数学思想方法的形成过程及教学原则

第三节　数学思想方法的形成过程及教学原则

一、数学思想方法形成过程的三个阶段

根据认知学习理论，数学学习的过程就是新的学习内容与学生原有的数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。首先，教师应创设问题情境，给学生提供新的学习内容，让学生原有的数学认知结构与新知识之间发生冲突，使学生在心理上产生学习新知识的需要。其次，新的学习内容输入后，原有的数学认知结构与新知识相互作用，会有同化和顺应两种形式。同化就是把新学习的内容纳入到原数学认知结构中去，从而扩大原有认知结构的过程。顺应就是当原认知结构不能接纳新的学习内容时，必须改造原有的认知结构，以适应新的学习内容，从而产生新的认知结构的雏形。第三，在产生新的认知结构的雏形后，通过练习等活动，使新学习的知识得以巩固，从而得到新的认知结构；最后，通过解决数学问题，使初步形成的新的数学认知结构臻于完善，最终形成新的良好的数学认知结构，学生的能力得到发展。由此可见，数学学习的过程是一个学习者主动建构的过程。而数学思想方法则是隐藏在知识背后的精髓，必须通过学习者自身的创造性劳动、建构才能实现。由于人们认识客观事物遵循由浅入深，由表及里，由具体到抽象，由量变到质变，由感性到理性的逐步深化、不断推进、螺旋上升的认识规律，所以数学思想方法的学习领悟绝不是一朝一夕的事，数学思想方法的学习应贯穿于数学学习的始终。学生领会和掌握某一种数学思想方法，要经过较长的时间并且通过对不同知识的学习才能真正地体会、领悟。据此，我们将学生数学思想方法的形成过程划分为下面三个阶段。

（一）潜意识阶段

数学教学内容始终反映着两条线，即数学基础知识和数学思想方法。数学教材的每一章节乃至每一道题，都体现着这两条线的有机结合，这是因为没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识。在数学课上学生往往只注重数学知识的学习，注重知识的增长，而忽略连接这些知识的观点以及由此产生的解决问题的方法与策略。即使有所察觉，也只是处于一种“朦朦胧胧”、“似有所悟”的状态。例如，有些学生在解高次方程时知道可用换元法化为低次方程去解；解立体几何题时可将空间问题转化为平面问题去求解；解某些代数问题可借助几何图形通过数形结合的方法求解。但学生却意识不到这三个不同知识点、不同问题的解法用的数学思想方法都是同一个，即化归的思想。这说明学生此时对数学思想方法的理解还处在潜意识阶段。

（二）明朗化阶段

随着运用同一种数学思想方法解决不同数学问题的实践机会的增多，隐藏在数学知识后面的数学思想方法就会逐渐引起学生的注意和思索。他们开始理解解题过程中所使用的探索方法和策略，并将其概括总结，以致产生某种程度的领悟。当经验和领悟积累到一定程度，这种事实上已被运用多次的数学思想方法就会凸显出来，甚至达到一种“呼之欲出”的境界。这就是数学思想方法学习的明朗化阶段。例如，在向学生渗透分类讨论的数学思想时，学生对该类思想接触较早，初中学习阶段就有了初步了解，到了高中阶段教师更是抓住一切机会进行渗透。等比数列的求和公式体现了分类的思想；圆锥曲线的定义，根据离心率的不同取值表示的曲线不同也展现了分类的重要；对数函数由于底数的取值范围不同而使性质不同；解含参数的不等式时更需要进行分类讨论。相信教师在教学过程中，通过对这些知识点的讲解，学生将会对分类讨论的数学思想产生明确的认识。在教师有意识的渗透、启发下，学生开始理解解题过程中使用过的分类思想、领悟该思想的内涵，并能将这一数学思想概括、总结出来，此时学生对数学思想方法的学习进入了明朗化阶段。

