小学典型数学思想方法概述

朱成杰^[19]在普查了初中数学思想方法后，将数学思维分为三类：一类是宏观思维方法，包括抽象概括、化归、数学模型、归纳、猜想等；二类是逻辑型思想方法，包括分类法、完全归纳法、反正法、演绎法、特殊化方法等；三类是技巧型思维方法，包括换元法、配方法、待定系数法等。郑毓信在《数学思维与小学数学》^[20]这本书中提到的数学思想方法，可将小学数学中的主要思想方法分为：符号化思想、抽象概括、化归思想、模型思想、推理思想、分类思想、分析与综合、反证法、数形结合思想和极限思想。可以看出小学数学思维以宏观思维方法为主。宏观思维方法是对数学基本知识、方法的本质认识，是学习或问题解决过程中隐藏于事实知识后面的内在方法。

符号化思想主要指人们有意识地、普遍地运用数学符号去表述研究的对象^[21]。数学符号是数学的语言。数学世界是一个符号化的世界。数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到非常重要的作用^[22]。在《数学课程标准》（2011版）中将符号意识作为数学课程的十大核心概念之一，并解读“符号是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法。”也就是说，符号是一种数学思想方法。数学符号是在研究现实世界的数量关系和空间形式的情况下产生的，是现实生活的一种抽象概括，因此它具有简洁性和精确性。在已有的研究中，符号化思想的教学主要是让学生理解其本质，工整书写，明白符号的思想和实质。在小学数学教材中，符号化思想的渗透是一个循序渐进的过程，首先是数学符号的引入，接着是变元思想的渗透，然后是用字母表示数，最后是列方程解决问题。

化归思想：是指转化与归结的思想，即把待解决的问题，通过一定的转化过程，归结到一类已经能够解决或者是比较容易解决的问题中去，最终达到对问题的解答的一种思想方法。化归方法包括对象、目标、途径三个要素。应用化归思想时要遵循数学化原则、熟悉化原则、简单化原则和直观化原则。

在小学数学中，化归思想主要用于面对陌生问题。学生不能够直接地解决问题，需要综合地运用已有知识或者要创造性地解决问题的时候会用到化归思想。如，在求几何面积的时候进行割补平移变化。在小学数学的学习过程中，学生面对陌生问题时总是需要转换成熟悉的问题，因此化归思想有着广泛的运用。

模型思想：是一般化数学思想方法，指用数学语言、概括的话语近似地描述现实世界事务的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。广义的数学模型包括数学的概念、定理、规律、法则、性质、数量关系、程序等。模型思想在小学数学中的应用相对简单，但是不可或缺，尤其是在数学广角的教学中。

推理思想：是从一个或几个已有的判断中得出新判断的思维形式。推理所根据的判断叫作前提，所得到的结果叫作结论。推理一般分为演绎推理和合情推理。其中合情推理作为数学发现的一种重要方法，在小学的探究学习和再创造学习中应用非常广泛。关于演绎推理的描述虽然不是很严密、规范，但是在很多结论的推导过程中都会间接运用。

分类思想：是指人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐步进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决的思想方法^[23]。分类思想具有有序、有层次、全面、有逻辑的思考特点，因此是培养学生良好思维品质的思考方法。

分析与综合：分析是把研究对象的整体分解为若干部分、方面和因素，并对其分别加以考查，找出各自的本质属性及彼此的联系；综合是把研究对象的各个部分、方面和因素的认识结合起来，形成一个整体性认识的思维方法。它们是相辅相成、辩证统一的两种思维方法。

数形结合思想：是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。就是在研究问题时把数和形结合考虑，把问题的数量关系转化为图形性质，或把图形性质转化为数量关系^[24]，从而使原本需要通过抽象思维解决的问题借助形象思维更好地解决，有利于抽象思维与形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。在小学数学中的应用主要有两种情形：一种是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”；另一种是借助形的几何直观来阐明某些概念及数与数之间的关系。在小学数学中主要是用形帮助学生解决问题，如数轴与平面直角坐标系在小学数学中的渗透，统计图与几何概念模型的应用；用代数算法解决几何问题、解决数学广角中的大部分问题。