简单命题及其有效推理

什么是简单命题的推理呢？先看下述几个推理：

（1）所有团员都是青年

　　所以，有的青年是团员

（2）所有鲸鱼不是鱼

　　有的水生（哺乳）动物是鲸鱼

　　所以，有的水生（哺乳）动物不是鱼

无论是（I）还是（2），它们的前提和结论都是作为简单命题的直言命题。这种由简单命题充当前提与结论的推理就是简单命题推理。它们都是具有必然性的演绎推理。

至于什么是简单命题，我们在前一章里已经初步说明过。简单命题是自身不再包含其他命题的一类命题。换句话说，其组成要素只是概念（或者说是表达概念的词项）而非判断的那类命题。主要包括直言命题（即断定对象具有或不具有某种性质的命题，亦称性质命题）和关系命题（断定对象之间具有或不具有某种关系的命题）。我们这里着重要介绍的是直言命题。上述推理（1）和（2）的两个前提和结论都是直言命题。而且，从这两例中，我们也可以清楚看到四种不同的直言命题：

全称肯定命题：断定某类中每一个对象都具有某种性质的命题。如“所有团员都是青年”。

全称否定命题：断定某类中每一个对象都不具有某种性质的命题。如“所有鲸鱼不是鱼”。

特称肯定命题：断定某类中有对象具有某种性质的命题。如“有的青年是团员”。

特称否定命题：断定某类中有对象不具有某种性质的命题。如“有的水生动物不是鱼”。

如果我们用“S”表示主项，用“p”表示谓项，那么我们就可以将这四种直言命题的逻辑形式表示为：

所有S是P（通常写为SAP，也可简写为A）

所有S不是P（通常写为SEP，也可简写为E）

有的S是P（通常写为SIP，也可简写为I）

有的S不是P（通常写为SOP，也可简写为0）

需要指出的是，SAP、SEP、SIP、SOP等仅仅是直言命题形式，而不是直言命题，因为S和P只是变项，当变项没有为某些确定的概念所代换时，SAP、SEP、SIP、SOP都是无所谓真假的，而只有或真或假的语句才是命题。

直言命题除了上述四种最基本的形式外，还有一种单称命题，即断定某个单独对象是否具有某种性质的命题。按其联项的性质，又可分为单称肯定命题，即断定某个单独对象具有某种性质的命题，如“北京是中华人民共和国的首都”；单称否定命题，即断定某个单独对象不具有某种性质的命题，如“黄河不是中国最长的河流”。由于单称命题是对某一单独对象具有或不具有某种性质的断定，就主项的外延而论，只要是对该单独对象做出断定，也就是对反映该对象的概念的全部外延做了断定，这就类似于全称命题，故在一般情况下可将单称命题作为全称命题来对待。这样，直言命题仍旧包括上述四种基本形式。

弄清了上述四种直言命题后，我们就可以用它们来进行简单命题的推理。

（一）直言命题的直接推理

由一个直言命题为前提推出另一个直言命题为结论的推理，就是直言命题的直接推理。

比如：

（3）迷信不是科学

　 　所以，科学不是迷信

可横写为：

迷信不是科学，所以，科学不是迷信。

其推理形式用符号可横写为：

S不是P→P不是S

其中，“→”表示前提到结论的推出关系，读作“推出”

（4）迷信不是科学

　　所以，迷信是非科学

其推理形式可横写为：

S不是P→S是

其中，“”表示P的矛盾概念，读作“非P”。

推理（3）和（4）都是由一个直言命题作为前提而推出另一个直言命题作为结论，所以它们都是直言命题的直接推理。（3）是通过改变前提中主项和谓项的位置（即变主项为谓项，变谓项为主项）而由作为前提的原命题推出一个新的命题作为结论。这种推理就是直言命题变形法推理中的换位法推理，简称换位法。

进行换位法推理必须遵守两条规则：

第一，换位法只是改换原命题主项和谓项的位置，原命题的质保持不变，即作为前提的原命题如为肯定（或否定）命题，通过换位所得到的结论应仍为肯定（或否定）命题。

第二，换位后的主项和谓项在原命题中如没有被断定其全部外延（逻辑学上称之为不周延），换位后不得断定其全部外延（逻辑学上称之为周延）。这是因为，作为结论的新命题是由作为前提的原命题推出的，如果原命题中不周廷的项（即来被断定其全部外延的主项或谓项），在结论中却周延了（即被断定了其全部外延），那就意味着结论不完全是由前提推出的，前提的真就不可能必然保证结论的真。

按此，A、E、I、O四种直言命题的换位法推理，可概括为下表：

在换位推理中，常见的逻辑错误是违反换位法的规则，致使在前提中不周延的项，在结论中却周延了。比如《伊索寓言》中有一则题为《狗和海螺》的寓言，其中的那只狗就正好犯了这种错误。该寓言的大意是：

（5）有一只狗习惯于吃鸡蛋，久而久之，它意识到“一切鸡蛋都是圆的”。

有一次，它看见一个圆圆的海螺，就以为是鸡蛋，于是张大了嘴，一大口就把海螺吞下肚去。

后来觉得肚里沉重，很是痛苦，说道：“我真是活该，相信一切圆的都是鸡蛋。”

寓言中的狗，由相信“一切鸡蛋都是圆的”，进而相信“一切圆的都是鸡蛋”，以至把圆圆的海螺当鸡蛋吞下，吃尽苦头，其错误就正在于它由全称肯定命题“一切鸡蛋都是圆的”推出了全称肯定命题“一切圆的都是鸡蛋”。而这实际上是一个错误的换位法推理：“圆的”这一概念在原命题中作为肯定命题的谓项是不周延的，但在换位后所得到的命题中作为全称命题的主项却周延了。

