假言命题及其有效推理

当然，负命题推理的种类很多，远不止上述所举。根据负命题的逻辑性质，有多少种命题，就有多少种负命题；而有多少种负命题，就可以有多少种负命题推理。上面所讲的负命题推理是仅就支命题为简单命题中的直言命题来讲的，而简单命题中还有关系命题；除简单命题外还有各种复合命题，它们都可以作为负命题的支命题，而使负命题推理多种多样。就是负命题本身也可经过否定而形成新的负命题，从而建构起新的负命题推理。比如，对负命题﹁p再次进行否定，即可形成新的负命题﹁﹁p，并形成新的负命题等值推理：

﹁﹁pp

此等值式表达了推理中双重否定等于肯定的原理。用真值表可证明该原理如下：

三、联言命题及其有效推理

（一）联言命题的性质和逻辑形式

什么是联言命题？

北宋诗人秦观曾填词《行香子》一首：

树绕村庄，……有桃花红，李花白，菜花黄。远远围墙，……正莺儿啼，燕儿舞，蝶儿忙。

诗人在这里随着他游春的足迹，给我们展示了一幅田园风光的活动画卷，词的上下阕结尾皆由三字排偶句组成。上阙为“有桃花红，李花白，菜花黄”；下阕为“正莺儿啼，燕儿舞，蝶儿忙”。这些排偶句的运用，更增加了词的轻快格调。从逻辑学角度看，这两组排偶句分别断定了所举各种景色的同时存在，从而分别表达了两个联言命题。当然，诗句不能仅仅从命题的角度去理解和把握，我们这里只是从一般排偶句大都表达着联言命题这一特点着眼，暂时撇开了诗词句子的美学意义。

所谓联言命题，就是断定事物的若干情况同时存在的一种复合命题。

比如：

（1）生也有涯，而知也无涯。

（2）小王不仅是一个好学生，而且是一个好团员。

例（1）就同时断定了两种情况：一方面肯定人生是有止境的，另一方面又否定了学习有止境，即肯定了学无止境。例（2）则同时断定了小王这个人不仅是好学生而且是好团员这样两种情况。因此，这两个命题都是联言命题。

构成联言命题的命题，如（1）中的“生也有涯”和“知也无涯”，就是该联言命题的支命题，简称联言支。联言命题的支命题至少有两个，但也可以是三个、四个……。如前引《行香子》一词中的“有桃花红，李花白，菜花黄”就是具有三个支命题的联言命题。

联言命题的逻辑联结词称为合取词，常用符号表示为“∧”（读为“合取”）。在自然语言中，联结联言支的语句连词有“而且”、“虽然……但是……”、“既……又……”，等等，合取词仅仅是这些语句连词在逻辑方面的抽象，它舍弃了语句连词的那些非逻辑的意义。比如“不仅……而且……”的递进意义，“虽然……但是……”的让步、转折意义等，在合取词中都被舍弃了，而只保留了它们最主要的共同性质：联言支所断定的若干事物情况是同时存在的，即联言支都是真的。由此，如果我们以小写的“p”、“q”等表示联言支，那么联言命题的一般逻辑形式可记为：

p∧q（读为“p和q的合取”）

这个命题形式可称为合取式。

联言命题的逻辑性质：

由联言命题的定义可知，既然联言命题同时断定了事物的若干情况，那就意味着只有当它所断定的几种情况都是存在的，亦即所有联言支都为真时，该联言命题才是真的；只要其联言支有一个为假，整个联言命题就是假的，这就是联言命题的基本逻辑特征。

按此，合取词“∧”可定义为：

p∧q是真的，当且仅当p是真的，并且q是真的。

这一定义可用真值表表示如下：

按此，一个合取式（如“p∧q）为真，唯一条件就是其合取支皆为真。而无论p和q位置如何（即可前后倒置）。正因此，合取式与联言命题并不完全相同，它只是联言命题在真值方面的抽象。比如，作为联言命题的“他是一个学生，而且是一个好学生”的两个联言支有着前后递进关系，一般是不能更换其前后位置的，如果更换了，其递进意义也就颠倒而难以让人理解了。

（二）联言推理及其有效式

什么是联言推理？

联言推理是以联言命题为前提或结论，并依据联言命题的逻辑性质进行推演的演绎推理。

比如：

（1）这个商场的商品物美价廉

　　所以，这个商场的商品价廉

（2）写作文要注意思想性

　　写作文要注意艺术性

　　所以，写作文既要注意思想性又要注意艺术性

例（1）的前提是一个联言命题，结论是一个简单命题；例（2）的前提是两个简单命题，结论则一个联言命题，但它们都是根据联言命题的逻辑性质而从前提推出结论的，并且推理都是合乎逻辑的。

联言推理的有效式：

由于联言命题的逻辑性质是一个联言命题为真，当且仅当其支命题都为真。按此，我们既可以由一个联言命题的真推出其任一支命题为真，这就是联言推理的分解式；也可由两个或两个以上的真命题推出以这些命题为支命题的联言命题为真，这便是联言推理的组合式。

