数学思想方法教学的原理

第一节　数学思想方法教学的原理

数学思想方法寓于数学基础知识中，又与中学数学基础知识共同构成中学数学教学内容的两大支柱。数学基础知识和数学思想方法紧密联系，二者之间又存在着质的差异，在教学中又不能互相代替。

一、数学思想方法教学的意义

1.数学思想方法教学是素质教育的体现

在高科技的信息社会中，数学已渗入到日常生活、科学技术和生产建设当中，成为现代生活中人们相互交流的不可缺少的语言。在当今社会，各国数学课程的设计都把数学思想方法的教学放在更突出的地位。

掌握数学思想方法是提高学生科学素质和运用能力的重要途径，也是实现中学数学教学目标的重要方面。

2.数学思想方法的教学有待加强

数学思想方法的重要性近年来已逐步为广大数学教师和教研工作者所重视。不少数学教师积极参与数学思想方法教学的实验研究。例如，以徐沥泉先生等人为代表的MM实验，从江苏无锡市开始进行，取得良好效果，并在全国一些省、市推开。实验结果表明，重视数学思想方法教学，既能提高学生的科学素质，又能发展其能力，因而受到广大师生的欢迎。

然而，由于多种原因，当前数学思想方法的教学发展并不平衡，存在不少误区，表现为以下几个方面。

（1）重知识的记忆，轻思想的指引

由于中学数学教材及教学观念的约束，缺乏对数学思想方法的系统研究。受到片面追求升学率错误思潮的影响。在教学中，有些教师偏重于概念、定理和公式的死记硬背，忽视对知识形成或背景的理解；重视对数学内容的讲解，忽视数学思想方法的概括提高；在数学复习中，缺乏对数学思想方法的系统指导和点拨。

（2）重结论获取，轻过程探索

在定理和公式的教学中，不少师生注重定理和公式的证明过程，而忽视定理和公式的探索、发现过程。在例题、习题的教学中，不少师生看重解题结果的正误，而忽视解题方法的探索，很少考虑所运用数学方法的合理性。

（3）重题型套路，轻思想方法的总结提高

受到片面追求升学率错误思潮的影响，一些师生把注意力集中在题型套路及一招一式的总结，忙于套题型，按规定步骤训练求解。这种呆板的常规性工作占去数学教学许多时间，花费师生不少精力。数学思想的升华与提高，数学方法的概括与总结，尚未受到足够重视，一些师生看重个别、特殊的技巧，而忽视通性通法的运用。这必然阻碍学生创新精神的形成和发展，也不利于数学教学质量的提高。

由此可见，重视和加强数学思想方法的教学，是当前数学教学中十分重要的研究课题。

二、数学思想方法教学的原则

数学思想方法是人类在长期从事数学活动中逐步发现，逐步总结和积累的。要想学生在学习期间逐步掌握数学思想方法，必须通过有目的，有计划的教学才能完成，数学思想方法的教学，应该遵循一定的原则。

1.同步并进原则

数学知识反映了一定的数学思想方法。数学思想方法是数学知识的升华与提高，又是用以探索新知识的途径。只有使数学知识的教学与思想方法的教学并重，数学教学目标才能全面实现。

（1）思想方法蕴含于基础知识中

数学思想方法不能脱离基础知识而孤立存在，由于基础知识是教材的主线，因此它也是联系数学思想方法的主线。教师应根据教材特点和教学目标的要求排，努力挖掘寄寓于数学基础知识中的数学思想方法的因素，使之凸现在教学过程中。这样，学生在理解数学基础知识的同时，其数学思想方法的理解水平和运用能力将得到同步发展。

（2）数学思想方法在教学中得到传播

我们并不认为，如果学生能正确理解数学基础知识，就自然而然也掌握了数学思想方法。在数学学习中，不少学生学懂了课本的内容，但遇到数学问题就束手无策，这说明基础知识教学与思想方法教学相互脱节的现象普遍存在。

数学思想方法是在教学过程中向学生传播的。这是一个潜移默化的过程。数学概念的形成过程，数学问题的发现过程，结论的探索过程，思路的寻找过程，离不开数学思想的指引，也离不开数学方法的运用。教师要加强数学思想方法教学的意识，在每个教学环节中，都要重视数学思想方法的传播、训练和培养，促进学生数学观念的形成和健康发展。

