公认的教学设计定义是：“教学设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标，建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程。”教学设计主要解决：①教学内容（教什么）；②教学对象（教给谁）；③教学方法、流程（如何教）；④教学结果及评价（教得怎么样）。其中教学理论依据（为什么这样教）可以从设计过程中看出。其一般模式可以用图表示。
教学设计一般模式
从这个框架图中我们可以看出，尽管课堂教学任务不同，其主要的做法还是有章可循的。教师在总目标的分析中核心是分析教材的意图以及本节课在整个课程、整章、整个单元中的地位，然后对具体内容进行分析，明确主要内容，把握重点。在对学生进行分析的过程中，主要分析学生的基础知识和能力是否已经具备，需要做哪些铺垫等，还要分析学生的心理状态，如对学习数学的兴趣等。在分析教材和学生的同时，教师不要忘记分析教学设计的执行人（往往是自己）的情况，即设计出来的教学过程能否有能力驾驭的问题。因为教学设计毕竟不是摆设，而是需要根据具体任务和具体学生落实到具体教学过程中的。
教师在分析了教学内容、学生和教学执行者的具体情况后，要对目标进行具体化确定和描述，在具体描述过程中应该恰如其分，并且要求使用一些确切、具体的词语来进行。以往我们经常使用的四个动词：“了解”、“理解”、“掌握”、“应用”具有纲领性，比较笼统，它们可以用在整章或整个单元的教学目标制定上，而对具体的每节课的教学设计上，我们应该使用一些更为贴切的词语。例如：“了解”层面的词语，我们可以用“为……下定义、列举、说出（写出）……的名称、复述、背诵、辨认、回忆、描述、标明、指明”等来表达；“理解”层面的词语，我们可以用“分类、叙述、解释、鉴别、选择、转换、区别、估计、引申、归纳、举例、说明、猜测、改写”等来表达；“掌握”层面的词语，我们可以用“运用、计算、运算、阐述、解答、证明、比较、判断”等来表达；“应用”层面的词语，我们可以用“分析、综合、归纳、总结、评析、编写、设计、创造、构造、反驳”等来表达。此外，现代教育强调课堂教学是学生的主动学习和探索的过程，因此要避免使用诸如“使学生……”等这样的使动词来描述教学目标。
在确定了具体的教学目标后，教师的任务是给出具体的教学策略，即要设计出整节课的流程图，这个环节应该注意这样几点：一是整个框架的形成。有经验的教师会比较注意这个环节，教师应该根据整节课欲实现的教学目标和体现的教学理念来形成整节课的框架构思，框架的形成是克服一些只见树木、不见森林的教学毛病的一种有效手段。二是课堂引入的设计。课堂引入是一个重要环节，因为它能够激发学生的学习动机，了解本节课学习的目的，好奇心理和兴趣激发往往在这个环节中实现。三是过程的衔接。从一个过程过渡到下一个过程，有经验的教师往往比较注意衔接工作，他们在环节之间的自然过渡方面特别注意情境的设计。四是教学亮点的设计。为了突出教学理念，教师会比较重视某些环节的设计，这些环节往往是教学的高潮所在。五是课堂的结尾。这个环节往往由于时间的局限，使得教师出现忽略现象。实际上这个环节非常重要，教师在整个设计过程中必须“拨出一些时间”来实现。实际上，这个过程既是知识系统化和落实的“收关阶段”，又是课后复习以及下节课教学有效进行的非常重要的阶段，教师在教学设计过程中不能虎头蛇尾，必须充分考虑这个环节的设计。
在教学手段的设计方面，现代数学教学比较重视多媒体的使用，我们不反对。但是，现在出现一些负面现象需要我们注意：一是教师出现人机对话的困难。数学教学体现思维的灵活性，教师做好的课件往往具有“呆板”的一面，不可能将学生的所有思维变化都融入课件中，因此，设计的过程应该体现一定的灵活性和可操作性，应该给自己“留有余地”。二是教师的依赖心理形成。电脑虽然给我们教学带来方便，但是往往也给我们带来依赖心理，一旦采用课件备好课，我们往往削减了其他手段的设计，导致一些负面现象的产生。例如空间想象力的培养，一些内容采用多媒体确实可以替代教师的粉笔与语言，并且效果很好，但是如果长期运用多媒体，学生产生依赖心理，没有多媒体的时候，他们往往会“想象困难”，不会运用周围空间或适当绘图来辅助想象。三是速度问题。采用课件上课的特点是“做慢放快”，教师花了好长时间做的课件可能几分钟就使用完毕。教师必须注意“鼠标一点”的分量，应该有一个给学生展示思维和记录的时间，教师应该做到屏幕的信息量与自己讲解的信息量协调，正确处理好教师、学生、电脑的三者关系。
在平时教学过程中，教学设计的评价与调整一般由教师自己来完成，是一个考验教师“自省能力”以及能否迅速成长的过程。我们前面讲过，写教后感是一个有效的手段。除此之外，教师可以与同行进行必要的交流，通过交流、讨论来修正自己的教学设计。
二、数学典型课的教学过程设计
教学设计可以分学段、学年、学期、章节来进行，我们这里主要考虑具体课堂教学的设计，至于章节，我们在后面提出一个案例，供读者参考。数学课型的划分由于标准的不同可能有不同的分法，我们还是按照课程的内容、任务进行分类。从实用的角度考虑，主要对新授课、复习小结课做一些讨论，并着重讨论新授课的教学设计。
（一）新授课
“新授课”的名词似乎有些古老，带有教师传授知识的含义。按照现代数学教育的理念，是学生学习数学新知识的过程，“新授课”的教学设计应该采用发现式教学模式，即教师引导学生进行数学再发现的学习过程，具体应该注意哪些？我们提以下的几点建议。
1.景的设计
