数学命题的教学步骤

第三节　数学命题的教学步骤

一、导入步骤

导入步骤是指教师在命题教学开讲阶段使用的步骤的总称。

常为教师使用的导入步骤大致有三种：第一种也是最简单的一种导入步骤，就是教师通过直截了当地提出要讲授的课题，把学生的注意力引到要讲的中心问题上来，可把这种步骤叫做课题聚焦步骤。第二种导入步骤就是教师明确地陈述出本课题将要达到的目标或结果，我们把这种步骤称为目标展示步骤。第三种导入步骤就是教师试图使学生相信将要学习的命题是很有意义的，值得他们去学习的，我们把这种导入步骤叫做引发动机步骤。人们常常通过指出某个命题的效用性来达到激发动机的目的。例如：在尝试诱导学生学习如何求解比例问题时，可以指出日常生活中使用的比例的一些具体例子；又如，有些命题是有理数的乘积运算的基础，当教师打算教这些命题时，可以指出，这些命题在代数学习中的重要作用。

这里的第一个例子利用了命题的非学术实用性，而第二个例子利用了命题的学术实用性。对于代数、几何以及其他数学课程中的大多数数学命题而言，用后一种引发动机方式很可能会更常用，也更易做到。诱发动机在教学中具有重要意义，因此这种步骤在实际中经常为教师使用。

数学教师在运用前面几种命题教学的导入步骤时经常可以使用下面方法来诱发动机。

1．陈述这堂课的目标，这种方法有助于学生明确后继学习的方向。

2．简述学习要点，即教师把在展开这堂课的过程中所要讨论的问题陈述出来。同陈述目标一样，这种方法也可以被看作是帮助学生明确学习进展的方向。心理学研究表明，动机形成会随着目标明确的清晰度而增强。

3．使用类比，使用这种方法实际上就是指教师要从学生熟悉的知识内容中挑选出同他们将要学习的知识内容相类似的某个对象，某个过程或某种情况。这种方法把学生将要学的不熟悉的东西与学生熟悉的东西联系起来了。例如，代数老师可能会提醒学生，在等式的两边施行某些相同的运算，仍得到等式。然后，他就可以引导学生进入方程的求解过程，在求解中，老师还会强调，应该在方程两边施行相同的运算。

4．利用数学发展中的历史素材。例如，在讲授勾股定理时，教师就可以向学生介绍一些有关我国古代数学中与勾股定理有关的史料。三角函数理论、对数理论都可以通过联系这些理论的发生发展的历史来介绍，处理向量理论也可以仿照此方法。教师要使用这种方法，就不但要懂得数学还需要知晓数学的历史，特别要注意收集有关数学概念、定理和数学进程的丰富史料。

5．复习一些从属的知识和信息，如果还诱发了动机，那么很可能是因为把后继将要学到的东西同学生可能已熟悉的东西联系了起来。所复习的从属知识和信息应该是对理解后面要讲授的命题是必不可少的。如果使用这种方法，那么最好是通过提问来确定学生是否真正理解了这些必备的知识和信息，因此这种复习还可以是一种诊断，并且如果认为有必要，还可以及时提供补救性的教学。

6．要向学生说明学习某个具体课题的理由，这一步同上面描述的动机因素的步骤是相似的。有证据显示，当把这种方法同目标陈述步骤结合起来使用时，更能显示其效能，因为后一种方法使得学生能明白他们将要达到的目标。

7．创设问题情境。问题情境不仅可以有效地吸引学生的注意力，而且还能引起他们对将会产生什么结果的兴趣。中学生们对未知世界有着强烈的好奇心，同时也有着强烈的好胜心。通过提出适当的问题情境，教师就能充分利用他们的好奇心和好胜心理，从而引发强烈的学习动机。

比如，某些精心设计的与命题有关的带有挑战性的问题、数学上的悖论或逻辑谬误，某种冗长而复杂的运算过程是否能有个算法使之缩短简化等都能引起学生的好奇心。

二、下断言步骤或下论断步骤

在命题教学中，往往要在适当的时机以概括性陈述或论断的方式提出命题或作出命题或得出结论。此种步骤称为下论断步骤，或陈述结论步骤。

在这种步骤中，有时是教师本人向学生提出某个概括性结论或命题，有时是教师引导学生注意课本上的某个命题或结论的陈述，而有时又是在教师的启发和帮助下由学生用语言表述某个命题。所要表述的命题或结论可能是在讨论中已经被发现或被确认或被证明的。但是不管采取何种方式，也不管是在什么时候，只要有结论性的语言陈述，那么就可以看作是下论断步骤或陈述结论步骤。在命题教学过程中这种步骤往往会重复使用，目的是为了对所要教学的内容进行强调。

三、列举例证步骤

列举例证步骤就是指教师在命题教学中使用某个命题的一个或多个例证来进行讲解或说明。如果某个数学命题是用数学符号和有量词明确限定的变量表达的，例如，对于每一有理数a及所有的正整数m_i，i＝1，2，…，n，有a^m1·a^m2·…a^mn＝a^m1＋m2＋…＋mn，那么通过去掉这些限定词，并用变量的定义域中的常量至少代替一个变量，便可得到这个命题的具体例证。例如：2²×2³＝2⁵，10×10²×10³＝10⁶，a⁵×a×a⁶＝a¹²，5^a×5^b＝5^a＋b等都是所述命题的具体例证。