这就违反了换位法的后述规则：在前提中不周廷的项，在结论中不得周延。

其实，前面列表中所提到的特称否定命题不能换位的原因也正在于此。因为特称否定命题的谓项总是周延的，而其主项是不周延的，如果将其换位，原不周延的主项换位而成为结论的谓项，即成了否定命题的谓项，就周延了，这必然违反换位法的上述规则。比如，从“有的学生不是中学生”这一命题出发进行换位推理，得到结论“有的中学生不是学生”，而后者显然是一个不真实的命题。原因就在于“学生”这一概念在原命题中不周延，但在结论中成了否定命题的谓项，却周延了。这就违反了规则，不合逻辑了。

下面，再讲直言命题变形法推理中的另一种直接推理。

前述推理（4）由前提“迷信不是科学”推出“迷信是非科学”的结论，这种直接推理称为换质法推理，简称换质法。它是一种通过改变原命题的质（即改变原命题的联项，把肯定命题改变为否定命题，或把否定命题改变成肯定命题），并将原命题谓项改为其否定概念（即原命题谓项的矛盾概念，如原命题谓项为P，其矛盾概念则为非P，用符号表示为“）而推出一个新命题的方法。比如，将“有的中学生是团员”变成“有的中学生不是非团员”。通过换质法，可将原来的肯定命题改变成与之等值的否定命题，即如果原命题是真的，则变换质后所得到的命题也是真的。按此，A、E、I、O四种命题的换质情况可列表如下：

通过换质法，我们就可以得到一个与原命题等值的不同形式（命题的质不同了）的新命题，这不仅可以使言语表述多样化，而且在很多情况下，还可以使表述更加有力。比如，我们可以将换位法和换质法连续地交错使用而提出一些在直观上不易发觉的新结论，从而使我们的言语表述方式更加灵活多样。举个例子，我们可以将SAP命题先换质，后换位而得到新的命题（结论），用公式表示即为：

也可将其先换位，后换质：接下来，PO应换位。但因O命题不能换位（一换位就违反规则），故只能到此为止。

在这里，我们试举一个例子，来说明这两种命题变形的方法在日常生活中的运用。

（6）有这样一段相声：

甲：不会说话净得罪人。明明是好意呀，别人听了也不舒服。

乙：有这样的事？

甲：我大爷就因不会说话，老得罪人。有一次我大爷请客，请了四位客人到饭馆吃饭。约好下午六点钟。到了五点半，来了三位，有一位没来，这位还是主客。

乙：那就再等会儿，实在不来就吃吧！

甲：我大爷可是个守信用的人，一直等到六点半，那位还没来。他急啦，自、言自语地说：“该来的不来！”其中有一位听了就不痛快啦：“怎么，该来的不来？那我是不该来的呀！我走吧！”他下楼走了。

乙：得，气走了一位。

甲：我大爷在楼上左等右等，那位主客还是没有来，不但那位没有来，还走了一位。我大爷又说啦：“唉，真是，不该走的走了。”另外一位又嘀咕了：“什么！不该走的走了。没诚意请我呀！我也走吧！”他也走了。

乙：有这么说话的吗？又气走了一位。

甲：就剩下一位啦！这位跟我大爷是老交情，他对我大爷说：“兄弟，你以后说话可要注意点，哪有这么说话的呀！‘不该走的走了’，那人家还不走？以后可别这么说啦！”我大爷解释说：“大哥，我没有说他俩呀！”“哦！说我呀，我也走吧！”

乙：全气走啦！

从上述对话中可见，由于甲的大爷说话不够恰当，客人相继被气走了。那么，那位大爷的话为什么是不恰当的呢？我们用上面刚刚讲过的直言命题变形法的直接推理来分析一下，就会非常清楚了。

那位大爷气走第一位的话是“该来的不来”。如为其加上联项即为命题“该来的是不来的”，如用换质法则可得命题“该来的不是来的”，再将其换位即可推出“来的不是该来的”，再换质即为“来的是不该来的”。这样，自然会引起来了的客人的不愉快而被气走了。

第一位客人被气走后，那位大爷又说“不该走的走了”，加上联项即为命题“不该走的是走了的”，用换质法即可推出“不该走的不是没有走了的”，再用换位法即得“没有走了的不是不该走的”，再进行换质，即得命题“没有走了的是该走的”。这不等于是在下逐客令吗？无怪乎另一位客人又被气走了。

至于为什么那位老朋友听了“大哥，我没有说他俩呀！”也被气走了，这是因为已经来了的客人只有三人，既然上面那些不恰当的话不是讲的走了的两位，那就只能是讲的这剩下的一位老朋友了。他自然也就不能不被气走了。在这里，所涉及的推理是一个选言推理。关于选言推理的问题下面即将讲到，这里暂不予介绍。

这段相声说明，懂得并学会运用直言命题变形法的直接推理，不仅有助于我们通过直言命题的变形法来更明确地理解和把握一个直言命题的含义和内容，而且有助于我们在日常交际中更恰当地使用话语及其所表述的判断，或更准确地理解和领会别人的话语及其所表述的判断，而这无疑都会更加提高我们正确思维和有效交际的效率和水平。

下面，我们再介绍另一种直言命题的直接推理，即依据直言命题的逻辑方阵所表示的命题间关系而进行的直接推理。所谓逻辑方阵，指的是用来表示具有相同素材（即主项或谓项分别相同）的A、E、I、O四种类型的命题之间的真假制约关系的一种图式。

如以“物体”、“固体”分别为这四种命题的主项和谓项，那么就会形成素材相同的具有A、E、I、O命题形式的四个命题：“所有物体是固体”（A）、“所有物体不是固体”（E）、“有的物体是固体”（I）、“有的物体不是固体”（O）。而这四个命题之间存在着一种规律性的真假制约关系　根据这种关系就可进行相应的直接推理。比如：

