化归思想方法在高三数学教学中的应用研究

化归思想方法在高三数学教学中的应用研究

数学科　张萍女

[摘　要]中学数学教学中，最基础的数学教学思想就是化归思想。作为基础教学思想，它渗透在学校教学的方方面面。本文具体探讨了化归应遵循的基本原则、方法以及应用时的注意点，指出化归思想的方法对高中生的数学学习具有引导作用，可以激发学生的创新思维，在高三的数学复习中占了主导地位。

[关键词]化归思想方法　应用　高中数学教学

匈牙利数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答，‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’”。

“把水倒掉”，这就是化归，就是数学家常用的方法。翻开数学史，这样的例子不胜枚举。誉其为“万能方法”的法国哲学家和物理学家笛卡儿在《指导思维的法则》一书中指出：第一，将任何种类的问题转化为数学问题；其次，将任何种类的数学问题转化为代数问题；第三，将任何代数问题转化为方程式的求解。

一、化归思想方法在高三数学教学中的应用意义

化归思想方法，一般是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。而对于转化思想，布鲁姆在《教学目标分类学》中就明确指出，数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”。所谓转化思想，通常是将未知问题转化为已知问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，实质是转化矛盾的思想方法，即遵循“运动——转化——解决”的基本思想。

新时代的数学课改方向着力于培养学生学习数学的思想和方法，尤其是新课程的观念越来越普及，方法的归纳与总结成为中学数学教学研究的重点，因而，中学数学教学有关解题思想的研究日益成为教师关注的焦点。对解题方法有效地归纳、总结，有利于数学思维的形成，对数学学习方法的应用亦颇有助益。

笔者在高中数学教学中经常碰到学生提出这样的问题：“老师，我都做了好多题了，为什么考试老拿不到高分？有时候看到一些题，感觉很熟悉，好像自己曾经做过，但怎么也想不起来是怎么做的，越是想不起来我就越烦躁，越烦躁我就越解不了题，于是解答后面那些题都受影响了。老师，我该怎么办啊？”在日常的教学中，这样的学生恐怕还不是少数，尤其当学生进入高三学习后，这种情况越发明显。这主要是因为：高三时，学生已学过的知识比较多，此时题目的综合性更强。而目前中学数学教学常态仍然是“题海战术”，尤其是在高三的课堂教学中，即使是目前效果比较好的学案教学，其实也建立在大量讲练习题的基础上。它的主要危害在于：只看现象，不看本质；以大量习题记忆的形式代替理解和运用。而目前的高考主要是以能力立意为主题，该类试题没有固定的模式，难有现成的方法和套路可以搬用。这样一来，用题海战术来应对高考，显然是行不通的。在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明、运算推理、模式构建等理性思维能力的考查进行，也可以说，高考中的每一道试题都在考查化归意识和转化能力。化归思想方法统领着众多数学思想方法，它是数学中最基本、最常用的思想方法，着眼于揭示联系、实现转化，在迁移转化中达到问题的规范化。

高三的复习课须直面高考，所以，课堂教学就必须带有任务式或问题式的特征，教师在课堂上对数学思想方法的理解、提炼、掌握、运用始终贯穿于高三教学，只有这样，学生才会兼顾知识、方法、能力等层次要求，以不变应万变。教师应在课堂上采用探究发现式教学法、活动式教学法、类比学习法、多媒体辅助教学法及变式训练教学法等，从数学思想方法与解题策略思路方面看例题，在渗透数形结合的基本数学思想方法的同时，培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳的能力；进而通过变式迁移，体会转化思想。这样的课堂教学具有较强的思维性与针对性，数学思想方法在知识的形成、发展和应用的过程中经历提炼。教师引导学生提炼数学思想方法，在应用过程中培养学生的能力，期间渗透着的数学思想方法有：数形结合方法、类比法、转化法、特殊值法等。

数学思想方法作为一种思维工具，可以促进数学理论应用于实践，而化归思想方法统领着众多数学思想方法。化归思想方法是数学中最基本的思想方法，它着眼于揭示联系，实现转化，在迁移转化中达到问题的规范化。其他各种思想方法大多渗透着化归思想。如数形结合的思想——将“形”的问题转化为“数”的问题，反之亦然；函数与方程思想——将不等式问题转化为方程、函数问题，将方程问题转化为函数问题等；分类讨论思想——将整体转化为部分，先求得局部的解决，再进而求得整体的解决。以及各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。化归思想方法无处不在、无处不有，它既是各种思想方法的基础，又是各种思想方法的灵魂，所以化归思想方法又被称为解决问题的“常规方法”。