（三）深刻化阶段

对数学思想方法学习的进一步要求就是深入理解与初步应用。在学生对数学思想方法的认识有了较明确的认识后，在接下来的问题解决的过程中，训练学生能够恰当地应用一种或多种数学思想方法进行探索，以求问题得到解决。同时学生在解决问题的实践过程中，加深对数学思想方法的理解，经过多次应用，能逐步达到一种对数学思想方法运用自如的境界。这时我们说学生对数学思想方法的学习达到了深刻化阶段。例如，学生在解数学问题时，碰到的问题形形色色，但若能把握一个大方向，即将复杂的大问题转化为简单的几个小问题；将三维的空间问题转化为二维的平面问题；将代数问题转化为几何问题；将高次问题转化为低次问题，就说明学生对化归的数学思想方法有了深刻的认识，对数学思想方法的学习进入了深刻化阶段。

在日常的教学活动中，将数学思想方法的教学设计成多次孕育、初步形成、应用发展三个阶段，这与学生掌握、理解数学思想方法实际过程的三个阶段是完全吻合的。由于数学思想方法的学习存在一个潜意识阶段，因此在教学过程中需要有一个孕育阶段。在这一阶段，教师通过对数学知识的讲解，有意识地向学生渗透隐藏在知识背后的数学思想方法。因为潜意识的作用是缓慢的、渐进的，所以要安排多次孕育，而且越是复杂的、难度越大的数学思想方法，孕育的次数越多。只有这样，才能让学生积累起足够的感性认识和经验，使他们对数学思想方法的认识逐渐从模糊走向清晰。由于数学思想方法的学习存在一个明朗化阶段，因此在教学过程中也应有一个初步形成阶段。当学生对某种数学思想方法的感性认识和经验已经比较丰富，甚至已经到了“呼之欲出”的程度时，“正面突破”将会水到渠成。

二、数学思想方法的教学原则

为更好地培养学生的数学思想方法素质，数学课堂教学应遵循以下基本原则。

（一）渗透性原则

“渗透”在《现代汉语词典》中是这样解释的：“比喻一种事物或势力逐渐进入到其他方面。”教育学中所谓的“渗透”，是指教育者依据一定的教育目的，借助一定的载体，营造一定的氛围，引导受教育者去感受和体会，使他们在耳濡目染和潜移默化中自觉或不自觉地生发出教育者所希望传递的思想方法。我们常说的“随风潜入夜，润物细无声”可以作为对“渗透”含义的形象概括。

数学思想方法既抽象又朴素，它具有普遍适用性和共有性。当学生还不具备完整的、清晰的、系统的数学思想方法，只是或多或少有某种“数学思想”的认识或体验时，教师可以把知识形态的数学思想方法像传授知识那样灌输给学生。当然这种灌输与知识的传授还有所不同，先让学生构建起数学思想方法的大体框架，起初这种思想框架对学生来讲可能是空洞的，不易被理解认识的，然后再鼓励学生通过自己的思维活动逐步理解它、验证它、丰富它并内化为认识形态的数学思想方法，构建起较为系统的、独立的、活化的数学思想方法体系，实现对数学思想方法的渗透。

高等数学课程的内容是由具体的数学知识与数学思想方法组成的有机整体，大量的数学思想方法只是蕴藏在数学知识体系之中，并没有明确的揭示和总结。这就要求教师在数学教学中应遵循渗透性原则，即在具体数学知识的教学中，通过精心设计问题情境与教学过程，着意引导学生领会蕴藏在其中的数学思想方法，使他们在潜移默化中达到理解和掌握。这是因为，首先，虽然数学思想方法与具体的数学知识是一个有机的整体，它们相互关联、相互依存、协调发展，但具体的数学知识的教学并不能代替数学思想方法的教学。数学思想方法的教学是以具体的数学知识为载体，在知识的教学过程中实现的。其次，数学思想方法是数学知识本质与内在联系的反映，具有高度的抽象性与概括性。一般的数学方法尚具有某种外在形式或模式，但作为一类数学方法概括的数学思想方法，却只表现为一种意识和观念，很难找到外在的固定形式。因此数学思想方法形成的教学绝不是一朝一夕可以实现的。在具体的教学中，教师从教学目标的确定、问题的提出、情境的创设，到教学方法的选择，整个教学过程都要精心设计安排，做到有目的、有意识的渗透。而针对不同的知识阶段，教师还应做到有计划、有步骤的渗透。如，在知识的形成阶段，可渗透观察、实验、比较、分析、抽象、概括的数学思想方法；在结论推导阶段和解题教学中可渗透分类讨论、化归、等价转换、特殊化与一般化、归纳、类比等数学思想方法；在知识的总结阶段可渗透公理化、结构化等数学思想方法。只有经过日积月累，长期渗透，数学思想方法才能逐渐为学生所掌握。比如，解一元二次不等式的教学中，教师可引导学生结合二次函数图象来理解和记忆，总结归纳出解集在“两根之间”、“两根之外”的两种情况，再运用数形结合的数学思想方法，比较顺利地完成新旧知识的过渡。在解集的讨论过程中，很自然地渗透了分类讨论的思想方法。在渗透数学思想方法的过程中，教师要精心设计、有机结合，有意识地启发学生领悟蕴涵于数学知识之中的各种数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际。