“所有物体是固体”这一A命题是假的，“所有物体不是固体”这一E命题也是假的，但“有的物体是固体”这一I命题却是真的，而“有的物体不是固体”这一O命题也是真的。我们暂称此为“情况一”。

如果我们分别用“物体”和“静止的”作为A、E、I、O命题的主项和谓项，那么其相互间的真假制约关系又有所不同了：“所有物体是静止的”这一A命题显然为假，“所有物体不是静止的”这一E命题为真，“有的物体是静止的”这一I命题为假，而“有的物体不是静止的”这一O命题为真。我们暂称此为“情况二”。

如果我们仍用“物体”为主项，而将谓项换为“运动的”，那么，A命题“所有物体是运动的”为真，E命题“所有物体不是运动的”为假，I命题“有的物体是运动的”为真，O命题“有的物体不是运动的”为假。我们暂称此为“情况三”。

把上述三种情况综合起来，我们就可清楚看到上述逻辑方阵所表示的命题之间在真假值上存在的一种相互制约关系：

先看A与E之间的关系。在情况一中，A是假的，E也是假的；在情况二中，A是假的，E是真的；在情况三中，A是真的，E是假的。由此可见，二者的真假制约关系是：一个真，另一个必假；一个假，另一个真假不定（即一种情况下可以为真，另一种情况下可以为假）。所以如此是不难理解的。一个真，则另一个为假，原因自明，无需多说。一个假，另一个为什么真假不定呢？问题在于当一个全称肯定（或否定）命题为真时，如果其真是由于该命题对象全都如此或全部都不如此（如情况二和情况三中的A命题和E命题），一个假，另一个必真；但如其真是由于该命题对象只是部分如此或不如此（如情况一中的A命题和E命题），作为全称命题的二者皆假。这就是说，当二者中一个为假时，另一个是可假也可真的，亦即二者可以同假，但不能同真。这种关系在逻辑学上通称为反对关系或对立关系。按照这种关系就可进行下述直接推理：由其一个真可推出另一个必假；但由一个假，却推不出另一个的真或假。再概括一点说，二者可由真推假，但不能由假推真。

再看A与I或E与O之间的关系。这两组命题都是一为全称命题、一为特称命题，所以它们之间的真假制约情况是相同的。我们仍以上述三种情况为例来具体说明。在情况三中，A真时，或在情况二中，E真时，其中的I与O分别皆为真；在情况一中，A与E皆为假时，其中的I与O皆为真；在情况二中，A为假时，I也为假；在情况三中，E为假时，0也为假。由此可见，A与I 和E与O之间的真假制约关系是：当全称命题为真时，特称命题必为真；当全称命题为假时，特称命题在一种情况下为真（即当某对象只是部分如此或不如此，而非全部对象如此或不如此时），在另一种情况下为假（即当某类对象全部如此或不如此时）。对此再作概括即为：全称真，则特称必真；全称假，则特称真假不定。按此，反过来则为：特称假，则全称必假（某对象部分如此或不如此既然为假，讲全部如此或不如此，自然更假了），特称真，则全称真假不定（某对象部分如此或不如此时，并不能保证该对象全部如此或不如此）。可见二者的关系是既可同真也可同假的关系。逻辑学上称这种关系为差等关系。按照这种关系可进行下述直接推理：由全称真，可以推出特称必真；但全称假，不能推出特称的真或假；由特称假，必然推出全称假；但由特称真，不能推出全称的真或假。

再看I与O之间的关系。从前述三种情况中也可概括出二者的真假制约关系：一个真，另一个真假不定（在情况一时，一真，另一也真）；一个假，另一个必真（在情况二和情况三时）。概括地说，二者只能同真，不能同假。逻辑学上称此为下反对关系。据这种关系，可进行以下直接推理：由一个假，推知另一为真；但由一个假，不能推知另一个的真或假。

最后，再分析A与O或E与I之间的关系。这是一个全称命题与其联项的质相反的特称命题之间的关系。从上述三种情况都可以看出，它们之间的真假制约关系是：一个真，另一个必为假；一个假，另一个必为真。概括地说，二者的关系是不可同真，不可同假。逻辑学通称此种关系为矛盾关系。据此，可进行下述直接推理：由一个真，推知另一个必假；由一个假，推出另一个必真。

（二）直言推理的间接推理：三段论及其规则

直言推理的间接推理主要指由两个直言命题为前提推出另一个直言命题为结论的推理。这就是传统逻辑所说的三段论。

那么，什么是三段论？怎样的三段论才是一个合乎逻辑的三段论呢？且看下面两段记事：

（1）一个年轻的母亲写道：有一天孩子不肯吃晚饭，还振振有词地说：“肚子饿是要吃饭的。我又不饿，为什么要吃饭！”看他说得那么有理有据，我也没辙了。到了半夜，孩子突然哭闹起来，非要我讲故事不可。我说：“睡前已经给你讲过八个故事了，现在不讲了，睡觉。”他就是不依。过了一会他又说：“饿了，要吃饭！”我想，小孩子不能惯坏了，得给他做规矩。谁叫他不肯吃晚饭，现在不能吃，让他饿一下，以后就知道不能不吃晚饭了。可是，孩子就是不依不烧。我实在疲惫无策，打了他几下，他又大叫起来：“不许打人，打人是坏小孩，妈妈是坏小孩。”

（2）一个机关干部有这样一段记事：

上午在小礼堂参加一个会，七八个领导作了重要讲话。每个领导讲话的开始和结束都得鼓掌。会议结束后，又去参加一个已故领导的追悼会。一进会场刚站定，正巧主持会议的领导宣布：下面请李副书记致悼词，我急忙将手中纸扎的小白花衔在嘴上，腾出双手使劲鼓起掌来。