联言推理的分解式：

联言推理的组合式：

联言推理看似简单，但在人们日常生活中却是经常用到的，在解答某些智力题上，亦颇有其用武之地。比如，下述这一道智力题：

在桌子上有三张扑克牌，排成一行。现在，我们已经知道：

①K右边的两张牌中至少有一张是A；

②A左边的两张牌中也有一张是A；

③方块左边的两张牌中至少有一张是红桃；

④红桃右边的两张牌中也有一张是红桃。

请问：这三张是什么牌？

答案是：这三张牌，从左到右依次为：红桃K、红桃A和方块A。这个结论主要就是运用联言推理得出来的。

先来确定左边的第一张牌。由前提①得知这张牌是K；由前提④得知这张牌是红桃。这样，通过联言推理的组合式就可确定：这张牌是红桃K。

再来确定右边的第一张牌。由前提②得知这张牌是A；由前提③得知这张牌是方块。这样，通过联言推理的组合式就可确定：这张牌为方块A。

最后，再确定当中的一张牌。由前提②得知，或者这张牌是A，或者左边第一张是A；又由前提①得知左边第一张是K，所以，当中这张牌是A。同理，由前提④得知，或者当中这张牌是红桃，或者右边第一张牌是红桃；但由前提③可知右边第一张牌是方块。这样，按选言推理的否定肯定式（下节既将讲到）即可确定：当中这张牌是红桃。所以，运用联言推理的组合式，可推出当中这张牌为红桃A。

四、选言命题及其有效推理

（一）选言命题及其种类

先看《战国策·冯煖客孟尝君》中记载的一则故事：

后孟尝君出记，问门下诸客：“谁习计会，能为文收责于薛者乎？”……冯煖曰：“愿之！”于是约车治装，载券契而行。辞曰：“责毕收，以何市而反？”孟尝君曰：“视吾家所寡有者。”

驱而之薛，使吏召诸民当偿者悉来合券。券遍合，起，矫命以责赐诸民 ，因烧其券，民称万岁。

长驱到齐，晨而求见。孟尝君怪其疾也，衣冠而见之，曰：“责毕收乎？来何疾也？”曰：“收毕矣。”“以何市而反？”冯煖曰：“君云‘视吾家所寡有者’。臣窃计君，宫中积珍宝，狗马实外厩，美人充下陈，君家所寡有者，以义耳。窃以为君市义。孟尝君曰：“市义奈何？”曰：“今君有区区之薛，不拊爱子其民，因而贾利之。臣窃矫君命，以责赐诸民，因烧其券，民称万岁，乃臣以为君市义也。”

这段话说的是在冯煖奉孟尝君之命前往薛地讨债向后者辞行时，曾问孟尝君讨债完后需要买些什么东西带回来。孟尝君回答说：“你看我家缺少些什么，就买什么。”冯煖到薛地后，就把欠债的人召集起来，验过债据以后就把债券全部烧了，并称这是孟尝君托他这样办的。冯煖回齐见孟尝君，孟尝君问：“把债收回没有？为什么回来这么快？”冯煖回答：“收完了。”孟尝君再问：“买了些什么东西回来？”冯煖说：“你让我买你家里缺少的东西，我考虑你宫中堆满珍宝，宫外马房里狗马成群，妻妾美人也很多，而唯独缺少仁义，因此我以为还是给你买回仁义为好。”

在这里，冯煖实际上就运用了一个选言命题：

（1）（收完债后）给孟尝君家或买珠宝，或买牛马，或买美女，或买 仁义。

选言命题是断定事物若干可能情况的命题。

例（1）就断定了为孟尝君家买东西有四种可能情况。再如：

（2）小王或者是一个中学生，或者是一个大学生。

这个选言命题则断定了小王可能存在两种不同的情况。其中，断定事物若干可能情况的命题就是选言命题的支命题，简称选言支。选言命题的选言支至少有两个，也可以是三个、四个，甚至更多。但不管有多少，同类的选言命题的逻辑性质总是相同的。

两种不同的选言命题：

根据选言命题中选言支所断定事物的若干可能情况是否可以并存，选言命题可分为相容选言命题和不相容选言命题。

相容的选言命题是指所断定的若干可能情况可以同时并存，因而其选言支可以同时为真的选言命题。如例（1），给孟尝君家买东西，可以是珍宝、牛马、美女、仁义同时购买的，也就是这几种可能情况是可以同时并存的。相容选言命题的逻辑联结词称为析取词，记为“∨”，读为“析取”。自然语言中可以表示这种逻辑联结词的语句连词有“或者……或者……”、“也许……也许……”、“可以……可以……”等。如果用命题变项“p”和“q”分别表示相容选言命题的选言支，则相容选言命题的一般逻辑形式可表示为：

p∨q（读为“p和q的析取”）

相容选言命题的这一逻辑形式也可称为析取式。

不相容选言命题是断定几种可能情况不能同时存在的选言命题。例（2）就是一个不相容选言命题，因为任何一个学生都不可能既是一个中学生，又是一个大学生。又如：

（3）这个三角形要么是钝角三角形，要么是锐角三角形，要么是直角三角形。

这是一个不相容选言命题，因为它所断定的三种可能情况是不能同时并存的。不相容选言命题的逻辑联结词可以称为不相容析取词，记为“”。在自然语言中表示不相容析取词的语句连词通常有“要么……要么……”、“或者……或者……”、“不是……就是　…”等等。如果用命题变项“p”和“q”表示选言支，则不相容选言命题的一般逻辑形式可记为：

pq（读为“p和q的不相容析取”）

《二）选言推理及其有效的推理形式

有两种不同的选言命题，也就有两种不同的选言推理。

相容选言推理及其有效式：

相容选言推理就是前提中的选言命题是一个相容选言命题的选言推理。 由于相容选言命题所断定的事物若干可能情况可以同时并存，因而其选言支可以同时为真。换言之，只有当所有选言支为假时，该相容选言命题才是假的。这就是相容选言命题的逻辑特性。