化归思想在高考中占有十分重要的地位。数学问题的解决总离不开化归思想，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等。各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。应用化归思想解题需明确三个问题：（1）明确化归对象，即对什么问题进行转化；化归对象可大可小，可以是对问题的局部进行转化、对问题的某个条件或结论作出转化，如式的恒等变形、三角函数值与角终边满足的条件的转化等，这种转化主要是为了能直接运用一般规律和结论；也可以是对问题整体的转化，诸如代数、三角、几何领域之间的跨越式转化。（2）认清化归目标，即化归到何处去；化归目标必须要清楚、简单明了，只有这样才符合化归的指导思想。（3）把握化归方法，即如何进行化归。

二、化归思想方法在高中数学各知识点的渗透

（一）化归思想方法在立体几何中的渗透

在立体几何中，主要解决有关平行、垂直的证明以及距离、角度、长度的计算等。在这些问题中，往往渗透着化归思想。

1．用坐标法实现平行与垂直的转化

如要证明直线与平面平行，可以转化证明直线与平面的法向量垂直。而证明线面垂直时，也可以转化证明直线与平面的法向量平行。

2．距离问题的转化

在求两个平行平面线与面之间的距离时，通过它们的位置关系，把问题转化成点到面的距离问题，进一步用等体积法求出距离。

3．立体问题转化成平面几何问题

如在证明直线与平面平行时，根据线面平行的判定定理，我们需要在平面内找到一条直线与平面外面的直线平行，则线面平行问题转化成线线平行，就把立体几何问题转化成平面问题。又如在求直线与平面所成的角或两个半平面所成的二面角时，都需要把对应的平面角找出来，然后解三角形。

例1　在四面体P ABC中，PA=PB=PC=2，∠AP B=∠BPC=∠AP C=30°，一只蚂蚁从A点出发沿着四面体的表面绕一周，再回到A点。问：蚂蚁沿着怎样的路径爬行时路程最短，最短路程是多少？

解：将四面体沿PA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，联结AA′分别交PB、PC于E、F两点，则当蚂蚁沿着A→E→F→A′路径爬行时，路程最短。

在△AP A′中，∠AP A′=90°，PA=PA′=2，所以AA′=2，即最短路程AA′的长为2。

（二）化归思想方法在解析几何中的渗透

解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，通过“形助数”或“以数代形”实现几何条件代数化，代数运算几何化，从而使复杂问题简单化，抽象问题直观化、形象化，从而达到优化问题的目的。而通过图形能迅速地找到解题方法，往往会达到出奇制胜的效果。

1．几何问题往代数问题转化

例2　已知椭圆＋=1，过点P（0，4）的直线l与椭圆交于A、B两点，若C（0，－1），且｜AC｜=｜BC｜，求直线l的斜率。

分析：根据给出的几何条件｜AC｜=｜BC｜，分析出△ABC是等腰三角形，三线合一，即CD⊥AB（其中D是线段A B的中点）转化成代数条件：两直线斜率存在时，k_CD·k _AB=－1。

解：依题意可知，直线AB的斜率显然存在，设D是线段AB的中点。

不妨设斜率为k，则直线AB的方程可设为：y=kx＋4（k≠0），

联立方程消去y得：（4k²＋1）x ²＋32kx＋48=0。

设A（x ₁，y ₁），B（x ₂，y ₂），则x ₁＋x ₂=－，y ₁＋y ₂=，

因此D（，）。

因为｜AC｜=｜BC｜，所以△AB C是等腰三角形，则CD⊥A B，所以k_CD·k _AB=－1，

·k=－1，解得k=±。所以直线l的斜率为±。

2．代数问题往几何问题转化

例3　求。

分析：在高中学习阶段，求定积分主要是运用微积分基本定理或利用定积分的几何意义求解。根据题目给定的被积函数，显然不能用微积分基本定理，所以只能结合被积函数的图像解决问题。

解：设y=，则可变形为：x ²＋y ²=1，（y≥0）。

该函数表示的图像是以原点为圆心，半径为1的上半圆，所以=。

3．化归思想在代数中的应用

数与形的转化，即数形结合思想。对函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等的刻画和定义都是利用函数的图像。在不等式方面也可以转化成两函数图像的位置关系，在方程中，往往需要转化成函数零点问题，通过对图像的分析，得到满足条件的式子。

