数学教学原则

第二节　数学教学原则

中学数学教学原则是数学教学取得成效必须遵守的基本准则。它来自中学数学教学实践，反过来又对中学数学教学实践具有重要的指导作用。在中学数学教学过程中，无疑要遵循普遍的、一般的教学原则。我们这里论述的数学教学原则是基于两方面原因提出来的。一方面是数学学科和数学教学的特点；另一方面是中学生认识发展的基本特点及与其相适应的教学目的。因此，我们将主要强调四条数学教学原则：

（1）严谨性与量力性相结合的原则；

（2）抽象性与具体性相结合的原则；

（3）理论与实际相结合的原则；

（4）巩固与发展相结合的原则。

以下我们将依次讨论这些原则。

一、严谨性与量力性相结合的原则

（一）严谨性与量力性

严谨性，是数学学科的基本特点之一。即逻辑的严谨性和结论的确定性。它要求数学概念必须严格地加以定义，即使是那些最基本、最常用，而又不能按逻辑方法加以定义的原始概念，除了直观地用语言描述之外，还要求用公理加以确定。它要求数学结论的叙述必须准确、精练，数学推理、论证必须合乎逻辑地进行，即使数学计算也要求无可争辩。可以说，整个数学学科体系就是一个严谨的逻辑结构。

数学的严谨性具有明显的相对性。数学的严谨性的产生有一个漫长的发展过程，它经历了相对不严谨或不太严谨的阶段。比如，微积分在19世纪以前，尚未确定其严密的逻辑基础时，是极不严谨的。但是，这并没有妨碍微积分在相当长的时期内的蓬勃发展，反而随着这种不太严谨的发展，促成了自身的完善。就历史而言，数学只可能具有相对严谨性，或者说成阶段性的相对严谨性。另外，侧重于理论的基础数学和侧重于应用的应用数学，在严谨性上也有很大差别，这就是数学具有不同层次的相对严谨性。

数学教学的严谨性要求，是指在中学数学教学中，教师在教学内容的安排和讲授时，学生在理解、掌握、运用这些知识时．应该根据数学学科的基本特点，数学内容的叙述必须精练准确，结论的推导、论证和体系的安排，要严格、周密。

事实上，对于数学的严谨性，学生要有一个逐步适应的过程。它随着人们认识能力的发展而提高。开始学习数学时，往往都是不够严谨的，理解上依赖于直观，解题时依赖于模仿。诸如“互为相反数”、“任意非零整数”、“存在且唯一”、“当且仅当”以及“必要而不充分”等，往往不能理解透彻，甚至不知所云，只会死记硬背。对于定理、法则的前提条件、适用范围也容易忽视。对于严格的推理、论证大多习惯于从特例归纳出一般结论，止步于不完全归纳，或者止步于类比，对于进一步论证的必要性认识不足。在解题过程中，对于多种情形的讨论，有所遗漏，或者分类讨论时分类不合理，造成重复的情况更是屡见不鲜。如果对学生不进行必要的严谨性训练，即使到高年级，他们依然会出错。

教学的量力性，就是量力而行，要求教学内容能够被学生接受。学生在各年龄阶段的思维发展水平、理解程度和接受能力有明显差异，因此，在数学教学中，如何安排课程、处理教材、设计教法等都必须考虑青少年的年龄特征、接受能力和理解水平，对数学的严谨性有一个逐步适应、逐步提高的过程，教学上要求要恰当。既不可要求过高，难以攀登；又不可要求过低，轻而易举。这当然是对的，但是有些问题还值得进一步讨论。近年来，国内外不少专家进行了大量的实验，通过逐步加强对学生严谨性的要求，使初一的学生经过一定训练之后，对“有唯一解”、“取非负值”、“多项式集合对乘法运算封闭”等严谨的结论也能很好地理解、掌握；对一些比较严格的推理、证明也能很好地接受，还能独立完成一些代数、几何的证明。因此，对量力性不能被动地理解、学生的可塑性是很大的，改革的潜力是有的。关键在于逐步提高要求，逐步进行训练。

