点到另一点的最短路径，很难使我满意。我只应从直尺开始，首先向学生说明，人们如何通过转动检验直尺；这种检验就是直线的真实定义；直线就是旋转轴。其次，他应当表明如何通过滑动检验直尺，于是他便明白直线的最重要的特性之一。

至于从一点到另一点的最短路径这个特性，不过是一个能够绝对肯定地加以证明的定理，但是证明太复杂了，以致在初等教育中找不到它的位置。更值得表明的是，把一个预先检验过的直尺贴近拉紧的线上。面对这样一些困难，人们不需要担心增加假定，从而用粗糙的实验为它们辩护。

需要姑且承认这些假定，如果人们承认它们之中的几个假定多于严格必要的假定数，弊端也不是很大的；主要的事情是学会在所承认的假定上正确地进行推理。喜欢重复的萨尔塞（Sarcey）叔叔常说，在剧院中，观众在一开始都乐于接受所有强加在他身上的假设，但是布幕一旦拉开，他就变得坚决按照逻辑看问题。好了，数学中的情况与此正好相同。

关于圆，我们可以从圆规开始；学生乍一看便会认出所画的曲线；然后使他们观察，这个绘图工具的两点的距离始终不变，其中一个点是固定的，另一个点是可动的，这样我们将自然地被导向逻辑定义。

平面的定义包含着公理，这一点无须隐瞒。取一个制图板，显示运动着的直尺始终保持与这个平面完全接触，而且还具有三个自由度。与柱面和锥面比较，在这种曲面上所划的直线只具有两个自由度；其次，取三个制图板；先显示它们将滑动，同时相互依然适用，这个制图板有三个自由度；最后把平面和球面加以区别，显示与第三个板符合的两个板将相互符合。

也许你为这种不断地使用运动之物而感到惊奇；这不是粗糙的技巧；它比人们起初设想的更富有哲理。对哲学家来说，几何学是什么呢？它是群的研究。是什么群呢？是固体运动的群。可是，要是没有某些运动着的固体，怎么定义这种群呢？

我们应该保持平行线的经典定义，说平行线是两个共面的直线无论延长得多么远都不相交吗？不应该，因为这个定义是否定的，因为它无法用实验证实，从而不能被看做是直觉的即时已知件。之所以不应该，尤其是因为它对群的概念完全是陌生的，完全没有考虑固体的运动，正如我说过的，固体的运动是几何学的真正来源。首先把不变图形的直线平动定义为这个图形的所有点都具有直线轨道的运动，并通过使正方形在直尺上滑动，说明这样的平动是可能的，这岂不是更好一些？

从这个作为假定而提出的实验考察中，可以很容易地推出平行概念和欧几里得（Euclid）公设本身。

 

力学

我不需要回到速度或加速度的定义，或者回到其他运动学概念；它们可以有利于与导数的概念关联起来。

另一方面，我愿强调一个力和质量的动力学概念。

有件事情震撼了我：受过中学教育的年轻人，距离把教给他们的力学定律应用到真实的世界中相差何其之远。这不仅仅是他们没有应用能力；他们甚至没有想到应用。对他们来说，科学世界和实在世界是用一堵不可逾越的墙壁隔离开来的。

如果我们尝试分析一下我们学生的心智状态，我们就不会为此感到惊讶了。在他们看来，真实的力的定义是什么呢？力的定义不是他们背诵的东西，而是蜷缩在他们心智的隐匿处、从中完全指导心智的东西。这里有一个定义：力是箭号，人们用它来作平行四边形。这些箭号是想象的东西，它与自然界中的任何存在物都没有关系。如果向学生表明力实际上在用箭号表示它们之前就存在，那就不会发生这种情况。

我们将如何定义力呢？

我想我在其他地方已充分表明，完善的逻辑定义是没有的。只有拟人的定义，即肌肉用力的感觉；这实在太粗糙了，无法从它导出任何有用的东西。

在这里，问题在于我们应该如何前进：首先，要知道力的种，我们就必须相继表明这个种的所有类；它们是为数众多的、截然不同的；有其中盛有流体的容器内壁上的流体压力；有线的张力；有弹簧的弹性力；有作用在物体所有分子上的重力；有摩擦力；有两个物体在接触时相互之间正常的作用力和反作用力。