情景的设计非常重要，因为这是激发学生学习动机（可能是短暂的）的很重要环节，以往我们可能不注意这个环节。但是，从现代教学的研究来看，动机对学习效果的影响是非常关键的，因此，我们必须注意这个环节的教学设计。
首先应该是创设整节课的情景的设计，即所谓的课堂引入。课堂引入的设计应该把握以下的几点：一是要注意从数学引入与生活背景引入的优缺点互补。现代数学教育比较注意数学与生产实际的结合，在可能的情况下，教师要创设生活情景引入一节课的内容，主要是让学生体验数学源于生活，生活离不开数学。但是必须注意，采用生活背景引入，应该尽量符合实际，尽量不要杜撰，以免弄巧成拙、贻笑大方。所以教师必须尽量积累素材，注意观察和思考，做一个“有心人”。例如，在非典期间，一个数学教师看到报纸上的统计曲线，他就将报纸剪下，在上函数单调性时，他就可以让学生观察图像，来引出函数单调性的一节课，收到了良好的教学效果。从生活实际创设数学背景，固然有很多优点，但是我们必须注意它的缺点，它的缺点是“零散”，比较难以形成体系，我们不能今天需要什么实际背景就创设什么背景，明天需要什么就创设其他背景，应该注意数学的内在逻辑关系，在引出数学内容后，应该让学生体验这也是数学本身的需要。一节课我们有时不必绞尽脑汁创设实际背景，可以从数学研究的需要出发引出，让学生体验数学研究的科学方法，这本身也是数学教学的目标之一，只是教师尽量不要忘记与实际生活的联系即可。例如研究了正、余弦函数图像后，研究正切函数的图像和性质是很自然的事情，不必再拐弯抹角地创设所谓的实际背景引出。二是要根据学生的年龄特征及教学任务，灵活选择引入平台。年龄低的学生对周围世界比较好奇，从他们身边的实例创设引入情景比较能够引起他们的兴趣。教师可以不必过于强调数学内在的逻辑关系，只要让学生在“朦朦胧胧”中有所感觉即可。对年龄高的学生的数学课堂引入可以“理性一些”，有时完全可以从数学的内在逻辑关系引入，只是不要让学生产生“数学与生活很远，不考大学就可以不学数学”的错觉即可。教师对低年段学生可以采用做游戏、讲故事等方法引入数学课，对高年段的学生可以采用课堂的复习提问、研究某一实际问题等引出数学课。这里要提出的是，设立悬念引入课堂教学无论对哪个年段的学生都适用。三是在创设背景或情景后，不要忘了善后处理工作。我们如果引出数学内容后，没有把提出的背景问题解决，很可能会让学生失望。
其次，对课堂中的关键概念、重要结论（如公理、定理等）乃至例题，也要注意情景的设计。例如等差数列、等比数列的概念的学习，教师可以让学生写出一系列不同的数列，从中抽象出这两个数列的概念，让学生体验到对这两个数列进行研究的必要性，同时，也让学生知道我们为什么没有研究“等和数列”和“等积数列”等等；又如在得出线面垂直的判断定理的时候，我们可以创设背景：“我们是否需要通过判断一条直线与平面内所有直线都垂直来判断这条直线与平面垂直？如果不需要，至少需要几条？这些直线有什么样的位置关系？”等；在讲解一个例题的时候，我们固然可以开门见山地让学生直接接触例题，但是，在必要的时候，创设背景引出可以使学生进一步了解问题的背景，增加解决问题的兴趣。
案例1棱柱的教学设计
这是简单几何体的第一节课，教师在教学设计的过程中，为了激发学生对空间几何题产生研究的兴趣，可以进行以下的设计。
师：前面我们学习了空间中的最基本图形，学习了点、直线、平面的基本内容，今天我们来研究由点、直线、平面所组成的空间图形，请同学们观察教室周围的几何体，面对空间的五花八门的几何体，我们应该如何研究？（抛出问题，吸引学生的注意力和兴趣，试图让学生体验研究问题的科学方法——从简单到复杂的原则。）
生：首先应该研究有规则的几何体。
师：好！你认为哪些是有规则的几何体？能举些例子吗？
生：正方体，长方体，圆柱，圆锥，球……
师：非常好！如果让你研究，你准备从哪些几何体开始研究？
生：当然越简单越好！
师：什么几何体？
生：正方体。
师：你会先挑棱长为1的正方体进行研究，然后再研究棱长为2的正方体，……
生：当然不会，应该将正方体当作一类来进行研究。
师：那么还要将长方体当作一类来进行研究？
生：不，这样分类，研究太麻烦了！好像不需要单独将正方体作为一类来研究，可以将正方体作为长方体的一种特殊情况进行研究。
师：很好！那么将长方体作为一类，是否也显得狭窄？
生：……
师：请看的一些几何体，它们的共同特点是什么？你能够将它们进行分类吗？
各种多边形
生：各面都是多边形，它们都是由多边形所围成的几何体。
师：对！这些几何体我们称为多面体，你能够将图中的几何体分类吗？
生甲：（2）（5）一类；（4）（6）一类；（1）单独一类；（3）也单独一类。
师：是吗？
生乙：好像（1）（2）（5）是一类，只不过（1）是横放着的。
教师：很好！你能够说出（1）（2）（5）的共同特征吗？
……
这样的引入设计既结合现实，又密切注意数学的内在联系，并且带着探究的口吻创设背景，使学生体验科学研究的方法。显然，这样的引入设计更能够培养学生的探究能力，使学生体验数学再创造过程。
2好奇心的维持
创设情景，主要是激发学生的好奇心，提高学习的动力。而创设情景后，如何使学生的好奇心能够继续保持，在教学设计上教师是需要动脑筋的。首先应该在创设情景后的教学过程设计中有层次感，一环紧扣一环，保持学生的求知欲望，不能虎头蛇尾，把学生的胃口开始吊得好高，然后却没有解决，让学生失望。例如，等比数列的引入，我们可以从古代象棋发明的国王赠米故事引入，学生为了解决最后国王要付给多少粮食给象棋发明者，好奇心促使他认真学习，如果教师没有在最后把问题解决，学生会很失望，以后就可能提不起学习兴趣。因此，在设计过程中要保持前后呼应、有始有终。其次，要在教学过程中设计一些具有不断吸引学生的内容与主题相协调，不断地让学生有收获感和满足感，直至问题解决。在问题解决后，教师还要考虑后续内容的需要，继续设置情景，让学生课后考虑和自我探究相关的继续学习内容。