总之，数学学科的严谨性是相对性的，量力性是有发展性的。其实，它们总是在“对立——统一”的不同层次的循环运动中发展的。显然，严谨性是矛盾的主要方面，因为它是数学教学的教学目的之一。因此，严谨性可以主导矛盾运动的发展方向，只要抓住矛盾的主要方面，对严谨性要求加以适当调整，做到保证数学教学内容的科学性，有利于发展学生逻辑思维能力，适应学生现有知识和能力的水平，是可以形成严谨性要求与量力性相统一的良性循环的。

严谨性与量力性相结合，是由数学科学的本质与数学教学的特点所决定的，是数学学科的严谨性与学生认识能力的量力性对立统一规律在教学中的反映。为此，在教学中我们必须予以高度重视。显然，这些问题正需要我们在教学中加以解决。

（二）严谨性与量力性相结合原则的贯彻

1．明确要求，谨慎处理

现行教学大纲和教材对中学各部分数学内容在严谨性方面的具体要求，都有一定的反映。教师必须深入钻研大纲、教材．明确各部分内容对严谨性的要求程度，在教学中参照施行。不宜随意提高要求，也不宜降低要求。尤其是对于那些鉴于中学生认识发展的特征而降低了严谨性的内容，或者说只有阶段性的相对严谨性的内容，教学处理必须谨慎，一定要设法向学生讲清这些内容还有欠缺，还有发展的必要，只是当前尚未深入。比如，平面几何就是典型的一例。它的处理精神是基本上保留了欧几里得体系，但适当扩大了公理。例如，三角形全等的判定定理．它是证明几何命题的基础，又是训练学生独立进行逻辑论证的比较合适的材料。教材在处理时，前三个判定定理（SAS，ASA，SAS）是由作图和剪纸领会而以公理形式出现，至于角、角、边（AAS）是作为ASA公理的推论（因已有三角形内角和为180。的定理）。再如，锐角三角函数的教学，开始是利用直角三角形的边长之间的各种比给出，但是必须指出，锐角三角函数是随角的改变而变化的变量，而且它的变化可以由相应的线段之比来确定，决不能使学生误认为锐角三角函数只是边长一定的直角三角形的两边之比。

2．从开始抓起，持之以恒

从初中一年级的数学教学开始，就应当在数学严谨性方面提出明确的要求。首先要规范数学用语。数学概念也好，数学定理也好，不仅要懂得其内涵，了解其外延，还要用规范的数学术语或数学表达式表示出来。其次，数学命题的推导、数学算式的推演也要严格地使用数学语言。

这种严谨性要求，随着中学数学教学的发展，其标准也应该逐步提高。因为，中学数学教学内容越高深，抽象程度也越高，相应地严谨性要求也越高。教师应该采取适当的措施，使学生尽快地适应这种发展，以形成习惯。为此，教师应该持之以恒，并以身作则。备课、讲授、批改作业、课外辅导都应该注意这方面的要求。这样严谨性与量力性就能形成良性循环。

3．要求学生周密思考，言必有据

为了强调数学学科的严谨性，在贯彻严谨性与量力性相结合原则时，不能脱离学生的实际。具体说来，就是对学生提出“周密思考。言必有据”的要求，使学生养成严谨性的习惯。

周密思考，就是要全面地思考，不要遗漏，从而体现严谨性。但是，要养成这种习惯，必须经过严格训练。青少年由于他们社会阅历不多，考虑问题难免片面。比如，讲算术平方根概念后．学生会记住“算术平方根是正数a的正的平方根”。但是遇到时，稍不小心，就信手写出其结果为a－b。这就是思考不周密的表现。若经教师提示后，学生会立即纠正过来。因此，做到周密思考，必须不断加强训练。

言必有据，是数学严谨性的重要标志之一，也是保障周密思考的有力的措施。中学数学教学中，教师可以结合典型例题，强调“言必有据”。譬如，在几何证明题中，要求学生在练习时，每一步推论都用括号注明其理由，以逐步养成言必有据的习惯。

言必有据不仅体现在推理、论证中，在计算、画图时，也要求做到确凿可靠，尤其是对那些由计算或画图作出某种判断、某种结论的问题。在这类问题中，不仅计算要有充足的算理作保证，画图要有可靠的依据，而且还需要进行充分的论证。否则，仍然会发生以偏概全、思考欠周密的错误。

当然，言必有据并不排斥解题、证题中产生的某些猜想。应该注意的是，这种猜想必须是有根据的、合理的。也就是说，强调言必有据，既要符合严谨性要求，又不能抑制有根据的创新思考。要鼓励学生敢于设疑、质疑，向权威挑战，培养学生的创新意识。