（3）教学难点随着新方法的引入而出现

数学教学中会遇到诸多难点。难点的产生固然与概念、命题的抽象性有关，也与新数学思想方法的引入有关。每当新学段的开始，一些重要的数学概念，连同表示这些概念的符号，以及相关的数学思想方法就被引入，它们标志着对学生数学观念的发展有新的要求，这往往也是难点的所在。例如，初一数学引入了有理数概念，涉及到从算术数到符号数的转换。同一个符号，有时表示性质符号，有时表示运算符号，在添括号、去括号时，需要改变符号，在异号数加、减、乘、除法时，都需要处理符号问题，于是，符号数思想，就成为初中数学教学的一个难点。与之相关的难点还有：用数轴上的点表示有理数的思想，用数轴上的点与原点的距离表示绝对值的思想，用字母表示数的思想。等等。

在学习新的数学思想方法时，原有的认知结构往往和新的数学思想方法发生冲突，这正是难点产生的原因。在教学中，教师除了讲清概念，还要注意数学思想方法的突破，使学生能及时调整原有的认知结构，从而有利于吸收新概念，新思想方法。例如，为了突破有关符号数的难点，教师可通过日常生活中众多事例说明符号数的意义，借助于数轴，形象地反映符号数与算术数的联系与区别，也分清了有理数及其绝对值的联系与区别。这不仅有利于化解有理数教学的难点，同时也能为以后学习集合对应的思想，数形结合的思想，作好有效的铺垫。

2.螺旋上升原则

从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性，这是人们认识事物的一般规律，对数学思想方法的认识也有一个由浅入深、逐步提高的过程。数学思想方法的教学，也应该随着学生数学知识的扩充，加深而逐步发展。

（1）同一数学方法概括着不同的数学知识

中学数学教学内容丰富，其中涉及数学基础知识的内容较多，而涉及思想方法的内容较少。有关数学知识的内容大多是作一次性的重点阐述，例如，平面几何，立体几何，平面解析几何；有理数，实数和复数；指数函数与对数函数；三角函数与反三角函数，等等。上述基础知识都是经过一次性的系统学习而基本完成的。然而，有关数学思想方法，多数在教学过程中多次出现而逐步加深。例如，有关函数的思想，在初中阶段，以两个变量之间相依关系的思想作了初步介绍，其后学习了正比例函数，反比例函数，以及这些函数的图象表示。到了高中阶段，再以两个集合之间的对应关系的观点作了较深入的介绍，继而学习函数的一般性质和研究方法，并以一系列基本初等函数为实例进行了说明，这样，通过反复学习，学生对有关函数的思想方法能得到较深入的认识，取得温故知新的学习效果。

（2）数学思想方法的运用水平要逐步提高

同一个数学思想方法在中学数学教学的多次出现，呈逐步加深的势态，这种螺旋式的教学安排，符合中学生的认知规律，教师在教学中应该明确，数学思想方法的每次深入，比起原有认知水平，在哪一个点上有所加深，既要复习联系原有的认知内容，又要在加深点上切入与突破，下面以对应、集合和函数的思想为例，说明螺旋上升原则在教学上的运用。

初一：建立数轴，研究如何利用数轴上的有理点表示有理数，通过一元一次方程和一元一次不等式的研究，为集合与对应，特别是为一次函数的研究作了积极的准备。事实上，数轴上的有理点集与有理数集之间的对应，就是一一对应。一元一次方程的解，就是一次函数的零点，解一元一次不等式，其实就是求当一次函数取正（负）值时，对应的自变量所在的区间。

初二：通过学习实数，实数集与数轴上的点集之间的一一对应关系就完成了学习分式方程，为将来学习有理函数作了准备，通过增根的处理，为以后研究函数的定义域提供了感性材料。

初三：引入了平面直角坐标系的思想，学生了解平面点集与有序实数对之间一一对应关系，从而为学习函数思想方法作了全面准备。然后以两个变量之间相依为系的思想，系统地提出了变量与函数的定义，对正、反比例函数，一次、二次函数及其图象作了较详细的研究，并利用函数方法，具体处理一些几何问题。这是对函数思想作了第一次较系统的学习。