3知识的巩固
设计探究性教学的过程，虽然可以让学生的求知欲望得到一定的满足，但是必须注意的是，我们可能比较注意知识产生的过程以及和学生进行交流的过程，往往忽略知识的落实与巩固的环节，学生还是需要将所学（探究）过的知识进行巩固与应用。如果我们在设计教学过程中没有考虑知识的落实，使“过程”与“结论”并重，学生很可能造成学习不踏实的现象，因此必须注意这个环节的设计。首先要注意在学生探究某一知识后，帮助学生梳理知识，让学生注意观察公式、公理、定理、法则等的特点，进行有意义的记忆，减少记忆负担。其次，要注意将所学知识梳理后形成一个框架的教学过程的设计，使学生建立一个知识网络，有效地巩固所学知识。另外，还要注意对知识进行一些必要的应用设计，使学生在应用的过程中巩固所学知识。例如，余弦定理的教学，教师除了与学生一起探究和证明余弦定理以外，要引导学生观察定理的特征，除了公式的符号特征外，还要采用文字语言给予概括，并且要设计相应例题和练习，使学生通过运用余弦定理来巩固定理的内容。
4能力的培养
学生的能力是多方面的，同样，培养学生的能力的手段也是多样的。能力培养是每一个数学教师所重视的，具体应该在教学设计过程中体现出来。设计探究性学习过程，其实是培养学生的探究能力过程的设计，而探究能力与一个人的观察能力和探究手段密切相关。首先教师要设置情景让学生从无意注意转向有意注意，当学生有意注意时，教师就要培养学生的观察力了。例如勾股数的探究教学设计。教师从一个众所皆知的勾股数“3,4,5”出发，引出一个话题：“你能够再写出一组勾股数吗？”（让学生从无意注意转向有意注意）当学生好不容易写出一组：“5,12,13”时，教师夸下“海口”：“你任意写一个大于1的奇数，我就能够写出一组勾股数！”学生非常好奇，一个学生报出数字7,教师马上回答：“7,24,25”；当一个学生报9而教师回答出“9,40,41”是一组勾股数时，有一个学生就马上说：“我们不报了，我已经知道规律了！”教师说：“很好！有同学已经知道规律了，那么请其他同学也观察一下，有什么规律？”（教师这样设计是为了培养所有学生的观察力）。其次，学生观察出某些现象后，教师就要让学生注意理性分析，即帮助学生采用适当的探究手段。例如前面勾股数的探究，当教师帮助学生得出诸如：“92=41+40=（41+40）（41—40）=412—402”而使学生“恍然大悟”时，教师设计问题：“你们还有其他想法吗？”学生马上问：“如果我报出的是偶数，怎么办？”（其实教师这样设计是让学生体验类比的方法，提高学生的探究手段和能力）当教师写出“82=64=2×32=（17—15）（17+15）=172—152”时，学生接下去的探究就是一个类比的过程了。教师可以设计一些采用类比、归纳、特殊化等手段探究的教学情节，以培养学生的探究能力。我们仅对探究能力培养的教学设计简单地进行阐述，其实，教师在考虑教学过程的设计方面，应该自始至终要考虑学生的各方面能力培养的设计。
5.学文化的渗透
教学过程的设计除了考虑教学任务的完成，还要考虑作为一门学科的文化渗透。在教学过程中，密切注意渗透数学应用、数学意识、数学哲学、数学史、数学游戏、数学审美等内容的设计。新课程的改革比较注重把数学作为一种文化的教学，我们应该密切注意每节课的教学设计，树立将数学作为一种文化教育的教学设计理念。例如无理数的教学设计，我们可以设计一个讲古希腊毕达哥拉斯学派弟子希泊索斯的故事情节，在具体教学过程中，我们可以设计一些向学生渗透实无穷与潜无穷的思想的教学过程，这些过程其实蕴涵了哲学层面的内容。
（二）复习小结课
复习小结课依据内容、时间、目的等可以分成多种类型，如单元复习（小结）、期中复习、期末复习、会考复习、高考复习等，虽然由于目的、任务有所差异，导致内容、方法有所区别，但是，它们还是有章可循的。复习小结课主要有三大任务：一是系统回顾；二是查漏补缺；三是综合提高。不同目的的复习课在这三方面上所花的时间有所不同，我们在教学设计方面应该充分考虑。
1.统回顾
系统回顾是复习课不可或缺的环节，是防止知识遗忘和知识系统化的过程。单元复习课由于学生刚学习过新知识，教师可以把侧重点放在构建知识网络的设计上，防止学生只见树木、不见森林导致知识凌乱、分散的现象。教师在设计的时候应该着重考虑让学生体验系统化的科学方法的设计，让学生学会科学地整理知识。这样，不仅让学生牢固掌握知识，而且让学生学会了知识整理的科学方法。期中或期末复习课中的设计，要正确处理好学生刚上完课的内容和已经有一段时间的内容的关系，一般说要根据考试的目的和复习时间来灵活处理这个教学设计片段，除了考虑知识遗忘因素外，还要考虑章节之间的网络构建的设计。对于高考等重大考试，知识系统回顾必须要重视，学生对知识遗忘可能比较厉害，教师的教学设计可以先从知识框架开始，然后逐级细化回顾，既不能像新授课一样对每一个基本知识进行讲解，也不能纯粹做一些基础性练习取代这个环节，设计过程中应该充分体现实际操作的灵活性，即根据学生的具体遗忘情况在课堂中及时调节回顾的内容。
2.漏补缺
查漏补缺是复习课必须做的一项工作，为了有效地进行这项工作，教师首先要了解学生。在单元复习中，教师主要依据学生平时的作业和平时课堂的反馈，找到学生的知识薄弱点，这个时候的设计可以编拟一些学生在平时易错的问题，通过这些问题来对学生进行查漏补缺。而期中、期末的复习可以通过以往的单元测试、学生的平时作业中所反馈出来的问题来进行，这个时候的设计可以编拟类似问题来达到查漏补缺的目的。像高考复习等重大复习课，教学设计应该既考虑基础知识的缺陷又考虑学生在技能、能力方面存在的不足，编拟的问题既有基础知识的内容又有基本技能、能力方面的要求。