三、化归思想方法在高三数学教学中应用的基本原则

（一）熟悉化原则

将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决新问题。

例4　已知x，y满足求z=的最值。

这是一道非常简单的线性归化。从问题的“形”出发，用到数形结合的思想，把要求的“数”转化成“形”，即从联想到非常熟悉的两点求斜率：z==表示经过（x，y）和（－1，－1）两点的直线的斜率，接下来，只需画出可行域，找出最优解（1，0）和（0，0．5），分别代入目标函数，求出z的最大值为1．5，最小值为0．5。

（二）简单化原则

将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。

例5　对于满足0≤a≤4的一切实数，不等式x ²＋ax＞4x＋a－3恒成立，求x的取值范围。

分析：函数与方程、不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此，借助于函数与方程、不等式进行转化与化归，可以将问题化繁为简。一般可将不等关系化为最值（值域）问题，从而求出参变量的范围。但我们习惯上默认了x为自变量，把不等式变形为：x ²＋ax－4x－a＋3＞0，构造函数f（x）=x ²＋（a－4）xa＋3，于是问题转化为：当a∈［0，4］，f（x）＞0恒成立，求x的取值范围。

要解决这个问题，则需要一元二次函数及一元二次方程根的分布原理，采用分类讨论的思想和方法解决，这样问题变得相当复杂了。我们不妨把变量和常量进行转化，反客为主，设f（a）=（x－1）a＋（x ²－4x＋3），则当a∈［0，4］时，y=f（a）对应的函数图像是一条线段，所以只需f（0）＞0和f（4）＞0同时成立即可，解得x∈（－∞，－1）∪（3，＋∞）。

这道题看上去是一元二次不等式问题，但通过对常量与变量的转化，不等式与函数的转化，变成一元一次函数的最值问题，通过函数的单调性，很容易解决这个问题。

（三）和谐化原则

化归问题的条件或结论使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或使其方法符合人们的思维规律。

例6　设x ₁，x ₂，…，x_n都是正数，求证：＋＋…＋≥x ₁＋x ₂＋…＋x ₃。

解析：本题是一多元不等式，从整体上考虑一时难以入手，现行教材下学生只学过均值不等式；对于三个以上的式子不等式关系未能把握，能否从学过的不等式入手呢？事实上：

＋x ₂≥2x ₁，＋x ₃≥2x ₂，……，＋x ₁≥2x_n，各式相加即得

（＋＋…＋）＋（x ₁＋x ₂＋…＋x_n）≥2x ₁＋2x ₂＋…＋2x_n

即＋＋…＋≥x ₁＋x ₂＋…＋x ₃。

于是，问题迎刃而解。

（四）直观化原则

将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。

例7　函数f（x）=－的最大值。

解：用待定系数法，配方为f（x）=－转化为几何问题。y=x ²的几何意义是抛物线上的动点M（x，y）到点P（3，2）和到点Q（0，1）距离之差。由｜MP｜－｜MQ｜≤｜PQ｜解得：f（x）的最大值为｜PQ｜=。

还可以考虑用向量的知识解本题：可考虑｜｜－｜｜≤｜±｜≤｜｜＋｜｜，当且仅当与共线同向时等号成立，……①

f（x）=－，

设y=x ²，则=（x－3，y－2）和=（x，y－1）。

由①式可得：f（x）≤｜－｜

－=（x－3，y－2）－（x，y－1）=（－3，－1），

因此｜－｜==，

所以f（x）的最大值是。

（五）正难则反原则

当正面讨论问题遇到困难或者相当繁琐时，不妨考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

例8　已知函数f（x）=4x ²－ax＋1在（0，1）内至少有一个零点，求实数a的取值范围。

分析：在（0，1）内至少有一个零点的情况下，正面分析要有五种不同的情况。

（1）在（0，1）内有两个零点；

（2）函数在R上有两个零点，一个在（0，1）内，一个在（－∞，0）或（1，＋∞）内；

（3）函数在R上有两个零点，一个在（0，1）内，一个就是x=0；

（4）函数在R上有两个零点，一个在（0，1）内，一个就是x=1；

（5）函数在R上只有一个零点，且刚好在（0，1）内。

显然，这样一来就把问题复杂化了，而问题的反面为没有零点，比较容易处理。

解：（法一）函数f（x）=4x ²－ax＋1在（0，1）内没有零点⇔4x ²－ax＋1=0在（0，1）内没有实数根，即在（0，1）内，4x ²－ax＋1≠0，有a≠4x＋。