按此，反映这一特性的析取词“∨”可定义为：

p∨q是真的，当且仅当p或q至少一真。

相容选言命题的真值表如下：

按此，相容选言推理就可以有如下的有效式：

前述冯煖为孟尝君买义之所以成立（尽管使孟尝君颇不高兴），就是因为冯煖应用了这一有效的推理形式：

（收完债后）给孟尝君家或买珍宝，或买牛马，或买美女，或买仁义

孟尝君家不缺珍宝、不缺牛马、不缺美女（这里的“不缺”表示“不需要买”）

所以，给孟尝君家买仁义

这一推理可用公式表示为：

以上说明，对于相容选言推理来说，因其选言命题中至少有一个选言支为真，所以在前提中如果否定了其中的一个支命题（在选言支有两个的情况下）或几个支命题（在选言支为多支的情况下）时，结论就必须肯定剩下的那个支命题或剩下的其余选言支的析取；但是，不能在前提中肯定了其中的某个支命题或几个支命题，而在结论中否定剩下的支命题。

相容选言推理的两条推理规则：

①否定部分选言支，就要肯定其余选言支（就二支的选言前提而言）或其余选言支的析取（就三支或三支以上的选言前提而言）；

②肯定部分选言支，不能对其余选言支有所断定。

按这两条规则，相容选言推理的有效式只能有否定肯定式（即合乎第一条规则的推理形式），而不能有肯定否定式（即违反了第二条规则的推理形式）。比如：

（4）小李喜欢艺术，或者喜欢体育运动。

这是一个相容选言命题，因为小李是可以同时喜欢这二者的。因此，如果以此为前提进行选言推理，就只能运用否定肯定式来进行推理：

小李喜欢艺术，或者喜欢体育运动

小李不喜欢艺术

所以，小李喜欢体育运动

而不能运用肯定否定式来进行推理：

小李喜欢艺术，或者喜欢体育运动

小李喜欢艺术

所以，小李不喜欢体育运动

上述推理之所以是无效的、不合乎逻辑，就是因为它违反了相容选言推理的上述规则。

不相容选言推理及其有效式：

不相容选言推理是前提中的选言命题是一个不相容选言命题的选言推理。不相容选言命题所断定的事物的若干可能情况不能同时并存，即其选言支是不可能同时为真的。换句话说，一个不相容选言命题只有当选言支至少有一个而且也只能有一个为真时，该命题才是真的。这就是不相容选言命题的逻辑特性。

按此，反映这一特性的不相容析取词“”可定义为：

pq是真的，当且仅当p和q有且只有一真。

不相容选言推理的真值表为：

根据上述真值表所表示的不相容选言命题的逻辑特征，不相容选言推理

有如下有效式：

如：

这个三角形要么是钝角三角形，要么是锐角三角形，要么是直角三角形

这个三角形是钝角三角形

所以，这个三角形既不是锐角三角形，也不是直角三角形

又如：

这个三角形要么是钝角三角形，要么是锐角三角形，要么是直角三角形

这个三角形不是钝角三角形

所以，这个三角形要么是锐角三角形，要么是直角三角形

根据不相容选言命题的逻辑特征和真值表，

不相容选言推理有两条规则：

①肯定部分选言支，就要否定另一部分选言支；

②否定部分选言支，就要肯定其余的选言支（就二支的选言前提而言）或其余选言支的不相容析取（就三支或三支以上的选言前提而言）。

只有遵守了这两条规则，一个不相容选言推理才是形式有效的，即是一个合乎逻辑的推理。否则，违反了这两条规则的任意一条，该选言推理就是无效的，不合逻辑的。

五、假言命题及其有效推理

（一）假言命题及其种类

什么是假言命题？先看历史上一段诗坛趣事。

诗人林逋系宋代隐士，钱塘（今浙江杭州）人。晚年曾在孤山隐居二十年。终生不娶，亦不仕，伴随梅花、白鹤渡日，时人称为“梅妻鹤子”，卒谥和靖先生。到了明代，有一个姓林的年轻人，为提高自己身价，竟冒充自己是林逋的十世孙，前去求见当时名人陈嗣初。终生不娶的林逋哪里会有后代呢？陈嗣初当即赋诗一首：

和靖当年不娶妻，如何后代有孙儿？

想君自是闲花草，不是孤山梅树枝。

年轻人听完后，自觉惭愧，狼狈逃跑了。

那么，为什么年轻人听完诗后就逃跑了呢？原来诗的一二句隐含着如下一个推论：

（1）如果一个人不娶妻生子，那就不会有后代子孙

　　和靖没娶妻生子

　　所以，和靖哪会有后代子孙

既然和靖不会有后代子孙，那位冒充自己是林逋十世孙的年轻人，自然只能是一个冒牌货，当然也就不得不狼狈逃走了。

其实，上述推理也可改换为另一种形式的推理：

（2）只有一个人娶妻生子，才会有后代子孙

　　和靖没有娶妻生子

　　所以，和靖不会有后代子孙

两个推理的结论相同，但前提却不完全相同。这是因为，这两个推理的第一个前提是两种性质不同的假言命题。那么，究竟什么是假言命题？从上述例子可见，假言命题乃是断定事物情况之间条件关系的命题。既然是事物情况之间的条件关系，那就意味着有充当条件的事物情况，也有作为依赖条件而存在的事物情况。因此，假言命题必然由两个支命题构成。其中，表示条件的命题通常称为假言命题的前件，如例（1）中的“一个人不娶妻生子”；表示依赖条件而存在的事物情况的命题称为后件，如例（1）中的“不会有后代子孙”。