3.合提高
一般说来，综合提高环节是在充分考虑前两个环节的基础上来安排的。教师在这个环节的设计一般通过设计数学问题来进行，教师编拟的问题既可以在知识点上有一定的覆盖面，也可以在能力上有一定的要求。这个环节教师除了考虑前两个环节外，还要考虑几个因素：一是典型性，即要考虑知识、能力的综合回顾和提高的要求；二是要考虑阶梯性，即要考虑问题难度具有一定的梯度，避免使学生产生畏惧心理或疲倦心理；三是要考虑可行性，即要考虑学生的普遍接受的程度以及实际课堂的可操作性。
三、中学数学教学设计的分析案例
教师对教学设计固然需要自己精心构思，但是没有借鉴别人的教学设计，博采众长，很可能难以设计出具有较高水准的教学过程。考虑到篇幅，我们在这里仅提供一个教学设计案例片段和两个完整案例，对第一个案例中的不同片段给予简要的分析与点评。对第二、三个案例，读者一方面可以了解整体教学设计和具体课堂教学设计的撰写方法，另一方面也可以自己参与分析和评价。
案例2“三角形内角和”的教学设计
［设计方法1］教师让学生各画一个三角形，量出其内角并求和，或用剪刀剪下三个内角拼成平角，从而得出三角形内角和等于180°。
点评：该方法能体现引导学生在“做中学”的教学理念，并且“效率高”。不是把知识简单地传授给学生，而是让学生通过自己的行动来得出结论，实现数学发现的再创造。但是对实现数学再创造的宏观思维培养缺乏。为什么要对三角形内角要进行求和，或怎么知道要将三个内角拼成平角？因此，有学者认为这种教学方法对培养学生的探索能力并没有多少好处，甚至认为是“假探索”。
［设计方法2］拿两块三角板，一块是等腰直角三角形三角板，另一块是有一个内角为30°的直角三角板。让学生比较它们的共同特征，引导学生发现它们其中一个共同特征是内角和为180°。从而进一步提出一般的猜想，然后再执行方法1。
点评：该方法体现出来的教学理念是方法1的进一步整合，即采用从特殊到一般的方法进行探索的理念，培养学生的宏观探索策略。但是对实现数学再创造的宏观思维培养仍然有缺陷。为什么会拿出两块直角三角板进行比较和探索？为什么我们会对三角形内角求和感兴趣，而不对其他问题感兴趣？难道是教师事先已经知道这里有一个结论才引导学生去探索？
［设计方法3］教师让全班学生每个人都画一个三角形，量出三个内角。与学生做一个游戏：要求学生报出自己所量的三个内角中的两个大小，老师就能知道第三个角大小，激发了学生的好奇心，比较几个三角形的内角后，然后让学生探究其中的奥秘，引导学生通过特殊法发现三角形内角和为180°，再执行方法1。
点评：教师能抓住学生的好奇心，将娱乐与数学教学有机地结合在一起，提高了学生的学习数学的兴趣，同时也注重探索方法的培养。但是，学生如果没有教师的游戏提示，仍然无法注意到三角形内角和的问题上来。
［设计方法4］教师提出问题：如何研究三角形？然后引导学生采取从特殊到一般的研究策略，即首先画一个很特殊的三角形（一般的学生都会画等边三角形或直角三角形），然后单独研究。结果发现太特殊又缺乏对比，于是又画另一个特殊三角形进行对比研究，比较它们的共同点和不同点，提出更进一步的猜想，三角形内角和为180°的猜想是其中之一。在否定或暂且搁置验证其他一些猜想后，将三角形内角和为180°首先提到研究日程上来，再执行方法1。
点评：更着重培养学生的宏观探索策略，让学生感悟研究问题的科学方法，是教师教学理念整合的进一步升华。但是由于强调探索的宏观和微观思维培养，需要让学生充分体验数学发现的过程，可能“浪费时间”及“效率低下”，如果每节课都采用此种方式教学，教学进度会跟不上。
［设计方法5］教师提出问题：如何研究三角形？然后引导学生观察三角形的结构，即三角形有三个内角和三条边，与学生一起探讨，得出采用分角角关系、边边关系、角边关系三个步骤进行研究。在暂且搁置边边关系、角边关系的情况下，首先研究角角关系。接着提出问题：三角形的三个内角是否存在关系？即当一个内角发生变化时，其他两个角会不会发生变化？换句话来说，当一个角变大时，另两个角如何变化？如果把握另两个角变化有难度时，可以让其中一个角不变。则学生发现当一个角变大时，一个角不变，则第三个角必须变小。进一步引导学生提出猜想：三角形三个内角的和或积会不会发生变化？在肯定三个内角积会发生变化的情况下，再执行方法1。
点评：在注重培养学生的宏观探索策略的同时，让学生体会从数学到数学的研究策略，让学生感悟用运动和联系的观点来研究数学问题的方法策略，是教师把一般学科的教学理念和数学学科教学理念的有机整合。但是有教师认为过于数学化使学生感觉抽象，同时也存在时间效率问题。
案例3《立体几何》第一章“直线与平面”的教学整体设计
［设计者］陈希平（广东番禺中学）
［设计标题］实验直观抽象目标评价调控
［设计章节］《立体几何》第一章“直线与平面”
［设计过程］
1.设计课题的选择
数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系，立体几何在形成学生的空间概念、培养学生空间想象能力和思维能力方面的重要作用是中学数学其他内容所不能替代的，而高中学生普遍对立体几何的学习感到困难，究其原因主要有：刚步入高中的学生的实际感知及所具有的数学能力一时难以适应这种由平面到空间的突变；其二，长期以来，教师教学中忽视了理论联系实际这一教学基本原则，在教学中缺乏直观的空间模型演示和实验操作，以至不能使学生通过观察、分析和动手操作中悟出数学问题的实质；其三，传统的教学，教师只有教学意识，缺乏教学管理意识，即只执行教学的过程，缺乏对自身教学效果的评价及教学过程的调控管理；其四，教学方法及手段的陈旧落后，教学上以“空（口讲笔画）”对“空”（立体几何），难以激发学生的学习兴趣，调动其积极性。