而当x∈（0，1）时，4x＋≥=4，得4x＋∈［4，＋∞）。

要使a≠4x＋，必有a＜4，故满足题设的实数的取值范围是［4，＋∞）。

（法二）设f（x）=4x ²－ax＋1，对称轴为x=，注意到f（0）=1＞0，故对称轴必须在y轴的右侧。

（1）当0＜＜1时，即0＜a＜8，

有0⇒⇒a≤－4或a≥4，此时4≤a≤8；

（2）当≥1时，有f（1）＜0⇒5－a＜0⇒a＞5，此时有a≥8。

综合（1）、（2）得实数的取值范围是［4，＋∞）。

运用法二直接求解时，要有较强的数形结合能力、分类讨论能力和较强的洞察力［注意到f（0）=1＞0］，有一定的难度；若转为先考虑它的反面情形（法一），则解题目标与思路会变得更集中与明确。“正难则反”有时会给解题带来意想不到的妙处。

“正难则反”这种转化思想除了在函数中体现之外，在概率题中也经常出现。

例9　有9张卡片分别写着数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，甲、乙二人依次从中抽取一张卡片（不放回），试求：

（1）甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率。

（2）甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的概率。

分析思路：（1）甲、乙二人依次各抽一张的可能结果→甲抽到含奇数，乙抽到含偶数数字卡片的结果→求概率。

（2）找对立事件→求对立事件概率→求出原事件概率。

解：（1）甲、乙二人依次从九张卡片中各抽取一张的可能结果有·种，甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的结果有·种，设甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率为p ₁，则：

（2）设甲、乙二人至少抽到一张奇数数字的概率为p ₂，甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的对立事件为两人均抽到写有偶数数字卡片，设为，则：

一般地，一个题目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，宜从反面考虑，可多使用于“至多”、“至少”这种情形。

四、常见的化归思想方法以及在高三数学教学中应用的注意点

（一）常见的化归思想方法

化归思想方法用于研究、解决数学问题思维受阻时，或寻求简单方法，或从一种状况转化到另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式。常见的转化方法有：

（1）直接转化法。把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。

（2）换元法。运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。

例10　求函数f（x）=2－4a sin x－cos 2x的最大值和最小值。

分析：令sin x=t，转化为关于t的二次函数在闭区间上的最值问题，结合二次函数图像讨论可得。

解：y=f（x）=2－4a sin x－（1－2sin² x）=2sin² x－4a sin x＋1=2（sin x－a）²＋1－2a²。

设sin x=t，则－1≤t≤1，

并且y=g（t）=2（t－a）²＋1－2a²。

当a＜－1时，如图，有y _max=g（1）=3－4a，y _min=g（－1）=3＋4a；

当－1≤a≤1时，y _max为g（－1）和g（1）中的较大者，即y _max=3－4a（－1≤a≤0）或y _max=3＋4a（0≤a≤1）；

当a＞1时，有y _max=g（－1）=3＋4a，y _min=g（1）=3－4a。

（3）数形结合法。研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径。

例11　若x，y∈R，集合A=｛（x，y）｜x ²＋y ²=1｝，B=｛（x，y）｜x＋y=a｝，当A∩B有且只有一个元素时，求实数a的值。

分析：根据集合A和B的描述，可知集合A和B分别表示圆和直线，这样就把两集合的关系转化为圆与直线的位置关系。因为交集元素只有一个，此时直线与圆相切，

（法一）则圆心到直线的距离等于半径：d==1，求出a=±。

（法二）联立消去y得2x ²－2ax＋a²－1=0，因为方程解只有一个，所以Δ=0，求出a=±。

比较两种方法，显然方法一比较快捷。数形结合法在高中函数、不等式、向量、解析几何中都可充分利用。

（4）等价转化法。把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的。

例12　已知x ₀为方程e^x－x－2=0的一个根，且x ₀所在的区间为（k，k＋1）（k∈Z），则k的一个值为________。

分析：“x ₀为方程e^x－x－2=0的一个根”等价于“x ₀为函数f（x）=e^xx－2的一个零点”，因此可用函数零点存在判定定理来解决这题。

解：∵f（1）=e－3＜0，f（2）=e²－4＞0。

即f（1）f（2）＜0。

∴x ₀∈（1，2），使得f（x ₀）=0。

∴k=1。

（5）特殊化方法。把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题，这种方法在数学归纳法中有很好的体现。