假言命题的种类：

根据假言命题所断定的条件性质的不同，可区分出不同种类的假言命题。相应于条件关系有充分条件、必要条件和充分必要条件之分，假言命题也相应地有充分条件假言命题、必要条件假言命题和充分必要条件假言命题。由于三种条件关系的性质不同，三种假言命题的逻辑特性以及基于逻辑特性而建构的假言推理及其规则也相应有所不同。下面，我们分别予以介绍。

（二）充分条件假言命题及其有效推理形式

充分条件假言命题是断定前件是后件的充分条件的假言命题。所谓前件是后件的充分条件，是说只要存在前件所断定的事物情况，就一定会出现后件所断定的事物情况，即所谓“有之必然”的条件。

比如例（1）中的假言命题，其前件“一个人不娶妻生子”就是其后件“不会有后代子孙”的充分条件。再如：

（3）如果这个人骄傲，那么这个人就会落后。

这也是一个充分条件的假言命题，其前件“这个人骄傲”是其后件“这个人就会落后”的充分条件。

充分条件假言命题的逻辑联结词称为蕴涵词，记为“→”，读为“蕴涵”。在自然语言中，表示充分条件关系的语句连词有“如果……那么（则）……”、“只要……就……”、“若……必……”等等。如果用命题变项“p”、“q”分别表示充分条件假言命题的前、后件，那么其逻辑形式可记为：

p→q（读为“p蕴涵q”）

这一命题形式可称为蕴涵式。

由此不难看出，一个充分条件假言命题，只有当其前件真而后件假时，该命题才是假的。因为，这种情况正好构成前件不是后件的“有之必然”的充分条件。这就是充分条件假言命题的逻辑特性。这意味着一个充分条件假言命题为真，并不要求其前后件只能是真的，其实，前后件都为假的充分条件假言命题，也可以是一个真的充分条件假言命题。比如，北宋政治家王安石曾写有一首鉴古论今的咏史词《浪淘沙令》，其上阙是：

伊吕两衰翁，历遍穷通。一为钓叟，一耕佣。若使当时身不遇，老了英雄。

其最后两句是说，伊尹和吕尚这两位分别辅佐汤王和武王建立了商朝和周朝的功臣，在他们未被赏识和重用之前，不过一个是“钓叟”，一个是“耕佣”。如果当时不遇商汤、周文王而得以重用，则英雄终将老死岩壑。其中，显然包含着一个假言命题：

（4）如果当时身不遇，那么终将老了英雄。

这显然是一个真的充分条件命题，但其前后件均与历史事实不符，即都是假的。

按此，蕴涵词“→”可定义为：

p→q为真，当且仅当并非“p真且q假”。

这样，也可用真值表将其逻辑特性和定义表示如下：

显然，如此定义的“p→q”同日常思维和交际中用来表示充分条件的“如果……那么……”并不完全相同，因为对于一个形如p→q的蕴涵式而言，只要不出现p真而q假的情况，该蕴涵式就是真的。换句说法说，只要p为假，无论q是真是假，p→q总是真的。而且，在这种情况下，即使p与q表示的是毫不相干两种事物情况，也不影响p→q为真。比如：

（5）如果雪是黑的，则今天是星期二。

由于其前件p（“雪是黑的”）为假，所以p→q总为真，尽管“雪是黑的”与作为后件的“今天是星期二”毫不相干。所以如此，原因就在于作为蕴涵式的p→q只是“如果……那么……”在真值关系上的抽象，它撇开了“如果……那么……”在内容、感情等方面的其他一切关系，而仅仅考虑p和q在真假方面的关系，这一点，是我们必须注意的。

充分条件假言推理是以假言命题为主要前提构成的假言推理中的一种，一般是指以充分条件假言命题为主要前提（大体上相当于三段论的大前提），并根据充分条件假言命题的逻辑特性而进行推演的假言推理，其另一个前提和结论一般为直言命题，故又可称为假言直言推理，以区别于前提和结论均为假言命题的纯假言推理。

根据充分条件假言命题的逻辑特征及真值表，充分条件假言推理有下述两种有效式：

上述左边的推理形式称为肯定前件式，其逻辑根据是：一个真的充分条件假言命题，其前件真时，后件必真，所以在前提中肯定前件，在结论中就必须肯定后件，如例（1）。再如：

（6）如果这个人骄傲，那么这个人就会落后

　　这个人骄傲

　　所以，这个人就会落后

上述右边的推理形式称为否定后件式。其逻辑根据是：当充分条件假言命题的前件真时，后件必真，因此当其后件不真时，其前件必然不真，所以就可以在前提中否定一个真的充分条件假言命题的后件而在结论中否定其前件。比如：

（7）如果这个人骄傲，那么这个人就会落后

　　这个人并不落后

　　所以，这个人不骄傲

按此，我们就可以从上述一系列分析中，概括出充分条件假言推理的两条规则：

①肯定前件，就要肯定后件；否定前件，不能断定（既不能否定也不能肯定）后件；

②否定后件，就要否定前件；肯定后件，不能断定前件。

违反这两条规则，一个充分条件假言推理就必然是无效的、不含逻辑的。

比如：

（8）如果这个人骄傲，那么这个人就会落后

　　这个人不骄傲

　　所以，这个人不会落后

这个推理无疑违反了规则①，因而是无效的。因为造成一个人落后的原因可能是多方面的，一个人虽不骄傲，但也可能由于其他原因而导致落后。因此，基于“这个人不骄傲”就断定“这个人不会落后”，显然是没有根据的，从这个前提是推不出结论的。又如：