记事（1）中的孩子在其前后两次哭闹中的言论，实际上都是在自发地运用三段论这种推理形式。第一次用的三段论是：

肚子饿是要吃饭的

我又没有（不是）肚子饿

所以，我不（是）要吃饭的

第二次用的三段论是：

凡打人的是坏小孩妈妈是打人的

所以，妈妈是坏小孩

记事（2）中的干部，一听说领导（李副书记）要讲话（致悼词）就迫不及待鼓起掌来，是因为他长期养成的某种习惯所致。其中同样是自觉或不自觉运用了下述这样一个三段论：

凡领导讲话（开始或结束）是要鼓掌的

现在（李副书记讲话）是领导讲话

所以，现在（李副书记讲话）是要鼓掌的

上述三个三段论虽然在命题内容上是各不相同的，但它们在推理形式却是大体相同的：

首先，它们都由三个直言命题构成，其中两个直言命题是前提，另一个直言命题是结论；

其次，每个三段论都有而且只有三个不同的概念（如在小孩子所用的两个三段论中，分别为“肚子饿”、“要吃饭”和“我”；“打人的”、“坏小孩”和“妈妈”）；

最后，这三个不同的概念都是两两重复的。如果一个概念只在前提中重复，称为中项，常用“M”表示；另两个概念在前提和结论中分别重复，其中在结论中作主项的称为小项，常用“S”表示，在结论中作谓项的称为大项，常用“P表示。按此，我们就可以给三段论下一个定义：三段论是由两个包含着一个共同项的直言命题作前提，推出一个直言命题为结论的演绎推理。这就是说，三段论是一种必然性推理，一个三段论只要遵守了相应的推理规则，其前提真而结论假就是不可能的。换句话说，从真前提必然能推出真结论。

根据三段论的这一定义，三段论的典型的，即最具代表性的形式可表示为：

前述小孩和干部分别应用的三个三段论都属于这种典型的形式。除此之外，三段论还可以有其他三种形式，例如：

所有哺乳动物是胎生动物

有些动物不是胎生动物

所以，有些动物不是哺乳动物

该三段论的形式是：

再如：

所有的鲸鱼是哺乳动物

所有的鲸鱼都是水生动物

所以，有的水生动物是哺乳动物

这个三段论的形式是：

按照三个概念组成的两个前提的排列组合，还应当有下述三段论形式：

但具有这种形式的三段论在日常运用中是很少见的，所以就不再举例说明了。

三段论的上述四种形式，仅仅是按中项（M）、大项（P）和小项（S）在前提中的不同位置来排定的。其实，如果将组成这四种形式的命题都按其质（肯定或否定）和量（全称或特称），即按具有A、E、I、O四种形式的命题来排列组合，那就可以构成许许多多的三段论形式：如两个前提和结论均为A的AAA式；一个前提为A，一个前提为E，结论为E的AEE式；一个前提为A，一个前提为I，结论为I的AII式，等等。但是，并非由此而形成的所有三段论形式都是正确的、有效的，其中有的可能是有效式，有的则可能是无效式。关键在于它们是否遵守了三段论的各条规则，凡遵守了的，就是有效式，就是合乎逻辑的；反之，则是无效式，是不合逻辑的。

那么，三段论规则有哪一些呢？首先请看古希腊的一个关于“你有角”的推论：

凡你没有失去的东西就是你所有的

角是你没有失去的东西

所以，角就是你所有的

这是一个三段论，其两个前提应当说都是真的，但结论却是一个假命题，为什么呢？原因就在于两个前提中的“你没有失去的东西”一词，就语词而言，固然是相同的，但它们却具有不同的意义，表达着不同的概念。在大前提中，它指的是你本来有但没有失去的东西，在小前提中，它指的却是你本来没有因而也没有失去的东西。这就是说，这个貌似中项的语词表达的是两个内涵各不相同的概念。由此，组成这个三段论的概念就不再是三段论所要求的三个，而是变成了四个。由于没有唯一的共同的中项，大、小项也就不可能建立起必然的联系，于是前提的真自然也就不能保证结论必然为真了。

运用三段论必须遵守这样一条规则：一个三段论必须有而且只能有三个不同的概念，不能多，也不能少。多了，就将不只有构成三段论所必须的三个命题；少了，则构不成三个命题，因此，这条规则可以说是关于三段论本身结构的规则。

再如：

有一年，某省中等入学考试的数学试题中，有这样一道题目：“有一个三角形，它的三条边分别为3cm、4cm和5cm。请问：这是一个什么三 角形？”

许多考生都懂得这是个直角三角形，但不少考生却是这样来论证的：“从毕达哥拉斯定理可知，凡是直角三角形都是斜边的平方等于其他两边平方之和，而这个三角形（指试题中举出的）的斜边平方等于其他两边平方之和，所以这个三角形是直角三角形。”

采取这种论证方法的考生都认为自己论证是对的，但阅卷老师们却认为这样的论证包含着逻辑错误，违反了数学所要求的推论的精确性。

问题出在哪里？主要出在这些考生所采取的这种论证方法，运用的是下述这样的三段论形式：

P是M

S是M

所以，S是P

而这却是一个错误的、无效的三段论。因为，其中的中项M在两个前提中都处于肯定命题谓项的位置，而肯定命题的谓项是不周延的，因此中项在前提中一次也未能周延。在这种情况下，就必然意味着大项和小项一次也未能同中项的全部外延发生关系，即它们都只是分别与中项的部分外延发生关系，这样就必然使得大项与小项通过中项的媒介而不可能形成确定的关系，自然也不可能得出确定的必然结论了。试看一个更简单的例子：

共青团员是青年

小张是青年

所以，？

由于其中的“青年”作为中项一次也未周延，“小张”同“共青团员”之间自然也就形不成确定的联系，我们既不能因此而推出结论“小张是共青团员”，也不能因此而推出结论“小张不是共青团员”。这就是为什么阅卷老师们要认定前述例子中有的考生采取的那种论证方法包含逻辑错误的原因所在。