（二）循序渐进原则

学生对数学思想方法的学习是符合人的认知规律的。人的认知一般遵循由个别到一般、由具体到抽象、由感性到理性、由低级到高级的规律，而且在整个认知过程中具有长期性和反复性。所以数学思想方法教学应与知识教学、学生的认知发展水平相适应。从一个较长的学习过程来看，学生对某种数学思想方法的掌握是在反复理解和运用中形成的，其间有一个由低级向高级螺旋上升的过程。因此，教师在进行数学思想方法教学时，对同一种数学思想方法应注意在不同知识阶段不断呈现，循序渐进，以加强学生对数学思想方法的认识。在不同的问题和不同阶段的教学中，数学思想方法屡次出现，每次都以不同的形式呈现，层次上的深浅也有所不同。通过同一种数学思想方法在不同知识阶段的呈现以及学生对它的反复运用到了一定程度，学生对数学思想方法的认识与理解便会螺旋上升，成为较高层次的数学思想方法，并能做到主动运用，这就是循序渐进原则。教师在数学教学中只有遵循循序渐进的教学原则，学生才能真正领悟数学思想方法，从而使思维更加深刻。

（三）系统性原则

与具体的数学知识一样，数学思想方法只有形成一定的结构系统，才能更好地发挥其整体的功能。数学思想方法有高低层次之别，对于某一种数学思想方法而言，它所概括的一类数学方法，它所串联的具体的数学知识，也必须形成自身的体系，只有这样，数学思想方法才能为学生所理解和掌握，这就是数学思想方法教学的系统性原则。数学思想方法教学的系统性原则在教学活动中，一方面表现为教师在进行具体数学知识的教学过程中进行数学思想方法的教学；另一方面还表现为一些重要的数学思想方法可以通过在不同知识点的教学中进行渗透，从而在纵横两个维度上整理出数学思想方法的系统。例如，我们用“数形结合”的思想方法将一元二次不等式与一元二次方程以及二次函数的图象三者有机地结合在一起，形成一个系统的知识网络，这就是系统性原则。教师在数学教学中只有坚持系统性原则，才能使学生所学的知识不再是零散的知识点，也不再是解决问题的刻板套路和一招一式；才能帮助学生用数学思想方法统领数学知识，用数学思想方法加强知识的横向联系。这样做将会对学生形成有序的知识链、进行有意义的学习以及把数学知识内化为自己的认知结构起到十分重要的作用。

（四）创造性原则

由于数学思想方法比数学知识更抽象，不可能照搬、复制，因此创造性原则对于数学思想方法的学习显得尤为重要。每个学生在学习数学知识的过程中，根据自己的体验，用自己独特的思维方式构建出数学思想方法体系，这就是创造性原则。例如，学生在学习三角恒等变形时，有很多公式、变形方法和技巧，题目也将更多。教师应充分展示数学公式的推导过程，帮助学生理解，同时还应启发学生从中揭示出“分析差异、实施变形、消除差异”的基本数学思想方法，把握三角变换的精神所在。这样学生头脑中就会构建出自己的一套解题思路，也可称为数学思想方法体系，这就是创造性原则的体现。