（9）如果这个人骄傲，那么这个人就会落后

　　这个人落后了

　　所以，这个人骄傲

这个推理显然又违反了规则②，也是一个无效的推理。因为一个人落后并不必然是由骄傲所造成的，所以由“这个人落后”也不能必然推出“这个人骄傲”。

（三）必要条件假言命题及其有效推理

必要条件假言命题是断定前件是后件的必要条件的假言命题。所谓前件是后件的必要条件，是说没有前件所断定的事物情况，就没有后件所断定的事物情况，即所谓“无之必不然”的条件关系。

比如，例（2）中的假言命题，其前件“一个人娶妻生子”，就是其后件“会有后代子孙”的必要条件。又如：

（10）（根据我国宪法）只有年满十八岁，才有选举权。

这也是一个必要条件假言命题，其前件“（一个人）年满十八岁”是其后件“（一个人）有选举权”的必要条件，即不具备前件所断定的条件，就不可能有后件所断定的结果。

必要条件假言命题的逻辑联结词一般用“←”表示，称作逆蕴涵词。在自然语言中，表达必要条件关系的语句连词有“只有……才……”、“不　…不……”、“除非……否则　…”等等。如果用“p”和“q”分别表示必要条件假言命题的前件和后件，那么必要条件假言命的逻辑形式可记为：

p←q（读为“p逆蕴涵q”）

此命题形式一般称为逆蕴涵式。

从上面的分析可以看出，一个必要条件假言命题是真的，那么其前件假时，后件一定为假；而它的前件真时，后件却可真可假。只有当其前件假而后件真时，整个必要条件假言命题才是假的。因为正是只有在这种情况下，其前后件之间才不具有“无之必不然”的必要条件关系。这就是必要条件假言命题的基本逻辑特性。

据此，可将逆蕴涵词“←”定义为：

p←q是真的，当且仅当并非“p假而q真”。

必要条件假言命题的这种特性与逆蕴涵词的定义可用真值表表示如下：

必要条件假言推理是以必要条件假言命题为主要前提构成的一种假言推理，一般是指以必要条件假言命题为主要前提，并根据必要条件假言命题的逻辑特性而进行推演的假言推理。

根据必要条件假言命题的逻辑特性和真值表，它有以下两种有效的推理形式：

上述左边的推理形式是必要条件假言推理的否定前件式。其逻辑根据在于：一个真的必要条件假言前提，当其前件假时，后件一定为假，因此可以从否定其前件而否定其后件。据此，从前提“只有热爱学习，才能认真学习”和“小王并不热爱学习”，就可推出结论“小王不可能认真学习”。

上述右边的推理形式是必要条件假言推理的肯定后件式。其逻辑根据在于：一个必要条件假言命题，当其前件假时，后件必假，因此若其后件不假，即为真时，其前件必不可能为假而只能为真，所以可以从肯定其后件而肯定其前件。据此，我们就可以从前提“只有不畏艰险的人，才能达到科学的顶峰”和“爱因斯坦达到了科学的顶峰”，而推出结论“爱因斯坦是不畏艰险的人”。

由此，必要条件假言推理的规则可概括如下：

①否定前件就要否定后件；肯定前件不能断定（既不能肯定也不能否定）后件；

②肯定后件就要肯定前件；否定后件不能断定前件。

如果违犯这两条规则的任意一条，必要条件假言推理就是无效的、不合逻辑的。

比如：

（11）只有到过作案现场的人，才是直接作案者

　　某人是到过作案现场的人

　　所以，某人是直接作案者

这一推理违反上述规则①，所以是一个无效的、不合逻辑的推理。事实上，某人虽是到过作案现场的人，但完全可能不是一个直接作案者，故这一推理是不能成立的。

（12）只有不畏艰险的人，才能达到科学的顶峰

　　某人没能达到科学的顶峰

　　所以，某人是一个畏惧艰险的人

这个推理则违反了上述规则②，所以也是一个无效的、不合逻辑的推理。事实上，一个没能达到科学顶峰的人，并不一定就是畏惧艰险的人。他完全可能是虽不畏艰险，但由于方法不对或因为其他原因而未达到科学的顶峰。因此，不能因其未达到科学顶峰就推论出他是一个畏惧艰险的人。

（四）充分必要条件假言命题及其有效推理

充分必要条件假言命题是指前件既是后件的充分条件，又是后件的必要条件的假言命题。所谓前件是后件的既充分又必要的条件，是说如果存在前件所断定的事物情况，就会有后件所断定的事物情况；如果不存在前件所断定的事物情况，就没有后件所断定的事物情况。可见，这种既充分又必要的条件关系就是“有之必然，无之必不然”的条件关系。

比如，“三角形的两底角相等”对于“三角形是等腰三角形”来说，就有一种既充分又必要的条件关系。这就是说：

如果三角形两底角相等，则三角形是等腰三角形。

只有三角形两底角相等，三角形才是等腰三角形。

把两个命题结合起来即是：

（13）如果而且只有三角形两底角相等，该三角形才是等腰三角形。

这就是一个充分必要条件假言命题。

充分必要条件假言命题的逻辑联结词称为等值词，符号记为“pq”。在自然语言中，表达充分必要条件关系的语句连词有“如果而且只有……才……”、“当且仅当”等。如果分别用“p”和“q”表示充分必要条件假言命题的前件和后件，则充分必要条件假言命题的逻辑形式可记为：

pq（读为“p等值q”）

该命题形式可称为等值式。

根据充分必要条件的含义可知，一个充分必要条件假言命题是真的，其前件真，后件一定真；其前件假，后件一定假。这就是说，其前后件之间必然具有同真同假的关系，即真假值相等，这也就是充分必要条件假言命题的逻辑联结词称为“等值词”的原因所在。据此，可将等值词“pq”定义为：