总之，数学的严谨性与量力性要很好地结合，在教学中要注意教学的“分寸”，即注意教材的深广度，从严谨着眼，从量力着手；另外，要注意阶段性，使前者为后者作准备，后者为前者的发展，前后呼应。通过对学生严谨性的培养使学生养成良好的思考习惯。

二、抽象性与具体性相结合的原则

（一）抽象性与具体性

数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己的研究对象。所以，它的研究对象本来是十分具体的。但是，为了在比较纯粹的状况下来研究空间形式和数量关系，才不得不把客观对象的所有其他特征抛开不管，而只抽象出空间形式和数量关系进行研究。因此数学具有十分抽象的形式，这就是数学的抽象性。

数学的抽象性，表现为数学概念的抽象性、数学思维的抽象性以及数学符号的抽象性，其中数学概念的抽象性是最根本的。然而，任何一个抽象的数学概念，在它形成的过程中，却往往以大量的具体对象作为基础，或者以一些相对具体的抽象概念作为基础。因此，在中学数学教学中必须贯彻抽象性与具体性相结合的原则。这条原则的理论基础有三方面：

第一，由数学抽象的相对性与中学生抽象思维的局限性所决定。

数学概念的抽象性、数学思维的抽象性以及数学符号的抽象性，很容易掩盖它们与具体对象之间的联系。数学的抽象性并不排斥具体对象的直观性，恰恰相反，现实世界的具体对象是数学抽象的素材，而且抽象的数学概念一旦与具体对象建立起联系，也更生动易懂了。比如“对应”，它是一个抽象的数学概念，也是一种重要的数学思想，其实它早在原始人分配猎物或收获品的简单、具体的活动之中就有所体现，而且现在也有许多具体的对应关系存在于人们日常生活之中。又比如“集合”，这是相当抽象的概念，但却可以借用一些生产、生活实例来处理。数理逻辑也是十分抽象的，但结合电路断合分析，就可以成为非常具体的对象。

有些数学概念似乎没有办法与具体对象建立直接联系，然而，它是在相对具体一些的抽象概念基础上再抽象的结果。其实，抽象程度越高的数学概念，概括性越强，越是能代表更广泛的具体对象共有的属性。比如，锐角三角函数，它可以与直角三角形的边之间的长度比联系起来，它是相对具体的抽象概念，它所联系的具体对象比较少。当它抽象到任意角三角函数时，表现为“圆函数”，所联系的具体对象一下子扩展到一般的“圆运动”。所以我们往往引用单位圆来讨论。进一步扩展为数值函数，即以任意实数为自变量的三角函数时，它所联系的具体对象就更为广泛，包括了所有相应的周期运动。

由此可见，数学概念的抽象性与具体对象的直观性是有联系的，而且高度的抽象不是一下子达到的，它需要一个从具体到抽象，又从相对具体到比较抽象的发展过程，这就是数学概念抽象的相对性。

中学生尤其是低年级中学生对具体对象的直观性有很强的依赖性，或者说中学生抽象思维有一定的局限性。事实上，引入比较抽象的概念时，往往需要从具体实例出发。若不举出一定数量的实例，初一学生就连“相反方向的量”也不好接受；若不以多位数乘除法作为实例，强行引入多项式乘除法的分离系数法，学生会难以理解而步履维艰。

理解、掌握抽象的概念时，往往有片面性，或者说不善于抓住其实质，只限于举出具体实例。比如，把无理数仅理解为，…之类的数。又如，对点到直线的距离的概念，用于钝角三角形时，往往难以理解该三角形中锐角顶点到对边的距离。再如，学过函数概念之后，常常把分段函数的表达式认作两个函数或者认为不是函数。

这些事实表面上看似乎是举一反三灵活运用的能力不强的问题，但实质上是抽象概念与具体对象割裂的问题。也就是说，教学要从具体对象人手，适时地上升为抽象理论，然后又及时地把它概括到更丰富、更广泛的具体对象上去，学生就会逐渐突破其抽象思维不强的局限性，从而适应数学概念的抽象性，并逐步提高抽象思维的能力。

