实施数学交流教学的策略

第四节　实施数学交流教学的策略

一、加强数学言语的训练

数学语言是一种由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言组成的科学语言。数学言语是个体借助数学语言接收、加工、传递数学信息的动态过程，也就是了解数学语言和运用数学语言表达思想、进行思维的动态过程。认知科学的先驱戴维斯（R．Davis）在分析数学教育的最新观点时十分注重心理表征问题，他明确指出“数学不是写在纸上的符号，数学是一种思维方式，它包括问题情境的心理表征和相关知识的心理表征，包括这些心理表征的分析，包括注释学的使用。”他认为教学研究的重点应该是探讨教师如何“帮助学生去理解问题或目标，培养学生开发问题解决途径的能力……，培养学生利用哪些问题表征的能力，以及为解决新问题建构新表征的能力”。实际上，戴维斯提倡的表征能力就是数学言语能力。考察我们日常的教学，数学的描绘性和传递性方面被忽略，学生很少有机会学习与反省作为交流媒体的数学，这无疑是学校数学教学的弊端。改正的出路就是积极培养学生的数学言语能力。

（一）培养数学言语能力的教学模式探索

数学交流以数学语言为载体，结合数学言语的过程及原理，我们认为，培养数学交流能力的有效途径之一，通过教学内容和要求，由教师创设问题情境，从问题的发现、表征、探究、言语和解决来激发学生的求知欲、创造欲和主体意识，培养学生数学言语能力、创新能力和实践能力。在教学过程中，教师创设问题情境是实现此教学的中心环节，在问题的诱导下，学生通过内部言语、收集资料和深思酝酿，提出假设，发表见解，引发争论，进行批判性思考和进一步探究，使教学逐步深入。并且把教学过程设计为学生主动探索知识，进行数学交流的经历过程。在数学交流中提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的创新品质和实践能力。它体现课堂的生命意义和生活化，充分体现感觉运动——外部交流运动——内部交流运动三个阶段，让学生体验数学、言语数学，交流数学。

1．启问、诱思设置问题情境，造就认知冲突，启动言语思维空间，引发问题，鼓励学生对知识作出第一印象的描述、大胆质疑、猜想。

2．自主探究独立地、主动建构心理表征，以已有的经验为基础建构自己的理解、自己的心理表征，可以形式化表征、图像表征、动作表征或语言化表征。丰富自我的数学内部言语。

3．集体交流通过使用书面语言，学生描述自己的理解。对于学习者来说，面对习题的时间多于谈话的时间，因此他有机会，把那些用“陌生语言”提出的问题，转换自己的表达方式，把问题与自我结合起来。然后在所建立起来的数学言语思维空间中，积极发表自己的理解以及等候那些与所寻找答案合流的表述。

（二）培养数学言语能力的教学的特征

从社会建构主义的角度看，数学学习不仅是一种个人“解释”的活动，而且也是一个对数学对象的客观意义进行“理解”的过程。数学学习应被看作一个“文化继承”的过程，是对由文化历史传递给我们的数学作出意义赋予（sensemaking）的过程。针对这种观点，欧内斯特（PaulErnest）为我们勾画了社会协商意义下的数学知识建构循环图。我们能得到如下结论：学生拥有的技能系统越丰富，他们言语表述情境的方法、手段就越多，言语的质量就越高，学生此时就需要能力来构想某些新的东西，甚至改变言语方案和概念系统。另外，就中学数学课程而言，其主要目的应当是发展符号意识（symbolsense），而发展符号意识的关键在于让学生正确使用数学符号进行推理，学会“表达”“操作”和“解释”等言语行为。因此，基于培养数学言语能力的课堂教学至少具有如下特征：

1．问题情境能数学言语化；

2．学生更积极参与课堂教学，并且勇敢、经常表达自己的想法；

3．学生有足够的时间和机会，积极建构性、分析性地应用各自的理解；

4．数学知识符合学生的心理对应物（清晰的或模糊的）；

5．即使是成绩较差的学生也能够以他们自己的方式进行言语活动；

6．学生应有自主性、探究性，有较好的问题意识；

7．学生积累丰富的经验（包括言语经验），乐于发现并接受来自他人的外部言语。

（三）优化数学言语的策略技术

针对数学言语能力形成的三个环节，即定向——操作——内化，结合具体的数学教学实践及培养数学言语能力的有效途径，提出如下优化数学言语的策略技术。

出声思考即把内部言语操作外部言语化。因为人的思维活动总是借助于不出声的内部言语默默进行的。正如前面分析，学生对数学语言的特点及其掌握数学术语的水平，是其智力发展和接受能力的重要指标。一方面依据外部言语可以直接观察、分析人的内部言语过程，另一方面通过出声思考，激活和提高内部言语的进行。