pq是真的，当且仅当p和q真值相等（即同真同假）。

这一逻辑特性和定义可用真值表表示如下：

所谓充分必要条件假言推理是指其假言前提为充分必要条件假言命题，并按充分必要条件假言命题的逻辑特性进行推演的假言推理。

它有以下四种有效的推理形式：

比如：

（14）如果而且只有三角形两底角相等，该三角形才是等腰三角形

　　这个三角形两底角相等

　　所以，这个三角形是等腰三角形

（15）如果而且只有三角形两底角相等，该三角形才是等腰三角形

　　这个三角形两底角不相等

　　所以，这个三角形不是等腰三角形

（16）如果而且只有三角形两底角相等，该三角形才是等腰三角形

　　这个三角形是等腰三角形

　　所以，这个三角形两底角相等

（17）如果而且只有三角形两底角相等，该三角形才是等腰三角形

　　这个三角形不是等腰三角形

　　所以，这个三角形两底角不相等

例（14）—（17）分别运用的是充分必要条件假言推理的肯定前件式、否定前件式、肯定后件式和否定后件式。不难看出，肯定前件式、否定后件式与充分条件假言推理的有效式相同，否定前件式、肯定后件式与必要条件假言推理的有效式相同。这说明，由于充分必要条件假言命题的前件对后件而言既充分又必要，因此充分必要条件假言推理的有效式就自然包括了充分条件假言推理的有效式和必要条件假言推理的有效式，其推理规则自然也就是后两种推理的规则的概括：

①肯定前件就要肯定后件，否定前件就要否定后件；

②肯定后件就要肯定前件，否定后件就要否定前件。

（五）假言推理的推广形式及其有效式

1.纯假言推理及其有效式

先看雨果想出的下述绝妙的谢客方法：

有一段时间，法国著名大作家雨果为了赶写一部作品，必须集中所有的时间和精力，但是频繁的社交需要又使得他难以集中自己的时间和精力。于是，他想出一个方法，把自己的半边头发和胡须剪去，这样就可以不失礼节地谢绝一切亲友的约会之类的活动，直到须发长齐为止。当然等到须发长齐后，他自然是将又一部辉煌巨著奉献给世界了。

从雨果想出这一方法的思维活动中，不难看出他是进行了这样一个推理：

（18）如果把半边头发和胡须剪去，那就可以不失礼貌的谢绝一切活动

　　如果谢绝一切亲友约会之类的社交活动，那就能集中所有时间和精力写完作品

　　所以，如果把半边头发和胡须剪去，就能集中所有时间和精力写完作品

雨果在此所运用的推理就是一种纯假言推理，即其前提和结论均为假言命题的假言推理。由于这种推理的两个前提和结论均为充分条件假言命题，所以又可将其称为充分条件的纯假言推理。如果用充分条件假言命题的命题形式来加以表示，则雨果的上述推理可用公式表示为：

这一公式显然是充分条件假言推理的肯定前件式的扩展，即连续运用，是符合充分条件假言推理的规则的，因而是一个合乎逻辑的有效式。

对充分条件假言推理的否定后件式加以扩展，也可构成一个有效的推理形式：

前面我们曾讲到明人陈嗣初为了证明冒充林逋十世孙的年轻人绝不可能是林逋的后代时，曾赋诗一首，据此我们曾构造了一个充分条件假言推理，即本节例（1），但如将其细化，实际上也可以构成一个否定后件式的充分条件纯假言推理：

（19）如果一个人没娶过妻，那么他就不会有儿子

　　如果一个人不会有儿子，那么他就不会有后代子孙

　　所以，如果他有后代子孙，那么他就不会没娶过妻

无疑，这是一个有效的、合乎逻辑的充分条件纯假言推理。

此外，正如我们把作为充分条件假言命题的例（1）改写成了一个必要条件假言命题，例（2），我们也可以把作为充分条件纯假言推理的例（19）转换成一个必要条件纯假言推理：

（20）只有一个人娶过妻，他才会有儿女

　　只有一个人有儿女，他才会有后代子孙

　　所以，如果一个人没有娶过妻，那么他就不会有后代子孙

如果我们用公式来表述上述推理，可记为：

上述公式无疑是必要条件假言推理的否定前件式的扩展，因而是符合必要条件假言推理的规则的，是一个合乎逻辑的有效式。

同样，对必要条件假言推理的肯定后件式加以扩展，也可构成另一个有效的推理形式：

例如：

（21）只有一个人娶过妻，他才会有儿女

　　只有一个人有儿女，他才会有后代子孙

　　所以，如果一个人有后代子孙，那么他就娶过妻

这就是一个有效的、合乎逻辑的必要条件纯假言推理。

以上所讲纯假言推理都是由两个假言命题作为前提推出一个假言命理作为结论的推理。其实，除了这种类型，纯假言推理还可以是以一个假言命题为前提推出另一个假言命题为结论的推理。比如，可以由一个充分条件假言命题为前提，按照充分条件假言命题的逻辑特性，从否定其后件而否定其前件，推出另一个作为结论的充分条件假言命题。其有效式为：

例如：

（22）如果一个人骄傲，那么他就会落后

　　所以，如果一个人不想落后，那么他就不能骄傲

当然，纯假言推理也可以由一个必要条件假言命题为前提，按照必要条件假言命题的逻辑特性，推出另两个作为结论的充分条件假言命题。其有效式为：

例如：

（23）只有身体好，才有足够精力搞好学习

　　所以，如果身体不好，那么就没有足够精力搞好学习

（24）只有年满十八岁，才有选举权

　　所以，如果某人有选举权，那么某人年满了十八岁

不难看出，以上三种形式的纯假言推理，即例（22）—（24），都是分别根据充分条件假言推理的规则②、必要条件假言推理的规则①和规则②而进行的，所以它们都可视为假言推理的推广形式，亦可分别称为充分条件假言易位推理和必要条件假言易位推理。再由于它们都是从一个假言前提推出一个假言结论，所以相对于由两个假言前提推出一个假言结论的纯假言推理，即间接的纯假言推理而言，它们也可称为直接的纯假言推理。