高中：高中代数是以函数为纲安排的，首先用集合与对应观点，再给出函数的定义，对函数的一般性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性，作了较详细的研究，进而研究一一对应，逆对应和反函数。以三角函数为例，研究函数的周期性。对基本初等函数，如幂函数，指数函数和对数函数，三角函数与反三角函数，以及上述函数的性质，图象等，都作了较系统的探讨。最后，还以函数的观点研究了数列，并分别把等差数列看作一次函数的特例。把等比数列看作指数函数的特例，在高中阶段，对于用函数思想解决问题的能力提出了较高的要求。

由以上可见，对应、集合和函数思想在中学数学占有重要地位，在教学中，此种思想方法是多次出现，反复运用，逐步提高的。

3.区别对待原则

学生的认知水平和数学能力的发展存在着差异，而不同的数学思想方法也各有不同特点，同一个数学思想方法在不同年级也有不同的教学要求。不同的数学思想方法更应有不同的教学处理。

对于一些具体的数学方法，如待定系数法、换元法、数学归纳法等，应该明确指出其意义特点和运用要求。

对于一些重要而常用的数学思想方法，如反证法、参数法、数形结合法等，它们在中学各年级、数学各章节多次出现，反复运用，在教学上可以由浅人深，逐步渗透，边做边说的办法处理。以数形结合为例，可以用如下方法处理：

以数轴上的点表示数；

以数轴上的点和原点的距离表示数的绝对值；

以平面上的点表示有序实数对；

以平面上的直线表示二元一次方程的解集；

通过学习坐标法，能用代数法解决几何问题，或用以研究几何图形的性质；

借助于几何图形，研究函数的性质；

最后达到以数论形，以形论数的反复、综合运用，从而解决较为复杂的数学问题。

对于一时难以为多数学生所深刻理解的方法，如化归法、模型法、公理法等，可以用简易通俗的办法指出其实质要领，而不必过早交待其全部意义。例如对化归法、模型法，可以边实践边加深理解，而对于公理法，只需要了解其一般意义即可。

4.系统安排原则

传播、普及数学思想方法，培养学生对数学思想方法的理解和运用能力，是中学教学目的的重要组成部分。因此，数学思想方法的教学应该得到全盘考虑和系统的安排。

（1）数学思想方法应体现于每节课的教学中

在每章、每节课教学中，教师都要把握基础知识和思想方法两条主线，但后者的呈现形式是隐蔽的，学生不易从教材中直接获取。教师在备课时，要努力挖掘教材中的数学思想方法因素，弄清这些思想方法的教学功能，并在每节课的教学中予以贯彻。

（2）数学思想方法应贯穿于教学的全过程

帮助学生掌握数学思想，提高其运用数学方法的能力，是长期、复杂而细致的工作，不是一两节课的教学能够完成的。教师应全面研究中学各年级、各章节教材所蕴含的数学思想方法，探讨各种数学思想方法在不同年级的教学要求。做到全面安排，逐步培养，节节落实。这样，经过中学阶段的学习，学生对数学思想方法的认识和运用能力，将能得到系统、全面的提高。

总的说来，在当前中学数学各科教材中，数学思想方法的内容较为薄弱，一些重要的数学思想方法未能得到明确而系统的阐述。它们被蕴含于基础知识教学过程中，或藏于字里行间，或隐蔽于幕后，我们认为，把重要的数学思想方法逐步挑明，并给予系统的安排和全面的阐述，从而增强学生运用数学思想方法的自觉性，是课程设计工作者、教材的编撰工作者和全体教学教师的共同任务。

5.自我构建原则

学生对数学思想方法的认识过程，是一种认知的自我建构过程，不能靠教师的单方面宣讲来完成，更不能靠死记硬背达到真正掌握。

数学思想方法相对于数学知识有更强的实践性。在解决问题过程中领悟和掌握方法，才能取得更好的学习效果。因此，在教学中，要有计划，有步骤地强化学生对数学思想方法的建构活动。通过多样化，有意义的学习活动，如数学问题解决，数学模型建构，数学应用实践等等办法，主动建构与个人认知水平和能力相适应的数学思想方法。

在建构数学思想方法的实践活动中，应鼓励学生尝试，允许错误与失败，鼓励学生讨论分析错误，并在实践中改正错误。这样，他们才能在尝试中，在失败与成功的亲身体会中，真正领悟和掌握所学习的数学思想方法。