第二，由教学过程与认识过程的共同性和特殊性规律所决定。

教学过程就是学生认识与掌握知识的过程，教学过程与认识过程基本上一致的，教学过程不过是前人对知识认识过程的快速的、科学的重演。因此，教学过程必须以科学的认识论为基础。

列宁在阐明科学的认识过程时说：“从生动的直观到抽象的思维，从抽象思维到实践，这就是认识真理、认识客观实在的辩证的途径。”毛泽东在《实践论》中也具体地论述了认识过程，他说：“认识的过程，第一步，是开始接触外界事情，属于感觉的阶段。第二步，是综合感觉的材料加以整理和改造，属于概念、判断和推理的阶段。只有感觉的材料十分丰富（不是零碎不全）和符合实际（不是错觉），才能根据这样的材料造出正确的概念和论理来。”教育心理学的实验表明，理性知识不能离开感性知识而凭空产生，理性知识的形成，必须具有感性知识的基础。因此，数学教学是引导学生认识、掌握抽象的数学知识，但决不能只把教学建立在单纯抽象的概念和言语上，而是建立在学生具体感知和抽象思维统一的基础上，才符合科学的、辩证唯物主义的认识论原理。

另外，教学过程也有与认识过程相区别的特殊性。教学过程最主要的特点在于，它是传授间接知识或书本知识的有效途径。这些知识对于学生来讲，是陌生的、新鲜的、抽象的，也是完全必要的，但对他们又是间接的、片面的、空洞的、盲目的。也就是说，教学过程与认识过程之间存在着间接知识与直接经验的矛盾。为了解决这对矛盾，必须坚持抽象与具体相结合的原则，才可能使抽象的理论具体化，间接知识直接化，理论知识实际化。

第三，由人的两种信号系统协同活动的规律所决定。

巴甫洛夫关于人的两种信号系统的学说，不仅为辩证唯物主义认识论提供了自然科学的根据，也为科学的教学论提供了神经生理学的根据，是我们坚持数学概念的抽象性与具体对象的直观性相结合的原则的重要理论基础。

所谓第一信号系统，是以外界具体的对象、现象为客观刺激物，直接作用于各种感觉器官，引起反射的系统，这是人与一般动物所共有的；所谓第二信号系统，是以语言作为刺激信号，引起神经反射的系统，这是只有人类才有的。

在数学教学中强调具体对象的直观性教学，基本上属于第一信号系统活动的范围。这就是说，第一信号系统是这种直观性教学的生理基础，而且，直观性教学还能促进第一信号系统的完善和发展。

巴甫洛夫强调指出，人的第一和第二信号系统永远是协同活动和相互作用的，第二信号系统是在第一信号系统的基础上形成起来的，第一信号系统又经常受第二信号系统支配和调节。例如，在利用直观教具进行教学时，教师必须要讲解、说明，才能奏效，也就是教学的直观性不仅是以第一信号系统为基础，并且与第二信号系统对第一信号系统的组织、支配、指导有密切的关系。否则，就会产生语言与现实脱离的教条式教学，或者产生直观与抽象思维脱节的经验式的教学。

另外，第二信号系统的言语又有直观性要求的生理机制。言语通过词起作用，词是人类的一种真实的条件刺激物，它是人们过去经验的“储存器”和这些经验与现实的“接近器”，它能引起与其相应的直接刺激物的反射，它能把第一信号系统的“无数信号”加以概括、抽象，它使人离开了现实，同时又更接近于现实。由此可见，言语直观反映了词与现实、经验之间的本质联系，反映了第二信号系统与第一信号系统之间的内在联系。

但是，并不是任何言语都具有直观性，只是与学生大脑皮层中已建立的暂时联系有关的言语才有直观性。因此，言语直观是通过教师有意识组织的言语来恢复学生大脑皮层中已建立的暂时联系或唤起学生同时性、相似性和对比性的联想，并借此促使学生迅速地形成新的暂时联系或开辟新的神经通路。这便是抽象性与直观性相结合的真谛之所在。

科学的心理学和生理学告诉我们，第一、第二信号系统在不同年龄阶段，还具有不同的发展特征和规律，这是我们正确地坚持抽象与具体相结合原则的重要根据。

婴儿第一年的生活中，主要是通过第一信号系统来认识现实，到两三岁时，儿童的第二信号系统刚有所发展，但仍以第一信号系统占主导地位。学龄儿童，第二信号系统活动日益发展起来。从概括水平来看，他们的直观形象抽象水平较突出，本质抽象水平还不高；从掌握概念的方式来看，采用主要的直接经验为基础来掌握概念的方式，比主要的间接经验为基础来掌握概念的方式要多些，而这两种方式都要教师通过观察或言语描绘来提供感性材料。可见，小学数学教学中注重直观性有特别的意义。