这只是定性的定义；还必须学会测量力。为此，先由证明一个力可用另一个力代替而不破坏平衡开始；我们可以在天平和博尔达（Borda）的双重称量中找到这种代替的第一个例子。

接着证明，重力不仅可以用另一个重力代替，而且可以用不同本性的力来代替：例如，普罗尼（Prony）制动器容许用摩擦力代替重力。

两个力平衡的概念就是从这一切中产生的。

必须定义力的方向。如果一个力F借助于拉紧的线等价于另一个作用在所考虑的物体上的力F′，以致F可以用F′代替而不影响平衡，那么按照定义，连接线的点将是力F′的作用点和等价的力F的作用点；线的方向将是力F′的方向和等价力F的方向。

由此可进而比较力的大小。如果一个力能够代替具有同一方向的其他两个力，它便等于两力之和；例如，演示20克的重物可以用两个10克的重物来代替。

这就足够了吗？还不够。我们现在知道如何比较两个具有同一方向和同一作用点的力的强度；当方向不同时，我们也必须学会比较。为此，设想一个用重物拉紧并通过滑轮的线；我们便说该线的两条引线的张量相同，并且等于重物的张力。

我们的这个定义能使我们比较线的两段的张力，再利用前面的定义，我们还可以比较与这两段线具有同一方向的任何两个力。应该通过演示线的最后一段的张力对于同一张量的重力而言依然相同，而不管折转滑轮的数目与配置，来为上述说法辩护。最后，还必须通过演示这只有在滑轮无摩擦时才为真来完成。

一旦掌握了这些定义，就可以证明，作用点、方向和强度足以决定一个力；这三个要素相同的两个力总是等价的，而且总是可以相互代替，而不管它们处于平衡还是处于运动，而且这与正在作用的其他力是什么毫无关系。

必须表明，两个共点力总是可以用一个合力来代替；而且，不管物体处于静止还是处于运动，也不管作用于物体的其他力是什么，这个合力依然是相同的。

最后必须表明，这样定义的力满足作用与反作用相等的原理。

正是实验而且惟有实验，才能告诉我们这一切。引用学生每天都做的而且不怀疑的某些共同的实验，在他们面前完成几个简单的、经过周密选择的实验，这就足够了。

正是在通过这一切迂回曲折的道路之后，我们才可以用箭号表示力，我甚至希望，在推理的进展中，时时要从符号返回到实在。例如，不难借助用三条线做成的仪器来图示力的平行四边形，这三条线通过滑轮，用重物拉紧，当它们作用在同一点时便处于平衡状态。

知道了力，就很容易定义质量；这时，定义应该借用动力学；没有其他做法，因为要达到的目的就是理解质量和重量之间的差别。在这里，定义应该再次由实验来引导；事实上，有一种机械似乎是特意为显示质量是什么构成的，这就是阿脱武德（Atwood）机；也可以回忆一下落体定律，即重力加速度对于重物体与轻物体都是相同的，而且它还随纬度不同而变化，等等。

现在，如果你告诉我，我所赞美的所有方法长期以来就在学校应用，与其说我为此感到惊奇，毋宁说我为此感到高兴。我知道，总的说来，我们的数学教学是好的。我不希望推翻它；那样做甚至会使我感到悲痛。我只要求逐步地改善。这种教学不应该在一时的风尚的随意冲击下遭受突然的摇摆。在这样的骚动中，它的高度的教育价值会立即蒙受损害。良好的和健全的逻辑应该继续是它的基础。用例子定义总是必要的，但是它应该为逻辑定义开辟道路，它不应该代替逻辑定义；在真正的逻辑定义只能在高级教育中有利地给出的情况下，它应该使这一点至少成为可以向往的。

请理解，我在这里所说的一切并不意味着放弃我在其他地方所写的东西。我常常有机会批评我今天称赞的某些定义。这些批评完全是有效的。这些定义只能是暂时性的。但是，我们必须取道的正是它们。