2.教学设计的理论依据
首先，根据信息论有序性原理，系统的有序性是其本质属性之一，无序不成其为系统。高中《立体几何》是逻辑性极强的学科，知识的发展遵循一定的逻辑顺序，所以，教学目标系统也是有序的，因此，教学目标严格地根据知识的顺序编制，违背教学目标的有序性，就会给教学带来极大的困难，导致教学失败。学生思维能力的形成，非智力品质发展由低级状态到高级状态也是有序的。故而我们在设计教学实验、采用现代教育技术、设计现代教育方法和手段时，也要考虑到它们的层次、系统，逐步促进学生认知能力、思维品质、学习方法的发展和形成。
其次，根据控制论的反馈性原理，任何系统都是通过反馈信息来实现调控的，数学教学是一种有目的行为，教学目标是否达到，空间模型实验、多媒体的方法是否合理有效，都要通过获取信息予以评价。通过反馈教学节奏和效果，实现对教学的控制。遵循这一原理，增大学生在课堂活动的力度，发挥学生的主体作用，无疑会促进师生交流，加强教学信息的反馈，达到提高课堂教学的目的。
最后，根据系统论的整体性原则，任何系统都是有结构的，它的功能由各子系统的功能反映出来。根据这一原理，我们把《立体几何》的教学目标，教学方法、手段，反馈、矫正的措施——评价，系统组成合理的教学结构系统，就能使《立体几何》的教学整体功能大于各子系统之和。如果各子系统（目标、方法、手段、评价等）各自发挥作用而互不相协融合，教学效果也不会很好。
3.教学的总体设计
（1）确定《立体几何》第一章“直线与平面”的系统目标
由于我们的教师水平参差不齐，对现行数学教学大纲与教材理解不深，不了解大纲和教材上各阶段性要求和终极要求的发展关系，不善于把终极目标分解成阶段性目标，逐步完成，又由于大纲和教材对于知识、能力的目标描述的线条太粗，教师难以把握，因此我们在设计本章教学目标时，根据大纲和教材要求，制定出本章各小节的具体教学目标，并且将它落实到教学的每一单元、每一节次、每一节课，将大纲上的终极目标要求分解成阶段性的目标，逐步落实完成。
（2）设计典型的空间模型实验
高中立几教材是在比较纯粹的状况下研究空间形式的关系，它将客观对象所有其他特征抛开，而抽象出其空间形式进行研究，这就构成立几教学的抽象，但数学的抽象性并不排斥具体性，恰恰相反，现实具体的素材是认识空间形成的基础，是过渡的抽象概念和命题必不可少的初始环节，是理论思维的初段，也就是说抽象性以具体性为基础和保证。
因而在立几教学的设计中，我们针对学生抽象思维能力弱、对具体素材的依赖性强、具体与抽象割裂的特点，有效吸取物理、化学学科的教学特点，有的放矢地设计了立几空间模型的实验，通过实验，让学生直观地感受到数学问题的结论，并通过老师精粹的分析论证，充分调动学生的感觉器官，从不同的感觉渠道同时往大脑输送信息，自然使信息强化，从而促进了学生空间概念的建立。
（3）利用现代教育技术，设计现代化的教学手段
多媒体教学和计算机的引入是现代化技术在教学上的运用，它对改进教学、提高教学质量有重大的作用，而我们以往的电化教学中，电教多媒体的应用带有较大的随意性和盲目性，缺乏整体和系统地研究，因而很难充分发挥现代教育技术在教学中的作用。针对这点，我们实验课题组在确立立体几何第一章教学目标、设计全章空间模型实验的基础上，逐个地确立现代教育技术在教学的结合点、渗入点，整理筛选了原有立体几何教材的电教软件，自行设计、改革了大量的电教软件，系统地编制了立体几何第一章电教教材，选择了适当的电教工具、软件，让他们明确在什么时候用，怎样用，以及怎样达到理想的效果。
（4）课堂教学模式和评价的设计
我们在使教师的个性及教学风格得以发展的前提下，吸取众多有经验的数学教师的教学方法，使之成为一种有效的数学教学工艺操作流程，即在教学中实施两个“四步目标教学”：一个是课堂教学，目标导向预习——目标形成教学——目标达成测评——目标矫正巩固；另一个是章节复习，系统目标探讨——章节目标终夺性测试——章节目标评价反馈——章节目标再次达成，对教学过程实施监督和调控。
我们根据教材的要求，设计出教材各单元、节次的以下三种问题：①目标预习达到度测试题；②目标形成性测试题；③目标矫正、巩固性测试题。供学生和教师在学习过程中的预习、课堂教学目标达到程度检测、课后的学习目标矫正巩固等各个不同阶段使用。
我们将学生学习过程各不同阶段的学习成绩通过自行设计的《教学状态F与教学质量系数E评价》模型，经过计算机处理，编制成各种定量的图表和描绘成学习状态曲线，对教师教学过程中每一阶段、每一环节的教学状况、结果的价值，进行定量的测量，及时地收集、反馈教学的信息，以帮助教师随时“观察”自己的教学，以便对自己的教学作出更正，发现问题，及时改进，对教学过程进行调控管理。
（5）吸取、借鉴、渗透、融合，形成完整的立体几何教学系统
现代科学技术的发展，新的教育理论的出现，给中学数学教学带来了蓬勃生机，也带来了新的挑战，传统的中学数学教学已远远不能适合现代教学的需要，我们的教学设计引入了现代教学目标与评价的思想，引入了现代教育技术的手段，增设了空间模型的实验。这些绝不是简单的迭加和拼凑，而是让立几教学成为一个开放的多级相互作用的系统。首先我们让上述内容构成各自的子系统，并促进各子系统渗透、融合，然后形成合理的完整的教学结构系统，实现教学的整体功能大于各子系统的功能之和。
