数学命题教学的策略

第四节　数学命题教学的策略

数学命题的教学，主要指数学定理、公式、法则、公理等数学真命题的教学，我们简称为命题教学。

命题的教学与概念的教学过程基本上是类似的。虽然概念和命题作为两个问题分别被提出来，但就人们认识事物的过程而论，它们是一致的，都是在认识论的指导下进行教学的。所以，有关概念教学的思想和方法，原则上也适合于命题的教学。因此这一节我们主要侧重于它们的内容差异而引起的教学策略的差异方面作一些讨论。

数学命题教学的基本任务，是使学生认识命题的条件和结论，掌握命题推理过程或证明方法，运用所学的命题进行计算、推理或论证、提高数学基本能力，解答实际问题，并在此基础上使学生熟悉基本的数学思想和数学方法，弄清数学命题的关系，把学过的命题系统化，形成结构紧密的知识体系。所以命题教学的基本策略是：命题的提出、命题的明确、命题的说理、证明、命题的应用和命题的系统化。

一、命题的提出

数学命题是反映数学对象的属性间的关系。人们认识这些关系有的是从对现实世界的空间形式和数量关系的直接观察分析或者是通过测量计算得来的，有的则是从理论指导得来的。因此命题的引入有多种途径。

1．发现学习条件下命题的引入

在发现学习条件下，教学过程中不是先提出命题的内容而是通过设计适当的实验、演算、作图、创设一定的问题情境等方法，引导学生在分析、归纳的基础上，提出命题。例如：三角形内角和定理、锥体体积、球体体积公式均可由实验观察使学生发现结论；平行线的性质定理和判定定理，可以通过平行线的作图或者通过度量同位角来发现；数的运算律a＋b＝b＋a，结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），分配律（a＋b）c＝ac＋bc等可通过计算结果来发现；二项式定理，可以通过（a＋b）²，（a＋b）³…的展开式中各项指数、系数的规律发现：（a＋b）ⁿ＝＋b＋＋…＋。

在发现式引入命题时，必须通过一些问题来引导学生发现命题，所提的问题不仅要有助于学生形成猜想，而且要能帮助学生在解决问题时不断验证猜想。如果设计的问题学生几乎无法解决，那么这样的问题将无助于数学命题的发现；如果数学问题之间没有内在的联系或这些数学问题没有体现某种规律，那么学生解决这些问题后也难于发现这种联系或规律，即难于形成猜想。

因此，在发现学习的情况下，数学问题必须具有内在的联系，或体现某种规律性。

2．接受学习条件下命题的引入

虽然接受学习中，命题往往是以直接的方式呈现在学生面前，但是由于数学命题大都是用抽象的数学语言来描述的，其涵义不易为学生所理解。所以，在教学过程中教师往往会通过适当的导入步骤来引入命题，以使学生产生积极意义的学习心向，促进学生对命题的理解。例如：在讲解sin（x＋y）＝sinxcosy＋cosxsiny时，可先让学生判断sin30°＋sin60°＝sin90°是否成立？老师通过反例式的引入可以避免sin（x＋y）＝sinx＋siny的错误猜想，给学生留下深刻印象。另一方面又可唤起他们探索sin（x＋y）究竟等于什么的求知欲，从而提出要学习的公式。又比如勾股定理表达了直角三角形三边的关系，由此联想到任意三角形三边之间的关系能否用公式表达，从而引出余弦定理课题。这种引出，使学生感到新公式并不独立，是旧知识的拓延和发展，同时也培养了学生按知识系统和结构去探索新知识的能力。在接受学习条件下，也常常要设计适当的问题情境。不过值得注意的是接受学习与发现学习条件下的问题设计有所不同。在接受学习中，问题的设计主要应突出其促进学生理解数学命题和产生积极的学习心向，所以设计的数学问题要突出命题隐含的规律，有助于激发学生学习数学命题的兴趣。

二、命题的明确

明确命题的主要任务是帮助学生分辨定理的条件和结论，发掘定理所涉及的概念的特征或图形的性质，利用有关数学符号，把已知和求证确切而简练地表达出来。每个数学命题都是在且仅在条件完全具备之后才能成立某些结论，反之在不具备这些条件时使用这些结论就会出现错误。

每个数学命题都有相应的适用范围，都是在某些条件下或某个范围内成立的相对真理，条件与范围变了，则可能成为谬误。例如，算术根的运算法则是以各个算术根存在为前提；对数运算法则必须以各对数有意义为前提。还有一些公式的条件是隐含的，如二次函数的极值的公式就隐含着顶点横坐标包含在x的取值范围之中。

