数学命题与经验命题

第四节　数学命题与经验命题

关于数学命题与经验命题的关系，维特根斯坦认为这两者是密切相连的，因为它们所处理的都是事实，例如，人们进行计算就是一个经验事实。不过，他认为人们在计算中使用的命题并没有因此而变成经验命题。如果计算必须依据于经验事实，那么这里所说的经验事实，究竟是指那些使计算成为可能的心理的和生理的东西，还是指那些使计算成为一种有用的活动的东西。他说：“计算与后者（指那些使计算成为一种有用的活动的东西——引者注）的联系在于，计算是一种实验的象征，像它经常实际上所是的那样。计算从前者（指那些使计算成为可能的心理的和生理的东西——引者注）中获得它的要旨，它的面容；然而，这决不是说，数学命题具有经验命题的功能。”（v.7，p.295，§18）

与承认数学命题与经验命题密切相连相比，维特根斯坦更加强调数学命题与经验命题之间的重大区别。他认为数学家们在开始进行哲学思考时往往会犯一个错误，这就是忽视数学命题与非数学命题（经验命题）在功能方面的区别。在他看来，用以作出这种区别的最粗略也最简单的方法，就是在数学命题之前加上“按照定义”这几个词。他说：“如果我要以一种最粗略的方式——尽可能粗略的方式——向人们作出一个极其概略的暗示，以表明经验命题和数学命题之间的区别究竟是什么样子，我就会说我们可以把‘按照定义’这样的公式置于数学命题之前。”^[5]例如，如果有人问“某某数等于某某数”这个命题究竟是数学命题还是经验命题，我们就可以在这个命题之前加上“按照定义”这个公式，使它成为一个数学命题。这是因为，一个命题是数学命题还是经验命题，这取决于人们如何使用这个命题。如果把它作为规则，即“按照定义”加以使用，那它就是数学命题，否则就是经验命题。他说：“‘20个苹果+30个苹果= 50个苹果’可能不是一个关于苹果的命题。它是不是这样的命题，这取决于它的用法。它可能是一个算术命题——在这种场合下，我们称它为一个关于数的命题。”^[6]

按照维特根斯坦的观点，数学命题没有时间性，而经验命题具有时间性。他认为这是数学命题和经验命题之间的一个重要区别。他说：“在数学中，我们有这样一些命题，它们包含同样的符号，例如‘写出……之积’等等，而区别在于当我们有一个数学命题时，时间没有进入这个命题之中，而当我们有一个经验命题时，时间却进入了这个命题之中。”^[7]这就是说，对于同一个命题，我们既可以用时间方式使用，也可以用非时间方式使用。如果以非时间方式使用，它便成为数学命题；如果以时间方式使用，它便成为经验命题。

维特根斯坦举出许多事例，以说明他的这个观点。例如，在“6×6等于36”这个命题中，“等于”这个词是没有时间性的，这是一个数学命题。他说：“在数学命题中，‘等于’（is）这个词是没有时间性的。‘6×6在三点钟等于36’这种说法是荒谬的。”^[8]再以“25×25=625”这个命题为例。可以对这个命题作两种不同的使用。一是当我们称一件东西的重量时，把这个命题作为一种预测加以使用。称出来的重量可能这一次是625，另一次却不是625。在这种场合下，这个命题是经验命题，它具有时间性。另一是我们把这个命题当做计算规则加以使用，规定当用25去乘25时就会得出625，这就是一个数学命题，它是没有时间性的，不可能这一次得出625，另一次却没有得出625。数学命题是独立于经验的，不论在经验中何时何地发生什么事情，都不会影响数学命题本身的正确性。他说：“假定我说，‘用89乘20’或者，‘以某种方式把这个圆形投影出来’，我此时说出的可能是一个数学问题，也可能是一个非数学问题。如果它是一个数学习题，你可以走开，到另一个地方去做这个习题，你可以到任何地方去做它。其结果都是用某个数字乘某个数字会得出某个数字，这个习题是没有时间性的，可以作为一个模式加以使用。”^[9]

维特根斯坦还以数学命题与经验命题跟实在保持不同的关系这一点，来论证数学命题不同于经验命题。他在这个问题上批驳了某些数学家（例如哈代）的看法，这些数学家认为，数学命题与实在之间保持一种对应关系，正如物理学研究实在的物质特征那样，数学研究实在的数学特征。这里有两个论域，它们涉及的论题不同，不过，在这两个论域内，语言本身是以平行的方式发挥作用的。对于这些数学家的这种看法，维特根斯坦提出这样的质疑：“没有一种既红又绿（reddish-green）的东西”这个命题与什么样的实在相对应?这个命题看起来类似于“这个房间里没有任何既黄又绿（yellowish-green）的东西”这个命题。维特根斯坦认为这两个命题在语法层面上相似，但其用法却截然不同。他说：“如果你说什么样的实在与‘没有既红又绿的东西’相对应，那我会说，只有当它是某种与你设想的东西全然不同的东西，而且你所说的是一条规则，即这个表达式不能应用于任何事物这样一条规则，此时你才能说有什么样的实在与这个表达式相对应。”^[10]他认为这种对应处于这条规则与那样一些事实之间，即我们通常不会通过把红色和绿色混合到一起而产生黑色，如果你把红色和绿色混合一起，你会得到一种混杂不清的颜色，而人们难以记忆那些混杂不清的颜色。

维特根斯坦强调数学命题与实在的对应关系，截然不同于经验命题与实在的对应关系。在他看来，如果有人谈论一种与数学命题相对应的实在，并且考察这种实在指的是什么，那么这个人就能把两种非常不同的事物区别开来。一、如果我们谈论一个经验命题，我们可以说，如果这个命题为真，而且我们能够对它作出断定，那我们就可以说有一种实在与它相对应。二、我们可以说一种实在与一个词相对应，比如“下雨”这个词，可是，后来我们又用这个词意指某种与此截然不同的东西，比如“没有下雨”。在后一种情况下，如果有人说“某种现象与这个词相对应，那就奇怪了”。维特根斯坦认为，人们之所以在数学命题和逻辑命题上出现许多哲学混乱，就是由于人们认为这些命题与实在的对应关系，相同于经验命题与实在的对应关系。然而，如果我们考察一下这两类命题的用法，我们就能看出就数学命题或逻辑命题而言，它们与实在的对应关系其实是它们与词这种实在的对应关系。