因此，改正这一错误的方法是：把大前提“凡是直角三角形都是斜边的平方等于其他两边平方之和”改写为“凡是斜边的平方等于其他两边平方之和的三角形都是直角三角形”（因为这是一个定义性质的命题，其主、谓项外延是相等的，因而是可以互换其位置的）。由此即可构成如下一个三段论：

凡是斜边的平方等于其他两边平方之和的三角形是直角三角形

这个三角形是斜边的平方等于其他两边平方之和

所以，这个三角形是直角三角形

这就是一个前提真实、形式有效的三段论。

关于三段论中项的一条重要规则：中项在前提中至少周延一次。这就是说，中项在前提中可以两次周延，但不能一次也不周延。否则，即使前提真而且结论在事实上也真，但在逻辑上却是错误的、无效的。这是关于三段论中项的一条规则。

关于大项和小项也有其相应规则。这条规则我们在前面讲述直言命题的换位法推理时就曾讲到过。

在前提中不周延的项，在结论中不得周延。相对于三段论来说，可具体化为：大项或小项如果在前提中不周延，那么在结论中也就不得周延。

因为如果大项或小项在前提中不周延而在结论中却周延了，那就意味着大项或小项在前提中并未使用它们的全部外延（也就是仅仅使用了它们的一部分外延）同中项发生联系，而在结论中却使用了它们的全部外延，这就使结论的断定范围超出了前提所断定的范围，这样前提的真就不能为结论的真提供必要的保证。比如：

一天下午，小王对小李说：锻炼身体的时间到了，一起去锻炼锻炼身体吧！

小李回答说：不想去。

小王问：为什么？

小李说：我又不是运动员。

小王大笑说：这是什么逻辑！你不是运动员，你就不去锻炼身体了？

小王所以笑问小李这是什么逻辑，就是因为小李的回答中包含了一个错误的三段论：

凡运动员都是需要锻炼身体的

我又不是运动员

所以，我不需要锻炼身体

这个推理正好违反了我们刚刚分析过的这条规则。在推理中，大项“需要锻炼身体”在大前提中是肯定命题的谓项，是不周延的，可在结论中作为否定命题的谓项，却周延了，这就违反了在前提中不周延的项在结论中不得周延这条规则，犯了“大项扩大”的逻辑错误。

又如：

我国学术界曾经开展过一场“真理有没有阶级性”的学术讨论，一些同志断言“真理是有阶级性的”，他们的理由是“马克思主义是有阶级性的，而马克思主义是真理”。

持相反观点的同志却对之批评说：“这样的推理是不合逻辑的。”争论双方各执一词，互不相让。

在这里，我们不想对问题本身说三道四，我们感兴趣的只是争论中反映出来的逻辑问题。那么，上例中主张“真理是有阶级性的”的同志，是否如批评者所说其“推理是不合逻辑”的呢？我们的回答是肯定的。为什么呢？只要将他们的推理展示出来就可以看得很清楚了。这些同志的推理是：

马克思主义是有阶级性的

马克思主义是真理

所以，真理是有阶级性的

不难看出，这同样是一个违反了前述这条规则的三段论。因为其前提中的小项“真理”作为肯定命题的谓项是不周延的，但在结论中却作为一个省去了全称量项的全称命题的主项而变得周延了。这种违反推理规则的三段论自然是不合逻辑的、不能成立的。

三段论还有两条关于前提的规则，其一是两个否定命题作为前提不能推出结论；前提之一是否定命题，结论必然是否定命题；当结论为否定命题时，前提之一应为否定命题。

小夏和小蔡在大海边游玩，看见一片片风轮机叶片在不停的转动，小夏兴奋地说：“这是风力发电啊！这可是清洁能源。”

小蔡问道：“为什么？”

小夏回答说：“会产生污染的不是清洁能源，而风力就不会产生污染嘛！”

小蔡欣赏的说：“你懂得真不少啊！”

其实，小蔡的欣赏并不合适，因为小夏的结论“这（指风力）是清洁能源”固然是正确的，但其推出这一结论的推理形式却是不正确的。小夏的推理如下：

会产生污染的不是清洁能源

风力不是会产生污染的

所以，风力是清洁能源

不难看出，这个三段论是由两个否定的前提推出了一个肯定的结论，其推理形式是：

M不是P

S不是M

所以，S是M

这个推理形式不可能是一个有效式，因为其大项和小项都是与中项互相排斥的，这样大、小项通过中项就不可能形成任何确定的联系，因而也就不可能得出任何确定的结论。可见，小夏的这一推理所得出的结论也就不是由其两个否定前提所必然得出的。这就是为什么三段论关于前提的规则之一要求从两个否定前提不能得结论的理由所在。

由此出发，我们也就不难理解为什么前提之一是否定的，结论必然是否定。因为前提之一为否定命题，按刚刚讲过的规则，另一前提必为肯定命题（因为两个否定前提不能得结论）。这样，中项在前提中就必然与一个项（大项或小项）是否定关系，与另一个项是肯定关系，而大项和小项通过中项而联系起来时，自然也就只能是一种否定关系，故而结论必然是否定命题。比如：

会产生污染的（能源）不是清洁能源

风力是清洁能源

所以，风力不是会产生污染的（能源）

既然大前提中大项（“会产生污染的”）与中项（“清洁能源”）的关系是否定的关系，在小前提中，小项（“风力”）与中项（“清洁能源”）的关系是肯定的关系，那么通过中项的中介作用，小项与大项的关系必然也就只能是一种否定的关系。因此，上面这个推理就是一个形式有效的推理。