自我提问法自我提问是由学生自己向自己提出一些问题，以促使新旧知识发生联系，产生直觉或顿悟，从而对新知识加深理解。从语言角度看，内部语言的“词感优先于词义”的法则向我们表明，能用外部语言背诵，至多是掌握了概念名称的描述性词义。在思维的内部语言活动中，词义要靠词感带动，才能迅速表达思想。在促进内部言语理解方面，学生提出的问题比教师提出的问题更为有效。我们也可以通过提供一系列供学习者自我观察、自我监控、自我评价的问题单，不断地促进学生进行内部言语、自我反省，从而提高学习特别是问题解决的能力。例如，在解决问题时参照美国的数学教育家波利亚（G．polya）总结的“怎样解题”表，就能很好地对数学知识进行言语定向、操作和内化。

加强数学语言训练数学言语的载体是数学语言，对数学语言进行互化、翻译，构建心智图像是数学内部言语的核心，“学习知识表面化的根源往往是在数学语言的学习中语义处理和句法处理之间配合不当，形式和内容的脱节实质上是数学语言符号和公式与它们所表示的东西的脱节”。因此应加强数学语言训练，“俯而学，仰而思”，深刻理解数学符号的意义，突出言语操作，加强问题的表征、精细加工，构建正确的心智图像。例如解决著名的残缺棋盘问题、集合语言的教学中都是进行数学语言训练的好时机。

加强数学阅读，优化变式练习数学知识的掌握实质上是程序性知识的掌握，信息加工理论认为程序性知识的学习须经过三个阶段：陈述性知识——变式练习——程序性知识。因此，我们可以通过加强数学阅读，优化陈述性知识习得流程；优化变式练习，促进陈述性知识的转化；通过信息的增加、冲突，引起有效的内部言语。

进行“说数学”训练训练学生听说数学的技能与数学交流，称之为“说数学”。它可以在教师与学生之间进行，也可以在学生之间进行，而且包括了“听”与“说”两种活动。教学中必须提供不同层次的言语内容，让所有的学生都有言语的机会。

二、在教与学中增加数学交流的成分

宋代朱熹说：“读书无疑者，须教有疑，有疑者却需无疑。”。课堂是数学交流的主要阵地，通过教师诱导和学生的自主监控，在问题中思维，带问题而交流，在交流中得发展。

（一）课前自学，加强诱导策略

根据学生的精力与特点，课前设计100字左右的书面指导意见，学生据此开展自学中交流活动。教师的自学指导是从以下几个层次对学生的交流进行启发诱导：

1．指导学生对课本、教学参考书等教学资源进行基本的与物交流如逐段提炼知识要点；进一步明晰当堂课的任务、重点、难点；从为什么要研究、怎样研究、为什么这样研究、如何用恰当的形式表达当新课的内容等方面展开思考、进行理解，做出自己的解答。

2．指导交流从浅表向纵深推进如指导学生通过联想和搜索将所学内容与生活生产实际、与科普杂志科普书籍中相关的内容相联系；将所学的知识与已学过的知识尽可能的联系，寻求统一的解释；把将学的知识与已学过的知识进行方法论角度的联系，以获得方法的启迪和方法论体系的完善等。

3．根据课程知识的特点，适时地介绍对数学语言进行加工的策略行为是由有机体内部的信息流程决定的。人类加工信息的能量是有限的。因此，在学习中目标难度要适中，目标要有层次性，目标要大小配套。实践中我们发现，课前预习已从原先的一般通读了解向以下方面转化：第一学生开始有意识地拓宽和应用教学信息资源，大多数同学在课前已阅读教材以外不止一本课外参考书籍，并相互比较、甄别，在课堂交流时，他们会引入不同书上的观点进行讨论；第二学生自己已学会有效地运用先行组织者策略，完成了先行组织者的工作；第三思维加工的范围拓宽，使生活经验及已学过知识在新知识学习过程中的迁移能力提高，迁移面也在扩大。

（二）数学教学，完备策略，充分交流

进行数学交流，既包括对数学语言表达方式的选择，又包括对头脑中的思维成果进一步澄清、组织、巩固等一系列再加工的过程。数学交流可以认为是主体数学思维活动的延续，是思维活动社会化的重要环节。因此，在学生自学的基础上，对课堂教学的结构进行这样设计：

为解决问题：首先进行思想发动，引导学生认识问题意识和质疑能力是人思维的独立性、批判性和创造性的体现，是优秀的思维品质的反映；第二实践质疑，要求学生在课前预习时，用审视、质疑的眼光看待新课，大胆质疑，用问题来推动信息加工的由浅入深；第三交流质疑、激励质疑，课堂教学给学生充分的时间交流问题和自己的观点，在集体交流和集体思维过程中形成“头脑风暴”，通过相互启发、激励，让探究问题、创造性设想产生连锁反应，引起共振，从而引发更多的创造性设想；第四学习质疑策略，在问题交流和问题探讨中，有意识地教给学生如何产生问题意识的思维方法，形成提问技能，如总结出低级认知提问（知识提问、理解提问、应用提问）和高级认知提问（分析提问、综合提问、评价提问）等；第五示范质疑，即在课堂教学中，教师在学生质疑的基础上，进一步精心策划，通过组织、设置认知冲突、诱导语言信息等创设问题情境，用问题牵引教学，对高水平的质疑作出示范。