2.假言选言推理（二难推理）及其有效式

先看看爱因斯坦的一段轶事：

爱因斯坦还是个无名之辈时，有一次在纽约街上碰到一个熟人，那人见他穿着寒碜，便问他：“你怎么穿得这么破旧？”爱因斯坦笑笑回答道：“反正这里也没人认识我。”

几年后，爱因斯坦成了科学界的大明星。一天，在纽约街上他又遇见那个熟人，那人一见即惊讶地问他：“你怎么还是穿得这么破旧？”爱因斯坦仍然笑笑回答道：“反正这里的人都已经认识我了。”

爱因斯坦对这位熟人的两次回答，其实包含着一个假言选言推理。试整理如下：

（25）如果这里的人不认识我，那么穿衣服破旧点没关系；如果这里的人认识我，那么穿衣服破旧点也没关系

　　或者这里的人不认识我，或者这里的人认识我

　　所以，穿衣服破旧点没关系

如果用假言命题和选言命题的命题形式来表示上述推理，其推理形式就是：

这一推理的第一个前提是两个充分条件假言命题的合取，第二个前提是以第一个前提中两个假言命题的前件为支命题的选言命题，结论则是前提中那两个假言命题的后件（在此推理中是相同的，但也可以是不同的命题）。作为假言命题和选言命题的结合，这一推理也可以看作是假言推理的扩展形式，可称为假言选言推理。而且，这也是一个遵守了充分条件假言推理和选言推理规则的推理，即一个有效的、合乎逻辑的推理。

假言选言推理是人们在论辩过程中经常运用的一种推理。运用这种推理的一方常常提出具有两种可能性的选言前提，对方不论选择其中哪一种可能，结果都会陷入进退两难的境地，所以这种推理又被称为二难推理。

二难推理有四种不同形式，前面所举例（25）是其中一种形式，即其第一个前提是两个有着一个共同后件的充分条件假言命题的合取，第二个前提是选言命题，而且其两个支命题分别为构成前提中那两个假言命题的前件。这样，按照充分条件假言推理的肯定前件式，就可在结论中推出前提中那两个假言命题的共同的后件。这种形式就其是运用充分条件假言推理的肯定前件式而言，可称为构成式；就其结论是前提中那两个假言命题的共同后件（一般是一个简单命题）而言，可称为简单式。故此形式的二难推理又可称为简单构成式。

据此，如果在这种构成式中，前提中的那两个假言命题的后件并不相同，那么其结论就是由这两个不同的后件的析取所构成的复合命题。这种二难推理就称为复杂构成式，其公式为：

比如，古希腊雅典城的一个居民给他那正在靠演讲口才以求取功名富贵的儿子提出警告，以及他儿子的回答，就是运用了这种复杂构成式的二难推理。先看父亲对儿子的警告：

（26）如果你说真话，那么富人显贵就会憎恨你；如果你说谎话，那么黎民百姓就会憎恨你

　　你或者说真话，或者说谎话

　　所以，或者富人显贵憎恨你，或者黎民百姓憎恨你

再来看儿子对父亲所提警告的回答：

（27）如果我说真话，那么黎民百姓就会赞颂我；如果我说谎话，那么富人显贵就会赞颂我

　　我或者说真话，或者说谎话

　　所以，或者黎民百姓赞颂我，或者富人显贵赞颂我。

上述两个推理都运用了二难推理的复杂构成式。从逻辑上说，二者都是遵守了充分条件假言推理和选言推理的规则，因而是合乎逻辑的。于是，要想反驳上述二难推理，就不能仅仅从逻辑入手了。

上述构成式都是运用充分条件假言推理的肯定前件式而构成的。与此不同，如果运用充分条件假言推理的否定后件式，也可构成相应的二难推理。这样的二难推理被称为破坏式，也有简单式与复杂式之分。其公式分别为：

上左的推理形式就是简单破坏式，上右的则是复杂破坏式。

例如，某中学有一个学生，学习很不刻苦，学业拉下来了，老师组织同学帮助他，可他又不虚心。于是老师要求他要从端正学习态度入手。该生听了却不以为然，以为自己的学习态度已经很端正了。为此，老师就批评他说：“如果你的态度端正，为什么不刻苦学习呢？为什么不虚心学习呢？”老师的这个批评实际上就运用了一个二难推理的简单破坏式：

（28）如果你的学习态度端正，你就会刻苦学习；如果你的学习态度端正，你就会虚心学习

　　你或者不刻苦学习，或者不虚心学习

　　所以，你的学习态度不够端正

又如，据《隋书》记载，隋文帝杨坚不信墓田风水之类的鬼话。他曾现身说法，以自己亲身经历来证明风水之类的说法不可信。他说：“我家墓田，如云不吉，我不当贵为天子；若云吉，我弟不当战死。”杨坚的这段话，就运用了一个二难推理的复杂破坏式：