反之，如果一个三段论的结论是否定的，那就意味着前提中必然有一个是否定命题，否则如果两个前提都是肯定命题，即大、小项与中项的联系都是肯定的联系，那么大、小项在结论中的联系就绝不可能是一种否定的联系。所以，结论如果是否定的，则前提之一必然是否定的。

关于三段论前提的另一条规则，即两个特称前提不能得出结论；前提之一是特称命题，则结论必然是特称命题。

这条规则完全可以通过应用前面几条规则而推导出来。作为对前述各条规则的具体应用的一种练习，我们且推导如下：

为什么两个特称前提不能得出结论呢？我们试分析由两个特称命题组成前提的所有各种可能情况，即：Ⅱ（两个都是特称肯定命题）、OO（两个皆为特称否定命题）和IO（一个为特称肯定命题、一个为特称否定命题）三种组合。如果我们能证明这三种组合都不能得出结论，那么自然也就可以认定：两个特称前提不能得出结论。

当两个前提为Ⅱ组合时，前提的四个项中没有一个是周延的，这就不能满足中项必须在前提中周延一次规则的要求，故不能得出结论。

当两个前提为IO组合时，其四个项中只有一个项是周延的（O命题的谓项是周延的），这可以用来满足中项必须在前提中周延一次的要求，而这样一来，其余三个项都是不周延的。由于IO组合中有一个前提为否定命题，按规则，其结论应为否定命题。而否定命题的谓项即大项在结论中是周延的（否定命题的谓项是周延的），于是要求其在前提中也必须是周延的。但前提中已无周延的项了，即大项在前提中是不周延的。这样推出的结论必然违反规则（在前提中大项不周延，在结论中却周延了）。因此，IO组合也不能得出结论。

当两个前提为OO组合时，因其两个前都是否定命题，按照两个否定前提不能得结论的规则，故此种组合也不能得出结论。

综上可见，既然两个特称前提的上述组合全部不能得出结论，所以两个特称前提不能得出结论。

关于前提中如有一个是特称的，则结论必须是特称的这条规则，也完全可以采用上述证明方法加以证明。比如，按照前提之一是特称的，另一必为全称（因为两个特称前提不能得结论）而形成的全部组合为：AI、AO、EI、EO。只要分别证明这四种组合中能够得出结论的组合，其结论都必然是特称命题，那么这条规则自然也就得到了证明。对此，请读者自证。

下面再简要说明为使三段论的应用合乎逻辑应当注意的几个问题。

前面我们在讲述三段论如何合乎逻辑的问题时，所举出的三段论都是结构完整，大前提、小前提、结论排序规范的。然而，在实际思维过程中，特别是在对三段论的具体运用中，往往并不是那样死板、固定的。因此，这就要求我们认真注意和仔细分析三段论运用中如何做到合乎逻辑的问题。下面，侧重讲以下几点：

1.正确分析和确定三段论的结构

试看下面一些三段论：

（1）这个三角形有一个内角是钝角，凡是内角有一角是钝角的三角形是钝角三角形，所以这个三角形是钝角三角形。

（2）鲸不是鱼，因为鲸不是用腮呼吸的，而鱼是用腮呼吸的。

例（1）中作为三段论三个组成部分的三个命题，其次序是小前提、大前提和结论。例（2）中的次序则为结论、小前提和大前提。这表明，在三段论的具体运用中，大、小前提和结论的排列次序往往是灵活的。有时前提在前，结论在后，有时则结论在前，前提在后。而大、小前提也并不总是大前提在前，小前提在后。为此，在分析一个三段论是否合乎逻辑时，就必须准确识别出何者是前提，何者是结论；在前提中，又必须正确区分哪个是大前提，哪个是小前提。这样，我们才能进一步去分析和判定该三段论是否合乎规则，因而是否是有效的、合乎逻辑的。

（3）蝙蝠是能飞的，蝙蝠是哺乳动物，所以有的哺乳动物是能飞的。

（4）蝙蝠是能飞的，因为蝙蝠是哺乳动物，有的哺乳动物是能飞的。

上述两例中，三个直言命题是完全相同的，而且都是真命题。不过，由于表示推论关系的“因为……所以……”在其中的位置不同，使得三个直言命题间的逻辑联系在两例中也就有所不同。（3）的推理形式是合乎三段论规则的有效式，（4）的推理形式却是违反三段论规则（中项“哺乳动物”在前提中一次也未周延，违反了中项在前提中必须周延一次的规则）的无效式。这就是说，在分析一个实际运用中的三段论时，不仅要正确识别其大前提、小前提和结论，还必须善于识别由于“因为……所以……”与命题的组合不同而发生的不同推论关系或逻辑联系。

（5）中学生应当学点逻辑，我们是中学生，自然也不应例外。

（6）中学生应当学点逻辑，作为中学生，我们岂能例外。

这两个推理都表现了在具体运用三段论时，表达概念或判断的语言形式（语词或句子）可以有其灵活性。例（5）中的“也不应例外”就是指“应当学习逻辑”，二者表达的是同一个概念。例（6）中“我们岂能例外”，与“我们应当学习逻辑”具有相同的含义，即表达的是同一个判断。同时，上述两例表面上都不止三个概念，似乎犯了“四概念”的错误，其实并无错误，只不过在语言表达上有其多样性、灵活性而已。

2.正确分析和运用三段论的省略形式

先看下列诸例：

（7）马克思主义是不怕批评的，因为马克思主义是真理。

（8）任何前进中的困难都是可以克服的，所以我们学习中的困难也是可以克服的。

（9）我们的事业是正义的，而正义的事业是任何敌人也攻不破的。

上述三个推理从语言表述上看都只包含两个命题，但我们不能因此而将其视为是由一个前提推出一个结论的直接推理。事实上，它们都是三段论，只不过在日常交际的语言表达中省略了其中的某一部分而已。比如，例（7）省略了大前提“凡真理是不怕批评的”，例（8）省略了“我们学习中的困难是前进中的困难”这个小前提，而例（9）省略了“我们的事业是任何敌人也攻不破的”这一结论。这就是说，人们在运用三段论时，在许多不言而喻的情况下，是可以省略其中的某一部分的。当然，这种省略仅仅是表达中的省略，而不是思维过程本身的省略。因此，三段论的这种省略形式有助于语言表达的简洁性，是人们在语言交流过程中经常使用的。