这里特别强调的是，改革不是扬弃，而是吸收、继承和发展，传统的教学，是人类文明的结晶，我们通过教学改革实验中注意吸收传统数学教学的精华，借鉴现代教学的思想方法，使立体几何教学在原有的基础上更新发展。
4教学目标、教学手段设计一览表
具体教学目标、教学手段设计如表41所示。表41教学目标、教学手段设计
单元节次教学目标知识要点水平模型的演示与
实验设计电教与多媒体的
运用与手段一平面11平面（1）平面
（2）平面的画法、表示法A
C1平面的模型演示，观看录像（现实生活中的平面）以加深对目标（1）的理解
2教师实验演示，以加深对目标（2）的理解电视录像投影矩形左、右侧45°角的摄影照片12平面的基本性质（3）平面的基本性质
（4）点、线、面位置关系的符号表示C
C
学生实验：通过图钉、细铁丝在矩形板上的摆设，加深对目标（3）的真实感13水平放置的平面图形的直观图画法（5）空间图形的直观图
（6）斜二侧画法法则
（7）平面图形直观图的画法A
C
C
教师实验演示：从正面、左侧、右侧观察正、长方体并比较异同，加深对目标（5）（7）的直感投影显示几何体正面及左侧、右侧45°角的摄影照片；
投影斜二侧画法的法则二空间两条直线14两条直线的位置关系（8）两条直线的位置及画法
（9）异面直线的概念
（10）异面直线的推理
（11）反证法C
C
D
C观看录像《现实生活中的异面直线》，通过实物录像播放、定格和投影录像以加深对目标（8）（9）的理解电视录像、录像投影15平行直线（12）公理4
（13）等角定理及推论C
C
1教师实验演示：三线平行公理
2教师实验演示：等角定理及推论观看电脑动态图象：公理4的模拟三空间直线和平面16异面直线所成的角（14）异面直线所成的角
（15）异面直线的公垂线及距离D
B
1实验演示：异面直线所成的角和距离
2学生观察正方体相关棱的位置，理解异面直线公垂线及距离观看录像（异面直线所成角及距离），画面定格，分析电脑动态图像，启发学生理解：异面直线的空间位置由“角”和“距离”决定17直线和平面的位置关系（16）直线和平面平行的定义
（17）直线和平面的位置关系及画法C
C
学生观察教室，举出直线和平面位置关系的实例幻灯放映《地面与马路》、《广场上的灯杆、支撑架》、《空间高悬的电线与地面》等续表
单元节次教学目标知识要点水平模型的演示与
实验设计电教与多媒体的
运用与手段一平面18直线和平面平行的判定与性质（18）直线和平面平行的判定定理
（19）直线和平面平行的性质定理D
D
学生实验：把矩形纸片对折，如图放在桌面上，观察折纸线EF与矩形边AB的位置关系
19直线和平面垂直的判定与性质（20）直线和平面垂直的定义
（21）直线与平面垂直判定定理
（22）直线与平面垂直的性质定理
（23）点到平面的距离、平行于平面的直线到平面的距离C
D
D
B
1学生实验：教材p22中图124
2教师实验演示两直角支撑杆（如图42），则有AB垂直于平面，以加深对目标（21）的理解
用二抽动，二层复盖复合片全盛投影显示教材p23图126的分步构思（直线l,m,n的平行移动）110斜线在平面上的射影、直线与平面所成的角（24）点、直线在平面上的射影
（25）射影长定理
（26）直线与平面所成角的概念
（27）求斜线和平面所成的角
（28）斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角B
C
C
D
B
学生实验：用细铁丝、活接头做出图示模型，实际度量∠ABC与∠ABD,以加深对目标（28）的理解
观看电脑动态图像直观目标（25）、（26）、（27）111三垂线定理（29）三垂线定理
（30）三垂线定理的逆定理D
D学生实验：用细铁丝、活接头做出图示模型，在平面内增设与a平行的a′，a″位置，增强目标（29）、（30）的直观性
直角三角板ABC放在投影屏上，转动BC位置，投影显示三垂线定理的位置关系
续表
单元节次教学目标知识要点水平模型的演示与
实验设计电教与多媒体的
运用与手段四空间平面与平面112两个平面的位置关系（31）两个平面的位置关系及画法
（32）两个平面平行的定义C
C
观察四棱台上、下底面和侧面的位置，加深对目标（31）（32）的理解投影显示两个平面相互位置的画法113两个平面平行的判定和性质（33）两个平面平行的判定定理
（34）两个平面平行的性质定理
（35）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
（36）垂直于同一条直线的两个平面平行及逆定理
（37）两个平行平面的距离D
1.验演示：利用图设装置，实现教学目标（33）的直观显示
2.察四棱台底面与侧面的交线（棱），以增强对目标（34）的直观理解
114二面角（38）二面角的定义
（39）二面角的平面角的定义及求法B
D
学生实验：矩形纸片沿直线折叠，垂直于直线AOB（O是l与AB的交点），形成二面角及其平面角
实验演示：二面角的αlβ平面角，设平面角∠AOB所在的平面为γ，则γ⊥α，γ⊥β演示电脑动态图像
（1）二面角平面角的构造
（2）平面角所在平面与二面角两半平面的相互垂直关系15个平面垂直的判定和性质（40）两个平面互相垂直的定义
（41）两个平面垂直的判定定理
（42）两个平面垂直的性质定理
（43）两个平面互相垂直，过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内