到了少年期，脑联络神经纤维大量增加，脑神经细胞的分化机能达到了成人水平，第二信号系统的作用有显著的提高。初中学生思维发展的一个明显特点，是抽象逻辑思维主要属于经验型，思维的理论性还不很发达，教师选择与抽象概念有关的正确的直观形象作为支柱，就能使他们更好更快地掌握这些概念。到高中阶段，学生第二信号系统的组织作用逐渐增强到占主导地位，第一信号系统的重要作用逐渐处于被支配的地位。但是，由于两种信号系统协同活动所形成的概念具有极大的鲜明性和牢固性，第二信号系统比第一信号系统具有较大的疲怠性和脆弱性。所以，无论学生两种信号系统处于怎样的发展水平，都不能忽视抽象性与直观性相结合的教学原则。

（二）抽象性与具体性相结合的原则的贯彻

1．直观教学

我们要重视直观教学，注意通过实物直观、模型直观、图形直观、言语直观，以形成学生鲜明的表象，为他们掌握基础理论提供必要的感性材料。例如，通过温度的升降、货物的进出等实例，来引进相反意义的量。这些感性知识越完善，越丰富，学生形成抽象的理性知识也就越顺利，越牢固。由于数学的高度抽象性，直观教学决不能取代严格的、抽象的、系统的论证。所以重视直观教学的同时，必须注意以下几点：

（1）进行实物直观、模型直观、图形直观教学时，要注意知识的系统性和理论的严谨性，以便把直观得到的感性认识提高到抽象的理论水平；直观教具亮出的时机也要适当，拿出教具后要引导学生观察、分析、综合、概括、抽象，不要在细节上分散了学生的注意力，要利于他们抓住本质的数学特征。

（2）运用言语直观教学时，要为透彻地讲授知识服务。为了让学生更能准确地理解教材的文字，不能滥用粗俗的习语，以免喧宾夺主，适得其反。言语直观要照顾学生的年龄特征和知识水平，以他们已有的记忆表象为基础，使其再现并重新组合，形成新的高层次的表象。要防止脱离学生经验，单纯追求言语的形象性。言语直观要求教师语言通俗、有趣、易懂，并配以节奏感和鼓动性，富于启发性和感染力，但切忌“八股调”和矫揉造作的手势，以及各种语病。

2．数形结合

我们在贯彻抽象与具体相结合的原理时，可以根据数学本身的特点，采用数形结合的方法。这样可以使较为抽象的数量关系通过直观的几何图形将其性质反映出来，使抽象的概念、关系得以直观化、形象化，有利于分析、发现和理解它们。比如，乘法公式（a±b）²＝a²＋2ab＋b²可用图6－1阐明其中关系。

图6－1

3．注重观察

对于抽象的关系，还可以让学生对一些具体的关系进行观察、比较、分析、归纳，逐步提高他们的抽象思维的能力。

例如：观察（1×20×1）＝1

（2×3—1×2）＝2

（3×4—2×3）＝3

（4×5—3x4）＝4

……………………

能得出什么结论？由此能求1＋2＋3＋4＋…＋n吗？

对于这样的问题，在教师指导下，学生是可以用数学式给出规律来，并获得满意的结论的。同时学生还会体验到，抽象的思维来自对具体对象的观察。

我们还可以对某些教学内容作适当处理，以便培养、提高学生抽象思维的能力。比如，讲直线方程时，可以将点斜式、两点式、斜截式、截距式等方程，通过各自特殊情形给出，然后引导学生自行归纳出各自方程的名称，以及它们如何统一归人直线一般方程，并作出相应的推导论证。其中，也少不了观察、分析、归纳、总结具体对象的特性和共性。

4．重视教学手段改革，贯彻数学概念的抽象性与具体对象直观性相结合的原则

运用幻灯、投影仪、电视、电子计算机等先进教学设备，加速教学的段现代化，也是贯彻抽象性与直观性结合教学原则的重要途径。