例13　在数列｛a_n｝中，a₁=2，a_n＋1=λa_n＋λ^n＋1＋（2－λ）2ⁿ，n∈N^*，λ＞0，求数列｛a_n｝的通项公式。

解：a₂=2λ＋λ²＋（2－λ）2¹=λ²＋2²；a₃=2λ³＋2³；a₄=3λ⁴＋2⁴；

由此猜想数列｛a_n｝的通项公式为：a_n=（n－1）λⁿ＋2ⁿ，n∈N*。

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，a₁=2，等式成立。

②假设当n=k（k≥2，且k∈N^*）时等式成立，即

a_k=（k－1）λ^k＋2^k，

那么：a_k＋1=λa _k＋λ^k＋1＋（2－λ）2^k

　　　　　 =λ（（k－1）λ^k＋2^k）＋λ^k＋1＋（2－λ）2^k

　　　　　 =［（k－1）＋1］λ^k＋1＋2^k＋1

这也是说，当n=k＋1时也成立。

由①②可知，a_n=（n－1）λⁿ＋2ⁿ，对任意n∈N^*都成立。

本题求a_n时采用了特殊化的方法，这是归纳—猜想—证明的思路，当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡，这就是特殊化的化归策略。

数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题。

（6）构造法。“构造”一个合适的数学模型，把难题变为易于解决的问题。在不等式处理恒成立问题或者证明不等式时经常要运用构造函数法。

例14　若不等式x ²－ax＋1＞0在x∈［1，2］恒成立，求a的取值范围。

分析：一般恒成立问题，大多数都有分离参数法，把原不等式变形为：a＜x＋，在x∈［1，2］恒成立，此时构造函数f（x）=x＋，要使命题成立，则要求f（x）=x＋，在x∈［1，2］的最小值，由“对勾函数”的图像可知，y=f（x）在x∈［1，2］是单调递增，所以f _min（x）=2，解得a＜2。

（7）坐标法。以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径。

例15　已知△ABC是边长为2的等边三角形，E为边B C的中点，D为边A E的中点，求·的值。

解：以BC所在的边为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系。

∵△ABC为等边三角形，E为边BC的中点。

∴AE⊥BC。

∵AB=BC=AC=2，易得B（－1，0），C（1，0），A（0，），E（0，0）。

∴D。

∴·=＋1，0·（1，0）=＋1。

（8）参数法。引进参数，使原问题转化为熟悉的形式便于解决。

例16　已知椭圆的方程为＋=1，点p为椭圆上的一点，直线l：x－y－10=0，求点p到直线l距离的最大值。

解：∵＋=1。

∴设点p（4cosθ，3sinθ），θ∈［0，2π］。

则点p到直线l：x－y－10=0的距离为d==。

∴当cos（θ＋φ）=－1时，d _max=。

本题在解答过程中引入参数，将要解决的问题转化为三角函数中常见的“合二为一”题型，从而使问题得到快速解决。

（9）补集法。如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集C_u A获得原问题的解决，体现了正难则反的原则。

例17　若不等式｜x－1｜－｜x＋3｜≥a有解，则实数a的取值范围为________。分析：不等式解的存在性问题，往往可以从对立角度分析，通过解决对立的问题，从而得到原命题成立的解答。

解：考虑∀x∈R，｜x－1｜－｜x＋3｜＜a恒成立时，a的取值范围。

∵｜x－1｜－｜x＋3｜≤｜（x－1）－（x＋3）｜≤4。

∴a＞4。

∴不等式｜x－1｜－｜x＋3｜≥a有解，则a≤4。

（二）高三数学教学中应用化归思想方法的注意点

1．紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性

化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标以及化归的方法三个要素。而设计目标是问题的关键。设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据，而把要解决的问题化归为成规律的问题（即问题的规范化）。因此，在解题过程中，始终必须紧紧盯住化归的目标，即始终应该考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的。在这个大前提下，实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同。

例18　已知α，β∈（0，），且sinβ=sinαcos（α＋β）（α＋β≠），当tanβ取最大值，求tan（α＋β）的值。

解析：我们不妨将解题目标分解为：

用α表示tanβ；求tan（α＋β）的值。

∵sinβ=sin［（α＋β）－α］=sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα=sinβ=sinαcos（α＋β）。