但也必须注意，在这种省略的形式中，往往会掩盖错误的命题或者无效的、不合逻辑的推理。比如一个中学生曾这么说过（或想过）：

（10）我又不是团员，何必去关心班里的事。

这是个三段论的省略形式，只要将省略部分补充起来，就可发现它是一个违反三段论规则的无效推理。其省略部分是大前提“凡团员是必须关心班里的事”，结论“何必去关心班里的事”等值于“我不必去关心班里的事”这一命题。不难看出，大项“必须关心班里的事”在大前提中作为肯定命题的谓项是不周延的，而在结论中却成了否定命题的谓项，周延了。这就违反了在前提中不周延的项在结论中不得周延这条规则，因此这是一个不合逻辑的推理。由此不难理解，为了正确把握三段论的省略形式，分析其前提是否真实、推理是否违反规则，重要的工作在于必须将它进行正确的还原，即将其省略的部分正确地补充起来。那么，如何去补充呢？其步骤可大致概括如下：

第一步，先判明一三段论省略式中哪一个命题是结论。一般可根据表述推论关系的语言标志（“因为”后面的命题是前提，“所以”后面的是结论）或上下文的联系来断定。以（10）为例，虽然其中没有“因为”、“所以”这样的语言标志，但从前后两句的联系来看，即可判明前一句为前提，后一句为结论。如果经分析找不出结论，如例（9），则可知省略部分即为结论。

第二步，在有结论的情况下，则可去判明另一已知的前提究竟是大前提还是小前提。具体来说，这已知的前提若包含结论的主项，即为小前提；若包含结论的谓项，则为大前提。就（10）而言，已有的前提（“我又不是团员”）包含结论的主项（只不过“我”在结论中是被省略了），故应为小前提。据此即可知大前提被省略了。 由此，可进一步判明该三段论的中项（在前提中出现而在结论中未出现的项就是三段论的中项）即为“必须关心班里的事”。这样，将大项与中项联结起来就可构成该省略式的大前提：“凡团员必须关心班里的事”。又以（8）为例，从语言标志“所以”后面一般为结论来看，其主项（亦即小项）“我们学习中的困难”在已知前提中没有出现，故可知省略的前提应为小前提。这样就可把小项与中项联结起来而形成被省略的小前提：“我们学习中的困难也是前进中的困难。”如果经过分析，找不到结论，那省略的部分就有可能是结论，而已有的两个命题皆为前提。若此，即可分析出大项、中项和小项，从而把小项与大项联结起来，构成结论。在（9）中，通过分析已知的两个前提，可知大项为“任何敌人也攻不破的”，中项为“正义的事业”（前提中出现两次），小项为“我们的事业”。这样，将小项与大项联结起来即可构成结论：“我们的事业是任何敌人也攻不破的。”

第三步，将省略的部分补充起来，形成完整的三段论，然后按规则对其进行检验。合乎三段论规则的，即是有效三段论，如（7）、（8）、（9）；反之，则是无效三段论，如（10）。

（四）关系命题及其有效推理

1.什么是关系命题

我们先来做一道题：

在一所寄宿制中学的宿舍里，小赵、小钱、小孙和小李共住一间宿舍。按规定，每晚最后回宿舍的同学，应当关掉宿舍里的电灯。有一个晚上，她们之中最后回宿舍的同学忘掉了关灯。第二天管理宿舍的老师来查询，谁最迟返回宿舍。

小赵说：“我回来的时候，小孙还没有睡。”

小钱说：“我回来时，见小李已睡着了，我也就睡了。”

小孙说：“我进门的时候，小钱正好上床睡觉。”

小李说：“我上床就睡着了，什么也不知道。”

宿舍管理员相信四位同学讲的都是事实。于是，他从四人的讲话中迅速判明了她们之中谁是最迟返回宿舍的。那么，他是怎样判明的呢？用的什么推理去判明的呢？

要回答上述问题，就应当比较他们回到宿舍的早迟。首先涉及的是“早于”、“迟于”这样一些对象之间的关系。

断定对象与对象之间某种关系的命题，就是关系命题。

比如，根据上述四人的讲话，可以形成如下一些关系命题：

小赵迟于小孙返回宿舍。

小李早于小钱返回宿舍。

小孙迟于小钱返回宿舍。

由此可见，任何一个关系命题都由以下三个部分所组成：关系项（表示对象与对象之间某种关系的词项，如上述诸命题中“迟于”、“早于”等），关系者项（表示具有某种关系的对象的词项，如上述诸命题中的“小赵”和“小孙”、“小钱”与“小李”等。可以将其中的前者称为“关系者前项”，后者称为“关系者后项”），量项（表示关系者项外延数量的词项，可以是“有些”、“所有”等）。

按此，如果我们用“a”、“b”分别表示关系者项的前项和后项，用“R”表示关系项，那么具有两个关系者项的关系命题的形式可用公式表示为：

所有（有的）aR有的（所有）b

或简写为：

aRb

2.什么是关系推理？

先看下面一些推理：

（1）小章和小华是同学

　　所以，小华和小章是同学

（2）小章学习好于小华

　　所以，小华学习不好于小章

上述两个推理都是关系推理，是由一个前提推出结论的直接关系推理。

（3）小章年龄大于小华

　　小华年龄大于小申

　　所以，小章年龄大于小申

（4）小章比小华年龄大一岁

　　小华比小申年龄大一岁

　　所以，小华不比小申年龄大一岁

例（3）和（4）也是关系推理，是由两个前提推出结论的间接关系推理。它们都有一个共同的特点，即都是以关系命题作为其前提和结论的，所以关系推理是一种以关系命题为其前提或结论的推理。