（44）两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面
（45）异面直线上任意两点的距离公式B
学生实验：利用两直角三角板的桌面直立，直观显示教学目标（41）（42）
复合投影片：通过底片+1抽动片+4层复盖片，加强对教材p42直观认识，以加深对教学目标（45）的理解
案例4对互斥事件的教学设计
［设计者］房之华（江苏省苏州大学附属中学）
设计符合现代教育理念和新课程标准的教学方案，是当前教育探讨的热门话题，而概率又是新增加的高中数学内容，具有一定的难度，学生在学习中会产生许多困惑，为了让学生能正确地理解并掌握，精心地设计教学方案显得格外重要。笔者就概率中较难学习的一节内容“互斥事件有一个发生的概率”给出教学方案的一个设计，供大家参考。
［课题］互斥事件有一个发生的概率。
［教学目标］通过探究式教学，使学生能正确地理解并掌握“互斥事件”、“彼此互斥”和“对立事件”等概念，理解并掌握当AB互斥时“事件A+B”的含义及其概率的求法，了解对立事件的概率的和为1的结论，会应用所学知识解决实际问题。
通过探究式教学，引导学生学会学习“互斥事件有一个发生的概率”，学会如何观察、推理和评价，潜移默化地激发学生的情感，使学生形成一种积极的态度和正确的人生价值观。
通过探究式教学，让学生养成手、口、眼、耳、脑五官并用的良好习惯，强化动作技能的熟练。
点评：教学目标是对教学行动结果的预期。教学目标一般涉及三大领域：认知领域、情感领域和动作领域，认知领域的目标是现代学校教育最重要的领域，根据教学目标是重视学生的学习结果还是过程，教学目标又可分为行为目标和过程目标，我们在确定教学目标时应全方位地加以考虑。
［教学重点］互斥事件的概念及其概率的求法。
［教学难点］对立事件与互斥事件的关系，事件A+B的概率的计算方法。
［教学模式］以探究为主导策略的教学模式，“帮助学生发展理智素养和理智技能”。
点评：在探究模式中，大部分时间由教师控制，但仍需要学生积极参与活动，教师的主要任务是为学生的探究活动去精心地创设问题情境，并对学生的探究结果给出客观性的评价。
［教学程序］
1.创设情境，让学生的思维“动”起来
［问题1］在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球。若从盒中摸出1个红球记为事件A,从盒中摸出1个绿球记为事件B,从盒中摸出1个黄球记为事件C,则事件A、B、C之间存在怎样的关系？
盒子里放着三种颜色的小球
思考1：如果从盒中摸出1个是红球，则说明事件A怎么样？
思考2：如果从盒中摸出的1个球是绿球，即事件B发生，则说明事件A又如何呢？
思考3：通过对1、2的探究你发现了什么？
点评：以上几个思考题不能和盘托出，应逐个抛出，并留给学生思维的空间，让学生的头脑动起来。
学生展开思维活动，并将探索出来的结论加以归纳概括。
［探究结论1］事件A与B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。
同理，事件B与C、事件A与C都是互斥事件。
思考4：若事件A、B、C中任何两个都是互斥事件，则就事件A、B、C彼此互斥，那么，三个以上的事件是否也能存在这样的关系呢？若能，请你把它推广到n个事件的情形。
点评：引导学生的思维向纵深发展，由特殊的情形去大胆地猜想一般的情形是否也存在，从而培养学生由特殊到一般的推理思维方式。
［探究结论2］一般地，如果事件A1,A2,…，An中任何两个是互斥事件，那么就说事件A1,A2,…，An彼此互斥。
2.广泛联想，让学生的思维“活”起来
为了加深对概念的深刻理解，更清楚地认识事物的本质属性，迅速地建构起知识的认知结构，教师应引导学生展开广泛的联想。
点评：集合是数学中的基本概念之一，是联系中学数学中众多不同知识的纽带，当从集合的角度去认识排列、组合和概率时，求排列数、组合数和概率，都可看成一个全集下的某个子集到数的集合的不同的映射，这样有助于揭示这些概念的本质及其内在联系，可见广泛的联想能让学生的思维活跃起来。
［设问1］联系集合的知识想一想，能用集合的知识来解释互斥事件的概念吗？若能，请给出互斥事件的集合意义。
［联想与思考］要求学生在联想与独立思考的基础上开展小组讨论，并归纳概括出建立在集合意义上的互斥事件的形象解释。
［探究结论］从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交，即交集是空集，如图43所示。
［设问2］在上面的问题中，若把“从盒中摸出1个球，得到的不是红球（即绿球或黄球）”记作事件，则事件A与之间存在着怎样的关系？
［联想与思考］在教师的引导下展开思维的联想与思考活动，先将上述设问分解为若干个小问题序列，让学生联想与思考。
思考1：事件A与能否同时发生？
思考2：事件A与是互斥事件吗？
思考3：事件A与必有一个发生吗？
然后归纳概括，形成对立事件的概念。
［探究结论4］事件A与不可能同时发生，它们是互斥事件，事件A与中必有一个发生；两个事件中必有一个而且只有一个发生的事件叫做对立事件，从集合的角度看，事件A（或）包含的结果的集合，是其对立事件（或A）包含的结果的集合的补集。
［设问3］互斥事件与对立事件存在着怎样的关系？
学生思考、讨论与概括可得如下的探究结论：
［探究结论5］一般地，两个事件对立是两个事件互斥的充分条件，但不是必要条件。
［反馈训练］判别下列每对事件是否是互斥事件：
从一堆产品（其中正品与次品都多于2个）中任取2件，其中：
①恰有1件次品和恰有2件次品；