（五）实践性原则

在教学过程中教师是主导，学生是主体，没有学生主体的参与，教师水平再高、讲得再好也枉然。数学知识教学是认知结果的教学，是重视记忆理解的静态型的教学，学生鲜有独立思维活动过程。数学思想方法教学是数学思维活动过程的教学，既源于知识教学又高于知识教学，是思维操作的动态型的教学。因此，学生能否形成鲜明的数学思想方法素质，最终取决于自身参与数学活动的程度。例如，讲完零点定理后提出“椅子在不平的地上能否放稳？”这一实际问题，并在教师的启发引导下，通过学生的实际操作建立数学模型。在这个将实际问题转化为数学问题的参与性学习过程中，让学生体验数学中的转化思想、建模思想和函数思想。在实际教学中，数学思想方法的形成并不是通过几节课就能达到的，教师要在教学中大胆实践，持之以恒，融数学思想方法于平时的教学之中，要特别注重营造教学氛围，并给学生提供思想活动的素材和时机，悉心引导学生积极主动地参与到数学知识的发生过程中，在亲自的实践活动中接受熏陶，不断提炼思想方法、活化思想方法，形成用数学思想方法指导思维活动和探索问题解答策略的良好习惯。数学思想方法也只有在需要该种数学思想方法的教学活动中才能形成。

（六）层次性原则

高职院校的高等数学教育与普通高等院校的数学教育有着明显的区别，因此在教学中更应突出数学知识教授的层次性。层次性是指对数学思想方法的学习须以低层为起点，高层为目标，由低到高逐步“转移”。高等数学教学要遵循逐级递进、由表及里、由浅入深、循序渐进、逐步渗透、螺旋上升的原则。如整体换元是求函数不定积分中第一换元积分法的重要思想，针对不同函数的问题需要用不同的整体换元（或说不同的凑微分形式），涉及的题型很多，若一个一个讲下去，学生会顾此失彼，最终理解、掌握不好。若在教学中抓住“整体”这一思想方法设计例题，并注意启发学生一题多变地求解，将会达到事半功倍的效果。同一个数学思想方法可以结合不同阶段不同内容的知识教学进行有意识的反复渗透，以达到强化数学思想方法的目的。例如，极限的思想方法在微积分里贯穿始终，函数的连续性、导数、微分、定积分的概念都离不开极限思想，相应的例题和习题中也蕴涵有极限思想。尽管极限思想对学生来说较难理解，但只要教师在教学过程中，能做到适时、经常、反复的渗透，学生是可以逐渐掌握这一思想方法的。

（七）概括性原则

数学思想方法不是单独呈现给学生的，而是有条理地贯穿于整个数学知识点的教学中，伴随知识点以内隐的方式纳于数学知识体系。高职院校的数学教育以实用为目的，教师在授课时更需要注意对各种知识所表现出来的数学思想方法进行归纳，以引导学生重点理解、记忆。概括数学思想方法一般可分两步进行：一是揭示数学思想方法的内容、规律，即将数学对象共同具有的属性或关系抽取出来，这也就是“概”字的含义。如讲完极限的相关概念之后，对极限思想的实质概括为：函数在某一区间（邻域）有定义，在自变量的某一确定变化过程中，函数无限趋向于某一确定的常数A，则称函数在这一变化过程中以A为极限。这样概括便于学生从整体上理解极限思想。二是明确数学思想方法与知识的联系，即将抽取出来的共性推广至同类的对象上去，从而突出从特殊性认识上升为一般性认识。例如，一元函数的微积分与二元函数微积分中的函数的概念、极限、连续性、导数与微分、定积分（二重积分）及其性质等都有很多共性。教学中若把握住这些共性，在一元函数微积分教学中突出强化这些共性的知识，学生就容易将其迁移到多元函数微积分的学习中，也就更易于理解相关的内容。概括数学思想方法要纳入教学计划，有目的、有步骤地引导学生参与数学思想方法的提炼概括过程，特别是章节复习时，将统摄知识的数学思想方法概括出来，增强学生对数学思想方法的应用意识，从而有利于学生更透彻地理解所学的知识，提高独立分析问题、解决问题的能力。