（29）如说我家墓田不吉，那我就不当贵为天子；如说我家墓田吉利，那我的弟弟就不当战死

　　我已贵为天子，或者我的弟弟已经战死

　　所以，不能说我家墓田不吉，或者不能说我家墓田吉利。

（28）和（29）两个推理都遵守了充分条件假言推理否定后件就是要否定前件的规则，因而都是合乎逻辑的有效推理。

以上就是二难推理的四种形式，在日常思维特别是论辩中经常为人们所使用。但是，并非所有人都能正确地运用它们，而且形形色色的诡辩者还常常利用它们来进行诡辩，或通过使其前提不真，或通过使其形式无效，而使其成为错误的二难推理。为此，我们也要学会识别和揭露二难推理中可能含有的种种错误并予以驳斥。而驳斥的方法，不外乎或指出其前提是不真实的，或指出其形式是无效的，即不合逻辑的。当然，也可以提出一个与之针锋相对的二难推理。比如，笔者在逻辑教学过程中曾碰到过一位同学，他主张取消考试，理由是无论哪种考试无非是考一些学生掌握了的知识，但如果是考学生掌握了的知识，那么考试没有什么用（因为知识既然已被学生掌握了，考试有何用呢）；如果考试是考学生未掌握的知识，考试也是无用的（既然有的知识考生未掌握，通过考试他仍未掌握）。因此，不管考什么知识，考试都是没有用的。这其中就包含了如下一个简单构成式的二难推理：

（30）如果考试是考学生已掌握了的知识，那么考试是无用的；如果考试是考学生未掌握的知识，那么考试也是无用的

　　考试或者是考学生掌握了的知识，或者是考学生未掌握的知识

　　所以，考试总是无用的

为了驳斥这一二难推理，我首先向他指出：在推理形式上，你是没有错的，因为你提出的是一个简单破坏式的二难推理而且遵守了相关的规则。问题在于你的推理的第一个前提由两个充分条件假言命题所组成，但这两个假言命题并不真实，因为其前件并不是后件的充分条件。就前一个假言命题来说，即使考题是考生掌握了的知识，那也推不出考试是无用的。因为通过考试，可以巩固和加深对这些知识的理解，这是一方面。另一方面，作为一种检测学生对知识掌握情况的有效方式，教师正是通过考试才能了解到各类学生对所考知识的不同掌握情况，这仍然是有意义的。就后一个假言命题来说，通过考试，检测出学生尚未掌握有些知识，这不仅对了解各类学生的知识掌握情况是有用的，而且对学生本人来说也是有用的。因为这会让学生更清楚地了解到自己还有哪些应该掌握但实际并未掌握的知识，这对学生如何进一步搞好自己的学习无疑也是有重要意义的。在讲清这些道理后，我提出一个与之针锋相对的二难推理：

（31）如果考试是考学生已掌握了的知识，那么考试是有用的（因为这可以帮助学生进一步巩固和加深对知识的掌握）；如果考试是考学生未掌握的知识，那么考试也是有用的（因为学生可以借此而明确自己的不足之处）

　　考试或者是考学生掌握了的知识，或者是考学生未掌握的知识

　　所以，考试总是有用的

例（31）与（30）针锋相对，但假言命题的理由充分，因而自然就使得那位同学信服了。

3.假言联言推理及其有效式

先看看德国近代著名作家歌德喝酒掺水的故事：

歌德有一次出门旅行，走进一家饭馆，要了一杯酒，他先尝了尝酒，然后往酒里掺了点水。旁边桌子坐着几个喝酒的大学生，他们兴致勃勃，吵吵闹闹。 当他们看到邻座的这位先生喝酒掺水时不由得哄堂大笑。其中一个问道：“亲爱的先生，请问你为什么要把这么好的酒掺水喝呢？”歌德回答说：“光喝水使人变哑，池塘里的鱼儿就是明证；光喝酒使人变傻，在座的先生们就是明证；我不想做哑巴和傻子，因此把酒掺水喝。”

歌德的这段话就包含了一个假言联言推理：

（32）如果只喝水，就会让人变哑（如池塘里的鱼）；如果只喝酒，就会使人变傻（如几位大学生在喝酒时的吵吵嚷嚷）

　　我既不愿变成哑巴，也不愿变成傻子

　　所以，我不能只喝水，也不能只喝酒（即要把酒和水掺合后喝）

假言联言推理是以两个充分条件假言命题的合取跟一个联言命题（其联言支的数目与假言命题的数目相同，或是对假言命题前件的肯定或是其后件的否定）为前提而推出一个联言命题为结论的复合命题推理。由于这种推理是假言命题与联言命题的结合，所以它也是一种假言推理的扩展形式。

上述假言联言推理可用符号表示为：

这个公式就是作为假言联言推理主要形式之一的否定式。它是在前提中援引联言命题的两个支命题来分别否定两个充分条件假言命题的后件，进而在结论中否定这两个假言命题的前件。这一推理形式完全符合充分条件假言推理的规则，所以是有效的、合乎逻辑的。

假言联言推理的另一种形式是肯定式。它是在前提中通过联言命题的两个支命题来分别肯定两个充分条件假言命题的前件，进而在结论中肯定这两个假言命题的后件。比如：

（33）如果要加强社会主义物质文明建设，就要大力发展社会主义生产力；如果要加强社会主义精神文明建设，就要大力加强和改善思想政治工作

　　我们现在要加强社会主义物质文明建设，也要加强社会主义精神文明建设

　　所以，我们既要大力发展社会主义生产力，又要大力加强和改善思想政治工作

上述推理可用符号表述为如下公式：

假言联言推理，也是人们日常思维中，特别是在工作过程中常用的一种推理。为了正确运用这种推理形式，就必须遵守充分条件假言推理和联言推理的规则。只有如此，这种推理才能是有效的、合乎逻辑的。