如果一个命题没有用数学符号表达，即只是使用了普通名词，那么用适当的名词或常量代替一个普通名词便可得到这个命题的例证。例如，对于命题：如果不等式两边同除以一个负数，则不等式反向。它的一个例证是：如果－2x＜6，则x＞－3。

使用列举例证步骤的作用在于帮助学生了解和明确命题的意义，以及向学生说明如何应用命题。

四、应用步骤

列举例证步骤与应用命题的步骤有着密切的联系。在命题教学中，我们把那些具体应用某个命题的步骤称为应用步骤。命题的应用步骤往往要涉及演绎推理。在应用中，学生要对实际情况或问题进行分析并决定哪个或哪些命题是与之有关，然后，再利用实际情况中或给定问题中的已知信息和数据以及所选择的有关命题，推出结论。

在教科书中常常是这样使用应用步骤，或者以例题出现，这些例题其实就是某个命题的例证；或者提供一些练习或习题，这些练习和习题可以是某个命题的例证。所以在实际教学中，应用步骤实际上就是教师使用的这样一些步骤，借助于问题、练习、习题或例题的形式，试图让学生应用某个命题，或者把这个命题连同其他命题结论一起来加以应用。

五、解释说明步骤

在命题教学中，为了帮助学生理解命题的意义，教师会着重向学生讲解有关命题，特别当教师认为或判断出有学生对命题中的有些概念含糊不清，或由于命题本身结构比较复杂，或其涵义比较隐晦，给学生造成了理解上的困难时，教师会设法对命题的涵义进行解释、说明或澄清。为此，教师会使用各种步骤，把以此为目的的步骤统称为解释、说明步骤。这种步骤中有一种叫意译或释义，就是教师使用不同的、多半是较易理解和领会的语言或词汇叙述这个命题的涵义。最常见的情况是使用自然语言来意译用数学符号表达的命题。第二种解释说明步骤，则是复习或引导学生自己复习一些对他们来说可能还不太清楚的概念。教师常常通过使用概念教学中的某些步骤来实施这种步骤。第三种解释步骤，就是列举例证步骤，像其他步骤一样，这个步骤也常常被反复使用。一般说来，当教师选择的是学生熟悉的对象或例题时，这种例证对于命题的解释更为有效。

在教学实践中，我们还要考虑到，当命题本身的结构较复杂——例如，像一些复合命题，其前提是析取式、或合取式、或双条件式（当且仅当的命题）、或一个有着例外情况的命题时，教师就要通过明确地讨论命题的构成部分及其间的逻辑关系或通过讨论命题间的蕴涵的关系等方法来分析这个命题，因此又可以把这种步骤称为“分析”步骤。

六、列举反例步骤

在命题教学过程中，教师也会使用“反例”。使用反例的目的是为了否定不真的命题或结论。在教学中，当学生作出了错误的结论或作出了不正确的概括性陈述时，为了让学生意识到这种错误，并纠正学生的错误，便可采用列举反例步骤。在严密的科学体系中，只要有一个反例就足以证明某一猜想不是真命题。

七、说理或证明步骤

在教学中，教师经常会问诸如这样的问题：“你怎么知道它是一个矩形？”可以把这样的问话看作是要求学生去说明或证明某个结论的正确性或合理性。说明或证明某个命题的正确性，就是给出这个命题为真的证据或理由。

在数学命题的教学过程中，教师会使用四种说理步骤。第一种说理步骤就是教师通过指出某一命题或结论已为权威们所接受，以此来达到说理目的。在学生们看来，如果一个命题或结论是教科书中作出的论断，那么它肯定是真的。有时，教师们会利用这种说理步骤，比如往往会以这样的惯用语出现：“数学家们知道”，“已经有人证明”，或者用其他等价的说法。第二种说理步骤是演绎推理或证明。从学生们接受的前提条件出发，进行一系列演绎推理，最后导出这个结论或命题。在学生获得了证明的概念以后，数学教师就会经常使用这种说理来证明定理。在数学课上，演绎推理的步骤有各种形式。比如不是直接给出证明，而是给学生描述如何才能给出证明。第三种说理步骤是利用列举例证步骤，即通过给出命题的一个或几个例证，把它们作为命题或结论正确的证据。直到学生学会如何证明定理之前，列举例证步骤是数学教师让学生确信某个命题或结论正确的有效方式。例如：在小学，数学教师就往往通过给出一些例证，来说明乘法对加法的分配律是正确的。第四种说理步骤就是使用反例，例如：为了证明某个命题或某个概括性结论为假，教师使用反例或要求学生通过寻找反例，来否定结论。另一方面，如果对某个命题找不出反例，则学生们似乎会把给不出反例看作是命题或结论正确的迹象（如果找到了反例，那么意味着原有的命题不真）。

在命题教学中，说理步骤往往是一个必不可少的步骤。