三、多渠道创设数学交流情境，为数学交流而学习

交流活动的一个重要方面是把自己内在的思维活动展示出来它必须灵活运用三种数学语言（文字语言、图形语言、符号语言）进行表述。交流方式是多种多样的，可以是语言式的，或是语言＋动作，或是语言＋图像；也可以是书面形式的，如课后作小结，概括本章的重点、难点等。交流活动可以在同学之间进行，也可以在同学与老师间进行，也可以在社会生活中与家长、与朋友交流学习数学的感受，交流对数学的态度，更甚者，自我的内部交流，正如美国在《学校数学课程与评价标准》中提出的那样：“为数学交流而学习”。

（一）作业＋日记，使交流更开放

课堂教学时，尽管师生面对面地进行交流，但受时空和教学内容所限，很难实现个别化教学，反馈信息相对模糊。事实上，以作业为媒介的交流途径，教师从中获得的信息更个性化，更真实，教师给予学生的指导更有针对性。因此，在传统作业的基础上增加了日记式学生小结，学生可以畅所欲言，不拘形式，教师视情况写适当的评语，交流互动，仿佛开通一条“师生热线”。

交流形式作业：习题＋日记

批改：成绩＋评语

学生的日记内容和形式多种多样，如知识整理、抒发感受、建议意见、咨询求助、自我展示等。

在一些问题交流中，使学生学习各种不同的解题策略（如试误策略、倒推策略、方程策略、函数策略等），并且每个策略的迁移价值各不相同，可以引导学生对解法评价，从中感受、领悟数学方法所具有的普遍意义。

（二）积极培养学生的自我交流能力

自我交流是数学交流的形式之一。自我交流的过程是对自己的数学学习的一种反省和思考过程。

1．概括和整理

夸美纽斯非常重视儿童课后的自我交流，他认为如果学习过的新知识，没有经过儿童的自我交流，就很难做到真正掌握，结果就如同不断把流水泼到一个筛子上去。因此，我们要鼓励和提倡学生进行课后的自我交流，把每天学习的数学知识，及时进行回顾和整理，把新知识纳入原有的知识网络之中，建构起新的知识网络体系。

2．反省和思考

认知策略中的反省认知成分是策略训练成败的关键，也是影响策略可迁移性的重要因素。因此在平时的教学中，要让学生面对错误与问题，耐心地进行自我反省，仔细分析，对知识进行不断地再加工，对任务执行予以监督，调节好感觉系统，做好执行控制和预期。真正做到知其然而更知其所以然。

3．撰写数学学习报告

数学学习报告的撰写，是学生对数学的理解由感性上升到理性的过程，也是学生的自我交流由感性上升到理性的过程。因而提倡撰写数学报告，是提高学生的自我交流能力的一条十分有效的措施。学生学习报告的撰写内容十分广泛，可以是对知识的整理、概括、深化，可以是错题分析，也可以是学习的心得，还可以是对某一数学问题的看法和想法……指导学生撰写数学报告，可以从数学的点点滴滴入手，引导学生循序渐进、步步深化。写作的内容可以由简单到复杂，对问题的分析可以由具体到抽象。撰写数学学习报告，不但可以提高学生的数学交流能力，还可以提高其观察、分析、理解、思维等多种能力。

（二）创设“写数学”的机会

弗赖登塔尔说：“必须以根本不同的方式组织教学。”除了“日记”，必须提供更多的情境，创设更多的机会让学生“写数学”。也就是要学生把他们学习数学的心得体会、反思和研究结果用文字的形式表达出来，并进行交流，可以培养学生的数学交流能力，并且提高学生的数学学习水平与探索研究能力。

1．让学生写知识小结在新授课教学中，每学完一单元、一章节之后，让学生写单元知识小结与章节知识小结。复习总结时，让学生写知识间的纵、横联系，将知识结成网络、形成板块。如高中数学中的五个二次，即二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式、二次函数与二次曲线，可以让学生列表概括它们的内在联系及各自重点。

2．让学生写解题反思学生在作业、测试过程中，有不少成功的经验与失败的教训，让学生写下来，不但可以加深印象，而且教师从中也可看出教学中应注意改进的方面。解题反思主要包括：解题思路的形成过程及启示、解题规律的总结、题目的其他解法、错因分析等。让学生写解题反思，也可以培养学生的元认知能力，提高其数学学习水平。

3．让学生写调查（实验）报告和小论文在教学中，可以给学生开设数学活动课与教学实验课，也可以组织学生到社会实验基地参加社会实践活动，进行社会调查与实验操作，在此基础上，让学生写调查报告与实验报告。另外，还可以鼓励学生将平时学习中的独到见解与体会写成小论文，办班级数学杂志、墙报，编数学故事等，也是书写数学的交流活动。

总之，只要教师充分认识到数学交流的价值，并在教学中注意培养学生的数学交流能力，就可以发挥数学交流在数学学习中的作用，提高学生学习质量和交往合作能力，使学生的素质得到全面的发展。