下面，我们要进一步提出的问题是：为什么（1）、（2）是一种直接推理，而（3）与（4）却是间接推理呢？这是因为（1）和（2）所据以进行推理的关系是一种对称关系。所谓对称关系，是指两个对象之间，如果其中一个与另一个有某种关系，另一个也与之有某种关系，那么这两个对象之间的关系就叫做对称关系。如用符号表示则可表述为：如aRb为真时，bRa也真，则关系R就是一种对称关系，如“同学”、“邻居”、“朋友”、“同盟”、“同事”等关系都是对称关系。与之相反，如aRb真时，bRa必假，关系R则是反对称关系，如“早于”、“迟于”、“大于”、“小于”、“胜于”、“败于”等关系都是非对称关系。再者，如aRb真时，bRa可真可假，则关系R就是非对称关系，如“认识”、“批评”、“喜欢”等关系，都是非对称关系。在涉及对称性的三种关系中，由于非对称关系不能由aRb的真，推出bRa的真或假，故不能形成确定的推理关系，不能得出结论。而对称关系和反对称关系，是可以必然推出结论的，如（1）和（2）。但是，对称关系涉及的只能是两个对象，而反映两个对象的只能是两个概念，而由两个概念只能构成两个命题，一为前提，一为结论，故只能形成直接的关系推理。

例（3）与（4）所据以进行推理的关系是一种传递关系。所谓传递关系，是指如甲对象与乙对象有某种关系，而乙对象与丙对象也有某种关系，那么甲对象与丙对象也有这种关系，用公式可表示为：如aRb真而且bRc真，则aRc必真，那么关系R就是传递关系，如“早于”、“晚于”、“大于”、“小于”、“在前”、“在后”等等关系都是传递关系。相反，如aRb真，bRc真，但aRc必假时，关系R就是反传递关系。这两种关系都可以由两个前提的真推出结论的真。传递性所涉及的关系中也有一种非传递性关系，即由aRb真和bRc真，不能必然推出aRc的真假，故非传递关系也因其无法形成确定的推理关系而不能推出结论。由于能必然推出结论的前两种关系，都因其共涉及三个对象，而有三个概念，可以形成三个命题，故能构成关系推理中的间接推理。比如，只要运用这种传递关系的推理，就可以顺利地找到本小节一开始提出的那道题的答案。具体过程是先将同宿舍的人所说的话，依次整理成如下相应的关系命题：

小赵迟于小孙返回宿舍。

小钱迟于小李返回宿舍。

小孙迟于小钱返回宿舍。

运用传递关系推理，从第一个命题和第三个命题可推出：小赵迟于小钱返回宿舍；而根据这一结论和第二个命题即可推出：小赵迟于小李返回宿舍。这就是说，小赵迟于其他三位同学返回宿舍，故她就是最迟返回宿舍而忘记关掉室内电灯的人。

以上两种关系推理，其前提和结论均为关系命题，故又可称为纯关系推理。此外，还有一种关系推理，其前提由关系命题与直言命题共同组成，一般称为混合关系推理。

那么，什么是混合关系推理呢？请先看下面两个推理：

（5）重金属比水重

　　铜是重金属

　　所以，铜比水重

（6）所有的高山都不比珠穆朗玛峰高

　　泰山是高山

　　所以，泰山不比珠穆朗玛峰高

这两个推理的两个前提，一个是具有两项的关系命题，另一个为直言命题，其结论也是一个两项的关系命题。由于这种推理既包括关系命题，又包含有直言命题，故称为混合关系推理。其推理形式可用公式表示为：

所有的a与b有关系R

所有的c都是a

所以，所有的c与b有关系R

具有此种形式的混合关系推理，因其有而且只有三个命题，三个不同的概念，类似直言三段论，所以人们也称之为混合关系三段论，而且这种推理形式是有效的、合乎逻辑的。

自然，也有无效的、不合逻辑的混合关系三段论。比如：

（7）所有的高山都比珠穆朗玛峰低

　　上海长风公园里的铁臂山不是高山

　　所以，上海长风公园里的铁臂山不比珠穆朗玛峰低

读者一看就知这是一个错误的推理，但其两个前提都是正确的，而推出的结论却是明显错误的，原因就在于这个推理的推理形式是无效的。因此，混合关系三段论也必须遵守类似三段论的几条规则，

第一，混合关系三段论前提中的直言命题必须是肯定命题。推理（7）之所以是无效的，就在于违反了这条规则，其直言前提“上海长风公园里的铁臂山不是高山”是一个否定命题。

第二，前提中作为媒介项的概念（如前两例中的“重金属”、“高山”）必须至少周延一次。其理由与直言三段论的中项必须在前提中至少周延一次的理由大体相同。

第三，前提中不周延的概念在结论中不得周延。

第四，如果作为前提的关系命题是肯定命题，则作为结论的关系命题也必须是肯定命题，如例（5）；如果作为前提的关系命题是否定命题，则作为结论的关系命题也必须是否定命题，如例（6）。

第五，如关系R不是对称的，则在前提中作为关系者前项（或后项）的那个词项，在结论中也必须相应地作为关系者前项（或后项）。

这几条规则，大体上与直言三段论的几条规则类似。混合关系三段论所以必须有这些规则，与直言三段论所以必须有相应规则的理由大致相同，读者可自证。对于任何一个混合关系推理来说，遵守了这几条规则就是有效的、合乎逻辑的；反之，则是无效的、不合逻辑的。