②至少有1件正品和全是次品；
③至少有1件正品和至少有1件次品；
④至少有1件次品和全是正品。
先由学生独立思考与求解，再请一名学生公布所做的答案，让大家来评判与讨论，直至得到正确答案。
点评：及时反馈是检验概念掌握情况的有效措施，通过练习来纠正学生对概念理解中的错误，从而强化概念的理解与掌握。
3.变式教学，让学生的思维“跳”起来
对问题不断地进行变换，在变换中增加思维的难度，让学生的思维“跳一跳”才能够得着，以便培养学生探究与创新的能力。
［变换1］对上面的问题1稍作变形：“若从盒中摸出1个球，得到红球或绿球的概率是多少？”
点评：经变换后的问题，显然增加了思维的难度，为了让学生“跳一跳”能够得着，有必要把问题加以分解，为问题的解决搭设思维的台阶，本题难在其事件的结果为若干个，而不是单一的。
为了解答这个问题，我们可以设计系列思考题，从而降低问题的难度。
思考1：满足怎样的条件，才表示这个事件发生？
思考2：这个事件是否能分解为若干个基本事件？
思考3：若把这个事件记作A+B,则A+B的概率如何求？
引导学生思考与讨论，可得出如下结论：
［探究结论6］当摸出的是红球或绿球时，表示这个事件发生，故该事件可表示为两个事件A与B的和，记作A+B,即表示在同一次试验中，A或B中至少有一个发生就表示它发生，根据等可能事件概率的求法，可得到红球或绿球的概率为p（A+B）=7+210。
［变换2］在上述问题中，事件A+B的概率与事件A与B的概率之间存在着怎样的内在联系？
［学生探究］已知p（A+B）=7+210,而p（A）=710,p（B）=210,由7+210=710+210,可以发现p（A+B）=p（A）+p（B）。
它告诉我们：如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（即A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和。
［变换3］能否把这个结论推广到一般的情形？
引导学生认真思考，并把上述公式推广到一般的情形。
［变换4］根据对立事件的意义，你能得出A+的概率吗？
引导学生思考，并得出如下结论。
［探究结论7］因A+是一个必然事件，故它的概率为1,又由于A与互斥，故得p（A）+p（）=p（A+）=1,即对立事件的概率的和等于1。
点评：对于变换2的结论，教科书中是用一个古典概型的例子加以说明的，这个说明已经给出了就等可能性事件的情形来一般地证明上述公式的方法，同学们课后不妨试一试。对于变换3的结论，也可以用数学归纳法加以证明。对于变换4的结论，可改写为p（）=1—p（A），这个公式很有用，它给出了采用逆向思维解决有关问题的一个依据，常可使概率的计算简化。
4.注重反思，让学生的思维“深”下去
解决问题不能只追求得出一个答案，应注重解题后的反思，这样才能从题海中解脱出来，达到举一反三、触类旁通的功效，才能训练学生思维的深刻性。
例4水量在下列范围内的概率：表42某地区年降水概率
年降水量
（单位：mm）100,150150,200200,250250,300概率012025016014
①求年降水量在100,200（mm）范围内的概率；
②求年降水量在150,300（mm）范围内的概率。
引导学生分析与探究，并让学生登台讲解，然后引导学生反思，归纳求解的方法与步骤，以及应当注意的问题。
［反思1］设定义过的事件A、B、C、D是彼此互斥的事件组，要结合题意分析清楚互斥的原因；所求事件是关于互斥事件A、B、C、D中两个或几个的和的事件，不符合这两点，就不能运用互斥事件的概率加法公式。
［反思2］解题步骤可归结为如下四步：①用数学符号来表示问题中的有关事件；②判断各事件间的互斥性；③应用概率加法公式进行计算；④写出答案。
例42在20件产品中，有15件一级品，5件二级品，从中取3件，其中至少有1件为二级品的概率是多少？
引导学生分析，求解与反思。
［反思1］当问题所涉及的事件包含若干个事件时，要注意进行合理的分类讨论，如：“至少有1件为二级品”可分解为3个事件：A1表示恰有1件为二级品的事件，A2表示恰有2件为二级品的事件，A3表示3件全是二级品的事件。
［反思2］在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先去求此事件的对立事件的概率，前者是直接法，后者为逆向思维法，即间接法。
5.学会建构，让学生的思维得以升华
零散的知识点，不易被人们所接受和记忆，教师要引导学生对所学的内容给予高度的抽象和概括，建构精炼的知识结构的框架，便于记忆和应用。
本教案的教学设计试图依据新课程所倡导的教学理念，注重课程的发生和开发过程，注重师生交往、互动、共同发展的过程，关注学生的发展和情感体验。
复习思考题
1.为什么有的教师能够把教材粗略地看一遍且并不撰写教案，却能够把课堂教学效果上得很好，而有的老师把教案写得非常详细，似乎备课很认真，但教学效果却不理想？谈谈您的看法。
2.现在，有一些老师教案利用下载的或以前的老教案，而上课却根据课堂上的变化进行，教学效果也不错，在这些教师眼里，教学设计的书面工作只不过是应付学校检查的。而有些学校行政部门根据这种现象，规定教师的教案必须手写并且学校检查后注明日期后盖章，针对这种现象，您是如何评价的？
3.请自选一个内容，完成教学设计片段：
（1）概念；
（2）命题；
（3）例题；
（4）数学课堂引入环节。
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