有时，命题的条件和结论包含需要进一步明确的概念。只有把这些概念具体化，才能用数学符号表达成命题的已知和求证。

为此，可引导学生回忆有关的定义，在此基础上将命题的条件和结论改述为易于理解的形式。

特别对某些条件或结论比较复杂的命题，要注意分析其结构，解释其意义。还要对定理中一些关键性的词语，必须让学生懂得这些词语的意义。例如：“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”，其词语“有且仅有”指出存在性与唯一性。

对数学命题的说理或证明是对数学命题逻辑真值的肯定，这种说理或证明的意义在于能使学生明确数学命题的前提和结论之间内在的逻辑关系，即明确“如果满足……条件，那么得到……的结论”或“要得到……结论，那么必须找到……条件”的思维形式的正确性，从而加深对命题的理解。不仅知其然，而且知其所以然，便于记忆和应用。有利于学生学会如何把知识运用于解决问题，从而有助于发展学生的逻辑思维，使学生逐步养成严谨地思考问题的习惯，提高分析和解决问题的能力。

实际上，数学命题的说理或证明过程就是数学问题的解决过程，数学命题证明的教学可以体现解题的一般思想和方法，特别是一些典型命题的证明更具有一定的代表性，掌握这些证明方法对于学生数学能力的发展意义十分重大。例如，平面平行判定定理的证明方法采用了反证法，其证明的教学可以使学生进一步领会反证法；勾股定理的证明应用了面积法、图形割补法、数形结合思想。掌握这些思想和方法对提高分析问题和解决问题的能力具有巨大的作用。

因此，命题证明的教学重点在于让学生掌握证题的思想和方法。对那些思路、方法和技巧上具有典型意义的要加以总结，以提高学生分析、解决问题的能力。为此，在教学时必须把分析法和综合法结合起来使用。对于结构比较复杂的定理可以先以分析法为主寻求证明的思路，分析证明方法的来龙去脉，然后用综合法表述证明过程，把整个过程连贯地、完整地叙述出来。特别在定理教学的入门阶段，更应注意规范化的板书，说明书式的格式和每一步推理的依据，给学生提供必要的示范。

不过有些数学命题非常重要，它的证明也可能非常复杂甚至超出了学生的知识范围，那么就可以通过适当的说理方式使学生认识命题的正确性，例如使用实验法、不完全归纳法等。

三、命题的应用

命题的应用是学习命题的重要环节，通过这个环节，不仅可以起到巩固所学知识的作用，更主要的是还能培养学生的能力。

这个环节通常是让学生应用所学命题去解答有关的问题。教学中往往是结合例题和习题教学，让学生通过动笔动口动脑，自己总结命题的适用范围，明确应用时的注意事项，把握所解决问题的基本题型。

由于在数学命题的学习中，一般只在典型的问题情境中证明其正确性，因此学生往往比较熟悉这些典型问题情境下的条件模式。在问题情境发生变化时，他们经常碰到的是难以识别有关的数学命题的条件模式，从而影响到有关数学命题的提取。因此，在应用命题时，所设计的数学问题应注意条件模式的变化。例如，在平行四边形性质定理的学习中，平行四边形的图形是应用这些定理的条件模式，将这个图形模式隐含在更为复杂的图形背景中。由于图形视觉受到背景的影响，学生在基本图形的识别上就会表现出差异，而且只有当学生从复杂的图形背景中识别出平行四边形或图形模式时，学生才能够得到问题的解答。

在应用命题时，加强公式、定理的逆用、正用训练，有时也是必不可少的。因为公式、定理的正用、逆用以及创造条件后再用，不仅可以避免学生对命题的单向片面认识，而且有利于逆向思维和思维灵活性品质的培养。

在命题教学过程中，为了有利于学生灵活应用数学命题能力的发展，还应注意按照数学命题具有的潜在的认识功能来设计相应的数学问题，而不是简单地按照问题的类型和解题方法来设计问题。这样的教学问题往往不是直接利用一个命题就能解决，而是需要根据问题的已知条件，调用一系列数学命题进行推理，导出解决问题的关键条件。

四、命题的系统化

数学教学中的命题是一个有系统的知识体系，弄清各个命题在数学体系中的地位、作用，以及命题之间的相互关系，可以从总体上把握数学命题的全貌。

加深对数学命题的理解。在命题教学过程中，可以通过复习，把学过的知识整理成系统的知识体系，形成命题的知识链，使学生在命题的结构体系中掌握命题。还可以通过讨论一些公式、定理的推广方法来表现命题知识的系统性。