∴sin（α＋β）cosα=2sinαcos（α＋β）。

∵cos（α＋β）≠0。

∴tan（α＋β）=2tanα（在这里就产生了我们想要的目标函数——正切函数）。

∴=2tanα。

∴tanα＋tanβ=2tanα（1－tanαtanβ）。

∴tanβ=（到这一步已完成我们的第一个目标，整个问题的解决方向变得非常的明朗）。

即tanβ==≤=，

当且仅当2tanα=时，即tanα=时，tanβ取得最大值，

而此时tan（α＋β）=2tanα=（此时实现第二个目标，同时也解决了该题）。

解题犹如打仗，需要冲破道道难关，盯住目标，求什么就解什么，把题目当中的条件都往所求方向靠拢，有助于最终形成解题思维链。

2．注意转化的等价性，保证逻辑正确

化归包括等价化归和非等价化归，在中学数学中的化归多为等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。

例19　已知f（x）=ax ²＋c，－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，求f（4）的取值范围。

分析：在解决本题时主要的错误解法是：从－4≤a＋c≤－1，－1≤4a＋c≤5中，类似于解方程那样解出a，c的范围，然后再用不等式的运算性质求f（4）=16a＋c的范围。错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形。

这题从条件和结论相互化归的角度看，要实现等价转化可用f（1），f（2）的线性组合来表示f（4），再利用不等式的性质求解。

解：设f（4）=m f（1）＋n f（2），则16a＋c=m（a＋c）＋n（4a＋c）。

∴16a＋c=（m＋4n）a＋（m＋n）c。

∴解得

∴f（4）=－4f（1）＋5f（2）。

∵－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5。

∴4≤－4f（1）≤16，－5≤5f（2）≤25。

∴－1≤－4f（1）＋5f（2）≤41。

∴－1≤f（4）≤41。

在多次应用不等式时，必须注意转化过程中要等价。

3．注意转化的多样性，设计合理的转化方案

在转化过程中，同一转化目标的达到往往可能采取多种转化途径和方法。因此研究设计合理、简捷的转化途径是十分必要的，必须避免什么问题都死搬硬套，以至繁难不堪。

例20　设P是边长为1的正方形ABCD所在平面上的动点，求P在什么位置时，f（P）=PA＋PB＋PC＋PD取得最小值。

分析：这是较复杂的几何问题，先考虑用解析法把问题转化为代数问题。

如图所示，建立直角坐标系，设

A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），P（x，y），

则f（p）=＋＋＋。

求的最小值仍较复杂，再考虑用复数法把问题转化为复数模的问题。

设z₁=x＋yi，z₂=（1－x）＋yi，z₃=（1－x）＋（1－y）i，z₄=x＋（1－y）i，

则f（p）=｜z₁｜＋｜z₂｜＋｜z₃｜＋｜z₄｜≥｜z₁＋z₂＋z₃＋z₄｜=｜2＋2i｜=2，上式当且仅当x=y=时取等号。

因此，当且仅当P为正方形ABCD的中心时，f（P）取最小值2。

由此题可见运用化归与转化思想去解题的能力强弱在于：有敏锐的洞察能力，才能找准目标模型；有较强的化归能力，才能有效地把问题转化为目标模型，至于运用模型的内部规律求解就比较容易了。

利用化归思想解题时，转化的途径和方法不一定相同，但有一个共同的规律，就是在待解决的问题和已解问题之间架起一个联系的桥梁，这就是知识之间的“关系键”。这就要求学生在学习数学的过程中，要不断地构建知识结构，形成知识网络，要领悟蕴含在数学内容之中的数学思想方法，这些都是提高数学解题能力的条件和基础。

总之，在新课改中，教师应该重视应用数学思想方法指导学生解决数学问题。教师在数学教学中应以具体数学知识为载体，重视数学思想方法的渗透，通过精心设计的学习情境与教学过程，引导学生学会蕴含在其中的数学思想方法，特别强调化归思想方法的应用，充分挖掘教材及其数学问题中的化归思维，从而提高学生的解题能力。由于笔者在高中数学教学中重视化归思想的渗透和应用，因而提高了学生的数学成绩，于2008年获得“广州市数学学科高考突出贡献奖”。但是，由于数学思想只表现为一种意识，没有外在的固定形式，因此，教师在数学教学中必须不懈地渗透，才能使学生在潜移默化中理解和掌握数学思想方法。当然，教师要对学生渗透任何数学思想方法，最基本的工作就是了解学情和了解教材。

参考文献

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［2］胡东方．教育研究方法哲理故事与研究智慧［M］．上海：华东师范大学出版社，2009．

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［4］杨文华．化归思想方法在高中数学教学中的渗透［D］．武汉：华中师范大学，2012．

［5］佩玲，邵光华．数学思想方法与中学数学［M］．北京：北京师范大学出版社，2000．